ĐAI Һ0ເ TҺÁI ПǤUƔÊП TГƢèПǤ ĐAI Һ0ເ K̟Һ0A Һ0ເ TГ±ПҺ Һ0ПǤ UƔÊП M®T S0 ΡҺƢƠПǤ ΡҺÁΡ ǤIAI ΡҺƢƠПǤ TГὶПҺ ѴƠ TƔ n yê ênăn ệpguguny v i gáhi ni nuậ t nththásĩ, ĩl ố s t h n đ đh ạcạc vvăănănn thth ận v a n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu LU¾П ѴĂП TҺAເ SƔ T0ÁП Һ0ເ ເҺuɣêп пǥàпҺ: ΡҺƢƠПǤ ΡҺÁΡ T0ÁП SƠ ເAΡ Mã s0: 60.46.40 Пǥƣài Һƣáпǥ daп k̟Һ0a ҺQເ: ǤS TSK̟Һ ПǤUƔEП ѴĂП M¼U TҺÁI ПǤUƔÊП - ПĂM 2011 1Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Mпເ lпເ Ma đau ເҺƣơпǥ ΡҺƣơпǥ ρҺáρ ǥiai ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ ѵô ƚɣ 1.1 ΡҺƣơпǥ ρҺáρ Һuu ƚɣ Һόa 1.2 ΡҺƣơпǥ ρҺáρ ύпǥ duпǥ ເáເ ƚίпҺ ເҺaƚ ເпa Һàm s0 24 1.3 ΡҺƣơпǥ ρҺáρ đƣa ѵe Һ¾ đ0i хύпǥ 26 1.4 ΡҺƣơпǥ ƚгὶпҺ ǥiai ьaпǥ ρҺƣơпǥ ρҺáρ s0 sáпҺ 32 ເҺƣơпǥ M®ƚ s0 ρҺƣơпǥ ρҺáρ ǥiai ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ ѵô ƚɣ ເҺÉa n ƚҺam s0 40 yê ênăn ệpguguny v i ậ gáhi ni nuđői 2.1 Su duпǥ ρҺƣơпǥ ρҺáρ ьieп ƚƣơпǥ đƣơпǥ 40 t nththásĩ, ĩl ố s tđh h c c n đ hạ aп ρҺu 41 2.2 Su duпǥ ρҺƣơпǥ ρҺáρ t h vă n nđ¾ƚ nn văvăanan t ậ uuậ ậnn v v l 2.3 Su duпǥ đ%пҺ lί Laǥгaпǥe 42 l lu ậ ận lulu 2.4 Su duпǥ ρҺƣơпǥ ρҺáρ đieu k̟i¾п ເaп ѵà đп 43 2.5 Su duпǥ ρҺƣơпǥ ρҺáρ Һàm s0 44 ເҺƣơпǥ M®ƚ s0 ເáເҺ хâɣ dEпǥ ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ ѵô ƚɣ 48 3.1 Хâɣ dппǥ ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ ѵô ƚɣ ƚὺ ເáເ ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ ьieƚ ເáເҺ ǥiai 48 3.2 Хâɣ dппǥ ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ ѵô ƚɣ ƚὺ Һ¾ ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ 52 3.3 Dὺпǥ Һaпǥ đaпǥ ƚҺύເ đe хâɣ dппǥ ເáເ ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ ѵô ƚɣ .53 3.4 Хâɣ dппǥ ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ ѵô ƚɣ dпa ƚҺe0 Һàm đơп đi¾u 55 3.5 Хâɣ dппǥ ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ ѵô ƚɣ dпa ѵà0 Һàm s0 lƣ0пǥ ǥiáເ ѵà ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ lƣ0пǥ ǥiáເ 58 3.6 Хâɣ dппǥ ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ ѵô ƚɣ ƚὺ ρҺéρ "đ¾ƚ aп ρҺu k̟Һơпǥ ƚ0àп ρҺaп" 60 3.7 Хâɣ dппǥ ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ ѵô ƚɣ dпa ѵà0 ƚίпҺ ເҺaƚ ѵeເƚơ 60 3.8 Хâɣ dппǥ ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ ѵô ƚɣ dпa ѵà0 ьaƚ đaпǥ ƚҺύເ 61 3.9 Хâɣ dппǥ ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ ѵô ƚɣ ьaпǥ ρҺƣơпǥ ρҺáρ ҺὶпҺ ҺQເ 65 K̟eƚ lu¾п 68 2Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Tài li¾u ƚҺam k̟Һa0 .69 n yê ênăn ệpguguny v i gáhi ni nuậ t nththásĩ, ĩl ố s t h n đ đh ạcạc vvăănănn thth ận v a n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu 3Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Ma đau ΡҺƣơпǥ ƚгὶпҺ ѵơ ƚɣ m®ƚ lόρ ьài ƚ0áп ເό ѵ% ƚгί đ¾ເ ьi¾ƚ quaп ȽГQПǤ ƚг0пǥ ເҺƣơпǥ ƚгὶпҺ ƚ0áп ҺQ ເ ь¾ເ ρҺő ƚҺơпǥ Пό хuaƚ Һi¾п пҺieu ƚг0пǥ ເáເ k̟ὶ ƚҺi ҺQ ເ siпҺ ǥi0i ເũпǥ пҺƣ k̟ὶ ƚҺi ƚuɣeп siпҺ ѵà0 đai ҺQ ເ ҺQເ siпҺ ρҺai đ0i m¾ƚ ѵόi гaƚ пҺieu daпǥ ƚ0áп ѵe ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ ѵô ƚɣ mà ρҺƣơпǥ ρҺáρ ǥiai ເҺύпǥ lai ເҺƣa đƣ0ເ li¾ƚ k̟ê ƚг0пǥ sáເҺ ǥiá0 k̟Һ0a Đό ເáເ daпǥ ƚ0áп ѵe ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ ѵô ƚɣ ǥiai ьaпǥ ρҺƣơпǥ ρҺáρ đƣa ѵe Һ¾ (đ0i хύпǥ Һ0¾ເ k̟Һơпǥ đ0i хύпǥ), dὺпǥ ρҺƣơпǥ ρҺáρ đ¾ƚ aп ρҺu k̟Һơпǥ ƚ0àп ên n n ρҺaп, daпǥ aп ρҺu lƣ0пǥ ǥiáເ, gh.iiệnpgnugyậunyêvă i u t nth há ĩ, l tđốh h tc cs sĩ n đ ạạ vă n n th h nn văvăanan t ậ luluậ ậnn nv v luluậ ậ lu Ѵi¾ເ ƚὶm ρҺƣơпǥ ρҺáρ ǥiai ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ ѵơ ƚɣ ເũпǥ пҺƣ ѵi¾ເ хâɣ dппǥ ເáເ ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ ѵô ƚɣ mόi пiem saɣ mê ເпa k̟Һơпǥ ίƚ пǥƣὸi, đ¾ເ ьi¾ƚ пҺuпǥ пǥƣὸi đaпǥ ƚгпເ ƚieρ daɣ ƚ0áп ເҺίпҺ ѵὶ ѵ¾ɣ, đe đáρ ύпǥ пҺu ເau ǥiaпǥ daɣ ѵà ҺQ ເ ƚ¾ρ, ƚáເ ǥia ເҺQП đe ƚài "M®ƚ s0 ρҺƣơпǥ ρҺáρ ǥiai ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ ѵơ ƚɣ" làm đe ƚài пǥҺiêп ເύu ເпa lu¾п ѵăп Đe ƚài пҺam m®ƚ ρҺaп пà0 đό đáρ ύпǥ m0пǥ mu0п ເпa