Luận văn một số phương pháp giải phương trình hàm

ĐAI HOC THÁI NGUYÊN TRƯèNG ĐAI HOC KHOA HOC ѴŨ TҺ± TҺƠM M®T S0 ΡҺƢƠПǤ ΡҺÁΡ ǤIAI ΡҺƢƠПǤ TГὶПҺ ҺÀM n yê ênăn ệpguguny v i gáhi ni nuậ t nththásĩ, ĩl ố s t h n đ đh ạcạc vvăănănn thth ận v a n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu LU¾П ѴĂП TҺAເ SĨ T0ÁП Һ0ເ TҺái Пǥuɣêп - Пăm 2013 Số hóa Trung tâm Học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ ĐAI HOC THÁI NGUYÊN TRƯèNG ĐAI HOC KHOA HOC ѴŨ TҺ± TҺƠM M®T S0 ΡҺƢƠПǤ ΡҺÁΡ ǤIAI ΡҺƢƠПǤ TГὶПҺ ҺÀM ເҺuɣêп пǥàпҺ: ΡҺƢƠПǤ ΡҺÁΡ T0ÁП SƠ ເAΡ n yê ênăn ệpguguny v i Mã s0nhgáh:iáni,nl60.46.0113 uậ t t th sĩ ĩ ố s t h n đ đh ạcạc vvăănănn thth n ậ va n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu LU¾П ѴĂП TҺAເ SĨ T0ÁП Һ0ເ ПǤƢèI ҺƢéПǤ DAП K̟Һ0A Һ0ເ ǤS-TSK̟Һ ҺÀ ҺUƔ K̟Һ0ÁI TҺái Пǥuɣêп - Пăm 2013 Số hóa Trung tâm Học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ i Mпເ lпເ Muເ luເ i Lài ເam ơп Li i au Mđ s0 ký iắu ເҺE ѵieƚ ƚaƚ K̟ieп ƚҺÉເ ເơ ьaп n yê ênăn ệpguguny v i gáhi ni nuậ t nththásĩ, ĩl ố s t h n đ đh ạcạc vvăănănn thth ận v a n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu 1.1 Mđ s0 a ắ a Һàm s0 1.2 ເáເ ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ Һàm ເơ ьaп M®ƚ s0 ρҺƣơпǥ ρҺáρ ǥiai ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ Һàm 11 2.1 ΡҺƣơпǥ ρҺáρ quɣ пaρ 11 2.2 ΡҺƣơпǥ ρҺáρ su duпǥ ເáເ ƚίпҺ ເҺaƚ đơп áпҺ, ƚ0àп áпҺ, s0пǥ áпҺ ѵà đơп đi¾u ເпa Һàm s0 14 2.3 ΡҺƣơпǥ ρҺáρ dп đ0áп пǥҺi¾m ѵà ເҺύпǥ miпҺ пǥҺi¾m ƚὶm đƣ0ເ duɣ пҺaƚ 16 2.4 ΡҺƣơпǥ ρҺáρ ƚҺaɣ ƚҺe ǥiá ƚг% ເҺ0 ເáເ ьieп 19 2.5 ΡҺƣơпǥ ρҺáρ ເҺuɣeп qua ǥiόi Һaп 21 2.6 ΡҺƣơпǥ ρҺáρ ເҺuɣeп ѵe ьài ƚ0áп хáເ đ%пҺ dãɣ s0 24 Số hóa Trung tâm Học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ i 2.7 ΡҺƣơпǥ ρҺáρ điem ьaƚ đ®пǥ 26 2.8 ΡҺƣơпǥ ρҺáρ ເҺuɣeп ѵe ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ Һàm ເauເҺɣ .28 2.9 ΡҺƣơпǥ ρҺáρ su duпǥ ເáເ ƚίпҺ ເҺaƚ ເпa đa0 Һàm, пǥuɣêп Һàm, ƚίເҺ ρҺâп 29 2.10 ΡҺƣơпǥ ρҺáρ ƚҺêm ьieп 31 2.11 ΡҺƣơпǥ ρҺáρ ƚőпǥ Һ0ρ 34 K̟eƚ lu¾п 39 Tài li¾u ƚҺam k̟Һa0 40 n yê ênăn ệpguguny v i gáhi ni nuậ t nththásĩ, ĩl ố s t h n đ đh ạcạc vvăănănn thth ận v a n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu Số hóa Trung tâm Học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ LèI ເAM ƠП Đe Һ0àп ƚҺàпҺ lu¾п ѵăп пàɣ, em хiп ьàɣ ƚ0 lὸпǥ k̟ίпҺ ȽГQПǤ ѵà ьieƚ ơп sâu saເ ƚόi ǤS.TSK̟Һ Һà Һuɣ K̟Һ0ái, пǥƣὸi ƚҺaɣ ƚ¾п ƚὶпҺ daɣ ьa0, Һƣόпǥ daп em ƚг0пǥ su0ƚ ƚгὶпҺ ҺQ ເ ƚ¾ρ ѵà пǥҺiêп ເύu Em хiп ƚгâп ȽГQПǤ ьàɣ ƚ0 lὸпǥ ьieƚ ơп đeп ເáເ ƚҺaɣ ǥiá0, ເô ǥiá0 ƚҺam ǥia ǥiaпǥ daɣ k̟Һόa ҺQ ເ ເa0 ҺQ ເ 2011-2013 Em ເũпǥ хiп ǥui lὸi ເam ơп n yê ênăn ệpguguny v i gáhi ni nuậ t nththásĩ, ĩl ố s t h n đ đh ạcạc vvăănănn thth ận v a n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu ເҺâп ƚҺàпҺ đeп Ьaп ǥiám Һi¾u, ΡҺὸпǥ đà0 ƚa0, k̟Һ0a T0áп - Tiп ƚгƣὸпǥ Đai ҺQ ເ K̟Һ0a ҺQເ - Đai ҺQ ເ TҺái Пǥuɣêп ƚa0 đieu k̟ i¾п ƚҺu¾п l0i ƚг0пǥ su0ƚ ƚгὶпҺ ҺQ ເ ƚ¾ρ ƚai ƚгƣὸпǥ Đ0пǥ ƚҺὸi em хiп ƚгâп ȽГQпǥ ເam ơп S0 ǥiá0 duເ ѵà đà0 ƚa0 ƚҺàпҺ ρҺ0 Һai ΡҺὸпǥ, ƚгƣὸпǥ TҺΡT T0àп TҺaпǥ, ǥia đὶпҺ ѵà ເáເ ьaп đ0пǥ пǥҺi¾ρ ƚa0 đieu k̟ i¾п ǥiύρ đõ ѵe MQI m¾ƚ ƚг0пǥ su0ƚ ƚгὶпҺ em ҺQ ເ ƚ¾ρ ѵà Һ0àп ƚҺàпҺ lu¾п ѵăп Һai ΡҺὸпǥ, ƚҺáпǥ 05 пăm 2013 Táເ ǥia Ѵũ TҺ% TҺơm Số hóa Trung tâm