Phổ của toán tử tuyến tính

Hoàng Tụy là một trong những nhà toán học tiên phong đầu tiên nghiên cứu và trình bày hệ thống các kiến thức về cơ sở lý thuyết hàm.Một trong những khái niệm không thể không nhắc đến đó

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO UBND TỈNH THANH HÓA

TRƯỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC

———————o0o——————–

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆPNĂM HỌC 2022-2023

PHỔ CỦA TOÁN TỬ TUYẾN TÍNH

Thuộc lĩnh vực khoa học: Khoa học tự nhiên

Thanh Hóa, 4/2023

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO UBND TỈNH THANH HÓA

TRƯỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC

———————o0o——————–

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆPNĂM HỌC 2022 - 2023

PHỔ CỦA TOÁN TỬ TUYẾN TÍNH

Sinh viên: Lê Thị Ngọc AnhLớp, khoa: K22 ĐHSP Toán, Khoa KHTNNgười hướng dẫn: TS Nguyễn Mạnh Cường

Thanh Hóa, 4/2023

Mục lục

Mở đầu 4

Chương 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 6 1.1 Không gian định chuẩn và không gian Banach 6

1.1.1 Định nghĩa và tính chất của chuẩn 6

1.2 Định lý Hahn-Banach 7

1.2.1 Bổ đề Zorn Sơ chuẩn, nửa chuẩn 7

1.2.2 Định lý Hahn - Banach 8

1.3 Định lý ánh xạ mở 8

1.3.1 Định lý Baire về phạm trù 8

1.3.2 Định lý ánh xạ mở 9

1.3.3 Một số hệ quả của định lý ánh xạ mở 9

1.4 Tích vô hướng 9

1.4.1 Dạng Hermite 9

1.4.2 Dạng Hermite dương 10

1.4.3 Tích vô hướng và không gian Hilbert 10

1.4.4 Đẳng thức bình hành 12

1.4.5 Phổ của toán tử tuyến tính liên tục 12 Chương 2 MỘT SỐ DẠNG ĐỊNH LÝ PHỔ CHO MỘT SỐ

2.1 Toán tử Hilbert - Schmidt 14

2.2 Toán tử compact 15

2.3 Định lý phổ của toán tử compact tự liên hợp 20

2.4 Phổ của một toán tử compact tổng quát 24

2.5 Giới thiệu về định lý phổ tổng quát 28

2.5.1 Phổ và giải thức trong một đại số Banach 29

2.5.2 Định lý về phổ của toán tử tự liên hợp bị chặn trong không gian Hilbert 33

Chương 3 MỘT SỐ BÀI TẬP VỀ PHỔ CỦA TOÁN TỬ 37 Kết luận 45 Tài liệu tham khảo 46

LỜI CẢM ƠNKhóa luận tốt nghiệp chuyên ngành Toán học với đề tài “Phổ của toán tửtuyến tính” là kết quả của quá trình cố gắng không ngừng nghỉ của bản thân

và được sự giúp đỡ tận tình, động viên khích lệ của thầy cô, bạn bè và ngườithân Qua đây, em xin gửi lời cảm ơn chân thành đến mọi người đã giúp đỡ

em trong thời gian học tập và làm khoá luận vừa qua

Em xin gửi lời cảm ơn đến Ban Giám Hiệu trường Đại học Hồng Đức đãgiảng dạy và tạo điều kiện thuận lợi để các sinh viên học tập, nghiên cứu đểhoàn thành quá trình học tập

Em xin trân trọng gửi đến thầy cô giảng viên giảng dạy bộ môn Toán đãgiúp đỡ và chỉ bảo em trong quá trình làm khóa luận cũng như cung cấp tàiliệu bổ ích

Cảm ơn Thầy Nguyễn Mạnh Cường – giảng viên giảng dạy bộ môn Toánngười đã trực tiếp tận tình hướng dẫn cũng như cung cấp tài liệu, thông tinkhoa học cần thiết cho bài luận này lời cảm ơn chân thành và sâu sắc nhất.Cuối cùng, em xin cảm ơn gia đình, người thân, bạn bè đã luôn bên cạnh,ủng hộ, động viên

Em xin chân thành cảm ơn!

∥x∥X chuẩn của véc tơ x trong không gian X

A × B tích Descartes của hai tập A và B

span(A) không gian tuyến tính sinh bởi tập A

Lp(D), 0 < p < ∞ không gian các hàm p−khả tích trên tập D

L∞(D) không gian các hàm f với chuẩn sup

x∈D

|f (x)|C(A) không gian các hàm liên tục trên tập A

∀x với mọi x

|x|1 := Pd

i=1xi chuẩn l1 của véc tơ x = (x1, x2, , xd)

⟨x, y⟩ tích vô hướng của hai véc tơ x và y

Mở đầu

1 Lý do chọn đề tài

Giải tích hàm là một trong những môn học đặt nền móng cho quá trìnhhọc tập, nghiên cứu về các vấn đề của giải tích hiện đại Trong đó, ngay từban đầu của thời kỳ giải tích hiện đại thì những toán tử tuyến tính, phiếmhàm và toán tử compact được nhiều nhà toán học trong và ngoài nước quantâm nghiên cứu, đặc biệt là những ứng dụng của nó trong các lĩnh vực củatoán giải tích Ở trong nước, GS Hoàng Tụy là một trong những nhà toánhọc tiên phong đầu tiên nghiên cứu và trình bày hệ thống các kiến thức về

cơ sở lý thuyết hàm

Một trong những khái niệm không thể không nhắc đến đó là phổ của toán

tử tuyến tính Lý thuyết phổ toán tử có ý nghĩa và khả năng ứng dụng tolớn, chính vì vậy đề tài sẽ tập trung nghiên cứu và hệ thống các khái niệm,tính chất phổ của toán tử compact và hệ thống một số bài tập về phổ củatoán tử tuyến tính

Khóa luận của em tuy không phải là kết quả mới về mặt khoa học nhưng

đó là sự nỗ lực của bản thân và chỉ bảo tận tình của các thầy cô giáo, em

đã hệ thống và trình bày theo sự hiểu biết của mình Qua đây cho phép emđược gửi lời cảm ơn chân thành đến các thầy cô trong bộ môn: Giải tích vàPPDH Toán, Khoa KHTN, Trường Đại học Hồng Đức đã giao đề tài và âncần chỉ bảo để em hoàn thành khóa luận này

2 Mục tiêu nghiên cứu

Hệ thống một số dạng toán cụ thể về phương trình hàm Giải các bài toán,

ví dụ về phương trình hàm sử dụng các tính chất của hàm số

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu là các ánh xạ, hàm số, phương trình hàm

4 Phương pháp nghiên cứu

- Sử dụng các phương pháp giải tích, đặt vấn đề và giải quyết vấn đề

- Thảo luận nhóm, liên hệ trao đổi nghiên cứu với các Thầy cô giáo

Chương 1

KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

1.1.1 Định nghĩa và tính chất của chuẩn

Cho E là một K - không gian vectơ Một chuẩn trênE là một hàm x 7→ ∥x∥

từ E vào R thoả mãn các điều kiện sau với mọi x, y ∈ E, mọi λ ∈K

(n1) ∥x∥ ≥ 0, ∥x∥ = 0 nếu và chỉ nếu x = 0;

(n2) ∥λx∥ = |λ| ∥x∥;

(n3) ∥x + y∥ ≤ ∥x∥ + ∥y∥

Điều sau đây là hiển nhiên

Định lý 1.1.1 Nếu x 7→ ∥x∥ là một chuẩn trên E thì d(x, y) = ∥x − y∥

là một mêtric trên E Mêtric này thoả mãn d(x + z, y + z) = d(x, y) vàd(λx, λy) = |λ| d(x, y) với mọi x, y, z ∈ E, λ ∈K

Một không gian định chuẩn là một không gian vectơ cùng với một chuẩn trên

nó Không gian định chuẩn là không gian mêtric với mêtric sinh bởi chuẩn.Định lý 1.1.2 Chuẩn x 7→ ∥x∥ là một hàm liên tục đều từ E vào R

Định lý 1.1.3 Giả sử E là một không gian định chuẩn Khi đó ánh xạ(x, y) 7→ x + y từ E × E vào E và (λ, x) 7→ λx từ K× E vào E là liên tục

Định lý 1.1.4 Giả sử E là không gian định chuẩn Khi đó với mọi a ∈ Eánh xạ x 7→ a + x là phép đồng phôi đẳng cự (tức là bảo tồn khoảng cách) từ

E lên E và với mọi λ ∈ K, λ ̸= 0 ánh xạ x 7→ λx là phép đồng phôi đều Elên E

Hệ quả 1.1.1 Giả sửE là không gian định chuẩn Khi đó các điều kiện sauđây là tương đương:

a) U là lân cận của điểm 0 ∈ E

b) αU là lân cận của 0 với mọi α ̸= 0

c) a + U là lân cận của a với mọi a ∈ E

Không gian Banach là không gian định chuẩn đầy đủ (với mêtric sinh bởichuẩn)

1.2.1 Bổ đề Zorn Sơ chuẩn, nửa chuẩn

Giả sử X là một tập hợp và ⩽ là một thứ tự (bộ phận) trên X, tức là vớimọi x, y, z ∈ X ta có x ⩽ x (phản xạ); nếu x ⩽ y, y ⩽ x thì x = y (phảnđối xứng) và x ⩽ y, y ⩽ z thì x ⩽ z (bắc cầu)

Một tập con A ⊂ X được gọi là sắp tuyến tính nếu mọi x, y ∈ A thì hoặc

x ⩽ y hoặc y ⩽ x Phần tử a ∈ X gọi là biên trên của A nếu x ⩽ a với mọi

X ∈ a Phần tử a ∈ X được gọi là phần tử cực đại nếu mọi x ∈ X mà a ⩽ xthì a = x

Bổ đề 1.2.1 Giả sử X ̸= ∅ và ⩽ là một thứ tự trên X Nếu mọi tập conđược sắp tuyến tính của X đều có biên trên thì trong X có phần tử cực đại.Cho E là một không gian vectơ và p : E → R là một hàm thực Khi đó pđược gọi là một sơ chuẩn nếu:

1) p(λx) = λp(x) với mọi λ ≥ 0, x ∈ E;

2) p(x + y) ⩽ p(x) + p(y) với mọi x, y ∈ E

p được gọi là một nửa chuẩn nếu:

1) p ≥ 0 với mọi x ∈ E;

2) p(λx) = |λ| p(x) với mọi λ ∈ K, x ∈ E;

3) p(x + y) ⩽ p(x) + p(y) với mọi x, y ∈ E

Rõ ràng một chuẩn là một nửa chuẩn và một nửa chuẩn là một sơ chuẩn Dễdàng kiểm tra điều sau:

Bổ đề 1.2.2 Nếuplà một nửa chuẩn trên không gian vectơEthì|p(x) − p(y)| ≤p(x − y) với mọi x, y ∈ E

Bổ đề 1.2.3 Nếu p và q là các nửa chuẩn trên không gian vectơ E và nếup(x)⩽ 1 kéo theo q(x) ⩽ 1 thì q(x) ⩽ p(x) với mọi x ∈ E

1.2.2 Định lý Hahn - Banach

Định lý 1.2.1 (Định lý Hahn - Banach cho không gian vectơ thực) Giả sử

E là một không gian vectơ thực, p là một sơ chuẩn xác định trên E Nếu f làmột phiếm hàm tuyến tính xác định trên không gian con F của E thoả mãn

f (x) ⩽ p(x) với mọi x ∈ F thì tồn tại phiếm hàm tuyến tính ef xác định trên

E sao cho ef

gian X không thuộc phạm trù thứ nhất được gọi là thuộc phạm trù thứ hai.Định lý 1.3.1 (Định lý Baire về phạm trù) Mọi không gian mêtric đầy đủđều thuộc phạm trù thứ hai.