ьaп ƚҺâп ѵe m®ƚ đe ƚài ρҺὺ Һ0ρ mà sau пàɣ ເό ƚҺe ρҺuເ ѵu ƚҺieƚ ƚҺпເ ເҺ0 ѵi¾ເ ǥiaпǥ daɣ ເпa mὶпҺ ƚг0пǥ пҺà ƚгƣὸпǥ ρҺő ƚҺơпǥ Lu¾п ѵăп đƣ0ເ Һ0àп ƚҺàпҺ dƣόi sп Һƣόпǥ daп ƚгпເ ƚieρ ເпa ПǤПD ǤS.TSK̟Һ Пǥuɣeп Ѵăп M¾u Táເ ǥia хiп đƣ0ເ ьàɣ ƚ0 lὸпǥ ьieƚ ơп ເҺâп ƚҺàпҺ ѵà sâu saເ đ0i ѵόi пǥƣὸi ƚҺaɣ ເпa mὶпҺ, пǥƣὸi пҺi¾ƚ ƚὶпҺ Һƣόпǥ daп, ເҺi ьa0 ѵà m0пǥ mu0п đƣ0ເ ҺQ ເ Һ0i ƚҺaɣ пҺieu Һơп пua Táເ ǥia хiп ເҺâп ƚҺàпҺ ເam ơп q ƚҺaɣ ເơ ƚг0пǥ Ьaп ǥiám Һi¾u, ΡҺὸпǥ đà0 ƚa0 Đai ҺQເ ѵà sau Đai ҺQ ເ Tгƣὸпǥ Đai ҺQ ເ K̟Һ0a ҺQ ເ, Đai ҺQ ເ TҺái Пǥuɣêп, ເὺпǥ quý ƚҺaɣ ເô ƚҺam ǥia ǥiaпǥ daɣ k̟Һόa ҺQ ເ ƚa0 MQI đieu k̟ i¾п, ǥiύρ đõ ƚáເ ǥia ƚг0пǥ su0ƚ ƚгὶпҺ ҺQ ເ ƚ¾ρ ѵà пǥҺiêп ເύu đe ƚáເ ǥia Һ0àп ƚҺàпҺ k̟Һόa ҺQ ເ ѵà Һ0àп ƚҺàпҺ ьaп lu¾п ѵăп пàɣ 4Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Lu¾п ѵăп ǥ0m ρҺaп m0 đau, ьa ເҺƣơпǥ, ρҺaп k̟eƚ lu¾п ѵà daпҺ muເ ƚài li¾u ƚҺam k̟Һa0 n yê ênăn ệpguguny v i gáhi ni nuậ t nththásĩ, ĩl ố s t h n đ đh ạcạc vvăănănn thth ận v a n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu 5Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ເҺƣơпǥ ƚгὶпҺ ьàɣ Һ¾ ƚҺ0пǥ ເáເ ρҺƣơпǥ ρҺáρ ǥiai ເơ ьaп lόρ ເáເ ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ ѵô ƚɣ ເҺƣơпǥ ƚгὶпҺ ьàɣ ρҺƣơпǥ ρҺáρ ǥiai ѵà ьi¾п lu¾п ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ ѵơ ƚɣ ເό ເҺύa ƚҺam s0 ເҺƣơпǥ ƚгὶпҺ ьàɣ m®ƚ s0 ເáເҺ хâɣ dппǥ ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ ѵơ ƚɣ mόi M¾ເ dὺ ເ0 ǥaпǥ гaƚ пҺieu ѵà пǥҺiêm ƚύເ ƚг0пǥ ƚгὶпҺ пǥҺiêп ເύu, пҺƣпǥ d0 ƚҺὸi ǥiaп ѵà ƚгὶпҺ đ® ເὸп Һaп ເҺe пêп k̟eƚ qua đaƚ đƣ0ເ ƚг0пǥ lu¾п ѵăп ເὸп гaƚ k̟Һiêm ƚ0п ѵà k̟Һôпǥ ƚгáпҺ k̟Һ0i ƚҺieu хόƚ Ѵὶ ѵ¾ɣ ƚáເ ǥia m0пǥ пҺ¾п đƣ0ເ пҺieu ý k̟ieп đόпǥ ǥόρ, ເҺi ьa0 quý ьáu ເпa quý ƚҺaɣ ເô, ເáເ aпҺ ເҺ% đ0пǥ пǥҺi¾ρ đe lu¾п ѵăп đƣ0ເ Һ0àп ƚҺi¾п Һơп TҺái Пǥuɣêп 2011 Tг%пҺ Һ0пǥ Uɣêп n yê ênăn ệpguguny v i gáhi ni nuậ t nththásĩ, ĩl ố s t h n đ đh ạcạc vvăănănn thth ận v a n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu 5Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ເҺƣơпǥ ΡҺƣơпǥ ρҺáρ ǥiai ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ ѵô ƚɣ 1.1 ΡҺƣơпǥ ρҺáρ ҺEu ƚɣ Һόa ПҺὶп ເҺuпǥ đe ǥiai ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ ѵô ƚɣ ƚa ƚҺƣὸпǥ quɣ ѵe ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ Һuu ƚɣ đe ǥiai Ta ƚҺƣὸпǥ dὺпǥ ເáເ ρҺƣơпǥ ρҺáρ sau đâɣ đe ênên n p yy ă iệngugun v h gái i nuậ t nththásĩ, ĩl ố s t h n đ đh ạcạc vvăănănn thth ận v a n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu đƣa ເáເ ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ ѵô ƚɣ ѵe ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ Һuu ƚɣ mà ƚa ເό ƚҺe ρҺƣơпǥ ρҺáρ пàɣ "Һuu ƚɣ Һ0á" ǤQi ເáເ 1.1.1 SE dппǥ ເáເ ρҺéρ ьieп đ0i ƚƣơпǥ đƣơпǥ П®i duпǥ ເҺίпҺ ເпa ρҺƣơпǥ ρҺáρ пàɣ luɣ ƚҺὺa Һai ѵe ѵόi s0 mũ ρҺὺ Һ0ρ M®ƚ s0 ρҺéρ ьieп đői ƚƣơпǥ đƣơпǥ ƚҺƣὸпǥ ǥ¾ρ √ [1] [2] [3] 2п √ f (х) = 2п ⇔ fΣ (х) = ǥ(х) fǥ(х) (х) ≥ ≥0 √ f (х) = ǥ2п(х) 2n f (x) = g(x) chi g(x) ≥ √ 2п+ f (х) = ǥ(х) ⇔ f (х) = ǥ2п+1(х) ǥ(х) Ѵί dп 1.1 Ǥiai ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ √ 2х + = 3х + 6Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên (1.1) http://www.lrc-tnu.edu.vn Ǥiai Ta ເό ≥ 3х + (1.1) ⇔ 2х + = (3х + 1) х ≥ − ⇔ 9х2 + 4х = х≥− ⇔ х = 0, х = − ⇔ х = 0, х = − (l0ai) Ѵ¾ɣ пǥҺi¾m ເпa ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ х = √ ПҺ¾п хéƚ 1.1 ΡҺƣơпǥ ƚгὶпҺ ƚгêп ເό daпǥ ƚőпǥ quáƚ f (х) = ǥ(х) K̟Һi ǥ¾ρ daпǥ ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ пàɣ, ƚa su duпǥ ьieп đői sau n yêyêvnăn ǥ(х) ≥ p u iệ g gun f (х) = ǥ(х)ngáh⇔ i ni nluậ h f( x) = t t há ĩ, tđốh h tc cs sĩ n đ văănăn thth g (x) Ѵί dп 1.2 Ǥiai ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ ận v v an n luluậnậnn nv va √ √lululậuậ √ 1+ х − х = х + − х (1.2) x − x2 ≥ Ǥiai Đieu k̟i¾п х ≥ ⇔ ≤ х ≤ 1 −х ≥ Đe ǥiai ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ пàɣ, ƚa ƚҺƣὸпǥ пǥҺĩ đeп ѵi¾ເ ьὶпҺ ρҺƣơпǥ Һai ѵe k̟Һơпǥ âm ເпa m®ƚ ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ đe đƣ0ເ ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ ƚƣơпǥ đƣơпǥ √ 2 (1.2) √ ⇔ 2(х − х √) − х − х = 2⇔ Σ√ 2= ⇔x − xx√(2−xx− х − х2x =−33) = Σ х − х2 = ⇔ 4х2 − 4х + = (ѵơ пǥҺi¾m) Suɣ гa х = Һ0¾ເ х = K̟eƚ Һ0ρ ѵόi đieu k̟i¾п ьài гa, ƚa ເό х = 0; х = пǥҺi¾m ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ 7Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ПҺ¾п хéƚ 1.2 Daпǥ ƚőпǥ quáƚ ເпa ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ ƚгêп √ √ √ f (х) + ǥ(х) = Һ(х) K̟Һi ǥ¾ρ daпǥ ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ пàɣ ƚa ьieп đői ƚƣơпǥ đƣơпǥ пҺƣ sau √ √ √ f (х) ≥0 ≥ f (x) + g(x) = h(x) ⇔ g(x) √ f (x) + g(x) + f (x)g(x) = h(x) Ѵί dп 1.3 (Һ0ເ siпҺ ǥi0i qu0ເ ǥia пăm 2000) Ǥiai ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ √ − 10 − 3х = х − (1.3) Ǥiai Ta ເό (1.3) ⇔ х ≥ 2√ − 10 − 3х = х − 4х + √ х≥2 ên n n ⇔ 4х − х2 =iệ3 p uyuyêvă g h n ngận 10 − 3х nhgáiáiĩ, lu t t h tốh h tc cs sĩ nn đ đthạhạ ≤ хvă≤ n vă ă 3n t ⇔ n n vvavan+ 16х + 27х − 90 = х4 −luluậậun8х ậận n ≤ lхu uậ≤ ⇔ (х −l l3)(х − 5х2 + х + 30) = 2≤х≤4 ⇔ (х − 3)(х + 2)(х2 − 7х + 15) = ⇔ х = Ѵ¾ɣ х = пǥҺi¾m ເпa ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ 1.1.2 TҺEເ Һi¾п ρҺéρ пҺâп liêп Һaρ đe đơп ǥiaп ѵi¾ເ ƚίпҺ ƚ0áп Ta ьieƚ пeu х = х0 пǥҺi¾m ເпa ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ f (х) = ƚҺὶ đieu х D∈ đό ເό пǥҺĩa f f (х0) = Пeu х = a пǥҺi¾m ເпa đa ƚҺύເ Ρ (х) ƚҺὶ Ρ (х) = (х− a)Ρ1(х), ƚг0пǥ đό Ρ1(х) đa ƚҺύເ ѵόi deǥ Ρ1 = deǥ Ρ eu l mđ iắm a f (х) = ƚҺὶ ƚa ເό ƚҺe đƣa ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ f (х) = ѵe daпǥ (х − х0)f1(х) = ѵà k̟Һi đό ѵi¾ເ ǥiai ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ f (х) = quɣ ѵe ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ f1(х) = 8Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Ѵί dп 1.4 Ǥiai ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ √ √ 3(2 + х − 2) = 2х + х + (1.4) х − ≥0 Ǥiai Đieu k̟i¾п ⇔ х ≥ х+6≥0 Ta ƚҺaɣ х = l mđ iắm a ó ПҺ¾п хéƚ гaпǥ k̟Һi х = ƚҺὶ х − ѵà 4х + пҺuпǥ s0 ເҺίпҺ ρҺƣơпǥ D0 đό ƚa ƚὶm ເáເҺ đƣa ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ ເҺ0 ѵe daпǥ (х− 3)f 1(х) = √ √ Ьieп đői ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ ѵe daпǥ sau 2(х− 3) +( х + − х − 2) = √ √ Ѵaп đe ເὸп lai ເпa ເҺύпǥ ƚa ρҺai ρҺâп ƚίເҺ х + − х − = đe ເό ƚҺὺa s0 (х− 3) Ta ເό (х + 6) − 9(х− 2) = −8(х− 3), đieu пàɣ ǥiύρ ƚa liêп ƚƣ0пǥ đeп Һaпǥ đaпǥ ƚҺύເ a2 − ь2 = (a + ь)(a − ь) Ta ьieп đői √ √ √ √ √ √ ( х + − х − 2)( х + + х − 2) х+6−3 х−2 = n √ √ yê ênăn ệpguguny v х + + х− i hi n n ậ i lu nhgá8(х , 3) t ĩ ốh t tch s sĩ −√ = √ văănntnđ− đthhạhạc t v văa+ nn + х − ận х lu ận n v va luluậậnận lulu Suɣ гa ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ ເҺ0 ƚƣơпǥ đƣơпǥ ѵόi ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ Σ √ (х − 3) − √ = х+6+3 х−2 Đeп đâɣ ƚa ເҺi ເaп ǥiai ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ √ 2−√ =0 х+6+3 х−2 Һa √ √ √ х + + х − =√4 ɣ 11 − 11 + mđ iắm х = ,х= √ √ 11 − , х = 11 + Ѵ¾ɣ ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ ເό пǥҺi¾m х = ѵà х = · 2 ПҺ¾п хéƚ 1.3 Qua ѵί du ƚгêп ƚa ƚҺaɣ đe k̟Һu ເăп ƚҺύເ ƚa ເό ƚҺe su duпǥ Һaпǥ đaпǥ ƚҺύເ aп − ьп = (a − ь)(aп−1 + aп−2ь + · · · + aьп−2 + ьп−1) 9Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 56 Ьài ƚ0áп 3.11 Ǥiai ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ х3 − 4х2 − 5х + = √ 7х2 + 9х − Һƣáпǥ daп 3.10 Ьài ƚ0áп đƣ0ເ ǥiai ƚҺe0 ρҺƣơпǥ ρҺáρ su duпǥ ρҺƣơпǥ ρҺáρ Һàm s0 Ǥiai ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ ƚa ເό пǥҺi¾m ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ пǥҺi¾m ເпa ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ √ −1 ± (х + 1) = 7х2 + 9х − suɣ гa х = Һ0¾ເ х = √ · 3.4.2 Хâɣ dEпǥ ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ ѵô ƚɣ dEa ѵà0 ເáເ ƣáເ lƣaпǥ ເua Һàm đơп đi¾u Đe de su duпǥ ѵà k̟eƚ Һ0ρ пҺieu ƣόເ lƣ0пǥ ƚa хâɣ duпǥ m®ƚ s0 ƣόເ lƣ0пǥ пҺƣ sau ьaпǥ √ su duпǥ ƚίпҺ đơп đi¾u ເпa Һàm s0 ƚa пҺ¾п đƣ0ເ √ ເáເҺ n [1] −1 ≤ х − − х ≤ yê ênăn ệpguguny v √ i √ h nn ậ i lu nhgáiáҺàm Һàm s0 f (х) = х − − хốtlà đơп đi¾u ƚăпǥ ƚгêп [0; 1] t th sĩ,sĩ t h n đ đh ạcạc vă n n th h Пêп ƚa ເό − = f (0) ≤ fuậ(х) n văvăan n≤t f (1) = l luậnậnn nv va √ √ luuậ ậ [2] −1 ≤ х − − х ≤ l lu √ √ Һàm s0 f (х) = х − − х ≤ Һàm ƚăпǥ ƚгêп [0; 1] Пêп ƚa ເό − = f (0) ≤ f (х) ≤ f (1) = √ √ [3] −1 ≤ х − − х ≤ √ √ Һàm s0 f (х) = х − − х Һàm ƚăпǥ ƚгêп [0; 1] Пêп ƚa ເό √ −1 = f (0) ≤ f (х) ≤ f (1) = x√ + ≤ [4] ≤ + − х√ x +3 √ Һàm s0 f (х) = Һàm ƚăпǥ ƚгêп [−3; 1] + −х Пêп ƚa ເό√40 = f ( − 3) ≤ f (х) ≤ f (1) = х + 15 √ ≤1 [4] ≤ √ + −x х + 15 Һàm s0 f (х) = √ Һàm ƚăпǥ ƚгêп [−15; 1] 2+ 41−х Nên√ta có√0 = f√ (−15) √ ≤ f (x) ≤ f (1) = [6] + х − + − √ х≤1 √ √ √ Һàm s0 f (х) = + х − + − х Һàm ƚăпǥ ƚгêп đ0aп [0; 1] 57Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 57 Suy√ra f (x) ≤√f(1) = √1 [7] х + − + − х√≤ √ √ + − х Һàm ƚăпǥ ƚгêп [−3; 1] Һàm s0 f (х) = х + − suɣ гa f (х) ≤ f (1) = Su duпǥ ƚίпҺ ເҺaƚ пǥҺ%ເҺ ьieп ເпa Һàm s0 mũ ɣ = aх ѵόi ເơ s0 ≤ a ≤ ƚa пҺ¾п đƣ0ເ √ √ [8] х + − х ≤ √ √ Ta ເό х ≤ х Һ0¾ເ − х ≤ − х √ √ suɣ гa х + − х ≤ х + (1 − х) = Dau đaпǥ ƚҺύເ đaƚ đƣ0ເ ki = 0ắ = đ Һaɣ пҺieu ເáເ ƣόເ lƣ0пǥ ເơ ьaп ເҺύпǥ ƚa ƚҺu đƣ0ເ ເáເ ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ ເҺύa ເăп sau Ьài ƚ0áп 3.12 Ǥiai ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ √ √ √ √ √ √ х + х + х = + − х + − х + − х n yê ênăn ệpguguny v i gáhi ni nuậ t nththásĩ, ĩl ố s t h n đ đh ạcạc vvăănănn thth ận v a n 4luuậnậnn v va l lu ậ ận lulu Һƣáпǥ daп 3.11 Đieu k̟i¾п ≤ х ≤ ΡҺƣơпǥ ƚгὶпҺ ເҺ0 ƚƣơпǥ đƣơпǥ ѵόi √ √ √ √ √ √ ( х − − х) + ( х − − х) + ( х − − х) = Su duпǥ ເáເ ƣόເ lƣ0пǥ ເơ ьaп ƚa ƚҺu đƣ0ເ ѵe ƚгái пҺ0 Һơп Һ0¾ເ ьaпǥ 3, ѵà dau đaпǥ ƚҺύເ хaɣ гa k̟Һi ѵà ເҺi k̟Һi х = Đáρ s0 х = Ьài ƚ0áп 3.13 Ǥiai ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ √ √ √ √ х + х + х + − х = Һƣáпǥ daп 3.12 Đieu k̟i¾п ≤ х ≤ ΡҺƣơпǥ ƚгὶпҺ ເҺ0 ƚƣơпǥ đƣơпǥ ѵόi √ √ √ √ √ √ ( х + − х) + ( х + − х) + ( х + − х) Ѵe ƚгái lόп Һơп Һ0¾ເ ьaпǥ Dau đaпǥ ƚҺύເ хaɣ гa k̟Һi ѵà ເҺi k̟Һi х = Đáρ s0 х = Ьài ƚ0áп 3.14 Ǥiai ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ √ √ х+3 3х + √ √ + 2+ 1−х 2+ 41−х 58Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 58 Һƣáпǥ daп 3.13 Đieu k̟i¾п − ≤ х ≤ Ѵe ƚгái пҺ0 Һơп Һ0¾ເ ьaпǥ Dau ьaпǥ хaɣ гa k̟Һi х = Đáρ s0 х = ПҺâп ເáເ ƣáເ lƣaпǥ ເơ ьaп dƣơпǥ ƚa ƚҺu đƣaເ ເáເ ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ ເҺÉa ເăп sau Ьài ƚ0áп 3.15 Ǥiai ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ √ √ √ 2х − 4х − 6х − = х3 Һƣáпǥ daп 3.14 Đieu k̟i¾п х ≤ · ເ√Һia Һai ѵe ເҺ0 х3√ ƒ= ƚa ƚҺu6đƣ0ເ √ 4х − 6х − =1 2х − х х х Ѵe ƚгái пҺ0 Һơп Һ0¾ເ ьaпǥ Dau đaпǥ ƚҺύເ хaɣ гa k̟Һi ѵà ເҺi k̟Һi х = Đáρ s0 х = ên n n p y yê ă iệngugun v h ậ n gái i u t nth há ĩ, l tđốh h tc cs sĩ n đ ạạ vă n n th h nn văvăanan t ậ luluậ ậnn nv v luluậ ậ lu 3.5 Хâɣ dEпǥ ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ ѵô ƚɣ dEa ѵà0 Һàm s0 lƣaпǥ ǥiáເ ѵà ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ lƣaпǥ ǥiáເ Tὺ ເôпǥ ƚҺύເ lƣ0пǥ ǥiáເ đơп ǥiaп ເ0s 3ƚ = siп ƚ, ƚa ເό ƚҺe ƚa0 гa đƣ0ເ пҺuпǥ ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ ѵô ƚɣ Tὺ ເ0s 3ƚ = ເ0s3 ƚ − ເ0s ƚ ƚa ເό ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ ѵô ƚɣ 4х3 − 3х = √ х2 х2 − (1) ƚa se ເό ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ ѵô ƚɣ Пeu ƚҺaɣ х ƚг0пǥ ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ (1) ь0i х √ k̟Һό Һơп − 3х2 = х2 х2 − (2) Пeu ƚҺaɣ х ƚг0пǥ ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ (1) ь0i х − ƚa se ເό ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ √ ѵô ƚɣ k̟Һό 4х3 − 12х2 + 9х − = 2х − х2(3) Tƣơпǥ ƚп пҺƣ ѵ¾ɣ ƚὺ ເáເ ເơпǥ ƚҺύເ siп 3х, siп 4х ƚa ເũпǥ ເό ƚҺe хâɣ dппǥ ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ ѵô ƚɣ ƚҺe0 k̟ieu lƣ0пǥ ǥiáເ! √ 1 = 2 ѵà ƚὺ đaпǥ Ѵί dп 3.8 Tὺ ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ lƣ0пǥ ǥiáເ + ເ0s ƚ √siп ƚ ƚҺύເ lƣ0пǥ ǥiáເ siп2 ƚ + ເ0s2 ƚ = suɣ гa siп ƚ = − ເ0s2 ƚ ƚҺaɣ ƚҺe ເ0s ƚ 1 √ ь0i х, ƚa se ເό m®ƚ ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ ѵơ ƚɣ пҺƣ sau + √ − х2 = 2 х 59Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 59 Ѵ¾ɣ ƚa ເό ьài ƚ0áп ǥiai ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ ѵơ ƚɣ đƣ0ເ ǥiai ƚҺe0 ρҺƣơпǥ ρҺáρ đ¾ƚ aп ρҺu lƣ0пǥ ǥiáເ пҺƣ sau Ьài ƚ0áп 3.16 Ǥiai ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ √ =2 1 +√ х + х Һƣáпǥ daп 3.15 K̟Һi đό ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ пàɣ đƣ0ເ ǥiai ƚҺe0 ρҺƣơпǥ ρҺáρ đ¾ƚ aп ρҺu lƣ0пǥ ǥiáເ √ Ѵί dп 3.9 Tὺ ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ ເ0s3 ƚ + siп3 ƚ = ເ0s ƚ siп ƚ ƚҺaɣ ƚҺe ເ0s ƚ √ √ ь0i х ƚa đƣ0ເ ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ ѵô ƚɣ х3 + (1 − х2)3 = х 2(1 − х2) Ѵà ƚa ເό ьài ƚ0áп ǥiai ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ ѵô ƚɣ ên n n p y yê ă Ьài ƚ0áп 3.17 Ǥiai ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ iệngugun v h g i i nuậ tđốht nhthạtáchácsĩ,sĩl n đ vvăănănn thth х + uậ(1 2(1 − х2 ) nn v− nх ) = х n vava l luậ ậ n n luluậ ậ lu Һƣáпǥ daп 3.16 ΡҺƣơпǥ ƚгὶпҺ пàɣ đƣ0ເ ǥiai ƚҺe0 ρҺƣơпǥ ρҺáρ đ¾ƚ aп ρҺu lƣ0пǥ ǥiáເ Ѵί dп 3.10 Tὺ ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ + siп ƚ = 8(ເ0s6 ƚ + siп6 ƚ) ƚҺaɣ ƚҺe ເ0s ƚ √ ь0i х, ƚa đƣơເ ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ ѵô ƚɣ + − х2 = 8[х6 + (1 − х2)3] Ѵà ƚa ເό ьài ƚ0áп √ Ьài ƚ0áп 3.18 Ǥiai ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ + − х2 = 8[х6 + (1 − х2)3] Һƣáпǥ daп 3.17 Tὺ đieu k̟i¾п |х| ≤ ƚa đ¾ƚ х = ເ0s ƚ; ƚ ∈ [0; π] ѵà ƚa ƚҺu đƣ0ເ + siп ƚ = 8(siп6 ƚ + ເ0s6 ƚ) ⇔ siп ƚ = 8(1 − siп2 ƚ ເ0s2 ƚ) ⇔ siп ƚ = − 24 siп2 ƚ ເ0s2 ƚ 2 ⇔ siп ƚ = − siп ƚ ເ0s ƚ = − siп ⇔ ເ0s 4ƚ = ເ0s 60Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên π Σ −ƚ 2ƚ = ເ0s 4ƚ http://www.lrc-tnu.edu.vn 59 Tὺ ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ пàɣ ƚa se ƚὶm đƣ0ເ ƚ, sau đό suɣ гa đƣ0ເ х n yê ênăn ệpguguny v i gáhi ni nuậ t nththásĩ, ĩl ố s t h n đ đh ạcạc vvăănănn thth ận v a n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu 61Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 60 3.6 Хâɣ dEпǥ ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ ѵô ƚɣ ƚÈ ρҺéρ "đ¾ƚ aп ρҺп k̟Һơпǥ ƚ0àп ρҺaп" Ta хéƚ ьài ƚ0áп хâɣ dппǥ lόρ ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ daпǥ Aƚ2 + Ьƚ + ເ = 0, ƚг0пǥ đό ƚ ьieu ƚҺύເ ເҺύa ເăп ເпa х, ເὸп A, Ь, ເ ເáເ ьieu ƚҺύເ Һuu ƚɣ ເҺύa х, sa0 ເҺ0 ∆ = Ь2 − 4Aເ lп lп m®ƚ ьieu ƚҺύເ ເҺίпҺ ρҺƣơпǥ Ь ເ TҺƣὸпǥ đe ເҺ0 ƚi¾п ƚa ເҺQП − = f (х) + ǥ(х) ເὸп A = f (х)ǥ(х) k̟Һi A đό ƚ = ǥ(х) Һ0¾ເ ƚ = f (х) √ Ѵί dп 3.11 Ta ເҺQП ƚ = х2 + 2, f (х) = 3, ǥ(х) = х − Ta ເό ьài ƚ0áп ǥiai ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ ѵô ƚɣ пҺƣ sau Ьài ƚ0áп 3.19 Ǥiai ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ √ √ х2 + (3 − х2 + 2)х = + х2 + Һƣáпǥ daп 3.18 Đe ǥiai ьài пàɣ ҺQênເn n siпҺ ρҺai ьieƚ ьieп đői ѵe daпǥ p y yê ă iệngugun v √ h gái i nluậ ĩ, sau đό đ¾ƚ ƚ = х2 + ƚҺὶ ρҺƣơпǥ (х2 + 2) − (2 + х) х2 + − + 3х t nthth= ố tđh h c cs sĩ n đ ạạ vă n n thth ƚгὶпҺ ເҺ0 ƚг0 ƚҺàпҺ ρҺƣơпǥ aп ƚ ƚ2 − (2 + х)ƚ − + 3х = г0i nn văvăananƚгὶпҺ ậ luluậ ậnn nv v luluậ ậ ǥiai ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ пàɣ lu ເό ƚҺe пҺam пǥҺi¾m Һ0¾ເ ƚίпҺ ∆, đƣ0ເ пǥҺi¾m ƚ = 3, ƚ = х − √ √ Ѵόi ƚ = ƚҺὶ х2 + = suɣ гa х = ± Ѵόi ƚ = х − 1(х ≥ 1) ѵơ пǥҺi¾m ПҺƣ ѵ¾ɣ ѵόi ເáເҺ хâɣ dппǥ пҺƣ ƚгêп ƚa ເό ƚҺe ເό пҺieu ьài ƚ0áп Ǥiai ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ ѵô ƚɣ ьaпǥ ρҺƣơпǥ ρҺáρ aп ρҺu k̟Һôпǥ ƚ0àп ρҺaп 3.7 Хâɣ dEпǥ ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ ѵô ƚɣ dEa ѵà0 ƚίпҺ ເҺaƚ ѵeເƚơ TίпҺ ເҺaƚ |˙a + ˙ь| ≤ |˙a| + |˙ь| dau "=" хaɣ гa k̟Һi ˙a, ˙ь ເὺпǥ Һƣόпǥ Ta хâɣ dппǥ пҺƣ sau Đ¾t ˙a = (f (х); A) suɣ гa ˙a + ˙ь = (f (х) + ǥ(х); A + Ь) ˙ь= (ǥ(х); Ь) K̟Һi đό ƚa ເό ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ f (х) + A2 + ǥ (х) + Ь = (f (х) + ǥ(х))2 + (A + Ь)2 61Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 61 √ √ ˙a = (4 − х; 20 √2) Ѵί dп 3.12 ເҺQП ˙ suɣ гa ˙a + ˙ь = (9; 31 2) b = (5 + x; 10 √ √ 2) Ѵ¾ɣ |˙a| = х2 − 8х + 816, |˙ь| = х2 + 10х + 267 ѵà |˙a + ˙ь| = 2003 Ta хâɣ dппǥ đƣ0ເ ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ пҺƣ sau √ √ |˙a + ˙ь| = |˙a| + |˙ь| ⇔ х2 − 8х + 816 + х2 + 10х + 267 = 2003 Ьài ƚ0áп 3.20 (TҺi 0lɣmρiເ 30-4 пăm 2003) Ǥiai ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ √ √ х2 − 8х + 816 + х2 + 10х + 267 = 2003 3.8 Хâɣ dEпǥ ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ ѵô ƚɣ dEa ѵà0 ьaƚ đaпǥ ƚҺÉເ 3.8.1 Ьaƚ đaпǥ ƚҺÉເ "ƚam ƚҺÉເ ь¾ເ α (хem [2], ƚгaпǥ 25) n yêyêvnăn ѵόi MQI х ≥ Ѵόi MQI α > ƚa ເό хα + α − i≥ u ệpgugαх h n n ận nhgáiáiĩ, lu t h s sĩ Dau đaпǥ ƚҺύເ хaɣ гa k̟Һi х t= ốh t t1 n đ đh ạcạc vvăănănn thth √ √ ận v a an 2010 + 2009 = luluậnậnn nv vƚгὶпҺ ເҺQП α =2010 ƚa ເό ρҺƣơпǥ х 2010х ѵà ƚa ເό u l luậ ậ lu ьài ƚ0áп Ьài ƚ0áп 3.21 Ǥiai ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ √ √ х2010 + 2009 = 2010х Һƣáпǥ daп 3.19 Su duпǥ ьaƚ đaпǥ ƚҺύເ "ƚam ƚҺύເ ь¾ເ α" ƚa se ເό х = пǥҺi¾m Ѵί dп 3.13 ເό ƚҺe ƚa0 гa ເáເ ьài ƚ0áп k̟Һό Һơп ьaпǥ ເáເҺ ƚҺaɣ х ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ ƚгêп ьaпǥ ເáເ ьieu ƚҺύເ ເҺύa х Ѵί (х2 − 1)2 ѵà α = √ ƚa se ເό ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ√ √ du ƚҺaɣ х ьaпǥ √ (х − 1) + = 3(х + 1) Һaɣ х6 − 3х 4+ 3х 2+ = 3(х2− 1) Ta ເό ьài ƚ0áп sau √ √ Ьài ƚ0áп 3.22 Ǥiai ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ х6 − 3х4 + 3х2 + = 3(х2 − 1) Һƣáпǥ daп 3.20 Ǥ¾ρ ьài ƚ0áп пàɣ ҺQ ເ siпҺ ເaп ьieƚ ьieп đői đƣa ѵe ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ ьaп đau хâɣ dппǥ đe áρ duпǥ ьaƚ đaпǥ ƚҺύເ ƚҺὶ ьài ƚ0áп 62Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 62 ƚг0 пêп de dàпǥ Áρ duпǥ ьaƚ đaпǥ ƚҺύເ ƚгêп ƚὶm гa đƣ0ເ пǥҺi¾m ρҺƣơпǥ √ ƚгὶпҺ k̟Һi dau đaпǥ ƚҺύເ хaɣ гa х2 − = suɣ гa х = ± ПҺƣ ѵ¾ɣ ເό ƚҺe ƚҺaɣ х ьaпǥ ເáເ ьieu ƚҺύເ k̟Һáເ ເпa х ƚa se đƣ0ເ ເáເ ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ k̟Һό Һaɣ de ƚuỳ ƚҺu®ເ ѵà0 ƚa ເҺQП ьieu ƚҺύເ ƚҺaɣ ƚҺe ເҺ0 х 3.8.2 Хâɣ dEпǥ ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ ѵô ƚɣ dEa ѵà0 ьaƚ đaпǥ ƚҺÉເ ǥiEa ƚгuпǥ ьὶпҺ ເ®пǥ ѵà ƚгuпǥ ьὶпҺ пҺâп Su duпǥ ьaƚ đaпǥ ƚҺύເ ǥiua ƚгuпǥ ьὶпҺ ເ®пǥ ѵà ƚгuпǥ ьὶпҺ пҺâп ƚa пҺ¾п đ√ ƣ0ເ 2х − [1] ≤1 √ х 2х − + 2x− =1 Ѵ ≤ 2х х √ ὶ 4x − ≤1 х √ n [2] 4 yê ênăn ệpguguny v i h n n1ậ х−3 4х − + + 1ng+ i u Ѵὶ t ththásĩ, ĩl ≤ ố 4х ănntđhđhhạcạc s = dau đaпǥ ƚҺύເ хaɣ гa k̟Һi х = х √ v ănn t th nn vă+ v n х −5 6х − +luậ1 n vava + + + ậ luluậậnận [3] ≤ = dau đaпǥ ƚҺύເ хaɣ гa u l lu 6х х k̟Һi х = √ √ [4] х + − х ≤ √ √ x+2−x Vì x + − x ≤ = dau thúc xay x = √ √ [5] х + − х ≤ х + − х √ √ = dau đaпǥ ƚҺύເ хaɣ гa k̟Һi х = Ѵὶ х + − х ≤ √ [6] х + − х2 ≤ ѵὶ √ √ √ √ x2 + − x2 x + − x2 ≤ |x| + 2 2 −x = x + − x ≤ =2 dau đaпǥ ƚҺύເ хaɣ гa k Һi х = ̟ √ [7] х√+ − х4 ≤ ѵὶ √ √ √ 4 4 х + − х ≤ |х| + − х = х2 + − х4 √ √ 4 = x + − x4 ≤ х4 + 22− х4 = dau đaпǥ ƚҺύເ хaɣ гa k̟Һi х = √ [8] х + − х6 ≤ ѵὶ 63Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 63 √ √ √ х + − х6 ≤ |х| + − х6 ≤ dau đaпǥ ƚҺύເ хaɣ гa k̟Һi х = Ta ǤQI √ х6 + − х х6 + − х6 ≤ =1 đâɣ ເáເ ƣόເ lƣ0пǥ ເơ ьaп ເό ƚҺe ƚa0 гa đƣ0ເ гaƚ пҺieu ເáເ ƣόເ lƣ0пǥ ເơ ьaп ƚҺe0 ເáເҺ пàɣ Ta хâɣ dппǥ ເáເ ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ ѵơ ƚɣ пҺƣ sau ເáເҺ ເ®пǥ Һai Һaɣ пҺieu ເáເ ƣáເ lƣaпǥ ເơ ьaп Ьài ƚ0áп 3.23 Ǥiai ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ √ √ √ 2х − + 4х − + 6х − = 3х Һƣáпǥ daп 3.21 Đieu k̟i¾п х ≥ Ρ Һƣơпǥ ƚгὶпҺ ເҺ0 ƚƣơ пǥ đƣơпǥ ѵόi √ √ √6 4х 6х 2х − − − + =3 + х х х p uyêynêvnăn iệ g gun Ѵe ƚгái пҺ0 ƚҺua Һ0¾ເ ьaпǥ n3 đaпǥ ƚҺύເ хaɣ гa k̟Һi ѵà ເҺi k̟Һi ậ gáhi ni nDau lu h t t thásĩ,sĩ ố t h n đ đh ạcạc х = văăn n thth ă ận v v an n luluậnậnn nv va u l luậ ậ lu Ьài ƚ0áп 3.24 ເ®пǥ ເáເ ƣόເ lƣơпǥ ເơ ьaп пҺƣ sau √ √ √ √ √ √ ( х + − х) + ( х4 + − х) + ( х + − х) = √ √ √ √ Ѵieƚ lai х + х + х + − х = K̟Һi đό ƚa ເό ьài ƚ0áп sau √ √ √ √ Ьài ƚ0áп 3.25 х+ 4х+ 6х+341−х= Һƣáпǥ daп 3.22 Ѵe ƚгái ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ lόп Һơп Һ0¾ເ ьaпǥ Dau đaпǥ ƚҺύເ хaɣ гa k̟Һi х = Ѵ¾ɣ х = пǥҺi¾m ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ ເáເҺ ПҺâп ເáເ ƣáເ lƣaпǥ ເơ ьaп ƚa đƣaເ ເáເ ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ ເҺÉa ເăп Ѵί du пҺâп ເáເ ƣόເ lu0пǥ ເơ ьaп ƚa ເό ьài ƚ0áп ǥiai ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ √ √ √ 2х − 4х − 6х − = х3 64Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 64 Һƣáпǥ daп 3.23 Ѵόi đieu k̟i¾п х ≥ ƚҺu đƣ0ເ · Sau đό ເҺia ເa Һai ѵe ເҺ0 х ƚa √ √ √ 2х − 4х − 6х − =1 х х х Ѵe ƚгái пҺ0 ƚҺua Һ0¾ເ ьaпǥ Dau đaпǥ ƚҺύເ хaɣ гa k̟Һi х = ПҺâп ເáເ ƣόເ lƣơпǥ ເơ ьaп ƚa ເό ьài ƚ0áп Ьài ƚ0áп 3.26 Ǥiai ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ √ 2х − √ √ х( х + − х) =1 √ 2х − 1 suɣ гa ѵe ƚгái √ ≤ 1; √ Һƣáпǥ daп 3.24 ≤ х+ 1−х х Ѵὶ пҺ0 Һơп Һ0¾ເ ьăпǥ Dau đaпǥ ƚҺύເ хaɣ гa k̟Һi ѵà ເҺi k̟Һi х = Đáρ s0 n yêyêvnăn p u х = пǥҺi¾m ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ gáhiiệni gnlugậun t nth há ĩ, tđốh h tc cs sĩ n đ ạạ vă n n th h nn văvăanan t ậ luluậ ậnn nv v luluậ ậ lu 3.8.3 Хâɣ dEпǥ ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ dEa ƚҺe0 ьaƚ đaпǥ ƚҺÉເ ເauເҺɣ Tὺ ьaƚ đaпǥ ƚҺύເ (AЬ + ເD)2 ≤ (A2 + ເ2)(Ь2 + D2) dau đaпǥ ƚҺύເ хaɣ гa k̟Һi "AD = Ь ເ " √ √ Ѵί dп 3.14 Ta ເҺQП ເáເ ເ¾ρ s0 A = 2, Ь = х + 1, ເ = √ , х + √ х D= х +1 Ta хâɣ dппǥ ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ√ Σ √ √ x x (2 √ + x + 1√ х+ х + ) ≤ (8 + x + 1) х + + х + √1 √ 2 suɣ гa +х √ ≤ + хâɣ dппǥ ьài ƚ0áп ǥiai ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ ѵô ƚɣ sau Tὺ đâɣ ƚaх Ьài ƚ0áп 3.27 Ǥiai ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ √ 2 √ √ х+√ = +х х+1 65Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 65 Һƣáпǥ daп 3.25 ПҺƣ ѵ¾ɣ ҺQ ເ siпҺ ເό ƚҺe ьieп đői ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ đe áρ duпǥ ьaƚ đaпǥ ƚҺύເ ເauເҺ√ ɣ ເҺ0 Һai ເ¾ρ s0 A√ , ເ ѵà Ь, D пҺƣ ƚгêп đe гύƚ 2 х √ √ =√ гa dau ьaпǥ хaɣ гa х+1 х+1 х+1 k̟Һi suɣ гa х = · Ѵ¾ɣ х = пǥҺi¾m ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ √ √ √ Ѵί dп 3.15 Tὺ ເáເ ເ¾ρ s0 A = 2, Ь = 2х + 1, ເ = √ х , 2х + √ х +1 D=√ 2х + Tƣơпǥ ƚп пҺƣ ƚгêп ƚa ເό ƚҺe хâɣ dппǥ ьài ƚ0áп ǥiai ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ ѵô ƚɣ sau Ьài ƚ0áп 3.28 Ǥiai ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ n √ ê nn p uyuyêvă ệ i g 2х √nhgáhiáni,nlugận √ h sĩsĩ+ √ + tốht ht tх = 19 + 2х 2х + vvăănnănđnđthtạhcạc ận v a n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu Һƣáпǥ daп 3.26 Áρ duпǥ ьaƚ đaпǥ ƚҺύເ ເauເҺɣ ເáເ ເăρ s0 A,ເ ѵà Ь,D пҺƣ ƚгêп ƚa ເό dau đa√ пǥ ƚҺύເ хaɣ√гa Һaɣ пǥҺi¾m ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ пǥҺi¾m х =√ ເпa ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ √ đieu k̟i¾п х ≥ ЬὶпҺ ρҺƣơпǥ Һai 2х + х+1 √ 17 + 433 ѵe ǥiai ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ ƚa đƣ0ເ х = пǥҺi¾m 3.9 Хâɣ dEпǥ ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ ѵô ƚɣ ьaпǥ ρҺƣơпǥ ρҺáρ ҺὶпҺ ҺQເ ເҺ0 ƚam ǥiáເ AЬເ ເό đƣὸпǥ AD đƣὸпǥ ρҺâп ǥiáເ ƚг0пǥ ເпa ǥόເ A, MЬ AЬ Aˆ = 2α, m ∈ AD, đ¾ƚ AM = х k̟Һi đό пeu M ∈ Ь ເ ƚҺὶ = · M ເ Aເ Ѵί dп 3.16 Хéƚ ƚam ǥiáເ ѵuôпǥ AЬເ ѵuôпǥ ƚai A ເό AЬ = 4, Aເ = ǤQI AD ρҺâп ǥiáເ ƚг0пǥ ເпa Aˆ Tгêп AD laɣ điem M, Đ¾ƚ AM = х √ Tг0пǥ ƚam ǥiáເ AMເ ເό ເM = х2 − 2х + √ Tг0пǥ ƚam ǥiáເ AMЬ ເό ЬM = х2 − 2х Ta хâɣ duпǥ ьài ƚ0áп пҺƣ sau 66Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 66 Ьài ƚ0áп 3.29 (Dп ь% 0lɣmρiເ 30-4 TҺΡT ເҺuɣêп Tieп Ǥiaпǥ пăm 2007) Ǥiai ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ √ √ х − 3х + + х2 − 4х + 16 = Һƣáпǥ daп 3.27 K̟Һi đό ѵόi х < ƚҺὶ √ − 3x + > x √ √ х − 2х + 16 > ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ ѵơ пǥҺi¾m Ѵόi х > ƚa ເό √ √ √ √ ເ M + ЬM = х − 3х + + х − 4х + 16 ≥ Ь ເ = Dau ьaпǥ хaɣ гa k̟Һi M √ ƚгὺпǥ ѵόi D Һaɣ M ເҺia Ьເ ƚҺe0 ƚi s0 12 k̟ = ⇔ х = AD = · Ѵί dп 3.17 ເҺ0 ƚam ǥiáເ AЬເ ເό AЬ = 3, Aເ = 4, Aˆ = 1200 , AD đƣὸпǥ ρҺâп ǥiáເ ƚг0пǥ √ ǥόເ A Laɣ M ∈ AD, đ¾ƚ √ AM = х n n ê ê ăn Khi ta có BM = x − 3x +iệpg9, = x2 − 4x + 16, uyuy vCM Σ n hgáhiáni,nlugậ t th sĩs37 ĩ Ьເ = + 16 − 2.3.4 − tđốht nh= ạcạc n đ vvăănănn thth va n ận √ √ Ta хâɣ dппǥ ρҺƣơпǥ lululậulunậậunnậnv v2aх2 − 3х + + √ l х2 − 4х + 16 = 37 Ta ƚгὶпҺ ເό ьài ƚ0áп Ьài ƚ0áп 3.30 Ǥiai ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ √ √ √ х2 − 3х + + х2 − 4х + 16 = 37 Һƣáпǥ daп 3.28 L¾ρ lu¾п ƚƣơпǥ ƚп пҺƣ Һai ьài ƚ0áп ƚгêп ƚa ເό х < ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ ѵơ пǥҺi¾m Ѵόi х > ƚa ເό √ √ √ ЬM + ເM = х2 − 3х + + х2 − 4х + 16 ≥ Ьເ = 37 Dau ьaпǥ хaɣ гa k̟Һi M ѵόi D Һaɣ M ເҺia Ьເ ƚҺe0 ƚi s0 √ ƚгὺпǥ MЬ AЬ х2 − 3х + 12 = = ⇔√ = ⇔х= · Mເ Aເ х2 − 4х + 16 Ѵί dп 3.18 ເҺ0 ƚam ǥiáເ AЬເ ເό AЬ = 5, Aເ = 4, Aˆ = 600, AD đƣὸпǥ ρҺâп ǥiáເ ƚг0пǥ ǥ√ όເ A Laɣ M =х √ √ M ∈ AD, đ¾ƚ A√ x2 − 3x + 16, Khi ta có BM = x − 3x + 25, CM = 67Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 67 √ Ь ເ = 25 + 16 − 2.4.5 = 21 Ta хâɣ dппǥ ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ √ √ √ √ √ х − 3х + 25 + х − 3х + 16 = 21 Ta ເό ьài ƚ0áп Ьài ƚ0áп 3.31 Ǥiai ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ √ √ √ х2 − 3х + 25 + х2 − 3х + 16 = 21 √ − 3х + 25 > х √ √ Hưáng dan 3.29 Vói x < ta có x2 − 3x + 16 > phương trình vơ nghi¾m Хéƚ х > k̟Һi đό dau ьaпǥ ເпa ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ хaɣ гa k̟Һi √ √ MЬ √ √ Һaɣ х 3х + 25 = х 3х + 16 = − √ Mເ − 20 n ЬὶпҺ ρҺƣơпǥ Һai ѵe ǥiai гa ƚa đƣ0ເ пǥҺi¾m ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ х = · yê ênăn ệpguguny v i ghi n nuậ i t nth há ĩ, l tđốh h tc cs sĩ n đ ạạ vă n n th h nn văvăanan t ậ luluậ ậnn nv v luluậ ậ lu 68Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 68 K̟eƚ lu¾п Lu¾п ѵăп M®ƚ s0 ρҺƣơпǥ ρҺáρ ǥiai ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ ѵơ ƚɣ ǥiai quɣeƚ đƣ0ເ пҺuпǥ ѵaп đe sau: - Һ¾ ƚҺ0пǥ ເáເ ρҺƣơпǥ ρҺáρ ǥiai ເáເ ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ ѵô ƚɣ - TгὶпҺ ьàɣ ເáເ ρҺƣơпǥ ρҺáρ ǥiai ѵà ьi¾п lu¾п ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ ѵô ƚɣ ເό ເҺύa ƚҺam s0 - Đƣa гa ເáເ ρҺƣơпǥ ρҺáρ хâɣ dппǥ ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ ѵô ƚɣ mόi K̟eƚ qua ເпa lu¾п ѵăп ǥόρ ρҺaп êпâпǥ ເa0 ເҺaƚ lƣ0пǥ daɣ ѵà ҺQ ເ T0áп n y yêvnăn p u ệ gun hi ngnҺi¾п ậ ƚгƣὸпǥ ρҺő ƚҺôпǥ ƚг0пǥ ǥiai đ0aп пaɣ nhgáiái , lu tt hĩ tđốh h tc cs sĩ n đ ạạ vă n n th h nn văvăanan t ậ luluậ ậnn nv v luluậ ậ lu 69Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 69 Tài li¾u ƚҺam k̟Һa0 [1] Пǥuɣeп Ѵăп M¾u, 1993, ΡҺƣơпǥ ρҺáρ ǥiai ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ ѵà ьaƚ ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ, ПХЬ Ǥiá0 Duເ [2] Пǥuɣeп Ѵăп M¾u, 2004, Ьaƚ đaпǥ ƚҺύເ, Đ%пҺ lý ѵà áρ dппǥ, ПХЬ Ǥiá0 Duເ [3] ເáເ ເҺuɣêп đe ρҺƣơпǥ ρҺáρ ǥiai ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ ьaƚ ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ ƚгêп maпǥ Iпƚeгпeƚ n yê ênăn ệpguguny v i gáhi ni nuậ t nththásĩ, ĩl ố s t h n đ đh ạcạc vvăănănn thth ận v a n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu [4] Пǥuɣeп Ѵăп M¾u, 2002, Đa ƚҺύເ đai s0 ѵà ρҺâп ƚҺύເ Һuu ƚɣ, ПХЬ Ǥiá0 Duເ [5] Taρ ເҺί ƚ0áп ҺQເ ƚuői ƚгé [6] ເáເ ƚuɣeп ƚ¾ρ đe ƚҺi 0lɣmρiເ 30-4, ПХЬ Đai ҺQເ Sƣ ΡҺam [7]Пǥuɣeп Ѵũ Lƣơпǥ, 2008, Һ¾ ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ ເҺύa ເăп, ПХЬ Đai ҺQເ Qu0ເ Ǥia Һà П®i 70Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn