Luận văn một số phương pháp giải bất phương trình hàm

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO UBND TỈNH THANH HÓA TRƯỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC ———————o0o——————– TRẦN THANH MINH MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH HÀM LUẬN VĂN THẠC SỸ TỐN HỌC Thanh Hóa, 2020 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO UBND TỈNH THANH HÓA TRƯỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC ———————o0o——————– TRẦN THANH MINH MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH HÀM LUẬN VĂN THẠC SỸ TỐN HỌC Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp Mã số: 46 01 13 Người hướng dẫn khoa học: TS Đỗ Văn Lợi Thanh Hóa, 2020 DANH SÁCH HỘI ĐỒNG CHẤM LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC (Theo Quyết định số 1036 /QĐ-ĐHHĐ ngày 20 tháng năm 2020 Hiệu trưởng Trường Đại học Hồng Đức) Học hàm, học vị Họ tên Cơ quan công tác Chức danh hội đồng GS.TSKH Nguyễn Mạnh Hùng Trường Đại học Hồng Đức Chủ tịch PGS.TS Vũ Trọng Lưỡng Trường ĐHGD-ĐHQGHN Phản biện TS Lê Xuân Dũng Trường Đại học Hồng Đức Phản biện TS Hoàng Nam Trường Đại học Hồng Đức Ủy viên TS Hoàng Văn Thi Sở GD ĐT Thanh Hóa Thư ký Xác nhận người hướng dẫn Học viên chỉnh sửa theo ý kiến hội đồng Ngày 25 tháng năm 2020 (ký ghi rõ họ tên) Đỗ Văn Lợi LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan luận văn không trùng lập với khóa luận, luận văn, luận án cơng trình nghiên cứu cơng bố Người cam đoan Trần Thanh Minh ii LỜI CẢM ƠN Luận văn hoàn thành Trường Đại học Hồng Đức hướng dẫn TS Đỗ Văn Lợi Tác giả bày tỏ lịng biết ơn kính trọng thầy Tác giả cám ơn Ban giám hiệu, phòng QLĐTSĐH, thầy cô giáo bạn đồng nghiệp tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả q trình học tập, nghiên cứu khoa học hồn thành luận văn Tác giả cám ơn Ban giám hiệu, mơn Tốn trường THPT Nơng Cống nơi tác giả công tác tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả q trình cơng tác giảng dạy để có thời gian hợp lý hồn thành khóa học luận văn thạc sĩ Trong trình viết chỉnh sửa thảo luận văn, tác giả nhận quan tâm góp ý nhà khoa học, bạn bè đồng nghiệp Tác giả xin chân thành cảm ơn giúp đỡ quý báu Thanh Hóa, tháng năm 2020 Học viên Trần Thanh Minh Mục lục Danh mục kí hiệu v KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Một số định nghĩa tính chất dãy số 1.1.1 Khái niệm dãy số 1.1.2 Giới hạn dãy số Một số định nghĩa tính chất hàm số đơn điệu 1.2.1 Các định nghĩa 1.2.2 Một số tính chất Một số định nghĩa tính chất hàm số liên tục 1.3.1 Định nghĩa hàm số liên tục 1.3.2 Một số tính chất hàm liên tục 1.2 1.3 MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH HÀM 12 2.1 Sử dụng phép 12 2.2 Sử dụng tính đơn điệu hàm số 25 2.3 Sử dụng dãy số 30 2.4 Chuyển qua giới hạn 43 2.5 Sử dụng tính liên tục hàm số 52 2.6 Một số phương pháp giải khác toán tổng hợp 56 Tài liệu tham khảo 72 iv DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU Trong luận văn ta dùng kí hiệu với ý nghĩa xác định sau: N Tập hợp số tự nhiên; N∗ Tập hợp số tự nhiên khác không; Z Tập hợp số nguyên; Q Tập hợp số hữu tỉ; lim un Giới hạn dãy {un }; lim un Giới hạn dãy {un }; I Hàm đồng nhất; an = o (bn ) Dãy { an } vô bé so với dãy {bn }, tức lim an =0; n→∞ bn an = k 6= ; n→∞ bn an Dãy { an } tương đương với dãy {bn }, tức lim =1; n→∞ bn an = O (bn ) Dãy { an } bậc với dãy {bn }, tức lim an ∼ bn Df Miền xác định hàm f v MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài Lý thuyết phương trình hàm lĩnh vực nghiên cứu quan trọng Giải tích tốn học Các dạng tốn phương trình hàm phong phú bao gồm loại phương trình tuyến tính phương trình phi tuyến, phương trình ẩn hàm phương trình nhiều ẩn hàm Các nhà toán học tiếp cận phương trình hàm theo mục tiêu nghiên cứu khác nhau, nghiên cứu định tính (xác định số đặc trưng hàm số) nghiên cứu định lượng (ước lượng số nghiệm, xác định dạng cụ thể nghiệm); nghiên cứu nghiệm địa phương nghiên cứu nghiệm toàn cục; xác định nghiệm liên tục hay nghiệm có tính gián đoạn, Phương trình hàm chuyên đề quan trọng thuộc chương trình chuyên toán trường THPT chuyên Các toán liên quan đến phương trình hàm tốn thường gặp kì thi học sinh giỏi mơn tốn Quốc gia, khu vực Quốc tế Hiện nước ta, phương trình hàm chủ yếu giảng dạy cho học sinh lớp chuyên toán (đối với THPT) sinh viên trường ĐH, CĐ tham gia đội tuyển thi Olympic toán sinh viên Quốc gia Quốc tế Việc giải phương trình hàm đòi hỏi vận dụng nhiều kiến thức giải, có khả tư tốt, phán đốn, khái qt tốt, Vì việc học tập tìm hiểu phương trình hàm cần thiết, đặc biệt việc giải bất phương trình hàm, khơng làm cho kho tàng phương pháp giải phương trình hàm thêm phong phú, mà cịn giúp người giải tốn nói chung, học sinh THPT nói riêng dễ tiếp cận u thích tốn phương trình hàm Vì vậy, tơi chọn đề tài “ Một số phương pháp giải bất phương trình hàm” làm luận văn tốt nghiệp Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu việc sử dụng tính chất dãy số, hàm số (đơn điệu, liên tục) việc chuyển qua giới hạn để giải bất phương trình hàm; đồng thời tìm tịi xây dựng hệ thống tập liên quan Nội dung nghiên cứu - Tìm hiểu số phương pháp giải bất phương trình hàm: Phép thế, sử dụng tính đơn điệu hàm số, sử dụng tính liên tục hàm số, sử dụng dãy số, chuyển qua giới hạn, - Xây dựng hệ thống toán liên quan đến việc sử dụng số phương pháp giải bất phương trình hàm Phương pháp nghiên cứu - Phương pháp tổng hợp, phân tích, hệ thống hóa sử dụng thực luận văn - Vận dụng kiến thức dãy số, hàm số vào việc giải tốn bất phương trình hàm Ý nghĩa khoa học thực tiễn đề tài Luận văn làm tài liệu tham khảo cho giáo viên, học viên cao học, bạn sinh viên học sinh việc tìm hiểu ứng dụng tính chất dãy số, tính đơn điệu tính liên tục hàm số số phương pháp giải bất phương trình hàm Cấu trúc khóa luận Ngồi phần mở đầu, kết luận tài liệu tham khảo, luận văn gồm hai chương: Chương 1: Kiến thức chuẩn bị Chương trình bày số định nghĩa tính chất của: dãy số; hàm số đơn điệu hàm số liên tục cần cho việc giải bất phương trình hàm Chương 2: Một số phương pháp giải bất phương trình hàm Chương trình bày số phương pháp giải bất phương trình hàm: Sử dụng phép thế; Sử dụng tính đơn điệu hàm số; Sử dụng dãy số; Chuyển qua giới hạn; Sử dụng tính liên tục hàm số; Một số phương pháp khác toán tổng hợp Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trong chương này, trình bày định nghĩa, tính chất liên quan đến dãy số, hàm số đơn điệu hàm số liên tục để phục vụ cho việc giải tốn trình bày chương sau (Xem [1], [7]) 1.1 Một số định nghĩa tính chất dãy số 1.1.1 Khái niệm dãy số Ánh xạ u : N∗ −→ R n 7−→ u(n) = un gọi dãy số Ta kí hiệu dãy số sau: u1 , u2 , u3 , , un , {un } 1.1.2 Giới hạn dãy số • Dãy {un } gọi hội tụ đến l (hay có giới hạn đến l) với số ε > 0, tồn N ∈ N cho |un − l | < ε, ∀n > N Khi ta viết lim un = l hay un → l (n → ∞) n→∞ k k−1 k−1 k−2 i +1 i ≤ f (2 ) − f (2 ) + f (2 ) − f (2 ) + + f (2 ) − f (2 ) ≤ k − i k Vậy k k(k − 1)