Phổ của toán tử tuyến tính

Hoàng Tụy là một trong những nhà toán học tiên phong đầu tiên nghiên cứu và trình bày hệ thống các kiến thức về cơ sở lý thuyết hàm.Một trong những khái niệm không thể không nhắc đến đó

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO UBND TỈNH THANH HÓA TRƯỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP NĂM HỌC 2022-2023

PHỔ CỦA TOÁN TỬ TUYẾN TÍNH

Thuộc lĩnh vực khoa học: Khoa học tự nhiên

Thanh Hóa, 4/2023

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO UBND TỈNH THANH HÓA TRƯỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP NĂM HỌC 2022 - 2023

PHỔ CỦA TOÁN TỬ TUYẾN TÍNH

Sinh viên: Lê Thị Ngọc Anh

Lớp, khoa: K22 ĐHSP Toán, Khoa KHTN Người hướng dẫn: TS Nguyễn Mạnh Cường

Thanh Hóa, 4/2023

Mục lục

Mở đầu 4

Chương 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 6 1.1 Không gian định chuẩn và không gian Banach 6

1.1.1 Định nghĩa và tính chất của chuẩn 6

2.1 Toán tử Hilbert - Schmidt 14

2.2 Toán tử compact 15

2.3 Định lý phổ của toán tử compact tự liên hợp 20

2.4 Phổ của một toán tử compact tổng quát 24

2.5 Giới thiệu về định lý phổ tổng quát 28

2.5.1 Phổ và giải thức trong một đại số Banach 29

2.5.2 Định lý về phổ của toán tử tự liên hợp bị chặn trong không gian Hilbert 33

Chương 3 MỘT SỐ BÀI TẬP VỀ PHỔ CỦA TOÁN TỬ 37 Kết luận 45 Tài liệu tham khảo 46

LỜI CẢM ƠN

Khóa luận tốt nghiệp chuyên ngành Toán học với đề tài “Phổ của toán tử tuyến tính” là kết quả của quá trình cố gắng không ngừng nghỉ của bản thân và được sự giúp đỡ tận tình, động viên khích lệ của thầy cô, bạn bè và người thân Qua đây, em xin gửi lời cảm ơn chân thành đến mọi người đã giúp đỡ em trong thời gian học tập và làm khoá luận vừa qua.

Em xin gửi lời cảm ơn đến Ban Giám Hiệu trường Đại học Hồng Đức đã giảng dạy và tạo điều kiện thuận lợi để các sinh viên học tập, nghiên cứu để hoàn thành quá trình học tập.

Em xin trân trọng gửi đến thầy cô giảng viên giảng dạy bộ môn Toán đã giúp đỡ và chỉ bảo em trong quá trình làm khóa luận cũng như cung cấp tài liệu bổ ích.

Cảm ơn Thầy Nguyễn Mạnh Cường – giảng viên giảng dạy bộ môn Toán người đã trực tiếp tận tình hướng dẫn cũng như cung cấp tài liệu, thông tin khoa học cần thiết cho bài luận này lời cảm ơn chân thành và sâu sắc nhất Cuối cùng, em xin cảm ơn gia đình, người thân, bạn bè đã luôn bên cạnh, ủng hộ, động viên.

Em xin chân thành cảm ơn!

∥x∥X chuẩn của véc tơ x trong không gian X

A × B tích Descartes của hai tập A và B

span(A) không gian tuyến tính sinh bởi tập A

Lp(D), 0 < p < ∞ không gian các hàm p−khả tích trên tập D L∞(D) không gian các hàm f với chuẩn sup

∀x với mọi x |x|1 := Pd

i=1xi chuẩn l1 của véc tơ x = (x1, x2, , xd) ⟨x, y⟩ tích vô hướng của hai véc tơ x và y

Mở đầu

1 Lý do chọn đề tài

Giải tích hàm là một trong những môn học đặt nền móng cho quá trình học tập, nghiên cứu về các vấn đề của giải tích hiện đại Trong đó, ngay từ ban đầu của thời kỳ giải tích hiện đại thì những toán tử tuyến tính, phiếm hàm và toán tử compact được nhiều nhà toán học trong và ngoài nước quan tâm nghiên cứu, đặc biệt là những ứng dụng của nó trong các lĩnh vực của toán giải tích Ở trong nước, GS Hoàng Tụy là một trong những nhà toán học tiên phong đầu tiên nghiên cứu và trình bày hệ thống các kiến thức về cơ sở lý thuyết hàm.

Một trong những khái niệm không thể không nhắc đến đó là phổ của toán tử tuyến tính Lý thuyết phổ toán tử có ý nghĩa và khả năng ứng dụng to lớn, chính vì vậy đề tài sẽ tập trung nghiên cứu và hệ thống các khái niệm, tính chất phổ của toán tử compact và hệ thống một số bài tập về phổ của toán tử tuyến tính.

Khóa luận của em tuy không phải là kết quả mới về mặt khoa học nhưng đó là sự nỗ lực của bản thân và chỉ bảo tận tình của các thầy cô giáo, em đã hệ thống và trình bày theo sự hiểu biết của mình Qua đây cho phép em được gửi lời cảm ơn chân thành đến các thầy cô trong bộ môn: Giải tích và PPDH Toán, Khoa KHTN, Trường Đại học Hồng Đức đã giao đề tài và ân cần chỉ bảo để em hoàn thành khóa luận này.

2 Mục tiêu nghiên cứu

Hệ thống một số dạng toán cụ thể về phương trình hàm Giải các bài toán, ví dụ về phương trình hàm sử dụng các tính chất của hàm số.

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu là các ánh xạ, hàm số, phương trình hàm 4 Phương pháp nghiên cứu

- Sử dụng các phương pháp giải tích, đặt vấn đề và giải quyết vấn đề - Thảo luận nhóm, liên hệ trao đổi nghiên cứu với các Thầy cô giáo.

Chương 1

KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

1.1.1 Định nghĩa và tính chất của chuẩn

Cho E là một K - không gian vectơ Một chuẩn trênE là một hàm x 7→ ∥x∥ từ E vào R thoả mãn các điều kiện sau với mọi x, y ∈ E, mọi λ ∈K

(n1) ∥x∥ ≥ 0, ∥x∥ = 0 nếu và chỉ nếu x = 0; (n2) ∥λx∥ = |λ| ∥x∥;

(n3) ∥x + y∥ ≤ ∥x∥ + ∥y∥ Điều sau đây là hiển nhiên.

Định lý 1.1.1 Nếu x 7→ ∥x∥ là một chuẩn trên E thì d(x, y) = ∥x − y∥ là một mêtric trên E Mêtric này thoả mãn d(x + z, y + z) = d(x, y) và d(λx, λy) = |λ| d(x, y) với mọi x, y, z ∈ E, λ ∈K.

Một không gian định chuẩn là một không gian vectơ cùng với một chuẩn trên nó Không gian định chuẩn là không gian mêtric với mêtric sinh bởi chuẩn Định lý 1.1.2 Chuẩn x 7→ ∥x∥ là một hàm liên tục đều từ E vào R.

Định lý 1.1.3 Giả sử E là một không gian định chuẩn Khi đó ánh xạ (x, y) 7→ x + y từ E × E vào E và (λ, x) 7→ λx từ K× E vào E là liên tục.

Định lý 1.1.4 Giả sử E là không gian định chuẩn Khi đó với mọi a ∈ E ánh xạ x 7→ a + x là phép đồng phôi đẳng cự (tức là bảo tồn khoảng cách) từ E lên E và với mọi λ ∈ K, λ ̸= 0 ánh xạ x 7→ λx là phép đồng phôi đều E lên E.

Hệ quả 1.1.1 Giả sửE là không gian định chuẩn Khi đó các điều kiện sau đây là tương đương:

a) U là lân cận của điểm 0 ∈ E.

b) αU là lân cận của 0 với mọi α ̸= 0 c) a + U là lân cận của a với mọi a ∈ E.

Không gian Banach là không gian định chuẩn đầy đủ (với mêtric sinh bởi chuẩn).