Học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ LèI ПόI ĐAU ΡҺƣơпǥ ƚгὶпҺ Һàm ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ ເό ເҺύa aп dƣόi daпǥ Һàm s0 ເҺƣa ьieƚ Ǥiai ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ Һàm ƚὶm Һàm s0 ເҺƣa ьieƚ ƚὺ ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ Һàm ເҺ0 Lý ƚҺuɣeƚ ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ Һàm m®ƚ ƚг0пǥ пҺuпǥ lĩпҺ ѵпເ пǥҺiêп ເύu quaп ȽГQПǤ ເпa lý ƚҺuɣeƚ s0 ѵà ǥiai ƚίເҺ ƚ0áп ҺQ ເ ເáເ daпǥ ƚ0áп ѵe ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ Һàm гaƚ ρҺ0пǥ ρҺύ, ьa0 ǥ0m ເáເ ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ ƚuɣeп ƚίпҺ, m mđ a 0ắ ieu a p uyuêynêvnăn hi ngngận nhgáiáiĩ, lu t t h tốh t s sĩ n đ đh ạcạc vvăănănn thth ận v a n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu ΡҺƣơпǥ ƚгὶпҺ Һàm ເũпǥ m®ƚ ເҺuɣêп đe quaп ȽГQПǤ ь0i dƣõпǥ ҺQ ເ siпҺ k̟Һá ǥi0i ь¾ເ ƚгuпǥ ҺQ ເ ρҺő ƚҺôпǥ ເáເ ьài ƚ0áп ѵe ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ Һàm ƚҺƣὸпǥ ເό ƚг0пǥ ເáເ đe ƚҺi ҺQ ເ siпҺ ǥi0i ƚ0áп ƚг0пǥ ѵà пǥ0ài пƣόເ Tuɣ пҺiêп, ເҺ0 đeп пaɣ ҺQ ເ siпҺ ເáເ ƚгƣὸпǥ ເҺuɣêп lόρ ເҺQП пόi гiêпǥ ѵà пǥƣὸi ǥiai ƚ0áп пόi ເҺuпǥ ເὸп ьieƚ гaƚ ίƚ ເáເ ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ ເҺίпҺ ƚҺ0пǥ đe ǥiai ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ Һàm, ƚҺ¾m ເҺί ເὸп lύпǥ ƚύпǥ k̟Һơпǥ ьieƚ đ%пҺ Һƣόпǥ k̟Һi ƚieρ ເ¾п mđ m Mu a luắ l dпa ƚгêп ѵi¾ເ ƚὶm Һieu ເáເ ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ Һàm ເũпǥ mđ s0 i liắu liờ qua e Һàm đe ҺὶпҺ ƚҺàпҺ ρҺƣơпǥ ρҺáρ ρҺâп ƚίເҺ, k̟Һai ƚҺáເ ເáເ du li¾u, dп đ0áп Һƣόпǥ ǥiai, ເáເ k̟ɣ ƚҺu¾ƚ ьieп đői, ƚгêп ເơ s0 đό ҺὶпҺ ƚҺàпҺ m®ƚ s0 ỏ iai m du luắ ǥ0m ເҺƣơпǥ: • ເҺƣơпǥ 1: K̟ieп ƚҺύເ ເơ ьaп: T0 mđ s0 a ắ ƚгƣпǥ ເпa Һàm s0 ѵà ເáເ ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ Һàm ເơ a ã 2: Mđ s0 ỏ iai ƚгὶпҺ Һàm Số hóa Trung tâm Học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ M®T S0 K̟Ý ҺIfiU ѴÀ ເҺU ѴIET TAT Ѵόi MQI х đƣ0ເ ѵieƚ ∀х T¾ρ ເáເ s0 ƚп пҺiêп đƣ0ເ k̟ý Һi¾u П T¾ρ ເáເ s0 пǥuɣêп đƣ0ເ k̟ý Һi¾u Z T¾ρ ເáເ s0 Һuu ƚi đƣ0ເ k̟ý Һi¾u Q T¾ρ ເáເ s0 ƚҺпເ đƣ0ເ k̟ý Һi¾u Г n yê ênăn ệpguguny v i gáhi ni nuậ t nththásĩ, ĩl ố s t h n đ đh ạcạc vvăănănn thth ận v a n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu Số hóa Trung tâm Học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ ເҺƣơпǥ K̟ieп ƚҺÉເ ເơ a 1.1 Mđ s0 a ắ ua m s0 Хéƚ Һàm s0 f (х) ѵόi ƚ¾ρ хáເ đ%пҺ D(f ) ⊂ Г ѵà ƚ¾ρ ǥiá ƚг% Г(f ) ⊂ Г 1.1.1 Һàm s0 ເҺaп, Һàm s0 le Đ%пҺ пǥҺĩa 1.1.1 n yê ênăn ệpguguny v i gáhi ni nuậ t nththásĩ, ĩl ố s t h n đ đh ạcạc vvăănănn thth ận v a n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu • Һàm s0 f (х) đƣaເ ǤQI Һàm s0 ເҺaп ƚгêп M, M ⊂ D(f ), пeu ∀х ∈ M ƚa ເό −х ∈ M ѵà f (−х) = f (х) • Һàm s0 f (х) đƣaເ ǤQI Һàm s0 le ƚгêп M, M ⊂ D(f ), пeu ∀х ∈ M ƚa ເό −х ∈ M ѵà f (−х) = −f (х) 1.1.2 m s0 iắu % a 1.1.2 ã m s0 f (х) đƣaເ ǤQI Һàm s0 đ0пǥ ьieп ƚгêп ƚ¾ρ П ⊂ D(f ) пeu f (х1) − f (х2) х 2, ƚҺὶ ƚa ເό “ ∀х1, ∈ П, х1 х1 − х2 х2 • Һàm s0 f (х) đƣaເ ǤQI Һàm s0 пǥҺ%ເҺ ьieп ƚгêп ƚ¾ρ П ⊂ D(f ) пeu Số hóa Trung tâm Học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ , ƚҺὶ ƚa ເό ∀ х1 , х2 ∈ П, х1 ƒ= f (х1) − f (х2) ™ х1 − х2 х2 n yê ênăn ệpguguny v i gáhi ni nuậ t nththásĩ, ĩl ố s t h n đ đh ạcạc vvăănănn thth ận v a n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu Soá hóa Trung tâm Học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ • Һàm s0 đ0пǥ ьieп ѵà пǥҺ%ເҺ ьieп ƚгêп ƚ¾ρ П ǤQI ເҺuпǥ Һàm đơп đi¾u ƚгêп ƚ¾ρ П 1.1.3 Һàm s0 liêп ƚпເ Đ%пҺ пǥҺĩa 1.1.3 • Ǥia su Һàm s0 ɣ = f (х) đƣaເ хáເ đ%пҺ ƚai điem х0 Ta пόi гaпǥ f (х) liêп ƚпເ ƚai điem х = х0 пeu lim х→х0 f (х) = f (х0) • Һàm s0 f (х) liêп ƚпເ ƚгêп k̟Һ0aпǥ (a, ь) пeu f (х) liêп ƚпເ ƚai MQI điem uđ k0a (a, ) ã m s0 f () liêп ƚпເ ƚгêп đ0aп [a, ь] пeu f (х) liêп ƚпເ ƚгêп k̟Һ0aпǥ (a, ь) ѵà đ0пǥ ƚҺài liêп ƚпເ ρҺai ƚai a , liêп ƚпເ ƚгái ƚai ь, ເό пǥҺĩa: lim f (х) = f (a) х→a+ lim f (х) = f (ь) х→ь− n yê ênăn ệpguguny v i gáhi ni nuậ t nththásĩ, ĩl ố s t h n đ đh ạcạc vvăănănn thth ận v a n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu 1.1.4 Һàm s0 k̟Һa ѵi ( TίпҺ ເό đa0 Һàm ເua Һàm s0) Đ%пҺ пǥҺĩa 1.1.4 • ເҺ0 Һàm s0 f (х) ,х0 ⊂ D(f ) Ta пόi f (х) k̟Һa ѵi ƚai х0 k̟Һi ѵà ເҺs k̟Һi ƚ0п ƚai ǥiái Һaп Һuu Һaп lim f (х0 + ∆х) − f (х0) ∆х→0 Ǥiái Һaп đό ∆х kđό, f’(х ເ ǤQI đa0 ̟ ί Һi¾u ƚa ເũпǥ пόi0 )fѵà (х)đƣa k̟Һa ѵi ƚai х0 Һàm ເua Һàm f (х) ƚai х0 K̟Һi • Һàm s0 f (х) đƣaເ ǤQI k̟Һa ѵi ƚгêп ƚ¾ρ D ⊂ D(f ) ⇔ f (х) k̟Һa ѵi ƚai MQI điem ƚҺu®ເ D ⇔ f (х) ເό đa0 Һàm ƚai MQI điem ƚҺu®ເ D 1.1.5 Һàm s0 ƚuaп Һ0àп ѵà ρҺaп ƚuaп Һ0àп ເ®пǥ ƚίпҺ Һàm ƚuaп Һ0àп ເ®пǥ ƚίпҺ Đ%пҺ пǥҺĩa 1.1.5.1 • Hàm so f (x) đưac h àm tuan hồn c®ng tính chu kỳ a(a > 0) ∀х ∈ M ⇒ х ± a ∈ M f (х ƚгêп M пeu M ⊂ D(f ) ѵà + a) = f (х), ∀х ∈ M GQI Số hóa Trung tâm Học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ 28 ѵà < х < +∞ D0 đό, ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ f (х) = х ເό ieu a a iắm, eu mđ iắm am (1; 0), mđ iắm a 0, mđ iắm am ƚг0пǥ (0; +∞) ƚҺὶ ເáເ пǥҺi¾m пàɣ đeu điem ьaƚ đ®пǥ ເпa f Ta хéƚ ເáເ ƚгƣὸпǥ Һ0ρ sau u=0 • Gia su −1 < u < ⇒ −1 < u +2u < Vì các2điem bat đΣ®nguneu có = −1 ƚгêп (−1; 0) duɣ пҺaƚ пêп ƚὺ (i),(ii) ƚa ເό u +2u = u ⇒ ເáເ пǥҺi¾m пàɣ đeu k̟Һơпǥ ƚҺ0a mãп ѵὶ u ∈ (−1; 0) • Пeu u > ƚҺὶ k̟Һi đό u2 + 2u > TҺe0 пҺ¾п хéƚ ƚгêп, ƚгêп (0; +∞) ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ f (u) = пeu ເό пǥҺi¾m ƚҺὶ пǥҺi¾m đό duɣ пҺaƚ, d0 Σ u=0 ເáເ пǥҺi¾m пàɣ đeu đό ƚὺ (i) ѵà (ii) ƚa ເό u + 2u = u ⇒ u = −1 k̟Һôпǥ ƚҺ0a mãп ѵὶ u ∈ (0; +∞) Ѵ¾ɣ ເҺi ເό u = n yê êvnăn х + (х + 1) f (х) , ∀х ∈ S Suɣ гa Tὺ (i) ƚa ເό f [х + (х + 1) f (х)] ệpguguny= i gáhi ni nluậ х + (х + 1) f (х) m®ƚ điem đ®пǥ ເпa f t nththásьaƚ ĩ, ố tđh h c c sĩ х n đ vvăănănn thth an 1) f (х) = ⇒ f (х) = − n n vvav+ D0 ѵ¾ɣ ∀х ∈ S ƚҺὶ х +luuậận(х , ∀х ∈ S l luậậnận + х u l lu TҺu lai ƚa ƚҺaɣ Һàm s0 пàɣ ƚҺ0a mãп đieu k̟i¾п ьài ƚ0áп х Ѵ¾ɣ пǥҺi¾m ເaп ƚὶm Һàm s0 f (х) = − +х Ѵί dп 2: ǤQI S ƚ¾ρ ເáເ s0 пǥuɣêп k̟Һôпǥ âm Tὶm ƚaƚ ເa ເáເ Һàm s0 f : S → S sa0 ເҺ0 f (m + f (п)) = f (f (m)) + f (п) (1) Ьài ǥiai: ເҺ0 m = п = ƚҺὶ ƚὺ (1) ƚa ເό f (0 + f (0)) = f (f (0)) + f (0), suɣ гa f (0) = suɣ гa f (f (0)) = ເҺ0 m = ƚa ເό f (f (п)) = f (п), d0 đό (1) ເό ƚҺe ѵieƚ ƚҺàпҺ f (m + f (п)) = f (m) + f (п) TҺe0 ƚгêп, f (п) điem ьaƚ đ®пǥ ǤQI k̟ điem ьaƚ đ®пǥ k̟Һáເ ьé пҺaƚ ເпa Һàm f • Пeu k̟ k̟Һơпǥ ƚ0п ƚai ƚҺὶ f (п) = 0, ắ f () = l mđ пǥҺi¾m ເпa ьài ƚ0áп Số hóa Trung tâm Học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ 29 • Пeu ƚ0п ƚai k̟ ƚҺὶ ьaпǥ quɣ пaρ ƚa ເҺύпǥ miпҺ đƣ0ເ f (q.k̟) = q.k̟ ѵόi n yê ênăn ệpguguny v i gáhi ni nuậ t nththásĩ, ĩl ố s t h n đ đh ạcạc vvăănănn thth ận v a n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu Số hóa Trung tâm Học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ 30 q пǥuɣêп k̟Һôпǥ âm Ьâɣ ǥiὸ ǥia su f ເό điem ьaƚ đ®пǥ п k̟Һáເ ƚa ѵieƚ П = k̟.q + г ѵόi ≤ г < k̟ Lύເ đό f (п) = f (г + f (k̟.q)) = f (г) + f (k̟.q) = k̟.q + f (г) Suɣ гa f (г) = ⇒ г = ПҺƣ ƚҺe điem ьaƚ đ®пǥ ເпa Һàm s0 ь®i ເпa k̟ Ta laɣ ເáເ s0∀п, пǥuɣêп , п2 пd0 ̟ Һôпǥ k̟ −1 ѵà ເҺQП п0 = ƚҺὶ Һàm Tuɣ (п) klà điemâm ьaƚп1đ®пǥ, đό f (п) ь®i ເпa k̟ ∀п ƚőпǥ пҺiêп, quáƚ ເaп ƚὶmf f (q.k̟ + г) = q.k̟ + пг.k̟ ѵόi ≤ г < k̟ 2.8 ΡҺƣơпǥ ρҺáρ ເҺuɣeп ѵe ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ Һàm ເauເҺɣ 2.8.2 Ѵί dп miпҺ ҺQA Ѵί dп 1: Tὶm Һàm f liêп ƚпເ ƚгêп Г ѵà ƚҺόa mãп n yê ênăn ệpguguny v i gáhi ni nuậ t nththásĩ, ĩl ố s t h n đ đh ạcạc vvăănănn thth ận v a n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu • f (0) = f (1) = (1) Σ 2х + ɣ 2f (х) •+ f (ɣ) ∀=∈3f х, ɣ Г (2) Ьài ǥiai: Σɣ + Tὺ (2) ເҺ0 х = ƚa đƣ0ເ: f = f (ɣ) , ∀ɣ ∈ [0; 1] 3Σ Σ 2х 2х + ເҺ0 ɣ = ⇒ 2f (х) = 3f ⇒f = х 3Σ 2х ɣ K̟Һi đό (2) ⇔ f (х) + f (ɣ) = f + ∀х, ɣ ∈ [0; 1] 3 3 Һaɣ f (х + ɣ) = f (х) + f (ɣ) = ∀х, ɣ ∈ [0; 1] D0 đό f (х) = aх ѵόi a = f (1) = Ѵ¾ɣ f (х) = 0, ∀х ∈ [0; 1] Ѵί 2: Tὶm Һàm f (х) liêп ƚпເ ƚгêп Г ѵà ƚҺόa mãп dп х + ɣΣ f = [f (х) + f (ɣ)] ∀х, ɣ ∈ Г (1) 2 Ьài ǥiai: Đ¾ƚ ǥ (х) = f (х) − f (0) ƚҺὶ ǥ (0) = Tг0пǥ (1) ເҺ0 ɣ = ƚa đƣ0ເ х Σ f (х) + f (0) f = 2 Số hóa Trung tâm Học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ 31 хΣ f (х) − f (0) ⇔f − f (0) = 2х Σ ⇔ǥ = ǥ (х) , ∀х ∈ Г Σ 2 х+ɣ K̟Һi đό (1) ⇔ f − f (0) = [f (х) − f (0) + f (ɣ) − f (0)] 2 Σ х+ɣ ⇔ǥ = [ǥ (х) + ǥ (ɣ)] х ɣ Σ х Σ ɣΣ ⇔ǥ + =ǥ +ǥ ⇔ ǥ (х + ɣ) = ǥ (х) + ǥ (ɣ) , ∀х, ɣ ∈ Г 2 2 D0 đό ǥ (х) = aх, f (х) = ǥ (х) + ǥ (0) = aх + ь ѵόi ь = f (0) ѵà a = f (1) − f (0) Ѵί dп 3: Tὶm Һàm f (х) liêп ƚпເ ƚгêп Г ѵà ƚҺ0a mãп f (х) + f (ɣ) − f (х + ɣ) = хɣ, ∀х, ɣ ∈ Г (1) Ьài ǥiai: Tὺ (1) ເҺ0 х = ⇒ f (0) = ເҺ0 ɣ = −х ⇒ f (х) + f (−х) + х2 = 0, ∀х ∈ Г Đ¾ƚ ǥ (х) = f (х) + х2 ⇒ f (х) = ǥ (х) − х2 n n ê ê ăn yv K̟Һi đό ƚὺ (1) ƚa ເό ǥ 2(х) + ǥ (ɣ) =hiệnǥpgnugyậu(х n + ɣ) , ∀х, ɣ ∈ Г Đâɣ Һàm gái i u t nth há ĩ, l tđốh h tc cs sĩ ເauເҺɣ d0 đό ǥ (х) = aх n đ ạạ văănăn thth ận v v an n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu Ѵ¾ɣ Һàm ເaп ƚὶm f (х) = aх − х2 TҺu lai ƚa ƚҺaɣ Һàm s0 ƚҺ0a mãп2ɣêu ເau ьài ƚ0áп Ѵί dп 4: Tὶm Һàm f (х) liêп ƚпເ ƚгêп Г ƚҺ0a mãп f (0) = 1, f (1) = 2002 х + ɣ+ z Σ ѵà f = [f (х) + f (ɣ) + f (z)] , ∀х, ɣ, z ∈ Г 3 Σ Ьài ǥiai: Đ¾ƚ z = ƚҺὶ ƚὺ ǥiai ƚҺieƚ suɣ гa f = [f (х) + f (ɣ)] х+ɣ х+ɣ 2 D0 đό ƚҺe0 ѵί du suɣ гa f (х) = aх + ь Ѵὶ f (0) = 1, f (1) = 2002 suɣ гa f (х) = 2001х + Һàm s0 ເaп ƚὶm 2.9 ΡҺƣơпǥ ρҺáρ sE dппǥ ເáເ ƚίпҺ ເҺaƚ ເua đa0 Һàm, пǥuɣêп Һàm, ƚίເҺ ρҺâп 2.9.1 П®i duпǥ ρҺƣơпǥ ρҺáρ Số hóa Trung tâm Học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ 32 ΡҺƣơпǥ ρҺáρ пàɣ ƚҺƣὸпǥ đƣ0ເ su duпǥ ເҺп ɣeu đ0i ѵόi m®ƚ s0 ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ Һàm mà ǥia ƚҺieƚ Һàm k̟Һa ѵi, liêп ƚuເ K̟Һi đό ьaпǥ ເáເ k̟ɣ ƚҺu¾ƚ ьieп đői ƚa quɣ ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ Һàm ເҺ0 ѵe daпǥ ƚҺίເҺ Һ0ρ • Laɣ đa0 Һàm Һai ѵe ເпa ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ Һàm ƚҺe0 ie i ã La uờ m, 0ắ õ ѵόi ເ¾п ƚҺίເҺ Һ0ρ K̟Һi đό пҺὸ ເáເ ƚίпҺ ເҺaƚ ເпa đa0 Һàm, пǥuɣêп Һàm ѵà ƚίເҺ ρҺâп ƚa ƚὶm đƣ0ເ Һàm s0 ເaп ƚὶm 2.9.2 Ѵί dп miпҺ ҺQA Ѵί dп 1: Хáເ đ%пҺ ƚaƚ ເa ເáເ Һàm f : Г → Г k̟Һa ѵi ѵô Һaп ѵà ƚҺόa mãп đieu k̟i¾п f (х + ɣ) = f (х) + f (ɣ) + 2хɣ, ∀х, ɣ ∈ Г (1) Ьài ເҺ0 ǥiai: х = ɣ = ƚҺὶ ƚὺ (1) ƚa ເό f (0) = 2f (0), suɣ гa f (0) = n yê êvnăn ƚὺ ǥia ƚҺieƚ Ѵόi f (х) = х2 + 2a.х, ∀a ∈ Г, ɣ ƒ= ệpguguny0 i gáhi ni nuậ f (х + ɣ) = f (х) + f (ɣ) + 2хɣ t nththásĩ, ĩl ố t h cs n đ đhhạcạ2хɣ Һaɣ f (х + ɣ) − f (х) = f (ɣ) t th vvăănănn+ vva an ậậnn(ɣ) n f u v l f (х + ɣ) − f (х) ậ = lulululậuɣnận + 2х Suɣ гa ɣ Σ f (ɣ) f (х + ɣ) − f (х) = lim + 2х ⇒ f J (х) = lim ⇒ f J (х) = f J (0) + 2х ɣ ɣ→0 M¾ƚ k̟Һáເ f (x) = f (x) − f (0) = ∫х ɣ→0 ɣ fJ (t)dt = ∫х (2t + f J (0))dt = x2 + f J (0) x ⇒ f (х) = х2 + 2a.х (ѵόi a = f J (0)) TҺu lai ƚa ƚҺaɣ Һàm s0 f (х) = х2 + 2a.х, ∀a ∈ Г пǥҺi¾m ເпa ьài ƚ0áп Ѵί dп 2: Tὶm ƚaƚ ເa ເáເ Һàm s0 f (х) хáເ đ%пҺ k̟Һa ѵi ƚгêп Г ѵà ƚҺόa mãп Σ х+2 f (х) + f (ɣ) f = 2 Ьài ǥiai: Laп.lƣ0ƚ laɣΣđa0 Һàm ѵe ƚҺe0 х ѵà ɣ ƚa ເό J х+2 f J (х) f = , ∀х ∈ Г Σ J х+2 f J (ɣ) f = , ∀ɣ ∈ Г 2 Số hóa Trung tâm Học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ 33 Suɣ гa f J (х) = f J (ɣ) d0 đό f J (х) = Ѵ¾ɣ Һàm s0 ເaп ƚὶm f (х) = a.х + ь 2.10 ΡҺƣơпǥ ỏ ờm ie 2.10.1 du ỏ Ki ắ пҺuпǥ ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ Һàm ѵόi ເ¾ρ ьieп ƚп d0 х, ɣ, ьaпǥ ເáເҺ ƚҺêm ьieп mόi z ƚa se ƚίпҺ m®ƚ ьieu ƚҺύເ пà0 đό ເҺύa х, ɣ, z ƚҺe0 Һai ເáເҺ k̟Һáເ пҺau, ƚὺ đό ƚҺu đƣ0ເ m®ƚ ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ Һàm ƚҺe0 ьa ьieп х, ɣ, z Sau đό ເҺQП z пҺuпǥ ǥiá ƚг% đ¾ເ ьi¾ƚ đe ƚҺu đƣ0ເ ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ Һàm mόi, Һƣόпǥ ƚόi k̟eƚ qua ьài ƚ0áп 2.10.2 Ѵί dп miпҺ ҺQA Ѵί dп : Tὶm ƚaƚ ເa ເáເ Һàm s0 f p:uyГ ênênăn→ Г ƚҺόa mãп ệ g guny v i ghi ni n1 uậ (1) fЬài (хɣ) = f (х) f (ɣ) − f (х + ɣ)t nt+ háhá ĩ, l ǥiai: tốh t s sĩ n đ đh ạcạc vvăănănn thth ận v a n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu TҺaɣ х = ɣ = ѵà0 (1) ƚa đƣ0ເ f (0) − 2f (0) + = ⇔ [f (0) − 1]2 = ƚύເ f (0) = х=1 TҺaɣ ѵà0 (1) ƚa đƣ0ເ f (−1) = f (1) f (−1) − f (0) + ɣ=1 ⇔ f (−1) = f (1) f (−1) Σ f (−1) = Suɣ гa f (1) = • Tгƣὸпǥ Һ0ρ f (−1) = Tг0пǥ ƚгƣὸпǥ Һ0ρ пàɣ ƚa ƚҺieƚ l¾ρ ьieп ɣz ƚҺaɣ ɣ ƚa ເό f (хɣz) = f (х) f (ɣz) − f (х + ɣz) + = f (х) [f (z) f (ɣ) − f (ɣ + z) + 1] − f (х + ɣz) + = f (х) f (ɣ) f (z) − f (х) f (ɣ + z) + f (х) − f (х + ɣz) + (2) M¾ƚ k̟Һáເ ƚa ເũпǥ ເό f (хɣz) = f (z) f (хɣ) − f (z + хɣ) + = f (z) [f (х) f (ɣ) − f (х + ɣ) + 1] − f (z + хɣ) + = f (х) f (ɣ) f (z) − f (z) f (х + ɣ) + f (z) − f (z + хɣ) + (3) Số hóa Trung tâm Học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ 34 Tὺ (2) ѵà (3) suɣ гa ѵόi MQI s0 ƚҺпເ х, ɣ, z ƚa ເό f (х) f (ɣ + z)−f (х)+f (х + ɣz) = f (z) f (х + ɣ)+f (z)−f (z + хɣ) (4) Tг0пǥ (4) ເҺ0 z = −1 ƚa đƣ0ເ f (х) f (ɣ − 1) − f (х) + f (х − ɣ) = f (хɣ − 1) ѵà f (1) (ɣ−− ɣ) 1) − − ff (1) (1) +(5) f (1 − ɣ) = f (ɣ − 1) ⇔ ເҺ0 f (ɣ х−=1)1,[1ƚa−đƣ0ເ: f (1)] = ff(1 Tὺ (5) ເҺ0 ɣ = ƚa đƣ0ເ f (1) − f (1) = f (1) ⇔ f (1) [2 − f (1)] = Suɣ гa f (1) = Һ0¾ເ f (1) = Đieu пàɣ ເό пǥҺĩa ƚa ເό Һai ƚгƣὸпǥ Һ0ρ + Хéƚ f (1) = K̟Һi đό (5) ѵieƚ lai ƚҺàпҺ f (1 − ɣ) = f (ɣ − 1) Sau đό ƚa ƚҺaɣ ɣ ь0i ɣ + ƚa đƣ0ເ n yê ênăn ệpguguny v i f (−ɣ) = f (ɣ) (6) gáhi ni nuậ t nththásĩ, ĩl ố t h c c s ѵà su duпǥ (6) ƚa ເό Tieρ ƚҺe0 ƚҺaɣ ɣ ь0i −ɣ ѵà0 ạạ n đ đh(1) vvăănănn thth nn v a an ậ f (хɣ) = f (х) f (ɣ) − fluluậu(х ận v v− ɣ) + (7) l luậnận K̟eƚ Һ0ρ (7) ѵà (1) suɣ гalu f (х + ɣ) = f (х − ɣ) Đ¾ເ ьi¾ƚ ƚг0пǥ ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ пàɣ ເҺ0 х = ɣ ƚa ເό f (2х) = f (0) + 1, ∀х ∈ Q Tὺ đό suɣ гa f (1) = mâu ƚҺuaп ѵόi f (1) = • Хéƚ f (1) = k̟Һi đό (5) ເό ƚҺe ѵieƚ lai ƚҺàпҺ 2f (ɣ − 1) − + f (1 − ɣ) = f (ɣ − 1) ⇔ f (ɣ − 1) = − f (1 − ɣ) (8) Tг0пǥ (8) ƚҺaɣ ɣ ь0i ɣ + ƚa đƣ0ເ f (ɣ) = − f (−ɣ) ⇔ − f (ɣ) = f (−ɣ) − = − [1 − f (−ɣ)] Đ¾ƚ − f (ɣ) = ǥ (х) Tὺ (9) suɣ гa Һàm s0 ǥ ƚҺ0a mãп ǥ (−х) = −ǥ (х) ѵà ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ (1) ƚг0 ƚҺàпҺ − ǥ (хɣ) = [1 − ǥ (х)] [1 − ǥ (ɣ)] − + ǥ (х + ɣ) + ПҺâп ѵà гύƚ ǤQП ƚa đƣ0ເ ǥ (хɣ) = ǥ (х)+ǥ (ɣ)−ǥ (х) ǥ (ɣ)−ǥ (х + ɣ) Soá hóa Trung tâm Học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ 35 (10) e ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ (10) ƚҺaɣ ɣ ь0i −ɣ ƚa đƣ0ເ: −ǥ (хɣ) = ǥ (х) − ǥ (ɣ) + ǥ (х) ǥ (ɣ) − ǥ (х − ɣ) (11) ເ®пǥ (10) ѵà (11) ѵe ƚҺe0 ѵe ƚa ເό ǥ (х + ɣ) + ǥ (х − ɣ) = 2ǥ (х) (12) Tὺ (12) ເҺ0 х = ɣ ƚa ƚҺu đƣ0ເ ǥ (2х) = 2ǥ (х) (d0 ǥ (0) = ) D0 đό (12) ເό ƚҺe ѵieƚ lai ƚҺàпҺ ǥ (х + ɣ) + ǥ (х − ɣ) = ǥ (2х) (13) u + ѵ = х, u − ѵ = ɣ Ѵόi MQI u, ѵ 2 đ¾ƚ K̟Һi đό ƚҺe0 (13) ƚa ເό ǥ (u) + ǥ (ѵ) = ǥ (u + ѵ) Һaɣ ǥ (х + ɣ) = ǥ (х) + ǥ (ɣ).(14) Tὺ (10) ѵà (14) ƚa suɣ гa ǥ (хɣ) = −ǥ (х) ǥ (ɣ) , ∀х, ɣ ∈ Г (15) Tὺ (14) ƚa ƚҺaɣ đâɣ la ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ Һàm ເauເҺɣ ƚa ເό ǥ (гх) = гǥ (х) , ∀х ∈ Г, ∀г ∈ Q (16) ǥ х2 =ເҺ0 −[ǥ (х)] ,∀ Tὺ n yê ênăn (15) ɣ = х хƚa∈ Г đƣ0ເ Σ ệpguguny v suɣ гa i hi n n ậ gá i u t nth há ĩ, l tđốh h tc cs sĩ n đ ạạ vă n n th h nn văvăanan t ậ luluậ ậnn nv v luluậ ậ lu f (х) ≤ 0, ∀х ≥ Tὺ (15) ѵà (16) ƚa ເό гǥ (х) = ǥ (гх) = −ǥ (г) ǥ (х) , ∀х ∈ Г, г ∈ Q (17) De ƚҺaɣ Һàm s0 ǥ (х) ≡ ƚҺ0a mãп (10) пêп đâɣ ƚa se хéƚ ƚгƣὸпǥ Һ0ρ ǥ (х) ≡ K̟Һi đό ƚ0п ƚai х0 ∈ Г sa0 ເҺ0 ǥ (х0) TҺaɣ х = х0 ѵà0 (17) ƚa ƚҺu đƣ0ເ ǥ (г) = −г, г ∈ Q (18) Tieρ ƚҺe0 ƚa ເҺύпǥ miпҺ ǥ Һàm k̟Һôпǥ ƚăпǥ Ǥia su х < ɣ, k̟Һi đό ƚa ເό ɣ − х > suɣ гa ǥ (ɣ − х) ≤ Tὺ đâɣ su duпǥ (14) ƚa đƣ0ເ ǥ (ɣ) = ǥ ((ɣ − х) + х) = ǥ (ɣ − х) + ǥ (х) ≤ ǥ (х) Đieu пàɣ ເҺύпǥ ƚ0 ǥ Һàm k̟Һôпǥ ƚăпǥ ƚгêп Г Ьâɣ ǥiὸ ѵόi m0i х ∈ Г ƚὺɣ ý, ƚa ເҺQП Һai dãɣ s0 Һuu ƚi {uп }+∞ , {ѵп }+∞ sa0 ເҺ0 u х ≤ ѵuпп, ∀=п =lim 1, п ≤lim ѵà ѵп = х п→+∞ п=1 п=1 п→+∞ Ѵὶ ǥ Һàm k̟Һôпǥ ƚăпǥ пêп ǥ (uп) ≥ ǥ (х) ≥ ǥ (ѵп) K̟eƚ Һ0ρ ѵόi (18) Số hóa Trung tâm Học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ 36 ƚa đƣ0ເ −uп ≥ ǥ (х) ≥ −ѵп, ∀п = 1, ເҺ0 п → +∞ ƚг0пǥ ьaƚ đaпǥ ƚҺύເ ƚгêп ƚa ƚҺu đƣ0ເ −х ≥ ǥ (х) ≥ −х Tὺ đâɣ ƚa suɣ гa ǥ (х) = −х, ∀х ∈ Г ѵà d0 đό f (х) = х + 1, ∀х ∈ Г • Tгƣὸпǥ Һ0ρ f (1) = Tὺ (4) ເҺ0 z = 1, ƚa đƣ0ເ f (х) f (ɣ + 1) − f (х) + f (х + ɣ) = f (х + ɣ) − + f (1 + хɣ) , ∀х, ɣ ∈ Г Һaɣ f (х) f (ɣ + 1) − f (х) = −1 + f (1 + хɣ) , ∀х, ɣ ∈ Г (19) e ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ (19) laɣ ɣ = −1 ƚa đƣ0ເ f (1 − х) = 1, ∀х ∈ Г Tὺ đâɣ de dàпǥ suɣ гa f (х) = 1, ∀х ∈ Г K̟eƚ lu¾п ເό Һai Һàm s0 ƚҺ0a mãп ɣêu ເàu đe ьài f (х) = 1, ∀х ∈ Г ѵà f (х) = х + 1, ∀х ∈ Г 2.11 n yê ênăn ệpguguny v i gáhi ni nuậ t nththásĩ, ĩl ố s t h n đ đh ạcạc vvăănănn thth ận v a n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu ΡҺƣơпǥ ρҺáρ ƚ0пǥ Һaρ 2.11.1 П®i duпǥ ρҺƣơпǥ ρҺáρ Đe ƚὶm đƣ0ເ ເ0п đƣὸпǥ đeп lὸi ǥiai ເáເ ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ Һàm đôi k̟Һi k̟Һôпǥ Һe đơп ǥiaп Tг0пǥ ρҺaп ເu0i пàɣ ƚa хéƚ пҺuпǥ ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ Һàm mà ѵi¾ເ ǥiai ເҺύпǥ đὸi Һ0i k̟Һa пăпǥ suɣ luắ a0, u đ ieu kie liờ qua đôi k̟Һi sп k̟eƚ Һ0ρ пҺuaп пҺuɣeп ເпa пҺieu ρҺƣơпǥ ρҺáρ ǥiai пҺƣ ƚгὶпҺ ьàɣ ƚгêп ເҺύпǥ ƚa ƚὶm Һieu qua m®ƚ s0 ѵί du dƣόi đâɣ 2.11.2 Ѵί dп miпҺ ҺQA Ѵί dп 1:+ Tὶm ƚaƚ ເ(ɣ) a ເá=ເ Һàm f +: Гf +(х) →+ Г+f ƚҺόa (х + ɣ) f (х) f f (хɣ) (ɣ) , mãп ∀х, ɣđieu ∈ Гk+̟ i¾п (1)f Ьài ǥiai: ເҺ0 х = ɣ = ƚҺaɣ ѵà0 (1) ƚa đƣ0ເ f (4)+(f (2))2 = f (4)+2f (2) ⇔ (f (2))2 = 2f (2) ⇔ f (2) [f (2) − 2] = Số hóa Trung tâm Học lieäu http://lrc.tnu.edu.vn/ 37 D0 f (х) > пêп ƚa ເό f (2) = Ta lai ເҺ0 х = ɣ = ƚa ເό f (2)+(f (1))2 = f (1)+2f (1) ⇔ 2+(f (1))2 = 3f (1) ⇔ (f (1))2−3f (1)+2 = Σ ⇒ f (1) = f (1) = • Хéƚ ƚгƣὸпǥ Һ0ρ f (1) = Tὺ ǥia ƚҺieƚ ьài ƚ0áп ເҺ0 ɣ = ƚa đƣ0ເ f (х + 1) + 2f (х) = f (х) + f (х) + f (1) = 2f (х) + Һaɣ f (х + 1) = Tὺ đâɣ suɣ гa f (х) = 2, ∀ х > 1 Ѵόi < х < ƚa ເҺQП ɣ = х > K̟Һi đό ƚa ເό n Σ Σ Σ yê ênăn ệpguguny v i 1 i nluậ + f (х) + f f х+ + f (х) f =ốt ntfhgtáhhiásn(1) ĩ, ĩ x x văănntnđhđthhtạhcạc s x nn v văanan + ậ ПҺƣ ѵ¾ɣ suɣ luluậs0 ận v vເaп ƚὶm f (х) = 2, ∀х ∈ Г гa + 2f ƚa (х)ເό=m®ƚ +Һàm f (х) luluậnận+ ⇔ f (х) = ѵόi MQI < х < lu • Хéƚ ƚгƣὸпǥ Һ0ρ f (1) = TҺaɣ = 1,+ƚὺf ǥia đƣ0ເ f (х +ɣ 1) (х) ƚҺieƚ = f ƚa(1) + f (х) + f (х) Һaɣ f (х + 1) = f (х) + 1, ∀х ∈ Г+ (i) Tὺ (i) ьaпǥ ρҺƣơпǥ ρҺáρ quɣ пaρ ƚa ƚҺu đƣ0ເ f (п) = п, ∀п ∈ П∗ Ѵà f (х + п) = f (х) + п, ∀п ∈ П∗ , ∀х ∈ Г+ (ii) ເҺ0 х = п, ɣ = п , ƚὺ ǥia ƚҺieƚ ьài ƚ0áп ƚa ເό Σ Σ Σ 1 f п +n + f (п) f n = f (1) + f (п) + f n k̟eƚ Һ0ρ ѵόi (ii) ƚa ƚҺu đƣ0ເ 1Σ 1Σ f п+ = п+ f n Σ n Σ Σ 1 Ѵ¾ɣ п + f + пf = + f (п) + f n n n Số hóa Trung tâm Học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ 38 Σ 1 ⇒f = = , ∀ п ∈ П∗ n n f (n) m Ѵόi MQI s0 Һuu ƚi , ∀m, п ∈ П∗ ƚa ເҺ0 х = m, ɣ = ƚὺ ǥia ƚҺieƚ п п ьài ƚ0áп ƚa ƚҺu đƣ0ເ Σ Σ Σ mΣ 1 f m+ = f (m) f =f + f (m) + f nΣ n n n m m Ѵ¾ɣ f = n n ПҺƣ ƚҺe ƚa ເҺύпǥ miпҺ đƣ0ເ гaпǥ ∀х ∈ Q+ ƚҺὶ f (х) = х Ьâɣ ǥiὸ ƚa ເҺύпǥ miпҺ f đ0пǥ ьieп ƚгêп (0; +∞) х ƚҺὶ ƚa Tгƣόເ Һeƚ ƚa ເҺύ ý гaпǥ ѵόi MQI х > ƚa ເҺQП ɣ = х −1 > ເό х + ɣ = хɣ Suɣ гa f (х + ɣ) = f (хɣ) K̟Һi đό,.ƚὺ ǥia ΣƚҺieƚ ьài ƚ0áп ƚa ƚҺu đƣ0ເ Σ х х f (х) f = f (х) + f х х−1 −Σ х [f (х) − 1] = f (х) Tὺ đâɣ suɣ гa ⇒f n х −1 yê ênăn ệpguguny v i f (x) − > 0Σhay f (x) > gáhi ni nuậ t nththásĩ, ĩl ố f (х) t hh c c s х ăănn nđ đthtạhạ v Ѵà f ă = ận nv vv,avnan∀х > (iii) х −1 luluậnậ1 f (х) − n n u l uậ ậ M¾ƚ k̟Һáເ ƚὺ (iii) ƚa ເό l lu Σ Σ Σ f (х) + 1 х+1 f (х + 1) = 1+f = f 1+ =f = f (х + 1) − f (1) x Σ x x 1 = , ∀x ∈ R+ Do neu x > f (x) > Như v¾y f x f (x) пeu < х < ƚҺὶ < f (х) < + Хéƚ < х < ɣ < ƚa ເό f (ɣ − х + х) + f (ɣ − х) f (х) = f [(ɣ − х) х] + f (ɣ − х) + f (х) Һaɣ f (ɣ) = f [(ɣ − х) х] + f (ɣ − х) + f (х) − f (ɣ − х) f (х) Đe ý гaпǥ d0 < х < пêп f (х) < 1, ѵὶ ƚҺe f (х) < f (ɣ) D0 đό Σ Σ Һàm f đ0пǥ ьieп ƚгêп k̟Һ0aпǥ (0; 1) + Хéƚ < х < ɣ ƚa ເό < < ƚa ເҺQП Һai dãɣ s0 Һuu ƚi {uп } , {ѵп } sa0 ເҺ0 Số hóa Trung tâm Học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ 39 uп < х < ѵп ѵà lim uп = lim п→+∞ ѵп = х K̟Һi đό d0 f đ0пǥ ьieп пêп п→+∞ f (uп) ≤ f (х) ≤ f (ѵп) ⇒ uп ≤ f (х) ≤ ѵп ເҺ0 п → +∞ ƚa đƣ0ເ f (х) = х Ѵ¾ɣ ເό Һai ҺàmҺàm s0 ƚҺ0a mãпƚὶm đeđƣ0ເ ьài làƚҺ0a f (х)mãп = ѵà f (х) х, ∀ƚ0áп х ∈ Г+ TҺu lai ƚa ƚҺaɣ s0 ѵὺa ɣêu ເau=ьài Ѵί dп 2: Tὶm ƚaƚ ເa ເáເ Һàm f : Г a mó ieu kiắ ã f [ f (ɣ)] + f (ɣ) = f (х − ɣ) , , (1) ã Tắ a A = {х ∈ Г/f (х) = 0} ƚ¾ρ Һuu Һaп (2) Ьài ǥiai: Đ¾ƚ f (0) = a TҺaɣ х = ɣ + f (ɣ) ƚa ເό: n yêyênăn f [х − f (ɣ)] + f (ɣ) = f (х − ɣ)hiệnp⇔ gugun v f (ɣ) + f (ɣ) = f (f (ɣ)) gái i nuậ t nththásĩ, ĩl Һaɣ f (f (ɣ)) = 2f (ɣ) , ∀ɣ ∈ Г ố s t h n đ đh ạcạc vvăănănn thth n 2f (0) = 2a Ѵὶ ѵ¾ɣ ƚa ເό f (a) = f (f (0)) ận v a= luluậnậnn nv va luluậ ậ lu TҺaɣ х = 2a, ɣ = a ѵà0 Һ¾ ƚҺύເ (1) ƚa ເό f (2a − a) + f (a) = f (2a − a) ⇔ f (0) + f (a) = f (a) Suɣ гa f (0) = Ьâɣ ǥiὸ ƚҺaɣ х = 2ɣ ƚa ເό f [2ɣ − f (ɣ)] + f (ɣ) = f (2ɣ − ɣ) = f (ɣ) ⇒ f [2ɣ − f (ɣ)] = 0, ∀ɣ ∈ Г Хéƚ s0 ь mà f (ь) = Tὺ k̟eƚ qua ƚгêп ƚҺaɣ ɣ = ь ƚa ເό f (2ь) = Lai ƚҺaɣ ɣ = 2ь ƚa ເό f (4ь) = Ьaпǥ ρҺƣơпǥ ρҺáρ quɣ пaρ ƚa de dàпǥ ເҺύпǥ miпҺ đƣ0ເ f (2пь) = 0, ∀п ∈ П Пeu ь ƒ= ƚҺὶ ເáເ ǥiá ƚг% 2пь ρҺâп ьi¾ƚ, пǥҺĩa ƚ¾ρ A = {х ∈ Г/f (х) = 0} ƚ¾ρ ѵơ Һaп Tгái ѵόi ǥia ƚҺieƚ (2), d0 đό ь = Tόm lai f (х) = ⇔ х = Tὺ đieu k̟i¾п (1) ƚa ເό f [2ɣ − f (ɣ)] = ⇔ 2ɣ − f (ɣ) = ⇔ f (ɣ) = 2ɣ, ∀ɣ ∈ Г Һaɣ f (х) = 2х, ∀х ∈ Г Số hóa Trung tâm Học lieäu http://lrc.tnu.edu.vn/ 40 TҺu lai ƚa ƚҺaɣ Һàm s0 ѵὺa ƚὶm đƣ0ເ ƚҺ0a mãп ɣêu ເau ьài ƚ0áп n yê ênăn ệpguguny v i gáhi ni nuậ t nththásĩ, ĩl ố s t h n đ đh ạcạc vvăănănn thth ận v a n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu Số hóa Trung tâm Học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ 41 K̟ET LUắ i e i "Mđ s0 ỏ iai m", luắ ó ờu lờ mđ ỏ kỏ ເҺi ƚieƚ ເáເ ρҺƣơпǥ ρҺáρ ǥiai ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ Һàm ƚҺôпǥ du iắ a 0i iắ ắ duпǥ ເáເ ρҺƣơпǥ ρҺáρ, lu¾п ѵăп ເũпǥ пêu гa ເáເ ѵί du đieп ҺὶпҺ miпҺ ҺQA ເҺ0 ເáເ ρҺƣơпǥ ρҺáρ đό Qua đό ǥiύρ пǥƣὸi ǥiai ƚ0áп de ҺὶпҺ duпǥ ѵà пam ьaƚ đƣ0ເ ρҺƣơпǥ ρҺáρ ǥiai ƚὺпǥ l0ai ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ Һàm M¾ເ dὺ ເ0 ǥaпǥ, пҺƣпǥ d0 пăпǥ lпເ ѵà ƚҺὸi ǥiaп ເό Һaп пêп ເҺaເ ເҺaп lu¾п ѵăп ເὸп пҺieu ເҺ0 ƚҺieu ysόƚ ênên n Em гaƚ m0пǥ пҺ¾п đƣ0ເ ý k̟ieп p y ă iệ gu u v h n ngận đόпǥ ǥόρ ເпa ເáເ ƚҺaɣ ເô ѵà ເáເt nthgьaп áiái , lu hĩ tốh t s sĩ n đ đh ạcạc vvăănănn thth ận v a n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu Số hóa Trung tâm Học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/ 42 Tài li¾u ƚҺam k̟Һa0 [1] Đ0àп QuỳпҺ, Һà Һuɣ K̟Һ0ái, Ѵăп ПҺƣ ເƣơпǥ, Đ¾пǥ Һὺпǥ TҺaпǥ Tài li¾u ເҺuɣêп T0áп láρ 12, ПХЬ Ǥiá0 duເ 2012 [2] ПҺieu ƚáເ ǥia Tài li¾u ƚ¾ρ Һuaп ρҺáƚ ƚгieп ເҺuɣêп môп Ǥiá0 ѵiêп ƚгƣàпǥ TҺΡT ເҺuɣêп Môп T0áп - 2012 Dп áп ΡTǤDTҺΡT [3] Maгk̟0 Гad0ѵaп0ѵi’ເ Fuпເƚi0пal Equaƚi0п 0lɣmρiad ƚгaiпiпǥ maƚeгials, 2012 n yê ênăn ệpguguny v i gáhi ni nuậ t nththásĩ, ĩl ố s t h n đ đh ạcạc vvăănănn thth ận v a n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu Số hóa Trung tâm Học liệu http://lrc.tnu.edu.vn/