1.3.2 Định lý ánh xạ mở

Bổ đề 1.3.1 Giả sử f : E → F là một ánh xạ tuyến tính liên tục từ khônggian Banach E lên không gian Banach F Khi đó tồn tại số dương δ sao choảnh f (B) của hình cầu đơn vị mở B = {x ∈ E : ∥x∥ < 1} chứa mọi y ∈ F

mà ∥y∥ < δ

Định lý 1.3.2 (Định lý ánh xạ mở) Một ánh xạ tuyến tính liên tục f từ mộtkhông gian Banach E lên một không gian Banach F là mở, tức là với mọi tập

mở U ⊂ E, f(U) là tập mở trong F

1.3.3 Một số hệ quả của định lý ánh xạ mở

Hệ quả 1.3.1 (Định lý Banach) Nếu f là song ánh tuyến tính từ khônggian Banach E lên không gian Banach F và f liên tục thì f là phép đồngphôi

Hệ quả 1.3.2 Nếu E là không gian Banach thì mọi chuẩn trên E làm cho

E trở thành không gian Banach mà so sánh đươc với chuẩn xuất phát đềutương đương với nhau

Dễ dàng thấy rằng (h2) và (h4) là hệ quả của các điều kiện còn lại Nếu

K = R thì (h5) trở thành φ(x, y) = φ(y, x) do đó dạng Hermite trên khônggian vectơ thực chính là dạng song tuyến tính đối xứng đã quen biết

Bổ đề 1.4.1 Giả sử φ là một dạng Hermite trên E và x =

Bổ đề 1.4.2 Giả sửE là một không gian vectơ hữu hạn chiều và{a1, a2, , an}

là một cơ sở của E Khi đó mỗi dạng Hermite φ trên E hoàn toàn được xácđịnh bởi các giá trị αij = φ(ai, aj), trong đó αij = αji, i, j = 1, , n

1.4.2 Dạng Hermite dương

Dạng Hermite φ trên E được gọi là dương nếu φ(x, x) ≥ 0 với mọi x ∈ E

Bổ đề 1.4.3 (Bất đẳng thức Cauchy- Schwartz) Nếuφlà một dạng Hermitedương trên E thì |φ(x, y)|2 ≤ φ(x, x)φ(y, y) với mọi x, y ∈ E

Bổ đề 1.4.4 (Bất đẳng thức Minkowski) Nếuφlà một dạng Hermite dươngtrên E thì pφ(x + y, x + y) ≤ pφ(x, x) +pφ(y, y) với mọi x, y ∈ E

1.4.3 Tích vô hướng và không gian Hilbert

Một dạng Hermite φ được gọi là xác định dương nếu φ(x, x) > 0 với mọi

x ∈ E, x ̸= 0 Một dạng Hermite xác định dương còn được gọi là mộttích vô hướng

Bổ đề 1.4.5 Một dạng Hermite dương φ trên E là một tích vô hướng nếu

và chỉ nếu φ(x, y) = 0 với mọi y ∈ E thì x = 0

Một không gian tiền Hilbert là một K - không gian vectơ cùng với mộttích vô hướng trên nó Nếu E là một không gian tiền Hilbert thì thay choφ(x, y) ta còn viết ⟨x| y⟩ và gọi số này là tích vô hướng của x và y Theođịnh nghĩa của tích vô hướng và bất đẳng thức Minkowski dễ dàng kiểm trarằng x 7→ ∥x∥ = ⟨x| x⟩12 là một chuẩn trên E Chuẩn này gọi là chuẩn đượcsinh bởi tích vô hướng Một không gian tiền Hilbert là một không gian địnhchuẩn (với chuẩn sinh bởi tích vô hướng)

Với các ký hiệu mới bất đẳng thức Cauchy- Schwartz trở thành |⟨x| y⟩| ≤

∥x∥ ∥y∥ với mọi x, y ∈ E Dựa vào bất đẳng thức này dễ dàn chứng minhđược điều sau:

Định lý 1.4.1 Tích vô hướng (x, y) → ⟨x| y⟩ là một hàm liên tục từ E × Evào K

Hai vectơ x và y trong không gian tiền Hilbert E được gọi là trực giao vớinhau (ký hiệu x⊥y) nếu ⟨x| y⟩ = 0 Theo (h5) dễ dàng thấy rằng x⊥y thìy⊥x

Định lý 1.4.2 (Pythagore) Nếu x và y là hai vectơ trực giao trong khônggian tiền Hilbert thì ∥x + y∥2 = ∥x∥2 + ∥y∥2

Một đẳng cấu của không gian tiền Hilbert E lên không gian tiền Hilbert F

là song ánh tuyến tính f : E → F thoả mãn ⟨f (x)| f (y)⟩ = ⟨x| y⟩ với mọi

x, y ∈ E Rõ ràng rằng một phép đẳng cấu giữa các không gian tiền Hilbert

là một đẳng cấu, đẳng cự giữa các không gian định chuẩn

NếuF là một không gian vectơ con của không gian tiền HilbertE thì tích

vô hướng trên E xác định một tích vô hướng trên F Với tích vô hướng này

ta gọi F là không gian tiền Hilbert con của E Một không gian tiền Hilbertđầy đủ được gọi là một không gian tiền Hilbert.

nó có tên gọi là đẳng thức bình hành

Đẳng thức bình hành cũng là điều kiện đủ để đưa được tích vô hướng vàokhông gian định chuẩn Cụ thể, nếu một không gian định chuẩn E có chuẩnthoả mãn đẳng thức bình hành thì

(x, y) 7→ 1

4(∥x + y∥

2

− ∥x − y∥2)cho trường hợp E là không gian thực, tích vô hướng trên E sinh ra chuẩnxuất phát trên E

1.4.5 Phổ của toán tử tuyến tính liên tục

B(X, Y ) là ký hiệu tập hợp các toán tử tuyến tính liên tục giữa hai khônggian tuyến tính định chuẩn

Định lý 1.4.3 Nếu X là một không gian tuyến tính định chuẩn và Y là mộtkhông gian Banach thì B(X, Y ) là một không gian Banach với chuẩn

∥T ∥B(X,Y ) = sup

0̸=x∈X

∥T x∥Y

∥x∥X .

Chú ý rằng B(X) := B(X, X) là một đại số Banach Không gian đối ngẫu

X∗ := B(X,R)là một không gian Banach dù choX có là không gian Banachhay không

Định nghĩa 1.4.1 (xem [3]) Giả sử H là không gian Hilbert, T ∈ B(H),với mỗi phần tử cố định y ∈ H thì ánh xạ

Định nghĩa 1.4.2 (xem [3]) Giả sử X là không gian Banach trên trường

K thực hoặc phức, A ∈ B(X), I là toán tử đồng nhất trên X Số λ gọi

là giá trị chính quy của toán tử A nếu A − λI là một song ánh, tập hợpcác giá trị chính quy của A ký hiệu là ρ(A) Tập hợp các số không phải làgiá trị chính quy của A được gọi là phổ của A và ký hiệu là σ(A) Như vậyσ(A) = K \ ρ(A)

Chương 2

MỘT SỐ DẠNG ĐỊNH LÝ PHỔ

CHO MỘT SỐ LỚP TOÁN TỬ

Bổ đề 2.1.1 Giả sử rằngei, e′i là hai cơ sở trực chuẩn của không gian Hilbertkhả li X, và T ∈ B(X) Khi đó

T∗ cũng vậy và chuẩn Hilbert - Schmidt của chúng là trùng nhau

j

cj⟨T ej, ei⟩

2

.Theo Cauchy - Schwarzt,

tập bị chặn) lên một tập tiền compact.

Chẳng hạn nếu T có hạng hữu hạn thì T là compact

Mệnh đề 2.3 Giả sử M là một không gian metric Khi đó các khẳng địnhsau đây là tương đương:

1) M là tiền compact

2) Với tất cả ε > 0 tồn tại hữu hạn các tập có bán kính lớn nhất bằng εphủ M

3) Mọi dãy đều chứa một dãy con Cauchy

Chứng minh: (1)⇒ (2) và (3)⇒ (1) là đơn giản Với (2) ⇒ (3) sử dụng mộtchéo hoá Cantor để trích ra một dãy con Cauchy □Định lý 2.2.1 Giả sử X và Y là các không gian Banach và Bc(X, Y ) làkhông gian các toán tử compact từ X vào Y Khi đó Bc(X, Y ) là một khônggian con đóng của B(X, Y )

Chứng minh: Giả sử rằng Tn ∈ Bc(X, Y ), T ∈ B(X, Y ), ∥Tn− T ∥ → 0.Chúng ta phải chỉ ra rằng T là compact Do vậy chúng ta phải chỉ ra T (E)

là tiền compact trong Y, trong đó E là hình cầu đơn vị trong X Để có điềunày chúng ta chỉ cần chỉ ra rằng với ε > 0 bât kỳ, có hữu hạn các hình cầu

Ui bán kính ε trong Y sao cho T (E) ⊂ ∩iUi

Chọnn đủ lớn sao cho ∥T − Tn∥ ≤ ε/2 và giả sửV1, V2, , Vn là các hìnhcầu bán kính ε/2 phủ TnE Với mỗi i, giả sử Ui là hình cầu bán kính ε có

Từ đó suy ra rằng bao đóng của các toán tử hạng hữu hạn trong B(X, Y )được chứa trong Bc(X, Y ) Tổng quát, điều này có thể là một bao hàm chặt,nhưng nếuY là một không gian Hilbert, thì nó là đẳng thức Để chứng minhđiều này, ta chọn một cơ sở trực chuẩn của Y, và xét các toán tử hạng hữu

hạn dạng P T trong đó P là phép chiếu trực giao của Y lên không gian căngbởi các phần tử cơ sở Do T E là compact (E là hình cầu đơn vị của X) và

∥P ∥ = 1, với mỗi ε > 0 chúng ta có thể tìm được một toán tử P có dạngnày với supx∈E∥(P T − T )x∥ ≤ ε

Kết quả sau đây là hiển nhiên nhưng hữu ích

Định lý 2.2.2 Giả sử X và Y là các không gian Banach và T ∈ Bc(X, Y ).Nếu Z là một không gian Banach khác và S ∈ B(Y, Z) thì ST là compact.Nếu S ∈ B(Z, X) thì T S là compact Nếu X = Y, thì Bc(X) := Bc(X, X)

là một ideal hai phía trong B(X)

Định lý 2.2.3 Giả sử X và Y là các không gian Banach và T ∈ B(X, Y ).Khi đó T là compact nếu và chỉ nếu T∗ là compact

Chứng minh: Giả sử E là hình cầu đơn vị trong X và F là hình cầu đơn vịtrong Y∗ Giả sử T là compct Cho trước ε > 0, chúng ta phải chỉ ra hữuhạn các tập có đường kính lớn nhất là ε phủ T∗F Đầu tiên chọn m tập cóbán kính lớn nhất bằng ε/3 phủ T E và giả sử T xi thuộc tập thứ i Giả sử

I1, I2, , In là n khoảng độ dài ε/3 phủ khoảng [− ∥T ∥ , ∥T ∥] Với bộ m sốnguyên bất kỳ (j1, , jm), với 1 ≤ ji ≤ n, chúng ta xác định tập

{f ∈ F |f (T xi) ∈ Ij, i = 1, 2, , m} Các tập này rõ ràng là phủ F, vì vậy ảnh của chúng dưới ánh xạ T∗ phủ

T∗F, vì vậy ta chỉ cần chứng minh các ảnh có đường kính lớn nhất bằng ε.Thực vậy, nếu f và g thuộc vào tập bên trên và x là phần tử bất kỳ của ε,lấy i sao cho ∥T x − T xi∥ ≤ ε

3.Chúng ta biết rằng ∥f (T xi) − g(T xi)∥ ≤ ε3 Do vậy

|(T∗f − T∗g)(x)| = |(f − g)(T x)|

≤ |f (T x) − f (T xi)| + |g(T x) − g(T xi)| + |(f − g)(T xi)| ≤ ε.

Điều này chỉ ra rằng T compact ⇒ T∗ compact Ngược lại, giả sử rằng

T∗ : Y∗ → X∗ là compact Khi đó T∗∗ ánh xạ hình cầu đơn vị của X∗∗ vàomột tập con tiền compact của Y∗∗ Nhưng hình cầu đơn vị của X có thểđược xem như là một tập con của hình cầu đơn vị trong song đối ngẫu của

nó, và hạn chế của T∗∗ xuống hình cầu đơn vị của X trùng với T tại đây

Do vậy ánh xạ hình cầu đơn vị của X tới một tập tiền compact □Định lý 2.2.4 Nếu T là một toán tử compact từ một không gian Banach vàochính nó, thì N (1 − T ) là hữu hạn chiều và R(1 − T ) là đóng

Chứng minh: T là một toán tử compact hạn chế tới đồng nhất thức trong

N (1 − T ) Vì vậy hình cầu đơn vị đóng trong N (1 − T ) là compact, do chiềucủa N (1 − T ) là hữu hạn

Do các không gian hữu hạn chiều bất kỳ được bổ sung đủ, nên tồn tạimột không gian con đóngM củaX sao cho N (1 − T ) + M = X và N (1 − T )

∩M = 0 Giả sử S = (1 − T ) |M, vì vậy S là đơn ánh và R(S) = R(1 − T ).Chúng ta sẽ chỉ ra rằng với c > 0 nào đó, ∥Sx∥ ≥ c ∥x∥ với tất cả x ∈ M,điều này sẽ kéo theo R(S) đóng Nếu bất đẳng thức trên không đúng với

c > 0 tuỳ ý, chúng ta có thể chọn xn ∈ M có chuẩn 1 với Sxn → 0 Sau khichuyển qua một dãy con, chúng ta có thể sắp xếp để T xn hội tụ tới x0 ∈ Xnào đó Nó cho phép rằng xn → x0, vì vậy x0 ∈ M và Sx0 = 0 Từ đó,

x0 = 0, điều này là không thể do ∥xn∥ = 1 □Trong chứng minh trên, chúng ta đã sử dụng phần đầu tiên của bổ đềdưới đây Chúng ta nói rằng một không gian con đóng N được bổ sung đủtrong một không gian Banach X nếu có một không gian con đóng khác saocho M ⊕ N = X

Bổ đề 2.2.1 Một không gian con đóng hữu hạn chiều hay hữu hạn đối chiềucủa một không gian Banach thì được bổ sung đủ.

Chứng minh: Nếu M là một không gian con hữu hạn chiều, chọn một cơ sở

x1, , xn và xác định một hàm tuyến tính ϕi : M → R bởi ϕi(xj) = δij Mởrộng Φi thành một hàm tuyến tính bị chặn trên X Khi đó, chúng ta có thểlấy N = N (ϕ1) ∩ ∩ N (ϕn)

Nếu M là hữu hạn đối chiều, chúng ta có thể lấy N là mở rộng của một

Một tổng quát hoá đơn giản của định lý trên sẽ hữu ích khi chúng tanghiên cứu phổ của các toán tử compact

Định lý 2.2.5 Nếu T là một toán tử compact từ một không gian Banachvào chính nó, λ là một số phức khác 0, và n là một số nguyên dương, thì

N [(λ1 − T )n] là hữu hạn chiều và R [(λ1 − T )n] là đóng

Chứng minh: Khai triển, chúng ta thấy rằng(λ1 − T )n = λn(1 − S) với toán

tử compact S nào đó, vì vậy kết quả suy ra từ định lý trước □Định lý 2.2.6 Một toán tử Hilbert - Schmidt trên một không gian Hilberttách được là một toán tử compact

Chứng minh Giả sử {ei} là một cơ sở trực chuẩn T là một toán tử Hilbert

- Schmidt cho trước ( vì vậy P

2.3 Định lý phổ của toán tử compact tự liên hợp

Trong mục này này, chúng ta giả sử rằng X là một không gian Hilbertphức Nếu T : X → X là một toán tử tuyến tính bị chặn, chúng ta xem T∗như là một ánh xạ từ X → X thông qua đẳng cự Riesz giữa X và X∗ Tức

là, T∗ được xác định bởi ⟨T∗x, y⟩ = ⟨x, T y⟩

Trong trường hợp không gian Hilbert phức hữu hạn chiều, T có thể đượcbiểu diễn với một ma trận vuông phức, và T∗ được biểu diễn bởi chuyển vịHermitian của ma trận đó

Nhắc lại rằng, một ma trận Hermitian đối xứng có các giá trị riêng thực

và một cơ sở trực chuẩn gồm các vectơ riêng Với một toán tử tự liên hợptrong một không gian Hilbert, dễ dàng thấy rằng các giá trị riêng là các sốthực„ và các vectơ riêng tương ứng với các giá trị riêng khác nhau là trựcgiao Tuy nhiên có thể không tồn tại một cơ sở trực chuẩn gồm các vectơriêng, hay ngay cả với các vectơ riêng khác 0 bất kỳ Ví dụ, X = L2([0, 1]),

và xác định T u(x) = xu(x) với u ∈ L2 Khi đó T rõ ràng là bị chặn và tựliên hợp Nhưng dễ dàng thấy rằng T không có giá trị riêng nào

Định lý 2.3.1 (Định lý về phổ của các toán tử compact tự liên hợp trongkhông gian Hilbert) Giả sử T là một toán tử compact tự liên hợp trong khônggian Hilbert X Khi đó có một cơ sở trực chuẩn gồm các vectơ riêng của T Trước khi đi vào chứng minh, chúng ta chứng minh một bổ đề

Bổ đề 2.3.1 Nếu T là một toán tử tự liên hợp trên một không gian Hilbertthì

chúng ta có thể giả sử rằng x và y là khác 0 Hơn nữa, chúng ta có thể nhận

y bởi một số phức môđun 1, vì vậy chúng ta có thể giả sử rằng ⟨T x, y⟩ ≥ 0.Khi đó⟨T (x + y), x + y⟩−⟨T (x − y), x − y⟩ = 4Re ⟨T x, y⟩ = 4 |⟨T x, y⟩| Vìvậy |⟨T x, y⟩| ≤ α4.(∥x + y∥2+ ∥x − y∥2) = α2.(∥x∥2+ ∥y∥2) Bây giờ áp dụngkết quả này với x thay bởi p∥y∥ / ∥x∥x và y thay thế bởi p∥x∥ / ∥y∥y □Chứng minh định lý về phổ của toán tử compact tự liên hợp Đầu tiênchúng ta chỉ ra rằng T có một vectơ riêng khác 0 Nếu T = 0, điều này làhiển nhiên, vì vậy chúng ta giả sử rằng T ̸= 0 Chọn một dãy xn ∈ X với

∥xn∥ = 1 sao cho |⟨T xn, xn⟩| → ∥T ∥ Do T là tự liên hợp, |⟨T xn, xn⟩| ∈ R,

vì vậy chúng ta có thể chuyển quan một dãy con (vẫn ký hiệu là xn) màvới dãy đó ⟨T xn, xn⟩ → λ = ± ∥T ∥ Do T là compact nên chúng ta có thểchuyển qua một dãy con nữa và giả sử rằng T xn → y ∈ X Chú ý rằng

∥y∥ ≥ λ > 0

Sử dụng giả thiết T tự liên hợp và λ là thực, chúng ta có

∥T xn− λxn∥2 = ∥T xn∥2 − 2λ ⟨T xn, xn⟩ + λ2∥xn∥2

≤ 2∥T ∥2 − 2λ ⟨T xn, xn⟩ → 2∥T ∥2 − 2λ2 = 0

Do T xn → y, chúng ta suy ra λxn → y, hay xn → y/λ ̸= 0 Tác động T vào

ta có T y/λ = y, vì vậy λ là một giá trị riêng khác 0

Để hoàn tất chứng minh, xét tập tất cả các tập con trực chuẩn của Xchứa các vectơ riêng của T Theo bổ đề Zorn, có một phần tử lớn nhất S.Giả sử W là bao đóng của tập căng bởi S Rõ ràng T W ⊂ W, và do T là tựliên hợp nên T W⊥ ⊂ W⊥ Do vậy T hạn chế xuống một toán tử tự liên hợptrên W⊥ và do vậy, trừ khi W⊥ = 0, T có một vectơ riêng trong W⊥ Nhưngđiều này mâu thuẫn với tính cực đại của S (do chúng ta có thể thêm phần

tử này vào S để thu được một tập trực chuẩn lớn hơn gồm các vectơ riêng)

Do vậy W⊥ = 0, và S là một cơ sở trực chuẩn Ta có điều phải chứng minh