1.2.1 Bổ đề Zorn Sơ chuẩn, nửa chuẩn

Giả sử X là một tập hợp và ⩽ là một thứ tự (bộ phận) trên X, tức là với mọi x, y, z ∈ X ta có x ⩽ x (phản xạ); nếu x ⩽ y, y ⩽ x thì x = y (phản đối xứng) và x ⩽ y, y ⩽ z thì x ⩽ z (bắc cầu).

Một tập con A ⊂ X được gọi là sắp tuyến tính nếu mọi x, y ∈ A thì hoặc x ⩽ y hoặc y ⩽ x Phần tử a ∈ X gọi là biên trên của A nếu x ⩽ a với mọi X ∈ a Phần tử a ∈ X được gọi là phần tử cực đại nếu mọi x ∈ X mà a ⩽ x thì a = x.

Bổ đề 1.2.1 Giả sử X ̸= ∅ và ⩽ là một thứ tự trên X Nếu mọi tập con được sắp tuyến tính của X đều có biên trên thì trong X có phần tử cực đại Cho E là một không gian vectơ và p : E → R là một hàm thực Khi đó p được gọi là một sơ chuẩn nếu:

1) p(λx) = λp(x) với mọi λ ≥ 0, x ∈ E; 2) p(x + y) ⩽ p(x) + p(y) với mọi x, y ∈ E p được gọi là một nửa chuẩn nếu:

1) p ≥ 0 với mọi x ∈ E;

2) p(λx) = |λ| p(x) với mọi λ ∈ K, x ∈ E; 3) p(x + y) ⩽ p(x) + p(y) với mọi x, y ∈ E.

Rõ ràng một chuẩn là một nửa chuẩn và một nửa chuẩn là một sơ chuẩn Dễ dàng kiểm tra điều sau:

Bổ đề 1.2.2 Nếuplà một nửa chuẩn trên không gian vectơEthì|p(x) − p(y)| ≤ p(x − y) với mọi x, y ∈ E.

Bổ đề 1.2.3 Nếu p và q là các nửa chuẩn trên không gian vectơ E và nếu p(x)⩽ 1 kéo theo q(x) ⩽ 1 thì q(x) ⩽ p(x) với mọi x ∈ E.

1.2.2 Định lý Hahn - Banach

Định lý 1.2.1 (Định lý Hahn - Banach cho không gian vectơ thực) Giả sử E là một không gian vectơ thực, p là một sơ chuẩn xác định trên E Nếu f là một phiếm hàm tuyến tính xác định trên không gian con F của E thoả mãn f (x) ⩽ p(x) với mọi x ∈ F thì tồn tại phiếm hàm tuyến tính ef xác định trên

Giả sử X là không gian mêtric và A là tập con của X Tập A gọi là không đâu trù mật trong X nếu phần trong của A trong X bằng rỗng.

Không gian X được gọi là thuộc phạm trù thứ nhất nếu X viết đươc dưới

gian X không thuộc phạm trù thứ nhất được gọi là thuộc phạm trù thứ hai Định lý 1.3.1 (Định lý Baire về phạm trù) Mọi không gian mêtric đầy đủ đều thuộc phạm trù thứ hai.

1.3.2 Định lý ánh xạ mở

Bổ đề 1.3.1 Giả sử f : E → F là một ánh xạ tuyến tính liên tục từ không gian Banach E lên không gian Banach F Khi đó tồn tại số dương δ sao cho ảnh f (B) của hình cầu đơn vị mở B = {x ∈ E : ∥x∥ < 1} chứa mọi y ∈ F

Hệ quả 1.3.1 (Định lý Banach) Nếu f là song ánh tuyến tính từ không gian Banach E lên không gian Banach F và f liên tục thì f là phép đồng phôi.

Hệ quả 1.3.2 Nếu E là không gian Banach thì mọi chuẩn trên E làm cho E trở thành không gian Banach mà so sánh đươc với chuẩn xuất phát đều tương đương với nhau.

Dễ dàng thấy rằng (h2) và (h4) là hệ quả của các điều kiện còn lại Nếu K = R thì (h5) trở thành φ(x, y) = φ(y, x) do đó dạng Hermite trên không gian vectơ thực chính là dạng song tuyến tính đối xứng đã quen biết.

