Bao đóng nguyên và bội của môđun

TRẦN NGUYÊN AN Trang 3 Líi cam oanTæi xin cam oan rơng cĂc kát quÊ trẳnh by trong luên vôn ny l khổngb trũng lp vợi cĂc luên vôn trữợc Ơy.. CĂc thổng tin, ti liằu trongluên vôn ny  ữủ

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM –––––––––––––––– NGUYỄN VĂN TOẢN BAO ĐÓNG NGUYÊN VÀ BỘI CỦA MÔĐUN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2023 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM –––––––––––––––– NGUYỄN VĂN TOẢN BAO ĐÓNG NGUYÊN VÀ BỘI CỦA MÔĐUN Ngành: Đại số và lý thuyết số Mã số: 8.46.01.04 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS TRẦN NGUYÊN AN THÁI NGUYÊN - 2023 Líi cam oan Tæi xin cam oan r¬ng c¡c k¸t qu£ tr¼nh b y trong luªn v«n n y l khæng bà tròng l°p vîi c¡c luªn v«n tr÷îc ¥y Nguçn t i li»u sû döng cho vi»c ho n th nh luªn v«n l c¡c nguçn t i li»u mð C¡c thæng tin, t i li»u trong luªn v«n n y ¢ ÷ñc ghi rã nguçn gèc Th¡i nguy¶n, th¡ng 8 n«m 2023 X¡c nhªn cõa ng÷íi h÷îng d¨n khoa håc T¡c gi£ luªn v«n PGS.TS Tr¦n Nguy¶n An Nguy¹n V«n To£n i Möc löc Líi nâi ¦u 1 Ch÷ìng 1 Bao âng nguy¶n v mët sè ki¸n thùc chu©n bà 3 1.1 Bao âng nguy¶n cõa i¶an 3 1.2 I¶an thu gån v bao âng nguy¶n 11 1.3 ë d i v chi·u Krull 16 Ch÷ìng 2 Bao âng nguy¶n v bëi cõa mæun 20 2.1 ë d i mæun qua çng c§u ph¯ng 20 2.2 Ph¦n tû b· m°t 22 2.3 a thùc Hilber-Samuel 25 2.4 Sè bëi v bao âng nguy¶n cõa i¶an 30 K˜T LUŠN 39 ii LÍI NÂI †U Cho (R, m) l v nh Noether, àa ph÷ìng chi·u d, I l i¶an m-nguy¶n sì v M l R-mæun húu h¤n sinh Khi â tçn t¤i mët a thùc P (n) theo n vîi h» sè húu t¿ thäa m¢n khi n õ lîn P (n) = ℓR(M/InM ), trong â ℓR(−) l ë d i cõa R-mæun − Bëi cõa M t÷ìng ùng vîi I ÷ñc ành ngh¾a l d! nh¥n vîi h» sè bªc d cõa P (n) B§t bi¸n n y cho nhi·u thæng tin v· M v I Möc ½ch ch½nh cõa luªn v«n l t¼m hiºu v· bëi cõa mæun li¶n h» vîi t½nh âng nguy¶n cõa i¶an T i li»u tham kh£o ch½nh cõa luªn v«n l Ch÷ìng 2, Ch÷ìng 8 v Ch÷ìng 11 trong cuèn s¡ch cõa Craig Huneke v Irena Swanson: Integral closure of ideals, rings, and modules, Cambridge University Press, 2006 Luªn v«n ÷ñc chia l m hai ch÷ìng Ch÷ìng 1 tr¼nh b y mët sè v§n · cì b£n v· bao âng nguy¶n cõa i¶an Bao âng nguy¶n cõa i¶an l mð rëng cõa kh¡i ni»m sè ¤i sè, ph¦n tû ¤i sè tr¶n tr÷íng ¢ ÷ñc håc trong ch÷ìng tr¼nh ¤i håc v công l mð rëng cõa kh¡i ni»m ph¦n tû nguy¶n tr¶n mët v nh ¢ ÷ñc t¼m hiºu trong ch÷ìng tr¼nh th¤c s¾ ¥y công l mët trong nhúng nëi dung ch½nh cõa luªn v«n Ph¦n cuèi cõa Ch÷ìng 1 nh­c l¤i mët sè ki¸n thùc chu©n bà v· c¡c ành lþ ¯ng c§u cì b£n cõa mæun, ë d i v chi·u cõa mæun Ch÷ìng 2 t¼m hiºu v· sè bëi li¶n h» vîi bao âng nguy¶n Luªn v«n tr¼nh b y t½nh a thùc cõa h m ℓR (M/InM ) b¬ng quy n¤p theo chi·u cõa M v kÿ thuªt l sû döng ph¦n tû b· m°t Mët sè chu©n bà v· ph¦n tû b· m°t v ë d i mæun qua chuyºn ph¯ng ÷ñc ÷a ra ð ¦u Ch÷ìng 2 Luªn v«n ÷ñc ho n th nh d÷îi sü h÷îng d¨n khoa håc cõa PGS.TS Tr¦n Nguy¶n An - gi£ng vi¶n khoa To¡n Tr÷íng ¤i håc S÷ ph¤m - ¤i håc Th¡i Nguy¶n Nh¥n dàp n y tæi xin b y tä láng bi¸t ìn s¥u s­c tîi th¦y, ng÷íi ¢ h÷îng d¨n tæi c¡ch åc t i li»u, nghi¶n cùu khoa håc óng ­n, tinh th¦n l m 1 vi»c nghi¶m tóc v ¢ d nh nhi·u thíi gian, cæng sùc gióp ï tæi ho n th nh luªn v«n n y Tæi công xin b y tä láng bi¸t ìn s¥u s­c tîi c¡c th¦y cæ gi¡o cõa Vi»n To¡n håc v ¤i håc Th¡i Nguy¶n nhúng ng÷íi ¢ tªn t¼nh gi£ng d¤y v kh½ch l», ëng vi¶n tæi v÷ñt qua nhúng khâ kh«n trong håc tªp Tæi xin c£m ìn Ban l¢nh ¤o Tr÷íng ¤i håc S÷ ph¤m - ¤i håc Th¡i Nguy¶n, Khoa To¡n ¢ t¤o i·u ki»n thuªn lñi, gióp ï tæi trong suèt thíi gian tæi håc tªp Cuèi còng, tæi xin c£m ìn b¤n b±, ng÷íi th¥n ¢ gióp ï, ëng vi¶n, õng hë tæi º tæi câ thº ho n th nh tèt luªn v«n công nh÷ khâa håc cõa m¼nh Th¡i nguy¶n, ng y 16 th¡ng 6 n«m 2023 Ng÷íi vi¸t Luªn v«n NGUY™N V‹N TOƒN 2 Ch÷ìng 1 Bao âng nguy¶n v mët sè ki¸n thùc chu©n bà 1.1 Bao âng nguy¶n cõa i¶an ành ngh¾a 1.1.1 Cho I l i¶an cõa v nh R Mët ph¦n tû r ∈ R ÷ñc gåi l nguy¶n tr¶n I n¸u tçn t¤i sè nguy¶n n v c¡c ai ∈ Ii, i = 1, , n, sao cho rn + a1rn−1 + a2rn−2 + + an−1r + an = 0 ¯ng thùc tr¶n ÷ñc gåi l ¯ng thùc phö thuëc nguy¶n (bªc n) cõa r tr¶n I Tªp hñp gçm t§t c£ c¡c ph¦n tû nguy¶n tr¶n I ÷ñc gåi l bao âng nguy¶n cõa I, k½ hi»u l I N¸u I = I¯ th¼ I ÷ñc gåi l âng nguy¶n Gi£ sû I ⊆ J l c¡c i¶an cõa R Ta nâi J l nguy¶n tr¶n I n¸u J ⊆ I¯ N¸u I l mët i¶an sao cho In l âng nguy¶n vîi måi sè nguy¶n d÷ìng n th¼ I ÷ñc gåi l i¶an chu©n t­c V½ dö 1.1.2 Vîi c¡c ph¦n tû x v y tòy þ cõa R, ta câ xy ∈ (x2, y2) Thªt vªy, ta câ (xy)2 + a1(xy) + a2 = 0 l ¯ng thùc phö thuëc nguy¶n cõa xy tr¶n (x2, y2), trong â a1 = 0 ∈ (x2, y2) v a2 = −x2y2 ∈ (x2, y2)2 Têng qu¡t, vîi sè nguy¶n khæng ¥m tòy þ i ≤ d ta câ xiyd−i ∈ (xd, yd) ¯ng thùc phö thuëc nguy¶n cõa xiyd−i l (xiyd−i)d + a1(xiyd−i)d−1 + + ad = 0, 3 vîi a1 = = ad−1 = 0 v ad = −(xiyd−i)d = −(xd)i.(yd)d−i ∈ (xd, yd)d M»nh · sau ÷a ra mët sè t½nh ch§t cì b£n cõa bao âng nguy¶n cõa i¶an M»nh · 1.1.3 (i) I ⊆ I (ii) N¸u I ⊆ J l c¡c i¶an th¼ I ⊆ J (iii) I ⊆ √I (iv) √I l âng nguy¶n °c bi»t, méi i¶an nguy¶n tè ·u âng nguy¶n (v) √0 ⊆ I vîi måi i¶an I (vi) Giao cõa hå c¡c i¶an âng nguy¶n l mët i¶an âng nguy¶n (vii) N¸u φ : R → S l çng c§u v nh th¼ φ(I) ⊆ φ(I)S, trong â φ(I)S l i¶an cõa S sinh bði tªp φ(I) (viii) N¸u φ : R → S l çng c§u v nh v I l i¶an âng nguy¶n cõa S th¼ φ−1(I) l âng nguy¶n trong R Mët tr÷íng hñp °c bi»t cõa (viii) l n¸u R l v nh con cõa S v I l i¶an âng nguy¶n cõa S th¼ I ∩ R l i¶an âng nguy¶n trong R Chùng minh (i) V¼ vîi méi r ∈ I, chån n = 1, a1 = −r cho ta ¯ng thùc phö thuëc nguy¶n cõa r tr¶n I (ii) V¼ méi ¯ng thùc phö thuëc nguy¶n cõa r tr¶n I công l ¯ng thùc phö thuëc nguy¶n cõa r tr¶n J (iii) Gi£ sû r ∈ I Khi â tçn t¤i n ∈ N, sao cho rn + a1rn−1 + a2rn−2 + + an−1r + an = 0, vîi ai ∈ Ii, i = 1, , n Suy ra rn = −a1rn−1 − a2rn−2 − − an ∈ I √ V¼ vªy r ∈ I √ √√ √√ (iv) Theo (iii) v ành ngh¾a 1.1.1, ta câ I ⊆ ( I) = I L¤i v¼ I ⊆ I √√ √ n¶n I = I Vªy I l âng nguy¶n 4 √ √ Gi£ sû P l i¶an nguy¶n tè cõa R V¼ P = P v P l âng nguy¶n n¶n P l âng nguy¶n (v) Gi£ sû r ∈ √0 Suy ra tçn t¤i n ∈ N sao cho rn = 0 ¥y ch½nh l ¯ng thùc phö thuëc nguy¶n cõa r tr¶n I V¼ th¸ r ∈ I (vi) Gi£ sû (Iα)α∈Λ l mët hå tòy þ c¡c i¶an âng nguy¶n Khi â I := Iα α∈Λ l mët i¶an Gi£ sû r ∈ I v rn + a1rn−1 + a2rn−2 + + an−1r + an = 0 (1.1) l ¯ng thùc phö thuëc nguy¶n cõa r tr¶n I, trong â ai ∈ Ii vîi måi i = 1, , n V¼ Ii ⊆ Iαi , vîi måi α ∈ Λ v måi i = 1, , n n¶n ai ∈ Ii vîi måi α ∈ Λ, ngh¾a l α (1.1) công l ¯ng thùc phö thuëc nguy¶n cõa r tr¶n Iα, vîi måi α ∈ Λ Suy ra r ∈ Iα vîi måi α ∈ Λ Do Iα l âng nguy¶n n¶n Iα = Iα, vîi måi α ∈ Λ V¼ th¸ I = Iα = Iα Vªy r ∈ I Do â I = I α∈Λ α∈Λ (vii) Gi£ sû φ(r) ∈ φ(I) trong â r ∈ I Khi â tçn t¤i sè nguy¶n n v c¡c ph¦n tû ai ∈ Ii, vîi i = 1, , n sao cho rn + a1rn−1 + a2rn−2 + + an−1r + an = 0 T¡c ëng φ v o hai v¸ ta ÷ñc (φ(r))n + φ(a1)(φ(r))n−1 + φ(a2)(φ(r))n−2 + + φ(an) = 0 V¼ ai ∈ Ii, vîi i = 1, , n n¶n φ(ai) ∈ (φ(I)S)i Do â φ(r) l nguy¶n tr¶n φ(I)S Suy ra φ(r) ∈ φ(I)S Tùc l φ(I) ⊆ φ(I)S (viii) N¸u r nguy¶n tr¶n φ−1(I) th¼ r câ ¯ng thùc phö thuëc nguy¶n l rn + a1rn−1 + a2rn−2 + + an−1r + an = 0, trong â ai ∈ (φ−1(I))i, vîi i = 1, , n Do φ((φ−1(I))i) ⊆ Ii n¶n φ(ai) ∈ Ii V¼ th¸ (φ(r))n + φ(a1)(φ(r))n−1 + φ(a2)(φ(r))n−2 + + φ(an) = 0 5 l mët ¯ng thùc phö thuëc nguy¶n cõa φ(r) tr¶n I Do I = I n¶n φ(r) ∈ I V¼ th¸ r ∈ φ−1(I) Vªy φ−1(I) = φ−1(I) Sau ¥y l t½nh ch§t cõa bao âng nguy¶n khi chuyºn qua àa ph÷ìng hâa M»nh · 1.1.4 Cho R l mët v nh v I l i¶an cõa R Vîi méi tªp con âng nh¥n W cõa R, W−1I = W−1I Hìn núa, c¡c i·u ki»n sau l t÷ìng ÷ìng: (i) I = I (ii) Vîi måi tªp con âng nh¥n W cõa R, W−1I = W−1I (iii) Vîi måi i¶an nguy¶n tè P cõa R, IP = IP (iv) Vîi måi i¶an cüc ¤i M cõa R, IM = IM Chùng minh p döng M»nh · 1.1.3 (vii) cho çng c§u tü nhi¶n φ : R → W −1R cho bði φ(r) = r 1 Vîi méi r ∈ R, ta câ φ(I) = W −1I ⊆ W −1I = IW −1R Cho r ∈ W −1I, ta vi¸t ÷ñc rn + a1rn−1 + + an−1r + an = 0, vîi n ∈ N v ai ∈ W −1Ii, i = 1, , n Tçn t¤i w ∈ W sao cho wr ∈ R v vîi måi i = 1, , n, wai ∈ Ii Nh¥n c£ hai v¸ cõa ¯ng thùc tr¶n vîi wn ta ÷ñc (wr)n + a1w(wr)n−1 + + an−1wn−1(wr) + anwn = 0 V¼ c¡c h¤ng tû ð v¸ tr¡i ¯ng thùc tr¶n ·u thuëc R n¶n (wr)n + a1w(wr)n−1 + + an−1wn−1(wr) + anwn = 0 1 1 1 11 V¼ th¸ tçn t¤i w′ ∈ W sao cho (ww′r)n + a1ww′(ww′r)n−1 + + an−1(ww′)n−1(ww′r) + an(ww′)n = 0 (1.2) 6