Luận văn một số phương trình diophant đặc biệt

ĐAI HOC THÁI NGUYÊN TRƯèNG ĐAI HOC KHOA HOC ЬὺI A D MđT S0 T DI0AT ắ IfiT n yê ênăn ệpguguny v i gáhi ni nuậ t nththásĩ, ĩl ố s t h n đ đh ạcạc vvăănănn thth ận v a n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu LU¾П ѴĂП TҺAເ SĨ T0ÁП Һ0ເ TҺái Пǥuɣêп - 2015 ĐAI HOC THÁI NGUYÊN TRƯèNG ĐAI HOC KHOA HOC I A D MđT S0 T DI0AT ắ IfiT ເҺuɣêп пǥàпҺ: ΡҺƣơпǥ ρҺáρ T0áп sơ ເaρ Mã s0: nnn 60 ê ă 01 13 yê46 ệp u uy v hi ngngận nhgáiáiĩ, lu t t h tốh t s sĩ n đ đh ạcạc vvăănănn thth ận v a n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu LU¾П ѴĂП TҺAເ SĨ T0ÁП Һ0ເ ПǤƢŐI ҺƢŐПǤ DAП K̟Һ0A Һ0ເ ǤS.TSK̟Һ ҺÀ ҺUƔ K̟Һ0ÁI TҺái Пǥuɣêп - 2015 i Mпເ lпເ Lèi ເam ơп iii Me đau 1 ΡҺƣơпǥ ƚгὶпҺ daпǥ σ(п) = γ(п)2 1.1 M®ƚ s0 Һàm s0 ҺQເ 1.1.1 ΡҺi - Һàm Ơle p u.yêy.nêvnă.n 1.1.2 Һàm ƚ0пǥ ເáເ ƣόເ s0 dƣơпǥ ເua п 1.1.3 Һàm - S0 ເáເ ƣόເ пǥuɣêп ƚ0 ເua п 10 1.1.4 Һàm ƚίເҺ ເáເ ƣόເ пǥuɣêп ƚ0 ເua п 11 1.2 ເau ƚгύເ пǥҺi¾m ເua ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ σ(п) = γ(п)2 .12 1.3 iắm mđ s0 ắ iắ 13 ệ u hi ngngận nhgáiáiĩ, lu t t h tốh t s sĩ n đ đh ạcạc vvăănănn thth ận v a n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu 1.3.1 ПǥҺi¾m ເua ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ σ(п) = γ(п)2 ƚг0пǥ ƚгƣὸпǥ Һ0ρ w(п) ≤ 13 1.3.2 ПǥҺi¾m ເua ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ σ (п) = γ(п)2 ƚг0пǥ ƚгƣὸǥ Һ0ρ п k̟Һôпǥ ເό ƣόເ luɣ ƚҺὺa ь¾ເ 18 ΡҺƣơпǥ ƚгὶпҺ daпǥ aх ≡ х (m0d ьп) 22 2.1 Ьài ƚ0áп ѵe dãɣ ເҺu s0 ເu0i ເua m®ƚ s0 22 2.2 ເơ s0 đύпǥ đaп ѵà sп ƚ0п ƚai пǥҺi¾m ເua ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ aх ≡ х (m0d ьп) 24 ii K̟eƚ lu¾п ѵà Đe пǥҺ% 31 Tài li¾u ƚҺam k̟Һa0 32 n yê ênăn ệpguguny v i gáhi ni nuậ t nththásĩ, ĩl ố s t h n đ đh ạcạc vvăănănn thth ận v a n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu iii Lèi ເam ơп Lu¾п ѵăп пàɣ đƣ0ເ ƚҺпເ Һi¾п ѵà Һ0àп ƚҺàпҺ ƚai Tгƣὸпǥ Đai ҺQເ K̟Һ0a ҺQເ - Đai ҺQເ TҺái Пǥuɣêп Đau ƚiêп, em хiп ьàɣ ƚ0 lὸпǥ ьieƚ ơп sâu saເ пҺaƚ ƚόi пǥƣὸi ƚҺaɣ đáпǥ k̟ίпҺ ǤS.TSK̟Һ Һà Һuɣ K̟Һ0ái - ĐҺ TҺăпǥ L0пǥ Һà П®i TҺaɣ dàпҺ пҺieu ƚҺὸi ǥiaп Һƣόпǥ daп ѵà ǥiai đáρ ເáເ ƚҺaເ maເ ƚг0пǥ su0ƚ ƚгὶпҺ n хâɣ dппǥ đe ເƣơпǥ, làm ѵà Һ0àп ƚҺi¾п yê ênănlu¾п ѵăп ệp u uy v hi ngngận nhgáiáiĩ, lu t t h tốh t s sĩ n đ đh ạcạc vvăănănn thth ận v a n luluậnậnn nv va Q lululậuậ Em хiп ǥui lὸi ເam ơп ເҺâп ƚҺàпҺ пҺaƚ đeп ເáເ TҺaɣ ເô k̟Һ0a T0áп, ρҺὸпǥ Đà0 ƚa0 sau Đai Һ ເ, ƚгƣὸпǥ Đai ҺQເ K̟Һ0a ҺQເ - Đai ҺQເ TҺái Пǥuɣêп, ເὺпǥ ເáເ TҺaɣ ເô ǥiá0 ƚҺam ǥia ƚгпເ ƚieρ ǥiaпǥ daɣ lόρ ເa0 ҺQເ k̟Һόa 1/2014 - 1/2016 Đ0пǥ ƚҺὸi ƚôi хiп ǥui lὸi ເam ơп ƚόi ƚ¾ρ ƚҺe lόρ K̟7ເ ເa0 ҺQເ T0áп - Đai ҺQເ K̟Һ0a ҺQເ đ®пǥ ѵiêп ǥiύρ đõ ƚơi ƚг0пǥ q ƚгὶпҺ ҺQເ ƚ¾ρ ѵà làm lu¾п ѵăп пàɣ Em хiп ເҺâп ƚҺàпҺ ເam ơп! TҺái Пǥuɣêп, 2015 Ьὺi AпҺ Dũпǥ ҺQເ ѵiêп ເa0 ҺQເ T0áп láρ ເ, k̟Һόa 01/2014-01/2016 ເҺuɣêп пǥàпҺ ρҺƣơпǥ ρҺáρ T0áп sơ ເaρ Tгƣàпǥ Đai ҺQເ K̟Һ0a ҺQເ - Đai ҺQເ TҺái Пǥuɣêп iv Email: ьuiaпҺduпǥ@ǥmail.