Bổ đề 1.4.1 Giả sử φ là một dạng Hermite trên E và x =

Bổ đề 1.4.2 Giả sửE là một không gian vectơ hữu hạn chiều và{a1, a2, , an} là một cơ sở của E Khi đó mỗi dạng Hermite φ trên E hoàn toàn được xác định bởi các giá trị αij = φ(ai, aj), trong đó αij = αji, i, j = 1, , n.

1.4.2 Dạng Hermite dương

Dạng Hermite φ trên E được gọi là dương nếu φ(x, x) ≥ 0 với mọi x ∈ E Bổ đề 1.4.3 (Bất đẳng thức Cauchy- Schwartz) Nếuφlà một dạng Hermite dương trên E thì |φ(x, y)|2 ≤ φ(x, x)φ(y, y) với mọi x, y ∈ E.

Bổ đề 1.4.4 (Bất đẳng thức Minkowski) Nếuφlà một dạng Hermite dương trên E thì pφ(x + y, x + y) ≤ pφ(x, x) +pφ(y, y) với mọi x, y ∈ E 1.4.3 Tích vô hướng và không gian Hilbert

Một dạng Hermite φ được gọi là xác định dương nếu φ(x, x) > 0 với mọi x ∈ E, x ̸= 0 Một dạng Hermite xác định dương còn được gọi là một tích vô hướng.

Bổ đề 1.4.5 Một dạng Hermite dương φ trên E là một tích vô hướng nếu và chỉ nếu φ(x, y) = 0 với mọi y ∈ E thì x = 0.

Một không gian tiền Hilbert là một K - không gian vectơ cùng với một tích vô hướng trên nó Nếu E là một không gian tiền Hilbert thì thay cho φ(x, y) ta còn viết ⟨x| y⟩ và gọi số này là tích vô hướng của x và y Theo định nghĩa của tích vô hướng và bất đẳng thức Minkowski dễ dàng kiểm tra rằng x 7→ ∥x∥ = ⟨x| x⟩12 là một chuẩn trên E Chuẩn này gọi là chuẩn được sinh bởi tích vô hướng Một không gian tiền Hilbert là một không gian định chuẩn (với chuẩn sinh bởi tích vô hướng).

Với các ký hiệu mới bất đẳng thức Cauchy- Schwartz trở thành |⟨x| y⟩| ≤ ∥x∥ ∥y∥ với mọi x, y ∈ E Dựa vào bất đẳng thức này dễ dàn chứng minh được điều sau:

Định lý 1.4.1 Tích vô hướng (x, y) → ⟨x| y⟩ là một hàm liên tục từ E × E vào K.

Hai vectơ x và y trong không gian tiền Hilbert E được gọi là trực giao với nhau (ký hiệu x⊥y) nếu ⟨x| y⟩ = 0 Theo (h5) dễ dàng thấy rằng x⊥y thì y⊥x.

Định lý 1.4.2 (Pythagore) Nếu x và y là hai vectơ trực giao trong không gian tiền Hilbert thì ∥x + y∥2 = ∥x∥2 + ∥y∥2.

Một đẳng cấu của không gian tiền Hilbert E lên không gian tiền Hilbert F là song ánh tuyến tính f : E → F thoả mãn ⟨f (x)| f (y)⟩ = ⟨x| y⟩ với mọi x, y ∈ E Rõ ràng rằng một phép đẳng cấu giữa các không gian tiền Hilbert là một đẳng cấu, đẳng cự giữa các không gian định chuẩn.

NếuF là một không gian vectơ con của không gian tiền HilbertE thì tích vô hướng trên E xác định một tích vô hướng trên F Với tích vô hướng này

ta gọi F là không gian tiền Hilbert con của E Một không gian tiền Hilbert đầy đủ được gọi là một không gian tiền Hilbert.

1.4.4 Đẳng thức bình hành

Bổ đề 1.4.6 Với mọi vectơxvày thuộc không gian tiền Hilbert đều có đẳng thức ∥x + y∥2 + ∥x − y∥2 = 2(∥x∥2 + ∥y∥2).

Nhận xét 1.1 Đẳng thức trong bổ đề khái quát một tính chất quen biết trong hình học sơ cấp: tổng các bình phương của các đường chéo của một hình bình hành bằng tổng các bình phương của các cạnh của nó Vì lí do đó, nó có tên gọi là đẳng thức bình hành.

Đẳng thức bình hành cũng là điều kiện đủ để đưa được tích vô hướng vào không gian định chuẩn Cụ thể, nếu một không gian định chuẩn E có chuẩn

1.4.5 Phổ của toán tử tuyến tính liên tục

B(X, Y ) là ký hiệu tập hợp các toán tử tuyến tính liên tục giữa hai không gian tuyến tính định chuẩn.

Định lý 1.4.3 Nếu X là một không gian tuyến tính định chuẩn và Y là một không gian Banach thì B(X, Y ) là một không gian Banach với chuẩn

∥T ∥B(X,Y ) = sup

∥T x∥Y ∥x∥X .

Chú ý rằng B(X) := B(X, X) là một đại số Banach Không gian đối ngẫu X∗ := B(X,R)là một không gian Banach dù choX có là không gian Banach

Đặt T∗y = z ta xác định một ánh xạ từ H vào H Toán tử T∗ thuộc B(X) được gọi là toán tử liên hợp của T.

Định nghĩa 1.4.2 (xem [3]) Giả sử X là không gian Banach trên trường K thực hoặc phức, A ∈ B(X), I là toán tử đồng nhất trên X Số λ gọi là giá trị chính quy của toán tử A nếu A − λI là một song ánh, tập hợp các giá trị chính quy của A ký hiệu là ρ(A) Tập hợp các số không phải là giá trị chính quy của A được gọi là phổ của A và ký hiệu là σ(A) Như vậy σ(A) = K \ ρ(A).

Chương 2

MỘT SỐ DẠNG ĐỊNH LÝ PHỔ CHO MỘT SỐ LỚP TOÁN TỬ

Bổ đề 2.1.1 Giả sử rằngei, e′i là hai cơ sở trực chuẩn của không gian Hilbert

trong đó {ei} là một cơ sở trực chuẩn của X T được gọi là một toán tử Hilbert - Schmidt nếu ∥T ∥2 < ∞, và ∥T ∥2 được gọi là chuẩn Hilbert -Schmidt của T Chúng ta thấy rằng nếu T là toán tử Hilbert - Schmidt thì T∗ cũng vậy và chuẩn Hilbert - Schmidt của chúng là trùng nhau.

Lấy tổng theo i ta có điều phải chứng minh □ Mệnh đề 2.2 Giả sử Ω là một tập con mở của Rn và K ∈ L2(Ω × Ω) xác

Định nghĩa 2.2.1 Một toán tử tuyến tính bị chặn giữa các không gian Banach được gọi là compact nếu nó ánh xạ hình cầu đơn vị (và bởi vậy mọi

tập bị chặn) lên một tập tiền compact.

Chẳng hạn nếu T có hạng hữu hạn thì T là compact.

Mệnh đề 2.3 Giả sử M là một không gian metric Khi đó các khẳng định sau đây là tương đương:

1) M là tiền compact.

2) Với tất cả ε > 0 tồn tại hữu hạn các tập có bán kính lớn nhất bằng ε phủ M.

3) Mọi dãy đều chứa một dãy con Cauchy.

Chứng minh: (1)⇒ (2) và (3)⇒ (1) là đơn giản Với (2) ⇒ (3) sử dụng một chéo hoá Cantor để trích ra một dãy con Cauchy □ Định lý 2.2.1 Giả sử X và Y là các không gian Banach và Bc(X, Y ) là không gian các toán tử compact từ X vào Y Khi đó Bc(X, Y ) là một không gian con đóng của B(X, Y ).

Chứng minh: Giả sử rằng Tn ∈ Bc(X, Y ), T ∈ B(X, Y ), ∥Tn− T ∥ → 0 Chúng ta phải chỉ ra rằng T là compact Do vậy chúng ta phải chỉ ra T (E) là tiền compact trong Y, trong đó E là hình cầu đơn vị trong X Để có điều này chúng ta chỉ cần chỉ ra rằng với ε > 0 bât kỳ, có hữu hạn các hình cầu Ui bán kính ε trong Y sao cho T (E) ⊂ ∩iUi.

Chọnn đủ lớn sao cho ∥T − Tn∥ ≤ ε/2 và giả sửV1, V2, , Vn là các hình cầu bán kính ε/2 phủ TnE Với mỗi i, giả sử Ui là hình cầu bán kính ε có

Từ đó suy ra rằng bao đóng của các toán tử hạng hữu hạn trong B(X, Y ) được chứa trong Bc(X, Y ) Tổng quát, điều này có thể là một bao hàm chặt, nhưng nếuY là một không gian Hilbert, thì nó là đẳng thức Để chứng minh điều này, ta chọn một cơ sở trực chuẩn của Y, và xét các toán tử hạng hữu

hạn dạng P T trong đó P là phép chiếu trực giao của Y lên không gian căng bởi các phần tử cơ sở Do T E là compact (E là hình cầu đơn vị của X) và ∥P ∥ = 1, với mỗi ε > 0 chúng ta có thể tìm được một toán tử P có dạng này với supx∈E∥(P T − T )x∥ ≤ ε.

Kết quả sau đây là hiển nhiên nhưng hữu ích.

Định lý 2.2.2 Giả sử X và Y là các không gian Banach và T ∈ Bc(X, Y ) Nếu Z là một không gian Banach khác và S ∈ B(Y, Z) thì ST là compact Nếu S ∈ B(Z, X) thì T S là compact Nếu X = Y, thì Bc(X) := Bc(X, X) là một ideal hai phía trong B(X).

Định lý 2.2.3 Giả sử X và Y là các không gian Banach và T ∈ B(X, Y ) Khi đó T là compact nếu và chỉ nếu T∗ là compact.

Chứng minh: Giả sử E là hình cầu đơn vị trong X và F là hình cầu đơn vị trong Y∗ Giả sử T là compct Cho trước ε > 0, chúng ta phải chỉ ra hữu hạn các tập có đường kính lớn nhất là ε phủ T∗F Đầu tiên chọn m tập có bán kính lớn nhất bằng ε/3 phủ T E và giả sử T xi thuộc tập thứ i Giả sử I1, I2, , In là n khoảng độ dài ε/3 phủ khoảng [− ∥T ∥ , ∥T ∥] Với bộ m số nguyên bất kỳ (j1, , jm), với 1 ≤ ji ≤ n, chúng ta xác định tập

{f ∈ F |f (T xi) ∈ Ij, i = 1, 2, , m}

Các tập này rõ ràng là phủ F, vì vậy ảnh của chúng dưới ánh xạ T∗ phủ T∗F, vì vậy ta chỉ cần chứng minh các ảnh có đường kính lớn nhất bằng ε Thực vậy, nếu f và g thuộc vào tập bên trên và x là phần tử bất kỳ của ε, lấy i sao cho ∥T x − T xi∥ ≤ ε

Chúng ta biết rằng ∥f (T xi) − g(T xi)∥ ≤ ε3 Do vậy |(T∗f − T∗g)(x)| = |(f − g)(T x)|

≤ |f (T x) − f (T xi)| + |g(T x) − g(T xi)| + |(f − g)(T xi)| ≤ ε.

Điều này chỉ ra rằng T compact ⇒ T∗ compact Ngược lại, giả sử rằng T∗ : Y∗ → X∗ là compact Khi đó T∗∗ ánh xạ hình cầu đơn vị của X∗∗ vào một tập con tiền compact của Y∗∗ Nhưng hình cầu đơn vị của X có thể được xem như là một tập con của hình cầu đơn vị trong song đối ngẫu của nó, và hạn chế của T∗∗ xuống hình cầu đơn vị của X trùng với T tại đây Do vậy ánh xạ hình cầu đơn vị của X tới một tập tiền compact □ Định lý 2.2.4 Nếu T là một toán tử compact từ một không gian Banach vào chính nó, thì N (1 − T ) là hữu hạn chiều và R(1 − T ) là đóng.

