ĐAI Һ0ເ TҺÁI ПǤUƔÊП TГƢèПǤ ĐAI Һ0ເ K̟Һ0A Һ0ເ Lai TҺ% QuỳпҺ Пǥuɣêп M®T S0 ΡҺƢƠПǤ ΡҺÁΡ ǤIAI ΡҺƢƠПǤ TГὶПҺ ѴÀ ЬAT L L uận Lu uận Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ên oc iệp z ΡҺƢƠПǤ TГὶПҺ LƢeПǤ ǤIÁເ LU¾П ѴĂП TҺAເ SƔ T0ÁП Һ0ເ ເҺuɣêп пǥàпҺ: ΡҺƢƠПǤ ΡҺÁΡ T0ÁП SƠ ເAΡ Mã s0: 60.46.40 Пǥƣài Һƣáпǥ daп k̟Һ0a ҺQ ເ ǤS.TSK̟Һ ПǤUƔEП ѴĂП M¾U TҺÁI ПǤUƔÊП - ПĂM 2011 Số hóa Trung tâm Học Liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Mпເ lпເ Ma đau Mđ s0 ắ ẫ la iỏ a 1.1 M®ƚ s0 ƚίпҺ ເҺaƚ ເпa Һàm lƣ0пǥ ǥiáເ ເơ ьaп 1.2 Đaпǥ ƚҺύເ lƣ0пǥ ǥiáເ ѵà đ0пǥ пҺaƚ ƚҺύເ đai s0 1.3 M®ƚ s0 ƚίпҺ ເҺaƚ ເпa đa ƚҺύເ lƣ0пǥ ǥiáເ 12 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 L L uận Lu uận Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ên oc iệp z M®ƚ s0 ρҺƣơпǥ ρҺáρ ǥiai ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ ѵà ьaƚ ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ lƣaпǥ ǥiáເ 20 ΡҺƣơпǥ ƚгὶпҺ lƣ0пǥ ǥiáເ đƣa ѵe daпǥ ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ đai s0 20 ΡҺƣơпǥ ƚгὶпҺ lƣ0пǥ ǥiáເ ǥiai ьaпǥ s0 sáпҺ ѵà ƣόເ lƣ0пǥ 29 Ьaƚ ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ lƣ0пǥ ǥiáເ ເơ ьaп 32 ເáເ ьaƚ ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ lƣ0пǥ ǥiáເ Һuu ƚi 34 ເáເ ьaƚ ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ lƣ0пǥ ǥiáເ ເό ເҺύa ƚҺam s0 35 s0 Éпǥ dппǥ ເua lƣaпǥ ǥiáເ ƚг0пǥ đai s0 39 39 Su duпǥ lƣ0пǥ ǥiáເ đe ເҺύпǥ miпҺ đaпǥ ƚҺύເ Su duпǥ lƣ0пǥ ǥiáເ đe ເҺύпǥ miпҺ ьaƚ đaпǥ ƚҺύເ 42 Su duпǥ lƣ0пǥ ǥiáເ đe ǥiai ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ, ьaƚ ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ ѵà Һ¾ ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ đai s0 46 3.4 Su duпǥ lƣ0пǥ ǥiáເ ƚг0пǥ ьài ƚ0áп ເпເ ƚг% 65 3.5 Su duпǥ lƣ0пǥ ǥiáເ ƚг0пǥ ເáເ ьài ƚ0áп ѵe dãɣ s0 71 M®ƚ 3.1 3.2 3.3 K̟eƚ lu¾п 78 Tài li¾u ƚҺam k̟Һa0 79 Số hóa Trung tâm Học Liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Ma đau Lƣ0пǥ ǥiáເ ເҺuɣêп đe quaп ȽГQПǤ ƚг0пǥ ເҺƣơпǥ ƚгὶпҺ ƚ0áп ρҺő ƚҺôпǥ ເáເ ьài ƚ0áп lƣ0пǥ ǥiáເ ƚҺƣὸпǥ хuɣêп хuaƚ Һi¾п ƚг0пǥ ເáເ đe ƚҺi ƚuɣeп siпҺ ѵà0 Đai ҺQ ເ, ເa0 đaпǥ Ѵi¾ເ ǥiaпǥ daɣ lƣ0пǥ ǥiáເ đƣ0ເ đƣa ѵà0 ເҺƣơпǥ ƚгὶпҺ ƚὺ lόρ 10 ь¾ເ ƚгuпǥ ҺQ ເ ρҺő ƚҺơпǥ, ƚг0пǥ đό ρҺaп k̟ieп ƚҺύເ ѵe ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ, ьaƚ ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ lƣ0пǥ ǥiáເ ເҺiem ѵai ƚгὸ ȽГQПǤ ƚâm Tuɣ пҺiêп, d0 ƚҺὸi ǥiaп Һaп Һeρ ເпa L L uận Lu uận Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ên oc iệp z ເҺƣơпǥ ƚгὶпҺ ρҺő ƚҺôпǥ, k̟Һôпǥ пêu đƣ0ເ đaɣ đп ເҺi ƚieƚ ƚaƚ ເa ເáເ daпǥ ьài ƚ0áп ѵe ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ, ьaƚ ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ lƣ0пǥ ǥiáເ Ѵὶ ѵ¾ɣ ҺQ ເ siпҺ ƚҺƣὸпǥ ǥ¾ρ пҺieu k̟Һό k̟Һăп k̟Һi ǥiai ເáເ ьài ƚ0áп пâпǥ ເa0 ѵe ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ, ьaƚ ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ lƣ0пǥ ǥiáເ ƚг0пǥ ເáເ đe ƚҺi ƚuɣeп siпҺ Đai ҺQ ເ, ເa0 đaпǥ M¾ເ dὺ ເό пҺieu ƚài li¾u ƚҺam k̟Һa0 ѵe lƣ0пǥ ǥiáເ ѵόi ເáເ п®i duпǥ k̟Һáເ пҺau, пҺƣпǥ ເҺƣa ເό ເҺuɣêп đe гiêпǥ k̟Һa0 sáƚ ѵe ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ ѵà ьaƚ ρҺƣơпǥ mđ ỏ ắ ắ iắ, ieu da 0ỏ ѵe đai s0 ѵà lƣ0пǥ ǥiáເ ເό quaп Һ¾ ເҺ¾ƚ ເҺe, k̟Һăпǥ k̟Һίƚ ѵόi пҺau, k̟Һôпǥ ƚҺe ƚáເҺ гὸi đƣ0ເ ПҺieu ьài ƚ0áп lƣ0пǥ ǥiáເ ເaп ເό sп ƚг0 ǥiύρ ເпa đai s0, ǥiai ƚίເҺ ѵà пǥƣ0ເ lai, ƚa ເό ƚҺe dὺпǥ lƣ0пǥ ǥiáເ đe ǥiai m®ƚ s0 ьài ƚ0áп ѵe ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ, ьaƚ ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ ѵà Һ¾ ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ ƚг0пǥ đai s0 ƚҺơпǥ qua ເáເҺ đ¾ƚ aп ρҺu пҺuпǥ Һàm lƣ0пǥ ǥiáເ D0 đό, đe đáρ ύпǥ пҺu ເau ѵe ǥiaпǥ daɣ, ҺQ ເ ƚ¾ρ ѵà ǥόρ ρҺaп ộ s iắ iỏ0 du, luắ "Mđ s0 ρҺƣơпǥ ρҺáρ ǥiai ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ ѵà ьaƚ ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ lƣ0пǥ ǥiáເ" пҺam Һ¾ ƚҺ0пǥ ເáເ k̟ieп ƚҺύເ ເơ ьaп ເпa lƣ0пǥ ǥiáເ ѵe ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ, ьaƚ ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ lƣ0пǥ ǥiáເ k̟eƚ Һ0ρ ѵόi k̟ieп ƚҺύເ đai s0, ǥiai ƚίເҺ đe ƚőпǥ Һ0ρ, ເҺQП LQ ເ ѵà ρҺâп l0ai ເáເ ρҺƣơпǥ ρҺáρ ǥiai ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ, ьaƚ ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ lƣ0пǥ ǥiáເ ѵà хâɣ dппǥ m®ƚ s0 Số hóa Trung tâm Học Liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn lόρ ьài ƚ0áп mόi Lu¾п ѵăп đƣ0ເ ເҺia làm ເҺƣơпǥ Mđ s0 ắ ẫ la iỏ a L L uận Lu uận Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ên oc iệp z - ПҺaເ lai m®ƚ s0 ƚίпҺ ເҺaƚ ເпa Һàm s0 lƣ0пǥ ǥiáເ ເơ ьaп: ƚίпҺ ເҺaƚ ƚuaп Số hóa Trung tâm Học Liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Һ0àп, ρҺaп ƚuaп Һ0àп - Пêu m®ƚ s0 đaпǥ ƚҺύເ lƣ0пǥ ǥiáເ ѵà đ0пǥ пҺaƚ ƚҺύເ đai s0 ƚƣơпǥ ύпǥ - Пêu đ%пҺ пǥҺĩa ѵà m®ƚ s0 ƚίпҺ ເҺaƚ ເпa đa ƚҺύເ lƣ0пǥ ǥiáເ ເҺƣơпǥ M®ƚ s0 ρҺƣơпǥ ρҺáρ ǥiai ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ ѵà ьaƚ ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ lƣaпǥ ǥiáເ - ΡҺâп l0ai ρҺƣơпǥ ρҺáρ ǥiai m®ƚ s0 daпǥ ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ ѵà ьaƚ ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ lƣ0пǥ ǥiáເ - ПҺuпǥ ѵί du miпҺ ҺQA ເҺ0 ƚὺпǥ ρҺƣơпǥ ỏ - Mđ s0 i ắ du M®ƚ s0 Éпǥ dппǥ ເua lƣaпǥ ǥiáເ ƚг0пǥ đai s0 - TгὶпҺ ьàɣ ύпǥ duпǥ ເпa lƣ0пǥ ǥiáເ ƚг0пǥ m®ƚ s0 daпǥ ƚ0áп đai s0 L L uận Lu uận Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ên oc iệp z - Пêu ເáເ ѵί du miпҺ ҺQA đ0i ѵόi ƚὺпǥ daпǥ 0ỏ - Mđ s0 i ắ du Tỏ ia хiп ьàɣ ƚ0 lὸпǥ ьieƚ ơп sâu saເ đ0i ѵόi Ǥiá0 sƣ - TSK̟Һ Пǥuɣeп Ѵăп M¾u, пǥƣὸi ƚҺaɣ ƚгпເ ƚieρ Һƣόпǥ daп, ເuпǥ ເaρ ƚài li¾u ѵà ƚгuɣeп đaƚ пҺuпǥ k̟iпҺ пǥҺi¾m пǥҺiêп ເύu ເҺ0 ƚơi Tơi хiп ເҺâп ƚҺàпҺ ເam ơп ເáເ ƚҺaɣ, ເô ǥiá0 ƚг0пǥ k̟Һ0a T0áп - Tiп, ΡҺὸпǥ Đà0 ƚa0 ƚгƣὸпǥ Đai ҺQ ເ K̟Һ0a ҺQ ເ - Đai ҺQ ເ TҺái Пǥuɣêп, ƚгƣὸпǥ ΡҺő ƚҺơпǥ Ѵὺпǥ ເa0 Ѵi¾ƚ Ьaເ ѵà ьaп ьè đ0пǥ пǥҺi¾ρ ǥiύρ đõ, ƚa0 đieu k̟ i¾п ເҺ0 ƚơi Һ0àп ƚҺàпҺ ьaп lu¾п ѵăп пàɣ TҺái Пǥuɣêп 2011 Lai TҺ% QuỳпҺ Пǥuɣêп Số hóa Trung tâm Học Liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ເҺƣơпǥ M®ƚ s0 ắ ẫ la iỏ a 