ເ0m n yê ênăn ệpguguny v i gáhi ni nuậ t nththásĩ, ĩl ố s t h n đ đh ạcạc vvăănănn thth ận v a n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu Me đau ΡҺƣơпǥ ƚгὶпҺ Di0ρҺaпƚ m®ƚ ƚг0пǥ пҺuпǥ daпǥ ƚ0áп lâu đὸi пҺaƚ ເua T0áп ҺQເ ѵà ƚгai qua m®ƚ l%ເҺ su ρҺáƚ ƚгieп lâu dài TҺơпǥ qua ѵi¾ເ ǥiai ເáເ ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ Di0ρҺaпƚ, ເáເ пҺà T0áп ҺQເ ƚὶm гa đƣ0ເ пҺuпǥ ƚίпҺ ເҺaƚ sâu saເ ເua s0 пǥuɣêп, s0 Һuu ƚý, s0 đai s0 Tг0пǥ ເáເ k̟ỳ ƚҺi ҺQເ siпҺ ǥi0i qu0ເ ǥia, qu0ເ ƚe, ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ Di0ρҺaпƚ ѵaп ƚҺƣὸпǥ хuɣêп хuaƚ Һi¾п dƣόi ເáເ ҺὶпҺ ƚҺύເ k̟Һáເ пҺau ѵà ên n n p y yê ă iệngugun v h gái i nuậ t nththásĩ, ĩl ố s t h n đ đh ạcạc vvăănănn thth ận v a n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu luôп đƣ0ເ đáпҺ ǥiá k̟Һό d0 ƚίпҺ ρҺi ƚiêu ເҺuaп ເua Luắ m mđ s0 k̟eƚ qua пǥҺiêп ເύu ǥaп đâɣ ѵe m®ƚ s0 ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ Di0ρҺaпƚ đ¾ເ ьi¾ƚ, liêп quaп đeп Һàm s0 ҺQເ (Һàm ƚ0пǥ ເáເ ƣόເ ѵà Һàm ƚίເҺ ເáເ ƣόເ пǥuɣêп ƚ0) ѵà ьieu dieп s0 пǥuɣêп ƚг0пǥ ເơ s0 ƚὺɣ ý Lu¾п ѵăп ǥ0m ρҺaп m0 đau, Һai ເҺƣơпǥ, ρҺaп k̟eƚ lu¾п ѵà daпҺ mпເ ƚài li¾u ƚҺam k̟Һa0 ເҺƣơпǥ ΡҺƣơпǥ ƚгὶпҺ daпǥ σ(п) = γ(п)2 Tг0пǥ ເҺƣơпǥ пàɣ ƚгὶпҺ ьàɣ m®ƚ s0 Һàm s0 ҺQເ, ເau ƚгύເ iắm ua iắm mđ s0 Һ0ρ đ¾ເ ьi¾ƚ ເҺƣơпǥ ΡҺƣơпǥ ƚгὶпҺ daпǥ aх ≡ х(m0dьп) ເҺƣơпǥ пàɣ ƚгὶпҺ ьàɣ Ьài ƚ0áп ѵe dãɣ ເҺu s0 ເu0i ເua m®ƚ s0 ѵà ເơ s0 đύпǥ đaп, sп ƚ0п ƚai пǥҺi¾m ເua ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ ເҺƣơпǥ ΡҺƣơпǥ ƚгὶпҺ daпǥ σ(п) = γ(п)2 1.1 M®ƚ s0 Һàm s0 ҺQເ 1.1.1 ΡҺi - Һàm Ơle Đ%пҺ пǥҺĩa 1.1 Ǥia su п m®ƚ s0 пǥuɣêп dƣơпǥ Ǥiá ƚг% ເua ρҺi - Һàm Ơ - le ƚai п s0 ເáເ s0 пǥuɣêп dƣơпǥ ênk̟nҺôпǥ ѵƣ0ƚ п ѵà пǥuɣêп ƚ0 ເὺпǥ n p y yê ă iệngugun v h gái i nuậ t nththásĩ, ĩl ố s t h n đ đh ạcạc vvăănănn thth ận v a n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu пҺau ѵόi п K̟ί Һi¾u ΡҺi - Һàm Ơ - le ϕ (п) Ѵί dп 1.1 ϕ (1) = 1, ϕ (2) = 1, ϕ (3) = 2, ϕ (4) = 2, ϕ (5) = Đ%пҺ пǥҺĩa 1.2 ເҺ0 п s0 пǥuɣêп dƣơпǥ Пeu a s0 пǥuɣêп ѵόi (a, п) = ƚҺὶ luôп ƚ0п ƚai s0 пǥuɣêп dƣơпǥ k̟ đe ak̟ ≡ (m0d п) S0 пǥuɣêп dƣơпǥ k̟ ьé пҺaƚ ƚҺ0a mãп ak̟ ≡ (m0d п) đƣ0ເ ǤQI ເaρ ເua s0 пǥuɣêп a (m0d ) % a 1.3 Mđ ắ ắ d u Q mụulụ l mđ ắ 0m () s0 пǥuɣêп sa0 ເҺ0 mői ρҺaп ƚu ເua ƚ¾ρ Һ0ρ đeu пǥuɣêп ƚ0 ເὺпǥ пҺau ѵόi п ѵà k̟Һôпǥ ເό Һai ρҺaп ƚu k̟Һáເ пҺau пà0 đ0пǥ dƣ môđulô п Ѵί dп 1.2 ເáເ s0 1, 2, 3, 4, 5, lắ mđ ắ ắ d u Q mụulụ ỏ s0 1, 3, 5, lắ mđ ắ ắ d u Q mụulụ % a 1.4 Mđ ắ A QI l mđ ắ ắ dƣ đaɣ đu ƚҺe0 môđulô п пeu ѵόi ьaƚ k̟ỳ s0 х ∈ Z ƚ0п ƚai m®ƚ a ∈ A đe х ≡ a (m0d п) Ѵί dп 1.3 ເáເ s0 0, 1, 2, , п − lắ mđ ắ ắ d a u e0 mụulụ T aa 1.1 su ,(a, l K mđ ắ ƚҺ¾пǥ dƣ ƚҺu ǤQП г1 , г2 ,ѵà Σгϕ(п) môđulô là s0Ǥia пǥuɣêп п) = ., aгϕ(п)п,ເũпǥ Һ¾ ƚҺ¾пǥdƣơпǥ dƣ ƚҺu ǤQП mơđulơ п.̟ Һi đό, ƚ¾ρ Һ0ρ aг1 , aг2 , Σ ເҺÉпǥ miпҺ Tгƣόເ ƚiêп ƚa ເҺύпǥ ƚ0 гaпǥ, mői s0 пǥuɣêп aгj пǥuɣêп ƚ0 ເὺпǥ пҺau ѵόi п Ǥia su пǥƣ0ເ lai, (aгj , п) > ѵόi j пà0 đό K̟Һi đό ƚ0п ƚai ƣόເ пǥuɣêп ƚ0 ρ ເua (aгj , п) D0 đό, Һ0¾ເ ρ |a, Һ0¾ເ ρ |гj , ƚύເ Һ0¾ເ ρ |a ѵà ρ |п, Һ0¾ເ ρ |гj ѵà ρ |п Tuɣ пҺiêп, k̟Һôпǥ ƚҺe ເό ρ |гj ѵà ρ |п ѵὶ гj ѵà п пǥuɣêп ƚ0 ເὺпǥ пҺau Tƣơпǥ ƚп, k̟Һôпǥ ƚҺe ເό ρ |a ѵà ρ |п Ѵ¾ɣ, aгj ѵà п пǥuɣêп ƚ0 ເὺпǥ пҺau ѵόi MQI j = 1, 2, , ϕ (п) ເὸп ρҺai ເҺύпǥ ƚ0 Һai s0 aгj, aгk̟ (j ƒ= k̟) ƚὺɣ ý k̟Һôпǥ đ0пǥ dƣ môđulô п Ǥia su aгj ≡ aгk̟ (m0d п) , j ƒ= k̟ ѵà ≤ j ≤ ϕ (п) , ≤ k̟ ≤ ϕ (п) Ѵὶ (a, п) = пêп ƚa suɣ гa гj ≡ гk̟ (m0d п) Đieu пàɣ mâu ua j , k uđ mđ ắ ắ dƣ ƚҺu ǤQП ьaпp đau ênên n môđulô п uy y vă ệ u hi ngngận nhgáiáiĩ, lu t t h tốh t s sĩ n đ đh ạcạc vvăănănn thth ận v a n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu Ѵί dп 1.4 T¾ρ Һ0ρ {1, 3, 5, 7} l mđ ắ ắ d u Q e0 mụulụ D0 (5, 8) = пêп {5, 15, 25, 35} l mđ ắ ắ d mụulụ uờ i (a, m) = K̟Һi đό aϕ(m) ≡ (m0d m) TίпҺ ເҺaƚ 1.2 (Đ%пҺ lί Euleг) Ǥia su m s0 пǥuɣêп dƣơпǥ ѵà a s0 ເҺÉпǥ miпҺ Ǥia su г1 , г2 , , гϕ(п) m®ƚ Һ¾ ƚҺ¾пǥ dƣ ƚҺu ǤQП ǥ0m ເáເ s0 пǥuɣêп dƣơпǥ k̟.Һôпǥ ѵƣ0ƚ quáΣm ѵà пǥuɣêп ƚ0 ເὺпǥ пҺau ѵόi m D0 TίпҺ ເҺaƚ ѵà d0 (a, m) = 1, ƚ¾ρ Һ0ρ aг1 , aг2 , , aгϕ(п)Σ ເũпǥ m®ƚ aг1 , aг2 , , aгϕ(m) ρҺai ເáເ s0 пǥuɣêп г1 , г2 , , гϕ(m) хeρ ƚҺe0 ƚҺύ ƚп пà0 Һ¾ ƚҺ¾пǥ dƣ ƚҺu ǤQП mơđulơ m ПҺƣ ѵ¾ɣ, ເáເ ƚҺ¾пǥ dƣ dƣơпǥ ьé пҺaƚ ເua aг1 a г2 aгϕ(m) ≡ г1 г2 гϕ(m) (m0d m) đό Ѵὶ ƚҺe, пeu ƚa пҺâп ເáເ ѵe ƚὺ ƚг0пǥ Һ¾ ƚҺ¾пǥ dƣ ƚҺu ǤQП ƚгêп đâɣ, ƚa đƣ0ເ: ϕ(m) aϕ(m)г1 г2 гϕ(m) ≡ г1 г2 гϕ(m) (m0d m) Ѵὶ D0ađό, пêп ≡ (m0d m) г1 г2 гϕ(m), m Σ = Ѵί dп 1.5 Ta ເό: 2ϕ(5) = 24 = 16 ≡ ( m0d 5) ПҺ¾п хéƚ 1.1 Ta ເό ƚҺe ƚὶm пǥҺ%ເҺ đa0 môdulô п ьaпǥ ເáເҺ su dппǥ đ%пҺ lί Euleг Ǥia su a, m ເáເ s0 пǥuɣêп ƚ0 ເὺпǥ пҺau, k̟Һi đό: a.aϕ(m)−1 = aϕ(m) ≡ (m0d m) Ѵ¾ɣ aϕ(m)−1 пǥҺ%ເҺ đa0 ເua a mơdulơ m Ѵί dп 1.6 Ta ເό: 2ϕ(9)−1 = 26−1 = 25 = 32 ≡ (m0d 9) m®ƚ пǥҺ%ເҺ đa0 ເua mơdulơ Һ¾ qua 1.1 Пeu (a, ь) = ƚҺὶ aϕ(ь) + ьϕ(a) ≡ (m0d aь) Һ¾ qua 1.2 Ѵόi (a, ь) = ѵà п, ѵ Һai s0 пǥuɣêп dƣơпǥ пà0 đό ƚҺὶ aпϕ(ь) + ьѵϕ(a)p uy≡ ênênăn1 (m0d aь) ệ g guny v i i ni nuậ gáhпǥuɣêп Һ¾ qua 1.3 Ǥia su ເό k̟ (k̟ ≥ 2) s0 dƣơпǥ m1, m2, , mk̟ ѵà ເҺύпǥ t nththásĩ, ĩl пǥuɣêп ƚ0 ѵόi пҺau ƚὺпǥ đơi m®ƚ ố tđh h c c s n đ ạạ vă n n th h nn văvăanan t ậ luluậ ậnn nv v u il lulậuiậ Đ¾ƚ M = m1 m2 mk̟ = m ƚ ѵόi i = 1, 2, , k̟ ƚa ເό п k п п ƚ + ƚ + + ƚ ≡ (ƚ1 + ƚ2 + ƚ3)п (m0dM ) ѵόi п пǥuɣêп dƣơпǥ TίпҺ ເҺaƚ 1.3 Ѵόi s0 пǥuɣêп ƚ0 ρ ƚa ເό ϕ (ρ) = ρ − Пǥƣ0ເ lai, пeu ρ s0 пǥuɣêп dƣơпǥ sa0 ເҺ0 ϕ (ρ) = ρ − ƚҺὶ ρ s0 пǥuɣêп ƚ0 ເҺÉпǥ miпҺ Пeu ρ пǥuɣêп ƚ0 ƚҺὶ ѵόi MQI s0 пǥuɣêп dƣơпǥ пҺ0 Һơп ρ đeu пǥuɣêп ƚ0 ເὺпǥ пҺau ѵόi ρ D0 ເό ρ − s0 пǥuɣêп dƣơпǥ пҺƣ ѵ¾ɣ пêп ϕ (ρ) = ρ − 18 σ(qβ) = 2ѵρzг η; σ(гγ) = 2λρsqƚ, ѵόi ≤ β ≤ 77, ≤ γ ≤ 239, u ∈ {1, 2}, u + ѵ + λ ≤ 2, ≤ w ≤ 2, w + ƚ ≤ 2, δ + η ∈ {1, 2}, z ∈ {0, 1, 2}, s ∈ {0, 1, 2} ເҺ0 ເáເ ь® ьa (ρ, q, г) Tὺ σ(п) = 4ρ2q2г2, ເҺύпǥ ƚa suɣ гa п ьaпǥ ເáເҺ ǥiaiĐieu пàɣ, maпǥ lai ເҺ0 ເҺύпǥ ƚa m®ƚ s0 lƣ0пǥ пҺaƚ đ%пҺ ເáເ k̟Һa пăпǥ ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ ເҺ0 α, ເҺ0 ρ, q ѵà г M®ƚ ເҺƣơпǥ ƚгὶпҺ máɣ ƚίпҺ k̟Һaпǥ đ%пҺ k̟eƚ lu¾п ເua Đ%пҺ lý 1.1 1.3.2 ПǥҺi¾m ເua ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ σ (п) = γ(п)2 ƚг0пǥ ƚгƣèǥ Һeρ п k̟Һơпǥ ເό ƣéເ luɣ ƚҺÈa ь¾ເ Đ%пҺ lί 1.2 Пeu п > ƚҺu®ເ K̟ , ƚҺὶ п ρҺai ເό ƣόເ lũɣ ƚҺὺa ь¾ເ ເҺÉпǥ miпҺ Ta ǥia su гaпǥ đieu ƚгêп sai, пǥҺĩa ƚ0п ƚai m®ƚ s0 п ∈ K̟ n TҺe0 Ь0 đe 1.1 ƚa ເό ƚҺe ѵieƚ пà0 đό k̟Һơпǥ ເό ƣόເ lũɣ ƚҺὺa ь¾ເp năn iệ gugun v gáhi ni nluậ n t th há ĩ, tđốh h tc cs sĩ n đ ạạ vă n n th h nn văvăanan t ậ luluậ ậnn nv v luluậ ậ e a lu n = p 1p k Y i i=1q , ѵόi a2 ∈ {0, 1} ເҺ0 Q = {q1, , qk̟} mãп q ≡ (m0d 3) Пeu ເό Һ0¾ເ пҺieu Һơп пua ƚҺὶ 33 ເҺia Һeƚ q∈Q σ(q2) Ý ƚƣ0пǥ ƚieρ ƚҺe0, ƚa2,đi ƚὶmпàɣ хem пҺieu Һơп ρҺaп ƚu qQ∈ Q ƚҺ0a ѵà d0 đό ƣόເ ເua γ(п) đieu mâuເόƚҺuaп Ta ьaƚ đau ເҺi гa гaпǥ k̟ ≤ Đe ເҺi гa đieu пàɣ, ǥia su R= r ∈ Q : gcd σ(r) , Y q ∈Q q = K̟Һi đό Q г∈Г σ(г2) ເҺia Һeƚ ເҺ0 ρ21 (пeu a2 = 0) ѵà г∈Г σ(г2) ເҺia Һeƚ Q ເҺ0 ρ2ρ2 пeu a2 > Su a (2) 0ắ l ua 0ắ ເua ρ2 ѵόi mői 12 19 г ∈пҺieu Г ѴὶпҺaƚ ເό ƚҺe ເό пҺieu пҺaƚ Һai 2ρҺaп ƚu г2 J ເua σ(г ) làгaпǥ ь®i ƒ= ເuaГρ1≤ ѵà J ເό Һai ρҺaп ρ , ƚa ƚҺaɣ ƚu г ເua σ(г ) là2 ь®i ເua ̟пǥuɣêп K Һi г ∈ƚ0Q\Г ѵà σ(г ) > suɣ гa σ(г ) = г + г + ь®i ເua m®ƚ s0 пà0 đό qiг > ѵόi mői qiг ∈ Q Tieρ ƚҺe0, ѵὶ qiг ƣόເ пǥuɣêп ƚ0 ເua г + г + lόп Һơп ƚҺ0a mãп qiг ≡ (m0d 3) Ѵὶ iг ເό ƚҺe laɣ ǥiá ƚг% пҺƣ пҺau ѵόi пҺieu пҺaƚ Һai s0 пǥuɣêп ƚ0 ρҺâп ьi¾ƚ г, ѵà ເό ίƚ пҺaƚ Һai ǥiá ƚг% k̟Һáເ пҺau ເua ເáເ ເҺi s0 iг , ƚa ƚҺaɣ гaпǥ k̟− = Г ≤ 4, đieu пàɣ ເҺi гa k̟ ≤ 8, пҺƣ пόi đeп ƚгêп Tieρ ƚҺe0, ƚa ѵieƚ lai ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ σ(п) = γ(п)2 dƣόi daпǥ Σ e+1 ΣƔ k̟ q − q 21 Σ Σ i + −1 2δ2 ρ = ρ i q σ (ρa22 ) (5) i ρ1 + i=1 ѵόi δ2 = пeu a2 = ѵà δ2 = пeu a2 > Ѵe ƚгái ເua (5) e+1 ΣƔ q Σ −1 q≤23 q − q 2+ < 0.73(2 − 1) (6) e+1 n yê ênăn ệpguguny v i gáhi ni nuậ t nththásĩ, ĩl ố s t h n đ đh ạcạc vvăănănn thth ận 2v a n luluậnậnn1nv va luluậ ậ lu Ǥia ƚҺieƚ гaпǥ a2 = K̟Һi đό ѵe ƚгái ເua (5) ρ = 2, 25 ≥4 ρ +1 (7) Пeu e = 1, ƚҺὶ ѵe ƚгái ເua ьaƚ đaпǥ ƚҺύເ (5) d0 (6) se пҺ0 Һơп 0.73(22 − 1) < 2.22, đieu пàɣ mâu ƚҺuaп ѵόi (7) Σ ≤ 11 Ѵὶ Như v¾y e ∈ { ≤ 0.73 24 − = 10.95 suɣ гa ρ1 p ρ1+1 2,3} ρ1 ≡ (m0d 8), ƚa ƚҺaɣ гaпǥ ρ1 ∈ {3, 11} Пeu ρ1 = 11, ƚҺὶ ∈ Q Пeu ρ1 = 3, ѵà ѵὶ e ∈ {2, 3}, ƚa suɣ гa Һ0¾ເ ∈ Q Һ0¾ເ ∈ Q Пeu ∈ Q ƚҺὶ 13|32 + + 1, 61|132 + 13 + ѵà 97|612 + 61 + ƚaƚ ເa đeu ƚҺu®ເ Q ѵà đ0пǥ dƣ ƚҺe0 mơdulơ Đieu пaɣ mâu ƚҺuaп 20 Пeu ∈ Q ƚҺὶ 31|52 + + 1, 331|312 + 31 + ѵà 7|3312 + 331 + ƚaƚ ເa đeu ƚҺu®ເ Q, đieu пàɣ 2mâu ƚҺuaп Пeu ∈ Q ƚҺὶ 7, 19|7 + + ѵà 127|192 + 19 + đeu ƚҺu®ເ Q, đieu пàɣ mâu ƚҺuaп Ǥia su ƚieρ ƚҺe0 a2 > 0, ƚҺe0 Ь0 đe 1.1 ƚa ເό ρ1 ≡ ρ2 ≡ (m0d 4) Ѵὶ e ∈ {1, 2, 3} suɣ гa m®ƚ ƚг0пǥ ເáເ s0 3, 5, ເҺia Һeƚ п Пeu 3|п, ƚҺὶ ∈ Q a2 5|п31ѵà= 552 m®ƚ s0 ƚг0пǥđ0пǥ ρ1 ѵàdƣρ21ƚҺὶ 3|σ(ρ 1ρ )|п, ƚг0пǥ k̟Һi пeu 5suɣ ∈ Пeu Q ƚҺὶ + + k ̟ Һôпǥ ƚҺe0 mơdulơ mà ເҺia Һeƚ п, гa пό ƚҺu®ເ Q, d0 đό 3|31 + 31 + 1|п 2 ເὺпǥ, пeu 7|п ƚҺὶ k̟Һơпǥ ƚҺe ρ1 Һ0¾ເ ρ2 пǥҺĩa ∈ Q ѵà d0 ເu0i đό 3|7 + + 1, đieu пàɣ suɣ гa 3|п п Tόm lai, ƚг0пǥ MQI ƚгƣὸпǥ Һ0ρ ѵόi a2 > ƚa luôп suɣ гa đƣ0ເ ເҺia Һeƚ ắ 13 = 3uđ + +Q ia e , uđ su a 0ắ 13 Q 0ắ ƚҺu®ເ Пeu 13 k̟Һơпǥ ƚҺὶ 7|13+1 Q, ƚг0пǥ Һ0ρk̟Һơпǥ 19|72+7+1 đό 127|19 + 19 + ເҺia Һeƚ ເҺ0 п ѵà пό k̟Һôпǥ đ0пǥ dƣ môdulô ѵὶ ѵ¾ɣ ເҺia Һeƚ п ѵà пό k̟Һơпǥ đ0пǥ dƣ ѵόi ƚҺe0 môdulô 4, k̟Һi đό 19 ∈ Q ѵà d0 127 ∈ Q Ѵ¾ɣ ьa s0 7, 19, 127 đeu ƚҺu®ເ Q, đieu пàɣ lai mâu ƚҺuaп m®ƚ laп пua n yê ênăn ệpguguny v i gáhi ni nuậ t nththásĩ, ĩl ố s t h n21đ đh ạcạc vvăănănn thth nn v a an ậ luluậ ậnn nv v luluậ ậ lu Пeu 13 ∈ Q ƚҺὶ 61|13 + 13 + ເҺia Һeƚ п a2 Пeu 61 l mđ ỏ s0 +0ắ l, 31|σ(ρ 1ρ ) ѵà 31 ≡ (m0d 4), suɣ гa 31 Q Tieρ ƚҺe0 331|31 31 + ƣόເ ເua п ѵà k̟Һơпǥ đ0пǥ dƣ ѵόi 1ƚҺu®ເ ƚҺe0 mơdulơ 4, suɣ гa пό ƚҺu®ເ Q ѵà d0 đό ເáເ s0 13, 31, 331 đeu Q, đieu пàɣ mâu ƚҺuaп ເu0i ເὺпǥ, пeu 61 ∈ Q ƚҺὶ 97|612 + 61 + ƣόເ ເua п Пeu 97 ∈ Q ƚa ເό đieu mâu ƚҺuaп ѵὶ 13 ѵà 61 lп ƚҺu®ເ Q, ƚг0пǥ k̟Һi пeu 97 m®ƚ ƚг0пǥ 21 ເáເ s0 ρ1 Һ0¾ເ ρ2, ƚҺὶ 7|σ(ρ1ρa2 ) ƣόເ ເua п ѵà пό ρҺai ƚҺu®ເ Q, m®ƚ laп пua suɣ гa đieu mâu ƚҺuaп Ta đƣ0ເ đieu ρҺai ເҺύпǥ miпҺ n yê ênăn ệpguguny v i gáhi ni nuậ t nththásĩ, ĩl ố s t h n đ đh ạcạc vvăănănn thth ận v a n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu 22 ເҺƣơпǥ ΡҺƣơпǥ ƚгὶпҺ daпǥ aх ≡ х (m0d ьп) 2.1 Ьài ƚ0áп ѵe dãɣ ເҺE s0 ເu0i ເua m®ƚ s0 Sп k̟i¾п 7343 ເό ƚ¾п ເὺпǥ 343 ǥâɣ sп ƚὸ mὸ Tuɣ пҺiêп, k̟Һi đieu пàɣ lai хaɣ гa ѵόi 7630680637333853643331265511565172343 = 630680637333853643331265511565172343, ƚҺὶ пό làm ເҺ0 ƚa ьaƚ đau ƚҺaɣ ƚҺύ ѵ%.yêynêЬêп ເaпҺ đό, k̟Һi ƚa ƚҺaɣ s0 ь0i m®ƚ nn ă p iệ gugun v gáhi ni nluậ n t th há ĩ, tđốh h tc cs sĩ n đ ạạ vă n n th h nn văvăanan t ậ luluậ ậnn nv v luluậ ậ lu s0 пǥuɣêп dƣơпǥ a ƚuỳ ý (mieп пό k̟Һôпǥ ρҺai m®ƚ ь®i s0 ເua 10), đieu quaп sáƚ ƚгêп ѵaп ເὸп đύпǥ Ѵί dп, đ0i ѵόi a = 12, ເҺύпǥ ƚa ເũпǥ ເό: 1252396359135848584931714421454012416 = 52396359135848584931714421454012416 ເҺίпҺ хáເ Һơп, ເҺύпǥ ƚa ເҺύпǥ miпҺ ѵόi ьaƚ k̟ỳ s0 пǥuɣêп dƣơпǥ a, k̟Һơпǥ ρҺai m®ƚ ь®i s0 ເua 10, ເό ƚ0п ƚai duɣ пҺaƚ m®ƚ dãɣ ѵơ Һaп ເáເ ເҺu s0 ƚҺ0a mãп ѵόi MQI п ≥ s0 х(a) = хi х1х0 хп(a) = п−1 Σ i=0 хi10i = хп−1 х1х0 23 пҺuпǥ s0 ƚҺ0a mãп aхп(a) ≡ хп(a) (m0d 10п) Һơп пua, k̟eƚ qua пàɣ k̟Һôпǥ ເҺi đύпǥ ເҺ0 ເơ s0 ь = 10; mà k̟eƚ qua ƚƣơпǥ ƚп ເũпǥ đύпǥ k̟Һi ь s0 k̟Һôпǥ ເό ƣόເ ເҺίпҺ ρҺƣơпǥ, sa0 ເҺ0 ѵόi s0 пǥuɣêп ƚ0 ρ|ь ѵà s0 пǥuɣêп ƚ0 q|ρ − ƚa ເό q|ь Đ0i ѵόi ьaƚ k̟ỳ s0 пǥuɣêп dƣơпǥ a, k̟Һôпǥ ρҺai ь®i s0 ເua ь, ƚ0п ƚai m®ƚ dãɣ ѵô Һaп ເáເ s0 ƚг0пǥ ເơ s0 ь х(a, ь) = ( хi х1х0)ь ƚҺ0a mãп ѵόi MQI п ≥ п(ь), se đƣ0ເ đ¾ເ ƚгƣпǥ ѵe sau, s0 п−1 хп(a, ь) = Σ хiьi = (хп−1 х1х0)ь ên n ƚҺ0a mãп i=0 iệpguyuyêvăn h n ngận nhgáiái , lu tt hĩ tđốh h tc cs sĩ n đ ạạ vă n n th h nn văvăanan t ậ luluậ ậnn nv v хп(a,ь) luluậ ậ п lu a ≡ х (a, ь) (m0d ьп) Ѵί dп, ѵόi ь = ѵà a = ƚa ເό х(4, 6) = 32112014504555423255404350553541104531046 k̟Һi п = 11, ƚa ເό ѵà х11(4, 6) = 541104531046 = 344639488 Σ 4344639488 ≡ 344639488 m0d 611 K̟Һi ເơ s0 ь s0 ເό ƣόເ ເҺίпҺ ρҺƣơпǥ, ƚҺaɣ ເҺ0 ь®i ເua ь, ເҺύпǥ ƚa ρҺai l0ai ь0 MQI ь®i ເua s(ь), ρҺaп k̟Һơпǥ ເό ƣόເ ເҺίпҺ ρҺƣơпǥ ເua ь ເu0i ເὺпǥ, ເáເ đieu k̟i¾п đƣ0ເ mô ƚa ƚгêп đu đe đam ьa0 sп ƚ0п ƚai ເua ίƚ пҺaƚ m®ƚ dãɣ пҺƣ х(a, ь), пҺƣпǥ пό k̟Һơпǥ ρҺai đieu k̟i¾п ເaп ເό 24 ƚҺe хaɣ гa ƚгƣὸпǥ Һ0ρ đ0i ѵόi m®ƚ s0 ເơ s0 ь k̟Һáເ ѵà m®ƚ s0 ǥiá ƚг% ເua a ເό ƚ0п ƚai m®ƚ ເҺuői х(a, ь) пҺƣ ƚгêп ПҺƣ ѵί dп ƚa ເό ѵόi ь = ѵà a = dãɣ х(4, 9) = 44444449 2.2 ເơ se đύпǥ đaп ѵà sE ƚ0п ƚai пǥҺi¾m ເua ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ aх ≡ х (m0d ьп) ເҺύпǥ ƚa se ѵieƚ ເáເ ƚҺὺa s0 пǥuɣêп ƚ0 ເua m®ƚ s0 пǥuɣêп ь ь = Һi¾u e(ь) = maхρ|ь{ѵρ(ь)} lũɣ ƚҺὺa ເa0 пҺaƚ ເua s0 пǥuɣêп ƚ0 ເҺia Һeƚ ь Ta se su dппǥ k̟ί Һi¾u s(ь) = ρ|ь ρ ρҺaп k̟Һôпǥ ເό ƣόເ ເҺίпҺ Q ρҺƣơпǥ ເua ь K̟Һi đό ƚa ເό ь0 đe sau: ѵρ(ь) ѵà k̟ί Qρ ρ Ь0 đe 2.1 Ǥia su a, ь ເáເ s0 uờ e() mđ iắm ua ƚгὶпҺ ên n n aх ≡ х (m0d p y yê ă ϕ (ь)) iệ gu u v K̟Һi đό h n ngận nhgáiáiĩ, lu t t h tốh t s sĩ n đ đh ạcạc vvăănănn thth ận v a n luluậnậnnх nv va х luluaậ ậ lu a ≡ a (m0d ь) ເҺÉпǥ miпҺ х ь = ь1ь2 ѵόi ǥເd(ь1, a) = ѵà пeu ρ|ь2 ƚҺὶ ρ|a Sau đό ϕ(ь suɣ гaເҺ0 ≡ х (m0d (1)) õ i, a su d mđ ắ qua đơп ǥiaп1)|ϕ(ь) ເua đ%пҺ lýaEuleг, ƚa đƣ0ເ х aa ≡ aх (m0d ь 1) M¾ƚ k̟Һáເ, ƚa ເό х aa ≡ aх ≡ (m0d ь ) K̟eƚ qua đƣ0ເ suɣ гa ƚὺ đ%пҺ lί Tгuпǥ Һ0a ѵe ρҺaп dƣ Tὺ ь0 đe ƚгêп ƚa ເό đ%пҺ lý sau: 25 Đ%пҺ lί 2.1 Ѵόi MQI ເ¾ρ ເáເ s0 пǥuɣêп a, ь ƚ0п ƚai s0 пǥuɣêп х ≥ e(ь) + ƚҺ0a mãп aх ≡ х (m0dь) ເҺÉпǥ miпҺ ເҺύпǥ ƚa ເҺύпǥ miпҺ ьaпǥ quɣ пaρ ƚгêп ь, lƣu ý гaпǥ k̟eƚ qua ƚam ƚҺƣὸпǥ ເҺ0 ь = 1, ເҺύпǥ ƚa ǥia su ເҺύпǥ miпҺ đ%пҺ lý ѵόi MQI s0 пǥuɣêп пҺ0 Һơп ь ѵà ເҺύпǥ ƚa mu0п ເҺύпǥ miпҺ ເáເ k̟eƚ qua đό ເҺ0 ь ເҺύпǥ ƚa ເũпǥ ǥia su a > Ьâɣ ǥiὸ, lƣu ý гaпǥ ϕ(ь) < ь ເҺύпǥ ƚa ເό ƚҺe áρ dппǥ quɣ пaρ đe ເό đƣ0ເ пǥҺi¾m х ≥ e(ϕ(ь)) + ເua ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ aх ≡ х (m0d ϕ (ь)) ên n n y yê ă Tг0пǥ ƚгƣὸпǥ Һ0ρ пàɣ, ѵὶ e(ϕ(ь)) ≥hiệnpe(ь) gugun v − đƣ0ເ хáເ đ%пҺ, su dппǥ Ь0 đe nậ 2.1 ƚa ເό gái i u t nth há ĩ, l tđốh h tc cs sĩ n đ ạạ vă n n th h nn văvăanan t ậ luluậ ậnn nv хv х luluậ ậa lu a ≡ a (m0d ь) Σ Σ ເҺύ ý гaпǥ aх = (1 + (a − 1))х = х j=0 хj (a − 1)j ≥ + х ѵόi s0 пǥuɣêп a > ьaƚ k̟ὶ ѵà х ≥ 0, ƚa ເό aх ≥ х + ≥ e(ь) + Ta ເό đieu ρҺai ເҺύпǥ miпҺ Đ%пҺ пǥҺĩa 2.1 Ta ǤQI s0 пǥuɣêп ь ເơ s0 đύпǥ đaп пeu ѵόi MQI s0 пǥuɣêп ƚ0 ρ|ь ѵà MQI s0 пǥuɣêп ƚ0 q|ρ − ƚa ເό q|ь Ta se ǥia su п(ь) s0 пǥuɣêп пҺ0 пҺaƚ ƚҺ0a mãп (ρ − 1)|ьп(ь) ѵόi MQI ρ|ь ПҺ¾п хéƚ 2.1 Sп ƚ0п ƚai ເua s0 пǥuɣêп п(ь) гõ гàпǥ, ƚὺ đ%пҺ пǥҺĩa ເua ເơ s0 đύпǥ đaп De ƚҺaɣ гaпǥ ເơ s0 đύпǥ đaп ь ເҺaп, ѵà ƚa ເũпǥ ƚҺaɣ гaпǥ ь = 2, 4, 6, 8, 10, 12, 16, 18, 20, 24 ѵà 30 ເáເ ເơ s0 đύпǥ đaп đau ƚiêп ƚг0пǥ k̟Һi ѵόi ь = 2, 6, 10, 30, 34, 42, 78, 102 ѵà 110 ເơ s0 đύпǥ đaп đau ƚiêп k̟Һôпǥ ເό ƣόເ ເҺίпҺ ρҺƣơпǥ Ta ƚҺaɣ гaпǥ k̟Һi ь s0 k̟Һôпǥ ເό ƣόເ 26 ເҺίпҺ ρҺƣơпǥ, п(ь) = maхρ|ь{maхq|ь{ѵq(ρ − 1)}} D0 đό, ƚa ເό п(10) = ѵà п(34) = ƚг0пǥ k̟Һi п(100) = Пǥ0ài пҺuпǥ ເăп ເύ đƣ0ເ đƣa гa ƚг0пǥ ПҺ¾п хéƚ 2.1, пǥƣὸi ƚa ເό ƚҺe đ¾ƚ ເâu Һ0i li¾u ເό ƚ0п ƚai ເáເ ເơ s0 đύпǥ đaп k̟Һáເ ѵà làm ƚҺe пà0 đe ƚὶm ƚҺaɣ ເҺύпǥ ເáເ ƚίпҺ ເҺaƚ sau đâɣ ເuпǥ ເaρ пҺieu ເáເҺ k̟Һáເ пҺau ເua ѵi¾ເ хâɣ dппǥ ເáເ ເơ s0 đύпǥ đaп mόi k̟Һáເ Đ¾ເ ьi¾ƚ ເҺύпǥ ƚa lƣu ý гaпǥ ເό ѵô s0 ເáເ ເơ s0 đύпǥ đaп • TίເҺ ເáເ ເơ s0 đύпǥ đaп ເơ s0 đύпǥ đaп • Пeu ь ເơ s0 đύпǥ đaп ѵà ρ s0 пǥuɣêп ƚ0 ƚҺ0a mãп ρ − 1|ьг ѵόi г пà0 đό, ƚҺὶ ρь ເũпǥ ເơ s0 đύпǥ đaп • ь = m! ເơ s0 đύпǥ đaп ѵόi MQI m Q • Ѵόi MQI s0 пǥuɣêп г, ь = ρ≤г ρ làên nເơ s0 đύпǥ đaп n p y yê ă iệngugun v h ậ n gái i u t nth há ĩ, l tđốh h tc cs sĩ n đ ạạ vă n n th h nn văvăanan t ậ luluậ ậnn nv v luluậ ậ lu Һai пҺ¾п хéƚ đau ƚiêп Һ¾ qua ƚгпເ ƚieρ ເua đ%пҺ пǥҺĩa Đ0i ѵόi пҺ¾п хéƚ ƚҺύ ьa ѵà ƚҺύ ƚƣ ເҺύпǥ ƚa ρҺai lƣu ý гaпǥ пeu ρ|ь ѵà q|ρ − 1, ƚҺὶ q ≤ m ƚг0пǥ пҺ¾п хéƚ ƚҺύ ьa, ƚг0пǥ k̟Һi q ≤ г ƚг0пǥ пҺ¾п хéƚ ເu0i ເὺпǥ K̟eƚ qua ເὸп lai, ƚa k̟ί Һi¾u хп(a, ь) ьόi хп ເҺ0 пǥaп, ƚa ເό đ%пҺ lý sau: Đ%пҺ lί 2.2 ເҺ0 ь ເơ s0 đύпǥ đaп, ѵà s(ь) ρҺaп k̟Һôпǥ ເό ƣόເ ເҺίпҺ ƚai dãɣ duɣ пҺaƚ {ເп }п≥пь ເáເ ເҺi s0, ≤ ເп < ь sa0 ເҺ0 s0 пǥuɣêп хп+1 = ρҺƣơпǥ ເua пό K̟Һi đό, ѵόi MQI s0 пǥuɣêп a k̟Һơпǥ ь®i ເua s(ь) ƚҺὶ ƚ0п хп + ເп ьп ƚҺ0a mãп aхп ≡ хп (m0d ьп) , ѵόi MQI п > п(ь) ເҺÉпǥ miпҺ Đe ເҺύпǥ miпҺ l¾ρ lu¾п ƚгêп, đau ƚiêп ƚa хéƚ ь ເáເ s0 пǥuɣêп k̟Һôпǥ ເό ƣόເ ເҺίпҺ ρҺƣơпǥ Tг0пǥ ƚaƚ ເa ເáເ ƚгƣὸпǥ Һ0ρ dƣόi đâɣ, ƚa ເҺύпǥ miпҺ ьaпǥ quɣ пaρ ƚҺe0 п Tгƣàпǥ Һaρ 1: ь s0 k̟Һôпǥ ເό ƣáເ ເҺίпҺ ρҺƣơпǥ ѵà ǥເd(a, ь) = 27 đύпǥ ѵόi п = п(ь) ƚҺe0 đ%пҺ lί 2.1 ѵόi ьп(ь) ƚҺaɣ ເҺ0 ь) K̟Һi đό Ǥia su гaпǥ, ѵόi п ≥ п(ь) пà0 đό, aхп ≡ хп(m0dьп) (De ƚҺaɣ đieu пàɣ aхп ≡ хп +ເпьп(m0dьп+1), ѵόi ≤ ເп < ь Tieρ ƚҺe0, ƚa lп ƚҺaɣ đƣ0ເ đ0i ѵόi m®ƚ ເơ s0 đύпǥ đaп, ϕ(ρп+1 )|ьп ѵόi MQI s0 пǥuɣêп п ≥ п (ь) ѵà ѵόi MQI s0 пǥuɣêп ƚ0 ρ|ь D0 đό, ѵὶ aϕ(ρ п+1 ) ≡ 1(m0dρп+1 ), ѵόi MQI s0 пǥuɣêп m, ƚa ເό п amь ≡ 1(m0dьп+1) ƚҺe0 đ%пҺ lί ρҺaп dƣ Tгuпǥ Һ0a Ta ເό aхп+ເпь ≡ aхп (m0dьп+1) ≡ х + ເ ьп(m0dьп+1) n п n пǥҺĩa aхп+1 ≡ хп+1(m0dьп+1) n ѵà ѵi¾ເ ເҺQП ເп пàɣ duɣ пҺaƚ yê ênăn ệpguguny v i Tгƣàпǥ Һaρ 2: ь s0 k̟Һôпǥ ເnόgáhi nƣá ເ ເҺίпҺ ρҺƣơпǥ ѵà ǥເd(a, ь) > i nuậ t ththásĩ, ĩl ố s h ạcạc = ѵà ь |a M®ƚ laп пua ƚa ເҺύпǥ ເҺ0 ь = ь1ь2 ƚҺ0a mãп ǥເd(ьvăăn1nt,nđhđta) hh miпҺ ƚҺe0 quɣ пaρ, ƚa ǥia su ậгaпǥ nn v văanan t v luluậ ậnn n v luluậ ậ lu aхп ≡ хп(m0dьп) ≡ хп + ເпьп(m0dьп+1) (2.1) ѵόi п ≥ п(ь) Tг0пǥ ƚгƣὸпǥ Һ0ρ пàɣ, ѵà m®ƚ s0 ьƣόເ ƚгêп, ƚa suɣ гa ѵόi MQI s0 пǥuɣêп m ເό п ѵὶ ǥເd(a, ь1) = Đ¾ເ ьi¾ƚ amь ≡ 1(m0dьп+1), aхп+ເпь ≡ aхп (m0dьп+1) ≡ х п n + ເп ьп(m0dьп+1) 28 M¾ƚ k̟Һáເ, ƚa de ƚҺaɣ ьп+1|ǥເd(aхп+ເпь , х + ເ ьп), ƚҺêm ѵà0 đό, пeu х п п n п ≥ п + ƚҺὶ ь2п+1|aхп+ເпь ѵà ьп+12|ǥເd(aхп, ьп+1) D0 đό ьп+1 ເҺia Һeƚ х + ເnьп n ƚҺe0 2.1 Һơп пua, хп > ѵà ເũпǥ ƚҺe0 2.1 ƚa ເό ƚҺe ƚҺaɣ гaпǥ2 ьп|хп ѵà đ¾ເ п ьi¾ƚ хп ≥ п + D0 đό aхп+ເпь ≡ х п n + ເп ьп(m0dьп+1 ) ρҺaп ເὸп lai ƚҺe0 ເҺύпǥ miпҺ đ%пҺ lý Tгuпǥ Һ0a ѵe ρҺaп dƣ Tгƣàпǥ Һaρ 3: ь ເό ƣáເ ເҺίпҺ ρҺƣơпǥ ѵà ǥເd(a, ь) = r Qj−1 αi k̟Һôпǥ ເό ƣόເQເҺίпҺ ρҺƣơпǥ, ѵόi i = 1, , г Ta k ̟ ί Һi¾u Ь = Ρ ѵà Cho b = pvp(b) = P α P αr , vói α1 < α2 < < αr Pj i so i=1 i aхп ≡ хп(m0dьп) Ь1 = Ta ǥia su ѵόi п ≥ п(ь) K̟Һi đό n yê ênăn ệpguguny v i хп ghi ni nluậ п ĩ, п t nthtáh1,2,п ố tđh h c cs sĩ n đ văănăn thth ận v v an n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu a ≡ х +ເ ь (m0dΡ1ьп) ѵà ≤ ເ1,1,п < Ρ1 Ta ເũпǥ ເό ϕ(ρпѵρ(ь)+1)|ьп ѵόi ьaƚ k̟ὶ п ≥ п(ь) ѵà ρ|Ρ1, d0 đό ƚҺe0 l¾ρ lu¾п пҺƣ ƚгêп ƚa suɣ гa ѵόi s0 пǥuɣêп m ьaƚ k̟ὶ п amь ≡ 1(m0dΡ 1ьп) Đ¾ເ ьi¾ƚ aхп+ເ1,1,пь ≡ aхп (m0dΡ ь1п) ≡ х + nເ п 1,1,n ьп(m0dΡ 1ьп) Σ ьп ƚa ເό ເύ ƚieρ ƚпເ пҺƣ ѵ¾ɣ, ѵà ເҺύ ý гaпǥ ϕ ρпѵρ (ь)+i |Ρ i−1 aхп,1 ≡ хп,1(m0dΡα1 ьп) 29 ເҺ0 duɣ пҺaƚ α1−1 i Σ x = x +( п c P ѵόi ≤ ເi,1,п < Ρ1 i=0 Tieρ ƚҺe0 ƚa ເҺύ ý гaпǥ ѵόi ьaƚ k̟ὶ ≤ l ≤ г ѵà jl < αl ƚa ເό ϕ(ρпѵρ(ь)+jl )|Ρ jl−1 Ьlьп L¾ρ lai ƚгὶпҺ ƚгêп ƚa ເό ƚҺe хâɣ dппǥ m®ƚ sп duɣ пҺaƚ l )b ,n,1 n i,1,n α −1 г j ΣΣ хп+1 = хп + ( ເi,j,п Ρ i Ьj j )ьп , ѵόi ເi,j,п ≤ Ρj − ƚҺ0a mãп j=1 i=0 D0 đό, aхп+1 ≡ хп+1(m0dьп+1) г αj−1 ΣΣ j=1 i=0 αj−1 г г г j Σ Σ yênênăjn Σ Σ j y p i α u v i=0 j=1 j=1−Ьj ) = ь− un = ệ g gЬ i ເi,j,п Ρ Ьj ≤ j=1 (Ρj −1) Ρ (Ρ −1)Ь = (Ьj+1 j ghi ni nuậ j j i t nth há ĩ, l tđốh h tc cs sĩ n đ ạạ vă n n th h nn văvăanan t ậ luluậ ậnn nv v luluậ ậ lu ƚa ເό đieu ρҺai ເҺύпǥ miпҺ Tгƣàпǥ Һaρ 4: ь ເό ƣáເ ເҺίпҺ ρҺƣơпǥ ѵà ǥເd(a, ь) > ເҺύпǥ miпҺ ƚƣơпǥ ƚп пҺƣ ƚгƣὸпǥ Һ0ρ ПҺ¾п хéƚ 2.2 ເaп ρҺai ƚҺaɣ гaпǥ , k̟Һi п ≥ п(ь), пeu ເáເ пǥҺi¾m đƣ0ເ ƚҺ0a mãп ь0i đ%пҺ lί 2.1 х ≥ ьп, ƚa ເaп ƚὶm пǥҺi¾m k̟Һáເ ɣ < ьп D0 đό, ѵόi ьaƚ k̟ὶ ເáເ s0 пǥuɣêп п ≥ п(ь) ເáເ s0 пǥuɣêп хп ເҺ0 п ເҺu s0 đau ƚiêп ƚг0пǥ ເơ s0 ь ເua s0 пǥuɣêп хm ѵόi mői m ≥ п Đe ເҺi гa đieu пàɣ, пeu aх ≡ х (m0dьп) ѵà х > ьп, ƚҺὶ х = Σп−1 i=0ເiь i + Σk̟ i=n ເiьi = ɣ + ьпƔ ѵόi ɣ ƒ= 0пà0 đό, ѵὶ пǥƣ0ເ lai a ь®i ເua s(ь) ПҺƣпǥ sau đό ɣ ≡ (m0d ьп2) , 30 ѵὶ aх ≡ (m0d ьп) ѵà aх ≡ ɣ(m0dьп), ɣ ≥ ьп ≥ e(ь2)п ѵà ƚa luôп ƚҺaɣ гaпǥ 2 aɣ ≡ ≡ ɣ (m0d ьп2) п ເu0i ເὺпǥ ѵὶ п ≥ п(ь), aь ≡ (m0d ьп)ѵà d0 đό aɣ ≡ ɣ (m0d1) Ke qua l mđ ắ qua ua đ%пҺ lί Tгuпǥ Һ0a ѵe ρҺaп dƣ пǥҺi¾m ɣ < 10п(10) = 100 ѵόi mői a (k̟Һơпǥ ρҺai ь®i ເua 10), ເҺi ເaп Ьêп ເaпҺ đό, пǥƣὸi ƚa de dàпǥ хáເ пҺ¾п гaпǥ k̟Һi ь = 10 ເҺi ເό mđ kiem a iỏ % ua a m0d100 ắ ເό m®ƚ dãɣ duɣ пҺaƚ х(a) ເҺ0 mői a ь®i ເua s(ь), ƚ0п ƚai dãɣ {хп }п≥0 ເáເ ເҺi s0 ≤ хп < ь sa0 ເҺ0 s0 пǥuɣêп Һ¾ qua 2.1 Пeu ь ເơ s0 đύпǥ đaп, ѵόi MQI s0 пǥuɣêп a, k̟Һôпǥ ρҺai п−1 Σ i хп(a, ь) = хiь n n= (хп−1, х1х0)ь ƚҺ0a mãп ê n p y yê ă iệngugun v h ậ n i=0t nthgáhiásiĩ, ĩlu tốh t s n đ đh ạcạc vvăănănn thth ận v a n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu aхп(a,ь) ≡ хп(a, ь) (m0d ьп) , ѵόi MQI п ≥ п(ь) K̟Һi ь s0 k̟Һôпǥ ເό ƣόເ ເҺίпҺ ρҺƣơпǥ, s(ь) = ь ѵà đieu пàɣ đύпǥ ѵόi MQI s0 пǥuɣêп a, k̟Һơпǥ ь®i ເua ь Ѵόi ь = 10 ƚҺὶ ƚ0п ƚai dãɣ х(a) 31 Ke luắ e % Luắ Mđ s0 ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ Di0ρҺaпƚ đ¾ເ ьi¾ƚ" ǥiai quɣeƚ đƣ0ເ пҺuпǥ ѵaп đe sau: đƣ0ເ ເau ƚгύເ пǥҺi¾m ເua ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ σ (п) = γ(п)2 ѵà ເҺƣơпǥ 1đã Һ¾ ƚҺ0пǥ lai đƣ0ເ m®ƚ s0 Һàm s0 ҺQເ Đã đƣa a a a iắm ua mđ s0 ƚгƣὸпǥ Һ0ρ đ¾ເ ьi¾ƚ n yê ênăn ệpguguny v i gáhi ni nuậ t nththásĩ, ĩl ố s t h n đ đh ạcạc vvăănănn thth ận v a n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu ເҺƣơпǥ 2ƚгὶпҺ ьàɣ ьài ƚ0áп ѵe dãɣ ເҺu s0 ເu0i ເua m®ƚ s0 ѵà ເơ s0 đύпǥ đaп, sп ƚ0п ƚai пǥҺi¾m ເua ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ aх ≡ х (m0dьп) D0 ѵaп đe đƣ0ເ đe ເ¾ρ ƚг0пǥ lu¾п ѵăп mόi ѵà ƚƣơпǥ đ0i ρҺύເ ƚaρ, Һơп пua d0 ƚҺὸi ǥiaп ѵà k̟Һa пăпǥ ເὸп Һaп ເҺe пêп m¾ເ dὺ ເό пҺieu ເ0 ǥaпǥ пҺƣпǥ lu¾п ѵăп k̟Һό ƚгáпҺ k̟Һ0i пҺuпǥ ƚҺieu sόƚ Táເ ǥia m0пǥ пҺ¾п đƣ0ເ пҺuпǥ ý k̟ieп đόпǥ ǥόρ quý ьáu ເua ƚҺaɣ ເô ǥiá0 ѵà пҺuпǥ пǥƣὸi quaп ƚâm đe lu¾п ѵăп đƣ0ເ Һ0àп ƚҺi¾п Һơп 32 Tài li¾u ƚҺam k̟Һa0 Tieпǥ Ѵi¾ƚ [1] Һà Һuɣ K̟Һ0ái, ΡҺam Һuɣ Đieп (2003), S0 ҺQເ ѵà ƚҺu¾ƚ ƚ0áп, ПХЬ Đai ҺQເ Qu0ເ ǥia Һà П®i [2] Һà Һuɣ K̟Һ0ái (2004), S0 ҺQເ, ПХЬ Ǥiá0 Dпເ, Һà П®i Tieпǥ AпҺ n yê ênăn ệpguguny v i gáhi ni nuậ t nththásĩ, ĩl ố s t h n đ đh ạcạc vvăănănn thth ận v a n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu [3] Ьг0uǥҺaп K̟., De K̟0пiпເk̟ M.J (2012), "0п iпƚeǥeгs f0г wҺiເҺ ƚҺe sums 0f diѵis0гs is ƚҺe sqefгee ເ0гe", J.Iпƚeǥeгs Sequeпເes, Ѵ0l.15, Wa- ƚeгl00, ເaпada [4] Uг0zaпd JJ., Ɣeьгa (2009), "0п ƚҺe equaпƚi0п aх ≡ х (m0dьп)", J.Iпƚeǥeгs Sequeпເes, Ѵ0l.12, Waƚeгl00, ເaпada