Chứng minh: T là một toán tử compact hạn chế tới đồng nhất thức trong N (1 − T ) Vì vậy hình cầu đơn vị đóng trong N (1 − T ) là compact, do chiều của N (1 − T ) là hữu hạn.

Do các không gian hữu hạn chiều bất kỳ được bổ sung đủ, nên tồn tại một không gian con đóngM củaX sao cho N (1 − T ) + M = X và N (1 − T ) ∩M = 0 Giả sử S = (1 − T ) |M, vì vậy S là đơn ánh và R(S) = R(1 − T ) Chúng ta sẽ chỉ ra rằng với c > 0 nào đó, ∥Sx∥ ≥ c ∥x∥ với tất cả x ∈ M, điều này sẽ kéo theo R(S) đóng Nếu bất đẳng thức trên không đúng với c > 0 tuỳ ý, chúng ta có thể chọn xn ∈ M có chuẩn 1 với Sxn → 0 Sau khi chuyển qua một dãy con, chúng ta có thể sắp xếp để T xn hội tụ tới x0 ∈ X nào đó Nó cho phép rằng xn → x0, vì vậy x0 ∈ M và Sx0 = 0 Từ đó, x0 = 0, điều này là không thể do ∥xn∥ = 1 □ Trong chứng minh trên, chúng ta đã sử dụng phần đầu tiên của bổ đề dưới đây Chúng ta nói rằng một không gian con đóng N được bổ sung đủ trong một không gian Banach X nếu có một không gian con đóng khác sao cho M ⊕ N = X.

Bổ đề 2.2.1 Một không gian con đóng hữu hạn chiều hay hữu hạn đối chiều của một không gian Banach thì được bổ sung đủ.

Chứng minh: Nếu M là một không gian con hữu hạn chiều, chọn một cơ sở x1, , xn và xác định một hàm tuyến tính ϕi : M → R bởi ϕi(xj) = δij Mở rộng Φi thành một hàm tuyến tính bị chặn trên X Khi đó, chúng ta có thể lấy N = N (ϕ1) ∩ ∩ N (ϕn).

Nếu M là hữu hạn đối chiều, chúng ta có thể lấy N là mở rộng của một

Một tổng quát hoá đơn giản của định lý trên sẽ hữu ích khi chúng ta nghiên cứu phổ của các toán tử compact.

Định lý 2.2.5 Nếu T là một toán tử compact từ một không gian Banach vào chính nó, λ là một số phức khác 0, và n là một số nguyên dương, thì N [(λ1 − T )n] là hữu hạn chiều và R [(λ1 − T )n] là đóng.

Chứng minh: Khai triển, chúng ta thấy rằng(λ1 − T )n = λn(1 − S) với toán tử compact S nào đó, vì vậy kết quả suy ra từ định lý trước □ Định lý 2.2.6 Một toán tử Hilbert - Schmidt trên một không gian Hilbert tách được là một toán tử compact.

Chứng minh Giả sử {ei} là một cơ sở trực chuẩn T là một toán tử Hilbert - Schmidt cho trước ( vì vậy P

2.3Định lý phổ của toán tử compact tự liên hợp

Trong mục này này, chúng ta giả sử rằng X là một không gian Hilbert phức Nếu T : X → X là một toán tử tuyến tính bị chặn, chúng ta xem T∗ như là một ánh xạ từ X → X thông qua đẳng cự Riesz giữa X và X∗ Tức là, T∗ được xác định bởi ⟨T∗x, y⟩ = ⟨x, T y⟩.

Trong trường hợp không gian Hilbert phức hữu hạn chiều, T có thể được biểu diễn với một ma trận vuông phức, và T∗ được biểu diễn bởi chuyển vị Hermitian của ma trận đó.

Nhắc lại rằng, một ma trận Hermitian đối xứng có các giá trị riêng thực và một cơ sở trực chuẩn gồm các vectơ riêng Với một toán tử tự liên hợp trong một không gian Hilbert, dễ dàng thấy rằng các giá trị riêng là các số thực„ và các vectơ riêng tương ứng với các giá trị riêng khác nhau là trực giao Tuy nhiên có thể không tồn tại một cơ sở trực chuẩn gồm các vectơ riêng, hay ngay cả với các vectơ riêng khác 0 bất kỳ Ví dụ, X = L2([0, 1]), và xác định T u(x) = xu(x) với u ∈ L2 Khi đó T rõ ràng là bị chặn và tự liên hợp Nhưng dễ dàng thấy rằng T không có giá trị riêng nào.

Định lý 2.3.1 (Định lý về phổ của các toán tử compact tự liên hợp trong không gian Hilbert) Giả sử T là một toán tử compact tự liên hợp trong không gian Hilbert X Khi đó có một cơ sở trực chuẩn gồm các vectơ riêng của T

Trước khi đi vào chứng minh, chúng ta chứng minh một bổ đề.

Bổ đề 2.3.1 Nếu T là một toán tử tự liên hợp trên một không gian Hilbert

chúng ta có thể giả sử rằng x và y là khác 0 Hơn nữa, chúng ta có thể nhận y bởi một số phức môđun 1, vì vậy chúng ta có thể giả sử rằng ⟨T x, y⟩ ≥ 0 Khi đó⟨T (x + y), x + y⟩−⟨T (x − y), x − y⟩ = 4Re ⟨T x, y⟩ = 4 |⟨T x, y⟩| Vì vậy |⟨T x, y⟩| ≤ α4.(∥x + y∥2+ ∥x − y∥2) = α2.(∥x∥2+ ∥y∥2) Bây giờ áp dụng kết quả này với x thay bởi p∥y∥ / ∥x∥x và y thay thế bởi p∥x∥ / ∥y∥y □ Chứng minh định lý về phổ của toán tử compact tự liên hợp Đầu tiên chúng ta chỉ ra rằng T có một vectơ riêng khác 0 Nếu T = 0, điều này là hiển nhiên, vì vậy chúng ta giả sử rằng T ̸= 0 Chọn một dãy xn ∈ X với ∥xn∥ = 1 sao cho |⟨T xn, xn⟩| → ∥T ∥ Do T là tự liên hợp, |⟨T xn, xn⟩| ∈ R, vì vậy chúng ta có thể chuyển quan một dãy con (vẫn ký hiệu là xn) mà với dãy đó ⟨T xn, xn⟩ → λ = ± ∥T ∥ Do T là compact nên chúng ta có thể chuyển qua một dãy con nữa và giả sử rằng T xn → y ∈ X Chú ý rằng ∥y∥ ≥ λ > 0.

Sử dụng giả thiết T tự liên hợp và λ là thực, chúng ta có

∥T xn− λxn∥2 = ∥T xn∥2 − 2λ ⟨T xn, xn⟩ + λ2∥xn∥2 ≤ 2∥T ∥2 − 2λ ⟨T xn, xn⟩ → 2∥T ∥2 − 2λ2 = 0

Do T xn → y, chúng ta suy ra λxn → y, hay xn → y/λ ̸= 0 Tác động T vào ta có T y/λ = y, vì vậy λ là một giá trị riêng khác 0.

Để hoàn tất chứng minh, xét tập tất cả các tập con trực chuẩn của X chứa các vectơ riêng của T Theo bổ đề Zorn, có một phần tử lớn nhất S Giả sử W là bao đóng của tập căng bởi S Rõ ràng T W ⊂ W, và do T là tự liên hợp nên T W⊥ ⊂ W⊥ Do vậy T hạn chế xuống một toán tử tự liên hợp trên W⊥ và do vậy, trừ khi W⊥ = 0, T có một vectơ riêng trong W⊥ Nhưng điều này mâu thuẫn với tính cực đại của S (do chúng ta có thể thêm phần tử này vào S để thu được một tập trực chuẩn lớn hơn gồm các vectơ riêng) Do vậy W⊥ = 0, và S là một cơ sở trực chuẩn Ta có điều phải chứng minh.