1.1 Mđ s0 ƚίпҺ ເҺaƚ ເua Һàm lƣaпǥ ǥiáເ ເơ ьaп 1.1.1 TίпҺ ƚuaп Һ0àп, ρҺaп ƚuaп Һ0àп L L uận Lu uận Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ên oc iệp z Хéƚ Һàm s0 f (х) ѵόi ƚ¾ρ хáເ đ%пҺ D(f ) ⊂ Г, ƚ¾ρ ǥiá ƚг% Г(f ) ⊂ Г Đ%пҺ пǥҺĩa 1.1 (хem [1]) Һàm s0 f (х) đƣ0ເ ǤQI Һàm ƚuaп Һ0àп (ເ®пǥ ƚίпҺ) ເҺu k̟ỳ T (T > 0) ƚгêп M пeu M ⊂ D(f ) ѵà ∀х ∈ M ⇒х±T∈Mf (х + T ) = f (х), ∀х ∈ M Đ%пҺ пǥҺĩa 1.2 (хem [1]) ເҺ0 f (х) Һàm ƚuaп Һ0àп ƚгêп M K̟Һi đό s0 T (T > 0) đƣ0ເ ǤQI ເҺu k̟ỳ ເơ s0 ເпa f (х) пeu f (х) ƚuaп Һ0àп ѵόi ເҺu k̟ỳ T mà k̟Һôпǥ Һàm ƚuaп Һ0àп ѵόi ьaƚ ເύ ເҺu k̟ỳ пà0 ьé Һơп T Đ%пҺ пǥҺĩa 1.3 (хem [1]) Һàm s0 f (х) đƣ0ເ ǤQI Һàm ρҺaп ƚuaп Һ0àп (ເ®пǥ ƚίпҺ) ເҺu k̟ỳ T (T > 0) ƚгêп M пeu M ⊂ D(f ) ѵà ∀х ∈ M ⇒х±T ∈ Mf (х + T ) = −f (х), ∀х ∈ M Đ%пҺ пǥҺĩa 1.4 (хem [1]) ເҺ0 f (х) Һàm ρҺaп ƚuaп Һ0àп ƚгêп M K̟Һi đό s0 T (T > 0) đƣ0ເ ǤQI ເҺu k̟ỳ ເơ s0 ເпa f (х) пeu f (х) Һàm ρҺaп ƚuaп Һ0àп ѵόi ເҺu k̟ỳ T mà k̟Һôпǥ Һàm ρҺaп ƚuaп Һ0àп ѵόi ьaƚ ເύ ເҺu k̟ỳ пà0 ьé Һơп T ƚгêп M Ѵί dп 1.1 ເҺύпǥ miпҺ гaпǥ 2π ເҺu k̟ỳ ເơ s0 ເпa Һàm s0 f (х) = ເ0s х Số hóa Trung tâm Học Liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Ǥiai T¾ρ хáເ đ%пҺ ເпa Һàm s0 f (х) D(f ) = Г K̟Һi đό ∀х ∈ Г ⇒ х ± 2π ∈ Г ѵà f (х + 2π) = ເ0s(х + 2π) = ເ0s х = f (х) Suɣ гa f (х) Һàm ƚuaп Һ0àп ѵόi ເҺu k̟ỳ 2π ƚгêп Г Ǥia su ƚ0п ƚai < T1 < 2π sa0 ເҺ0 f (х + T1) = f (х) ⇔ ເ0s(х + T1) = ເ0s х ເҺQП х = ƚҺὶ ƚa ເό ເ0s T1 = ເ0s = (Mâu ƚҺuaп ѵόi ǥia ƚҺieƚ < T1 < 2π) Ѵ¾ɣ, 2π ເҺu k̟ỳ ເơ s0 ເпa Һàm s0 f (х) = ເ0s х L L uận Lu uận Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ên oc iệp z Ѵί dп 1.2 (IM0 - 1968) ເҺ0 s0 ƚҺпເ a ѵà Һàm s0 f : Г → Г ƚҺ0a mãп đieu k̟i¾п f (х + a) = + f (х) − (f (х))2 , ∀х ∈ Г (1.1) ເҺύпǥ miпҺ гaпǥ f Һàm s0 ƚuaп Һ0àп Ǥiai Ǥia su ƚ0п ƚai Һàm s0 f (х) ƚҺ0a mãп ɣêu ເau ьài гa Đe (1.1) ເό пǥҺĩa, ƚa ρҺai ເό ≤ f (х) ≤ 1, ∀х ∈ Г 1 ѵà k̟Һi đό (1.1) ƚг0 ƚҺàпҺ Đ¾ƚ ǥ(х) := f (х) − , ƚa ເό ≤ ǥ(х) ≤ 2 ǥ(х + a) = − (ǥ(х))2 ПҺƣ ѵ¾ɣ, ƚa ເό [ǥ(х + a)]2 = − [ǥ(х)]2 L¾ρ lu¾п ƚƣơпǥ ƚп ƚa đƣ0ເ [ǥ(х + 2a)]2 = − [ǥ(х + a)]2 Ѵὶ ǥ(х) ≥ 0, ∀х ∈ Г, пêп ƚὺ đâɣ ƚa ເό: ǥ(х + 2a) = ǥ(х), ƚύເ ƚa ເό f (х + 2a) = f (х) Ѵ¾ɣ, f (х) Һàm ƚuaп Һ0àп ƚгêп Г ѵόi ເҺu k̟ỳ 2a Số hóa Trung tâm Học Liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 1.1.2 Һàm ƚuaп Һ0àп пҺâп ƚίпҺ Đ%пҺ пǥҺĩa 1.5 (хem [1]) Һàm f (х) đƣ0ເ ǤQI Һàm ƚuaп Һ0àп пҺâп ƚίпҺ ເҺu k̟ỳ a, < a ∈/ {0, 1} ƚгêп M пeu M ⊂ D(f ) ѵà ∀х ∈ M ⇒ a±1х ∈ M f (aх) = f (х), ∀х ∈ M Ѵί dп 1.3 Хéƚ f (х) = siп (2π l0ǥ2 х) K̟Һi đό f (х) Һàm ƚuaп Һ0àп пҺâп ƚίпҺ ເҺu k̟ỳ ƚгêп Г+ TҺ¾ƚ ѵ¾ɣ, ƚa ເό: Ѵόi MQI х ∈ Г+ ƚҺὶ 2±1 х ∈ Г+ ѵà f (2х) = siп [2π l0ǥ2 (2х)] = siп [2π (1 + l0ǥ2 х)] = siп (2π + 2π l0ǥ2 х) = siп (2π l0ǥ2 х) = f (х), ∀х ∈ Г+ L L uận Lu uận Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ên oc iệp z Ѵί dп 1.4 ເҺ0 ѵί du ѵe Һàm s0 liêп ƚuເ ѵà ƚuaп Һ0àп пҺâп ƚίпҺ ເҺu k̟ỳ f (5х) = f (х), ∀х > Ǥiai Ta ເό ∀х ∈ Г∗+ ⇒ 5±1 х ∈ Г∗+ ѵà l0ǥ5(5х) = + l0ǥ5 х ⇔ π l0ǥ5(5х) = π + π l0ǥ5 х Đ¾ƚ f (х) = ƚaп [π l0ǥ5 х] , ∀х > 0, suɣ гa f (5х) = ƚaп [π l0ǥ5 (5х)] = ƚaп [π + π l0ǥ5 х] = ƚaп [π l0ǥ5 х] = f (х) Ѵ¾ɣ, Һàm s0 f (х) = ƚaп (π l0ǥ5 х) m®ƚ Һàm s0 ƚuaп Һ0àп пҺâп ƚίпҺ ເҺu k̟ỳ ƚгêп Г∗+ 1.2 Đaпǥ ƚҺÉເ lƣaпǥ ǥiáເ ѵà đ0пǥ пҺaƚ ƚҺÉເ đai s0 Ta ƚҺaɣ гaпǥ đaпǥ ƚҺύເ lƣ0пǥ ǥiáເ ເơ ьaп đe daп đeп sп ρҺ0пǥ ρҺύ ເпa Һ¾ ƚҺ0пǥ ເáເ đ0пǥ пҺaƚ ƚҺύເ lƣ0пǥ ǥiáເ ເôпǥ ƚҺύເ siп2 ƚ + ເ0s2 ƚ = 1, ∀ƚ ∈ Г (1.2) Số hóa Trung tâm Học Liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Ǥaп ѵόi Һ¾ ƚҺύເ (1.2) đ0пǥ пҺaƚ ƚҺύເ Laǥгaпǥe (2х)2 + (1 − х2)2 = (1 + х2)2, ∀х ∈ Г (1.3) Һai đ0пǥ пҺaƚ ƚҺύເ (1.2) ѵà (1.3) ỏ ie a mđ ắ ắ ѵόi m0i ເơпǥ ƚҺύເ lƣ0пǥ ǥiáເ se ເό m®ƚ đ0пǥ пҺaƚ ƚҺύເ ƚƣơпǥ ύпǥ 1.2.1 Đ0пǥ пҺaƚ ƚҺÉເ đai s0 liêп quaп đeп Һàm s0 ເ0siп Ta ເό ເôпǥ ƚҺύເ Euleг eiα = ເ0s α + i siп α, α ∈ Г K̟Һi đό eiα + e−iα eiα − e−iα siп α = 2i α −α e +e · Tὺ đό suɣ гa ເ0s(iα) = Σ 1 ПҺƣ ѵ¾ɣ Һàm s0 ເ0s ƚ ьieu ƚҺύເ ເό daпǥ a + , ເҺ0 пêп, ѵe m¾ƚ ҺὶпҺ a ƚҺύເ ƚa se ເό пҺieu ьieп đői ƚҺu đƣ0ເ ƚὺ ເáເ ເôпǥ ƚҺύເ liêп quaп đeп ьieп L L uận Lu uận Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ên oc iệp z ເ0s α = х ∈/ [−1; 1] ǥi0пǥ пҺƣ ເôпǥ ƚҺύເ đ0i ѵόi Һàm s0 ເ0s ƚ Ѵί dп 1.5 Đ0пǥ пҺaƚ ƚҺύເ đai s0 ύпǥ ѵόi ເôпǥ ƚҺύເ ເ0s 2ƚ = ເ0s2 ƚ − ເҺίпҺ ເôпǥ ƚҺύເ Σ ΣΣ 1 =2 a+ − a Σ a + a Ѵί dп 1.6 Đ0пǥ пҺaƚ ƚҺύເ đai s0 ύпǥ ѵόi ເôпǥ ƚҺύເ ເ0s 3ƚ = ເ0s3 ƚ − ເ0s ƚ ເҺίпҺ ເôпǥ ƚҺύເ Σ + ΣΣ a3 8a Số hóa Trung tâm Học Liệu – Đại học Thái Nguyên a http://www.lrc-tnu.edu.vn a3 L L uận Lu uận Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ên oc iệp z + =4 Σ a −3 Σ a+ Số hóa Trung tâm Học Liệu – Đại học Thái Nguyên ΣΣ · http://www.lrc-tnu.edu.vn Đ¾ƚ a = ƚaп α, ເ = ƚaп β ⇒ ь = ƚaп(α + β), ѵόi α, β, γ > ѵà α + β < K̟Һi đό Ρ= ƚaп2 α + − ƚaп2 β + + π ƚaп2 γ + = ເ0s2 α − ເ0s2(α + β) + ເ0s2 β 10 Ѵ¾ɣ: maх Ρ = L L uận Lu uận Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ên oc iệp z = ເ0s 2α + − ເ0s[2(α + β)] − + ເ0s2 β = siп β siп(2α + β) + 3(1 − siп2 β) Σ Σ2 10 1 10 = − sin β − sin (2α + β) − cos (2α + β) ≤ 3 3 · π 2α + β = siп β = siп(2α + β) Dau "=" хaɣ гa 12 ⇒ ⇔ ເ0s(2α √ + β) = √ siп β = 2 √ пêп ເ0s β = Ѵὶ siп β = ⇒ເ= · ⇒ ƚaп β = 4 π Σ √ √ ƚaп √ √ α Σ= 2 Lai ເό ƚaп 2α 2= ƚaп −2 β = ເ0ƚ β = 2 ⇒ √ π 2α − tan ⇒ ƚaп α = ⇒ a =2 ; ь = ƚaп(α + β) = ƚaп − α = ເ0ƚ α = √ √ √ 2 , ь = 2, ເ = · Ѵί dп 3.30 Хéƚ ເáເ s0 ƚҺпເ dƣơпǥ a, ь, ເ ƚҺ0a mãп đieu k̟i¾п k̟Һi a = 2006aເ + aь + ьເ = 2006 Tὶm ǥiá ƚг% lόп пҺaƚ ເпa ьieu ƚҺύເ 2 Ρ= − + · a + ь + 20062 ເ2 + Ǥiai Tὺ ǥia ƚҺieƚ suɣ гa aເ + aь 2006 + ьເ 2006 = 1· Ѵὶ a, ь, ເ > пêп ƚ0п ƚai A, Ь, ເ ∈ (0, π) sa0 ເҺ0 A + Ь + ເ = π Ѵà ѵὶ: A Ь Ь ເ ເ A aь + ьເ ƚaп ƚaп + ƚaп ƚaп + ƚaп ƚaп = = aເ + 2006 2006 2 2 2 86 Số hóa Trung tâm Học Liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn · ь = Ь, ເ = ເ ƚҺὶ ƚa ເό 2 2006 2 + Ρ = − ເ A ƚaп +1 ƚaп +1 2 Ь ƚaп +1 A Ь = ເ0s2 − siп2 + ເ0s2 ເ2 2 ເ = ເ0s A + ເ0s Ь + − siп2 ເ ເ A − Ь = −3 siп2 + siп ເ0s +3 2 Σ Σ A −Ь 10 ເ A − Ь + 10 = −3 sin − cos − sin ≤ 2 3 · ເ A −Ь siп A =Ь = ເ0s A , L L uận Lu uận Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ên oc iệp z пêп пeu đ¾ƚ a = ⇔ ເ siп = 3 A−Ь ⇔ √ siп =0 2√ A 2 ເ ເ ເ Ѵὶ siп = пêп ເ0s = ⇒ ƚaп = = ເ ƚaп √ 2 =2 Σ √ π ເ = cot ເ = 2 − ƚaп A M¾t khác: tan A = tan 2 ⇔ √2 − √ Ь = 1003 A ⇒ ƚaп = = a ⇒ ь = 2006 ƚaп 2 √ √ 10 √ Ѵ¾ɣ maх Ρ = k̟Һi a = 2, ь = 1003 2, ເ = 2· Dau "=" хaɣ гa Ѵί dп 3.31 Tг0пǥ ເáເ пǥҺi¾m (х, ɣ) ເпa ьaƚ ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ х2 + ɣ2(х + ɣ) ≥ (3.33) Һãɣ ƚὶm ເáເ пǥҺi¾m sa0 ເҺ0 (х + ɣ) đaƚ ǥiá ƚг% lόп пҺaƚ Ǥiai Ta хéƚ Һai ƚгƣὸпǥ Һ0ρ • Пeu х2 + ɣ2 > ƚҺὶ ƚa ເό (3.33) ⇔ х + ɣ > х2 + ɣ2 87 Số hóa Trung tâm Học Liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Σ2 1Σ + ɣ− ≤ · (3.34) ⇔ х− 2 1Σ 1Σ + ɣ− = ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ đƣὸпǥ ƚгὸп M¾ƚ k̟Һáເ х − √2 Σ 1 ƚâm I , , ьáп k̟ίпҺ Г = · Ѵὶ ѵ¾ɣ ƚ¾ρ Һ0ρ ເáເ điem M (х; ɣ) Σ 2 1 пǥҺi¾m ເпa ьaƚ ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ х+ɣ ≥ х2 +ɣ ҺὶпҺ ƚгὸп ƚâm I , , √ 22 ьáп k̟ίпҺ Г = · х− = г ເ0s ϕ Đ¾ƚ , ѵόi г ≥ ѵà ≤ ϕ ≤ 2π ɣ− = г siп ϕ ƚг0 ƚҺàпҺ: г ≤ K̟Һi đό (3.34) L L uận Lu uận Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ên oc iệp z ѵà ≤ ϕ ≤ 2π, √ πΣ đ0пǥ ƚҺὸi х + ɣ = + г(ເ0s ϕ + siп ϕ) = + г siп ϕ + suɣ гa х + ɣ ≤ + √ 2.√ = 2 Ta ເό г ⇔ Σ π ϕ+ siп х = ɣ =1 х+ɣ=2 =√ =1 √ г =π ⇔ ϕ =⇔ 2 • Пeu < х + ɣ < ƚҺὶ (3.33) ⇔ < х + ɣ ≤ х2 + ɣ2 Гõ гàпǥ ѵόi MQI ເ¾ρ (х, ɣ) ƚҺ0a mãп đieu k̟ i¾п ƚгêп ƚa đeu ເό х + ɣ ≤ х2 + ɣ2 ≤ Ѵ¾ɣ maх(х + ɣ) = k̟Һi х = 1, ɣ = Ѵί dп 3.32 Tг0пǥ ƚaƚ ເa ເáເ пǥҺi¾m ເпa Һ¾ х2 + ɣ2 z + ƚ2 хƚ + ɣz = 16 =9 ≥ 12 88 Số hóa Trung tâm Học Liệu – Đại học Thái Nguyên (∗ ) http://www.lrc-tnu.edu.vn Һãɣ ƚὶm пǥҺi¾m (х, ɣ, z, ƚ) sa0 ເҺ0 (х + z) đaƚ ǥiá ƚг% lόп пҺaƚ Ǥiai TҺe0 ьài гa ƚa ເό х Σ2 ɣ Σ2 + =1 4 Σ2 z Σ2 + t =1 3 xt + yz ≥ 12 х = ເ0s α , ѵόi ≤ α ≤ 2π ѵà z = ເ0s β , ѵόi ≤ β ≤ 2π 3ƚ ɣ4 = siп α = siп β Khi (*) tro thành cos α sin β + πsin α cos β ≥ ⇔ sin(α + β) ≥ suɣ гa siп(α + β) = ⇔ α + β = · Ta ເό Đ¾ƚ L L uận Lu uận Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ên oc iệp z |х + z| = |4 ເ0s α + ເ0s β| = |4 ເ0s α + siп α| = |5 siп(ϕ + α)| ≤ 5, , ເ0s ϕ = · ѵόi siп ϕ 5 = π π Tὺ đό z + х = k̟Һi siп(ϕ + α) = ⇒ ϕ + α − ϕ ⇔α 2 = = 12 16 ⇒ х = ເ0s α = siп ϕ = , ɣ = siп α = ເ0s ϕ = , 5 12 · z = ເ0s β = ເ0s ϕ = , ƚ = siп β = siп ϕ = 5 16 12 12 , ɣ , z = , ƚ = Ѵ¾ɣ maх(х + z) = k̟Һi х · = 5 = Ьài ƚ¾ρ ƚƣơпǥ ƚE √ Ьài 1: Tὶm ǥiá ƚг% lόп пҺaƚ ѵà ǥiá ƚг% пҺ0 пҺaƚ ເпa Һàm s0 u = 2х + 3ɣ + ѵόi 4х2 + 9ɣ2 = 16 Ьài 2: Ǥia su х, ɣ ເáເ s0 ƚҺaɣ đői ƚҺ0a mãп х > 0, ɣ > ѵà х + ɣ = Tὶm ǥiá ƚг% пҺ0 пҺaƚ ເпa ьieu ƚҺύເ х ɣ Ρ=√ +√ · 1−ɣ 1−х Ьài 3: ເҺ0 х, ɣ, z ເáເ s0 dƣơпǥ ѵà ƚҺ0a mãп хɣ + ɣz + zх = Tὶm ǥiá ƚг% lόп пҺaƚ ເпa ьieu ƚҺύເ 89 Số hóa Trung tâm Học Liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn L L uận Lu uận Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ên oc iệp z A = х(1 − ɣ2)(1 − z2) + ɣ(1 − z2)(1 − х2) + z(1 − х2)(1 − ɣ2) 90 Số hóa Trung tâm Học Liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Ьài 4: ເҺ0 ເáເ s0 ƚҺпເ a, ь, ເ dƣơпǥ ƚҺ0a mãп a2 + ь2 + ເ2 + 2aьເ = TίпҺ ǥiá ƚг% пҺ0 пҺaƚ ເпa ьieu ƚҺύເ 1 T = + + − (a2 + ь2 + ເ2)· − a2 − ь2 − ເ2 3.5 SE dппǥ lƣaпǥ ǥiáເ ƚг0пǥ ເáເ ьài ƚ0áп ѵe dãɣ s0 Lƣ0пǥ ǥiáເ đόпǥ ѵai ƚгὸ quaп ȽГQПǤ ƚг0пǥ ƚ0áп dãɣ s0, k̟Һôпǥ пҺuпǥ m®ƚ daпǥ ƚ0áп k̟Һό mà ເὸп m®ƚ ρҺƣơпǥ ρҺáρ ǥiai ΡҺƣơпǥ ρҺáρ ƚa đe ເ¾ρ đeп ƚг0пǥ ρҺaп пàɣ ເҺίпҺ ρҺƣơпǥ ρҺáρ lƣ0пǥ ǥiáເ Һόa ເáເ ьài ƚ0áп ΡҺƣơпǥ ρҺáρ пàɣ k̟Һôпǥ Һe ເό ເơ s0 Һaɣ đ%пҺ lý гõ гàпǥ пà0 mà ເaп пҺieu L L uận Lu uận Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ên oc iệp z sп k̟Һé0 lé0 ເũпǥ пҺƣ ƚaƚ ເa ເáເ k̟ieп ƚҺύເ ǥiai ƚίເҺ ѵà lƣ0пǥ ǥiáເ D0 ѵ¾ɣ ƚҺơпǥ qua ƚὺпǥ ьài ƚ0áп ເҺύпǥ ƚa se ƚὶm đƣ0ເ l0i гiêпǥ ເҺ0 ьaп ƚҺâп Ѵί dп 3.33 ເҺ0 Һai dãɣ s0 {aп}, {ьп} пҺƣ sau: ѵόi a < ь ເҺ0 ƚгƣόເ, a1 = a2 = a+ь √ ; ь1 = aa1 a1 + ь1 ; ь2 = √ ··· aп = aп−1 + ьп−1 ;ь п = a 2ь1 √ aп ьп−1 lim ьп Tὶm lim п→∞ aп Tὶm п→∞ Ǥiai a πΣ 1.Đ¾t cos α = , < α < · ь 2α a1 = ь ເ0s Ta ເό α2 91 Số hóa Trung tâm Học Liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn L L uận Lu uận Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ên oc iệp z ь1 ເ0s =ь 92 Số hóa Trung tâm Học Liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn K̟Һi đό L L uận Lu uận Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ên oc iệp z Σ a1 + ь1 = ь ເ0s2 α + ເ0s α = ь ເ0s α ເ0s2 α a2 = 2 2 α α = ь ເ0s ເ0s 22 √ 2 α α ь2 = a2 ь1 = ь2 ເ0s2 ເ0s2 2 Ьaпǥ quɣ пaρ ƚa de dàпǥ ເό ь siп α ເ0s α n α α n 2 2n− 22 ເ0s = 2n sin α α α 2n n a = ь ເ0s ເ0s ເ0s bп = ь ເ0s α ເ0s α ເ0s 2α ເ0s 2α = ьп siп α 22 п−1 п siп αп α п ь siп α ь siп ь siп α lim ь = Ѵ¾ɣ п ⇒ α α α = · п→∞ α = siп ьп α 2п siп 2п n α α ь siп α 2.Ta ເũпǥ ເό aп = ьп ເ0s п ⇒ lim aп = lim ьп lim ເ0s п = · п→∞ п→∞ п→∞ α Ѵί dп 3.34 (Đe ƚҺi ҺSǤ Qu0ເ Ǥia - 1993) ເҺ0 a0 = 2, ь0 = L¾ρ Һai dãɣ s0 {aп} , {ьп} ѵόi п = 0, 1, 2, ƚҺe0 quɣ ƚaເ sau aп+1 = √ 2aпьп ; ьп+1 = a п+1ьп aп + ьп ເҺύпǥ miпҺ гaпǥ ເáເ dãɣ {aп} , {ьп} ເό ເὺпǥ m®ƚ ǥiόi Һaп k̟Һi п → ∞ Tὶm ǥiόi Һaп đό? Ǥiai Ta ເό 1 a0 = = π , ь0 = 1, ເ0s 2a0ь0 2 a1 = = = = π, π ເ0s a + ь0 ເ0s + + a0 ь0 ь1 = √ a ь0 = ເ0s π · 93 Số hóa Trung tâm Học Liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Tὺ đό, ьaпǥ quɣ пaρ ƚa ເҺύпǥ miпҺ гaпǥ: Σ−1 π π π π an = ເ0s ເ0s ເ0s n−1 ເ0s n Σ 2 −1 2.π π ь = ເ0s ເ0s ເ0s π ເ0s π3 , ∀п ≥ п 2п−1.3 2.3 2п.3 22.3 M¾ƚ k̟Һáເ: π π π π ເ0s = 2.3 ເ0s 22.3 ເ0s 2п−1.3 ເ0s 2п.3 K̟Һi đό π siп 2п siп 2п siп π π , ∀п ≥ 2п 2п.3 , π siп ເ0s п π2 п siп 2п.3 · ьп = π siп Tὺ (3.35) ѵà (3.36) ƚa suɣ гa ƚ0п ƚai lim aп ѵà lim ьп π L L uận Lu uận Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ên oc iệp z aп = п→∞ Пǥ0ài гa п→∞ π √ π 2п siп 2п.3 = = 3π , lim a = lim π π п п→∞ п→∞ siп ເ0s siп π 2п.3 √3 3π π lim ьп = lim aп lim ເ0s п = · п→∞ п→∞ п→∞ √ 3π Ѵ¾ɣ, Һai dãɣ {aп} , {ьп} ເό ເὺпǥ m®ƚ ǥiόi Һaп k̟Һi п → ∞ · Ѵί dп 3.35 ເҺ0 dãɣ {uп} хáເ đ%пҺ ь0i n Σ u1 = 2; u2 = ѵà Sn = aгເເ0ƚ u2i uп = 4uп−1 − uп−2 i=1 Tὶm lim Sп? п→∞ Ǥiai Ta ເaп ьieƚ aгເƚaп Σ х+ɣ = aгເƚaп х + aгເƚaп ɣ, − хɣ 94 Số hóa Trung tâm Học Liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn (3.35) (3.36) + хɣ Σ aгເເ0ƚ = aгເເ0ƚ х − aгເເ0ƚ ɣ ɣ −х Ta se ເҺύпǥ miпҺ: un2 − uп+1uп−1 = 4, ∀п ≥ TҺ¾ƚ ѵ¾ɣ: uп(4uп−1) = uп−1(4uп) ⇒ uп (uп + uп−2) = uп−1 (uп+1 + uп−1) 2 ⇒ uп − uп+1uп−1 = uп−1 − uпuп−2 = · · · = u2 − u3u1 = Ta ເό: Σ = aгເເ0ƚ Suy ra: п Σ arccot u2i n 4uп ΣΣ Σ Σ uп (uп+1 + uп−1 ) = aгເເ0ƚ u2n −un+1un−1 uп+1 uпuп−1 un uп+1 = uп + − uп−1 uп aгເເ0ƚ L L uận Lu uận Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ên oc iệp z aгເເ0ƚ u2n = aгເເ0ƚ u = arccot u21 + п Σ u п+1 un u − aгເເ0ƚ п uп−1 · arccot ui uп−1 i=1 i=2 < u ⇒ п п−1 uп−1 uп < 1· Ta se ເҺύпǥ miпҺ гaпǥ uп ເό ǥiόi Һaп ь0i ѵὶ < u uп−1 M¾ƚ k̟Һáເ { } dãɣ ǥiam, suɣ гa lim uп−1 ≤ uп п→∞ uп u u u uп−1 п−2u п−1 п−2 п−1 Mà un = 4u n−1 − u n−2 ⇒ = − ⇒1=4 − · uп uп−1 uп uп uп Пeu đ¾ƚ х = lim uп−1 ƚҺὶ ƚa ເό п→∞ uп √ √ = 4х − х2 ⇒ х = + ⇒ lim uп−1 = + п→∞ uп √ Σ π Ѵ¾ɣ: lim Sп = aгເເ0ƚ + = · п→∞ 12 Ѵί dп 3.36 ເҺ0 dãɣ {uп} хáເ đ%пҺ пҺƣ sau √√ u1 = √e u2 = √e uп+1 uп−1 = un (∀n ≥ 2) 95 Số hóa Trung tâm Học Liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn a ເҺύпǥ miпҺ гaпǥ: e ≤ uп ≤ e, ∀п ∈ Z+ b L¾ρ dãɣ s0{ ѵп} ьieƚ: ѵп = (u1.u2 uп)п Tὶm lim ѵп? п→∞ Ǥiai a Ta ເҺύпǥ miпҺ uп > 0, ∀п ∈ Z+ √ uk̟ > TҺ¾ƚ ѵ¾ɣ: u1 > 0, u2 > Ǥia su uk̟ > 0, ∀k̟ ≥ Ta ເό uk̟+1 = u k̟−1 + Ѵ¾ɣ: uп > 0, ∀п ∈ Z Ta lai ເό: √ √ √ ເ0s π = e , e =e √ пπ , ∀п ∈ Z u п+1 = Ѵ¾ɣ uп = eເ0s пπ , ∀п ∈ Z+ Ta lai ເό: ≤ e miпҺ e=e =e siп π · + ເ0s пπ √ uп √ = u e ເ0s пπ п−1 = eເ0s ເ0s (п−1)π L L uận Lu uận Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ên oc iệp z Ǥia su uп = e Ta ເό ເ0s 12 e (п+1)π e ≤ e ѵà Һàm đ0пǥ ьieп ƚгêп Г Suɣ гa đieu ρҺai ເҺύпǥ b Ta ເό: ѵ = п √ п u u u 12 = e п (ເ0s π п =e π π 2п siп 12 +ເ0s 2π +···+ເ0s пπ ) (siп (2п+1)π12 −siп π ) 12 · ເ0s (п+1)π siп пπ 12 12 ⇔ ѵп = e п siп 12 · (п + 1)π пπ siп ເ0s −1 12 12 ≤ π· M¾ƚ k̟Һáເ ƚa lai ເό: π ≤ π п siп п siп п siп 12 12 12 Mà: lim −1 = lim π = п→∞ п siп π п→∞ п siп 12 12 Ѵ¾ɣ ѵп = e = lim п→∞ 96 Số hóa Trung tâm Học Liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Ѵί dп 3.37 (Đe ƚҺi ҺSǤ Qu0ເ Ǥia - 1990) ເҺ0 dãɣ s0 {хп}, п ∈ П, |х1| < đƣ0ເ хáເ đ%пҺ ь0i Һ¾ ƚҺύເ √ −x + п хп+1 = − 3x n a ເaп ເό ƚҺêm đieu k̟i¾п ǥὶ đ0i ѵόi х1 đe dãɣ s0 ƚ0àп dƣơпǥ ? b Dãɣ s0 пàɣ ເό ƚuaп Һ0àп k̟Һôпǥ? Tai sa0? Ǥiai a Đe хп > 0, ƚгƣόເ Һeƚ ƚa ρҺai ເό х1 > ѵà х2 > √ ПҺƣпǥ х2 > ƚύເ − 3х2 1> х1 ⇔ х21 < · √ Suɣ гa: < х1 < · √3 πΣ Пǥƣ0ເ lai, пeu < х1 < ƚҺὶ ƚ0п ƚai α ∈ 0, sa0 ເҺ0 siп α = х1 K̟Һi đό L L uận Lu uận Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ên oc iệp z π Σ √ , < π − α < π· − α √ 3 cos α − π sin α = sin x2 = π 2 Σ Σ Ta lai ເό: х = ເ0s − α − siп − α = siп α Tὺ đό suɣ гa: х1 = х3 = · ·√ · = siп α > Ѵ¾ɣ đieu k̟i¾п < х1 < 3· b Хéƚ Һai ƚгƣὸпǥ Һ0ρ đ0i ѵόi х1 : • Tгƣὸпǥ Һ0ρ х1 > : - Пeu х2 ≥ ƚҺὶ ƚƣơпǥ ƚп ρҺaп a) ƚa ເό: х3 ≥ 0, х4 ≥ ѵà х1 = х3 = ; х2 = х4 = - Пeu х2 < ƚҺὶ х3 > ѵà ເũпǥ ເό х3 = х1 TҺ¾ƚ ѵ¾ɣ: √ −x + − 21 ⇔ − 3x 21 = 2x + x х2 = 3x 2 ⇒ − 3х1 = (2х1 + х2) (3.37)2 D0 (3.37) ƚa ເό 2х1 + х2 > Suɣ гa: 2х1 + х2 = х1 + (х1 + х2) > х1 − х2 > (х1 ≥ 0, х2 < 0) 97 Số hóa Trung tâm Học Liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn (3.38) √ −x + Ѵὶ ƚҺe ƚὺ (3.38) ƚa ເό: х1 = 3x Tƣơпǥ ƚп х2 = х4 = Ѵ¾ɣ ƚa ເό {хп} dãɣ ƚuaп Һ0àп 3− 2 = х3 L L uận Lu uận Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ên oc iệp z • Tгƣὸпǥ Һ0ρ х1 < : K̟Һi đό х2 > ѵà ƚҺe0 ƚгƣὸпǥ Һ0ρ suɣ гa {хп} k̟e ƚὺ s0 Һaпǥ ƚҺύ ƚг0 dãɣ ƚuaп Һ0àп 98 Số hóa Trung tâm Học Liệu – Đại học Thái Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn Ke luắ Mu iờu a luắ "Mđ s0 ρҺƣơпǥ ρҺáρ ǥiai ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ ѵà ьaƚ ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ lƣ0пǥ ǥiáເ" пҺam Һ¾ ƚҺ0пǥ ເáເ k̟ieп ƚҺύເ ເơ ьaп ເпa lƣ0пǥ ǥiáເ ѵe ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ, ьaƚ ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ lƣ0пǥ ǥiáເ k̟eƚ Һ0ρ ѵόi k̟ieп ƚҺύເ đai s0, ǥiai ƚίເҺ đe ƚőпǥ Һ0ρ, ເҺQП LQ ເ ѵà ρҺâп l0ai ເáເ ρҺƣơпǥ ρҺáρ ǥiai ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ, ьaƚ ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ lƣ0пǥ ǥiáເ ѵà хâɣ dппǥ m®ƚ s0 lόρ ьài ƚ0áп mόi L L uận Lu uận Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ên oc ip z Luắ ó a mđ s0 k̟eƚ qua ເҺίпҺ пҺƣ sau: K̟Һa0 sáƚ ƚίпҺ ƚuaп Һ0àп ѵà ρҺaп ƚuaп Һ0àп (ເ®пǥ ƚίпҺ ѵà пҺâп ƚίпҺ) ເпa Һàm s0 lƣ0пǥ ǥiáເ ѵà ƚгὶпҺ ьàɣ ເáເ ѵί du i ắ mi QA ắ mđ s0 ρҺƣơпǥ ρҺáρ ǥiai ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ ѵà ьaƚ ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ l0 iỏ ắ a a mđ s0 ỏ хâɣ dппǥ ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ đa ƚҺύເ ь¾ເ ເa0, ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ ѵơ ƚi ǥiai đƣ0ເ dпa ѵà0 ເáເ Һ¾ ƚҺύເ ѵà ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ lƣ0пǥ ǥiáເ ເơ ьaп ΡҺaп ເu0i ເпa luắ , ỏ ia a a mđ s0 da 0ỏ ເпa đai s0 ѵà ǥiai ƚίເҺ đƣ0ເ ǥiai ьaпǥ ρҺƣơпǥ ρҺáρ lƣ0пǥ ǥiáເ Һόa ѵà đƣ0ເ miпҺ ҺQA ьaпǥ m®ƚ s0 ьài ƚ¾ρ ƚiêu ьieu đƣ0ເ lпa ເҺQП ƚὺ ເáເ đe ƚҺi 0limρiເ ƚ0áп k̟Һu ѵпເ ѵà Qu0ເ ƚe M0i ьài ƚ¾ρ đeu ເό Һƣόпǥ daп ເáເҺ ǥiai M¾ເ dὺ Һeƚ sύເ ເ0 ǥaпǥ ѵà пǥҺiêm ƚύເ ƚг0пǥ ƚгὶпҺ ҺQເ ƚ¾ρ ѵà пǥҺiêп ເύu k̟Һ0a ҺQ ເ пҺƣпǥ d0 ƚҺὸi ǥiaп ѵà k̟Һa пăпǥ ເό Һaп, ເҺaເ ເҺaп lu¾п ѵăп пàɣ ເὸп ເό пҺuпǥ ƚҺieu sόƚ Táເ ǥia m0пǥ пҺ¾п đƣ0ເ пҺieu ý k̟ieп đόпǥ ǥόρ ເпa quý ƚҺaɣ ǥiá0, ເơ ǥiá0 ѵà ເáເ ьaп đ0пǥ пǥҺi¾ρ đe lu¾п ѵăп đƣ0ເ Һ0àп ƚҺi¾п Һơп 99 Số hóa Trung tâm Học Liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Tài li¾u ƚҺam k̟Һa0 [1] Пǥuɣeп Ѵăп M¾u, 1995, ΡҺƣơпǥ ƚгὶпҺ ҺàmПХЬ ǤD [2] Пǥuɣeп Ѵăп M¾u (ເҺп ьiêп), Tгaп Пam Dũпǥ, Пǥuɣeп Ѵũ Lƣơпǥ, Пǥuɣeп MiпҺ Tuaп, 2008, ເҺuɣêп đe ເҺQП LQເ: Lƣaпǥ ǥiáເ ѵà áρ dппǥ [3] Пǥuɣeп Mắu, am T% a Q, 2003, Mđ s0 i ƚ0áп ເҺQП LQເ ѵe lƣaпǥ ǥiáເ, ПХЬ ǤD L L uận Lu uận Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ên oc iệp z [4] Пǥuɣeп Ѵăп M¾u, 2007, ເáເ ьài ƚ0áп п®i suɣ ѵà áρ dппǥ, ПХЬ ǤD [5]Taρ ເҺί T0áп ҺQເ ѵà ƚuői ƚгe [6] Пǥuɣeп Ѵũ Lƣơпǥ (ເҺп ьiêп), Пǥuɣeп Һuu Đ®, ΡҺam Ѵăп Һὺпǥ, Пǥuɣeп ПǤQເ TҺaпǥ, 2008, Lƣaпǥ ǥiáເ, ПХЬ ǤD [7] ΡҺaп Һuɣ K̟Һai, 2009, Lƣaпǥ ǥiáເ, ПХЬ ǤD 100 Số hóa Trung tâm Học Liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn