Một số phương pháp giải phương trình và bất phương trình lượng giác

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC Lại Thị Quỳnh Nguyên MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Mã số: 60.46.40 Người hướng dẫn khoa học GS.TSKH NGUYỄN VĂN MẬU THÁI NGUYÊN - NĂM 2011 Số hóa Trung tâm Học Liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Mục lục Mở đầu Một số hệ thức lượng giác 1.1 Một số tính chất hàm lượng giác 1.2 Đẳng thức lượng giác đồng thức đại số 1.3 Một số tính chất đa thức lượng giác 4 12 Một số phương pháp giải phương trình bất phương trình lượng giác 2.1 Phương trình lượng giác đưa dạng phương trình đại số 2.2 Phương trình lượng giác giải so sánh ước lượng 2.3 Bất phương trình lượng giác 2.4 Các bất phương trình lượng giác hữu tỉ 2.5 Các bất phương trình lượng giác có chứa tham số 20 20 29 32 34 35 Một số ứng dụng lượng giác đại số 39 3.1 Sử dụng lượng giác để chứng minh đẳng thức 39 3.2 Sử dụng lượng giác để chứng minh bất đẳng thức 42 3.3 Sử dụng lượng giác để giải phương trình, bất phương trình hệ phương trình đại số 46 3.4 Sử dụng lượng giác toán cực trị 65 3.5 Sử dụng lượng giác toán dãy số 71 Kết luận 78 Tài liệu tham khảo 79 Số hóa Trung tâm Học Liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Mở đầu Lượng giác chuyên đề quan trọng chương trình tốn phổ thơng Các toán lượng giác thường xuyên xuất đề thi tuyển sinh vào Đại học, Cao đẳng Việc giảng dạy lượng giác đưa vào chương trình từ lớp 10 bậc trung học phổ thơng, phần kiến thức phương trình, bất phương trình lượng giác chiếm vai trò trọng tâm Tuy nhiên, thời gian hạn hẹp chương trình phổ thơng, khơng nêu đầy đủ chi tiết tất dạng tốn phương trình, bất phương trình lượng giác Vì học sinh thường gặp nhiều khó khăn giải tốn nâng cao phương trình, bất phương trình lượng giác đề thi tuyển sinh Đại học, Cao đẳng Mặc dù có nhiều tài liệu tham khảo lượng giác với nội dung khác nhau, chưa có chuyên đề riêng khảo sát phương trình bất phương trình cách hệ thống Đặc biệt, nhiều dạng toán đại số lượng giác có quan hệ chặt chẽ, khăng khít với nhau, khơng thể tách rời Nhiều tốn lượng giác cần có trợ giúp đại số, giải tích ngược lại, ta dùng lượng giác để giải số tốn phương trình, bất phương trình hệ phương trình đại số thơng qua cách đặt ẩn phụ hàm lượng giác Do đó, để đáp ứng nhu cầu giảng dạy, học tập góp phần nhỏ bé vào nghiệp giáo dục, luận văn "Một số phương pháp giải phương trình bất phương trình lượng giác" nhằm hệ thống kiến thức lượng giác phương trình, bất phương trình lượng giác kết hợp với kiến thức đại số, giải tích để tổng hợp, chọn lọc phân loại phương pháp giải phương trình, bất phương trình lượng giác xây dựng số lớp toán Luận văn chia làm chương Chương Một số hệ thức lượng giác - Nhắc lại số tính chất hàm số lượng giác bản: tính chất tuần Số hóa Trung tâm Học Liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn hoàn, phản tuần hoàn - Nêu số đẳng thức lượng giác đồng thức đại số tương ứng - Nêu định nghĩa số tính chất đa thức lượng giác Chương Một số phương pháp giải phương trình bất phương trình lượng giác - Phân loại phương pháp giải số dạng phương trình bất phương trình lượng giác - Những ví dụ minh họa cho phương pháp - Một số tập ứng dụng Chương Một số ứng dụng lượng giác đại số - Trình bày ứng dụng lượng giác số dạng toán đại số - Nêu ví dụ minh họa dạng toán - Một số tập ứng dụng Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc Giáo sư - TSKH Nguyễn Văn Mậu, người thầy trực tiếp hướng dẫn, cung cấp tài liệu truyền đạt kinh nghiệm nghiên cứu cho Tôi xin chân thành cảm ơn thầy, cô giáo khoa Tốn - Tin, Phịng Đào tạo trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên, trường Phổ thông Vùng cao Việt Bắc bạn bè đồng nghiệp giúp đỡ, tạo điều kiện cho tơi hồn thành luận văn Thái Nguyên 2011 Lại Thị Quỳnh Nguyên Số hóa Trung tâm Học Liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Chương Một số hệ thức lượng giác 1.1 Một số tính chất hàm lượng giác 1.1.1 Tính tuần hồn, phản tuần hoàn Xét hàm số f (x) với tập xác định D(f ) ⊂ R, tập giá trị R(f ) ⊂ R Định nghĩa 1.1 (xem [1]) Hàm số f (x) gọi hàm tuần hồn (cộng tính) chu kỳ T (T > 0) M M ⊂ D(f ) ∀x ∈ M ⇒ x ± T ∈ M f (x + T ) = f (x), ∀x ∈ M Định nghĩa 1.2 (xem [1]) Cho f (x) hàm tuần hồn M Khi số T (T > 0) gọi chu kỳ sở f (x) f (x) tuần hoàn với chu kỳ T mà khơng hàm tuần hồn với chu kỳ bé T Định nghĩa 1.3 (xem [1]) Hàm số f (x) gọi hàm phản tuần hồn (cộng tính) chu kỳ T (T > 0) M M ⊂ D(f ) ∀x ∈ M ⇒ x ± T ∈ M f (x + T ) = −f (x), ∀x ∈ M Định nghĩa 1.4 (xem [1]) Cho f (x) hàm phản tuần hồn M Khi số T (T > 0) gọi chu kỳ sở f (x) f (x) hàm phản tuần hồn với chu kỳ T mà khơng hàm phản tuần hoàn với chu kỳ bé T M Ví dụ 1.1 Chứng minh 2π chu kỳ sở hàm số f (x) = cos x Số hóa Trung tâm Học Liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Giải Tập xác định hàm số f (x) D(f ) = R Khi ∀x ∈ R ⇒ x ± 2π ∈ R f (x + 2π) = cos(x + 2π) = cos x = f (x) Suy f (x) hàm tuần hoàn với chu kỳ 2π R Giả sử tồn < T1 < 2π cho f (x + T1 ) = f (x) ⇔ cos(x + T1 ) = cos x Chọn x = ta có cos T1 = cos = (Mâu thuẫn với giả thiết < T1 < 2π) Vậy, 2π chu kỳ sở hàm số f (x) = cos x Ví dụ 1.2 (IMO - 1968) Cho số thực a hàm số f : R → R thỏa mãn điều kiện (1.1) f (x + a) = + f (x) − (f (x))2 , ∀x ∈ R Chứng minh f hàm số tuần hoàn Giải Giả sử tồn hàm số f (x) thỏa mãn yêu cầu Để (1.1) có nghĩa, ta phải có ≤ f (x) ≤ 1, ∀x ∈ R 1 Đặt g(x) := f (x) − , ta có ≤ g(x) ≤ (1.1) trở thành 2 − (g(x))2 g(x + a) = Như vậy, ta có [g(x + a)]2 = − [g(x)]2 Lập luận tương tự ta [g(x + 2a)]2 = − [g(x + a)]2 Vì g(x) ≥ 0, ∀x ∈ R, nên từ ta có: g(x + 2a) = g(x), tức ta có f (x + 2a) = f (x) Vậy, f (x) hàm tuần hoàn R với chu kỳ 2a Số hóa Trung tâm Học Liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 1.1.2 Hàm tuần hồn nhân tính Định nghĩa 1.5 (xem [1]) Hàm f (x) gọi hàm tuần hồn nhân tính chu kỳ a, < a ∈ / {0, 1} M M ⊂ D(f ) ∀x ∈ M f (ax) ⇒ a±1 x ∈ M = f (x), ∀x ∈ M Ví dụ 1.3 Xét f (x) = sin (2π log2 x) Khi f (x) hàm tuần hồn nhân tính chu kỳ R+ Thật vậy, ta có: Với x ∈ R+ 2±1 x ∈ R+ f (2x) = sin [2π log2 (2x)] = sin [2π (1 + log2 x)] = sin (2π + 2π log2 x) = sin (2π log2 x) = f (x), ∀x ∈ R+ Ví dụ 1.4 Cho ví dụ hàm số liên tục tuần hồn nhân tính chu kỳ f (5x) = f (x), ∀x > Giải Ta có ∀x ∈ R∗+ ⇒ 5±1 x ∈ R∗+ log5 (5x) = + log5 x ⇔ π log5 (5x) = π + π log5 x Đặt f (x) = tan [π log5 x] , ∀x > 0, suy f (5x) = tan [π log5 (5x)] = tan [π + π log5 x] = tan [π log5 x] = f (x) Vậy, hàm số f (x) = tan (π log5 x) hàm số tuần hồn nhân tính chu kỳ R∗+ 1.2 Đẳng thức lượng giác đồng thức đại số Ta thấy đẳng thức lượng giác để dẫn đến phong phú hệ thống đồng thức lượng giác công thức sin2 t + cos2 t = 1, ∀t ∈ R (1.2) Số hóa Trung tâm Học Liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Gắn với hệ thức (1.2) đồng thức Lagrange (2x)2 + (1 − x2 )2 = (1 + x2 )2 , ∀x ∈ R (1.3) Hai đồng thức (1.2) (1.3) hai cách viết hệ thức Như với công thức lượng giác có đồng thức tương ứng 1.2.1 Đồng thức đại số liên quan đến hàm số cosin Ta có cơng thức Euler eiα = cos α + i sin α, α ∈ R Khi  iα −iα  cos α = e + e −iα iα e − e  sin α = 2i α −α e +e · Từ suy cos(iα) = 1 Như hàm số cos t biểu thức có dạng a+ , cho nên, mặt hình a thức ta có nhiều biến đổi thu từ công thức liên quan đến biến x∈ / [−1; 1] giống công thức hàm số cos t Ví dụ 1.5 Đồng thức đại số ứng với công thức cos 2t = cos2 t − cơng thức 1 a2 + 2 a 1 =2 a+ a − Ví dụ 1.6 Đồng thức đại số ứng với công thức cos 3t = cos3 t − cos t cơng thức 1 a3 + a 1 =4 a+ a −3 1 a+ a · Số hóa Trung tâm Học Liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn hay 4x3 − 3x = với x= 1 a3 + a 1 a+ , a = a Ví dụ 1.7 Đồng thức đại số ứng với công thức cos 5t + cos t = cos 3t cos 2t cơng thức 1 a5 + a + 1 a+ a 1 a3 + a =2 1 a2 + 2 a Từ sử dụng kết khai triển hàm lượng giác cos 3t cos 2t ta thu đồng thức đại số sau 1 a5 + a = −m + 2(4m3 − 3m)(2m2 − 1), m= 1 a+ a Ví dụ 1.8 Cho số thực m với |m| > Tính giá trị biểu thức M = 8x3 − 6x, x= m+ m2 − + m− m2 − Giải Vì |m| > nên tồn số thực q để có hệ thức m= q + q Chọn q= m+ m2 − ta 1 q+ q = m+ m2 − + m− m2 − = x Theo ví dụ 1.6 4x3 − 3x = m nên M = 2m Số hóa Trung tâm Học Liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 1.2.2 Đồng thức đại số liên quan đến hàm số sin Từ công thức Euler ta thu hệ thức i sin t = eit + e−it · Suy biểu thức i sin(it) nhận giá trị thực Điều gợi ý cho ta cách chuyển đổi đồng thức hàm số sin sang đồng thức đại số Ví dụ 1.9 Xét cơng thức khai triển sin 3t = sin t − sin3 t Từ ta thu công thức i sin(3it) = 3(i sin it) + 4(i sin it)3 Hệ thức đại số ứng với công thức đồng thức 1 a3 − a 1 =3 a− a 1 +4 a− a , hay 4x3 + 3x = với x= 1 a3 − a , 1 a− , a = a Ví dụ 1.10 Xét công thức biến đổi sin 5t + sin t = sin 3t(1 − sin2 t) (1.4) Từ ta thu công thức i sin(5it) + i sin it = 2i sin(i3t)(1 + 2(i sin it)2 ) Hệ thức đại số ứng với công thức đồng thức 1 a5 − a 1 + a− a 1 =2 a3 − a 1+ 1 a2 − 2 a Số hóa Trung tâm Học Liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn · ... phương pháp giải phương trình bất phương trình lượng giác 2.1 Phương trình lượng giác đưa dạng phương trình đại số 2.2 Phương trình lượng giác giải so sánh ước lượng 2.3 Bất phương trình lượng. .. định nghĩa số tính chất đa thức lượng giác Chương Một số phương pháp giải phương trình bất phương trình lượng giác - Phân loại phương pháp giải số dạng phương trình bất phương trình lượng giác -... phần nhỏ bé vào nghiệp giáo dục, luận văn "Một số phương pháp giải phương trình bất phương trình lượng giác" nhằm hệ thống kiến thức lượng giác phương trình, bất phương trình lượng giác kết hợp