Bao đóng nguyên và bội của môđun

TRẦN NGUYÊN AN Trang 3 Líi cam oanTæi xin cam oan rơng cĂc kát quÊ trẳnh by trong luên vôn ny l khổngb trũng lp vợi cĂc luên vôn trữợc Ơy.. CĂc thổng tin, ti liằu trongluên vôn ny  ữủ

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

––––––––––––––––

NGUYỄN VĂN TOẢN

BAO ĐÓNG NGUYÊN VÀ BỘI CỦA MÔĐUN

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN - 2023

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

––––––––––––––––

NGUYỄN VĂN TOẢN

BAO ĐÓNG NGUYÊN VÀ BỘI CỦA MÔĐUN

Ngành: Đại số và lý thuyết số

Mã số: 8.46.01.04

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS TRẦN NGUYÊN AN

THÁI NGUYÊN - 2023

Líi cam oan

Tæi xin cam oan r¬ng c¡c k¸t qu£ tr¼nh b y trong luªn v«n n y l  khæng

bà tròng l°p vîi c¡c luªn v«n tr÷îc ¥y Nguçn t i li»u sû döng cho vi»c

ho n th nh luªn v«n l  c¡c nguçn t i li»u mð C¡c thæng tin, t i li»u trongluªn v«n n y ¢ ÷ñc ghi rã nguçn gèc

Th¡i nguy¶n, th¡ng 8 n«m 2023

Möc löc

Líi nâi ¦u 1

Ch÷ìng 1 Bao âng nguy¶n v  mët sè ki¸n thùc chu©n bà 3

1.1 Bao âng nguy¶n cõa i¶an 3

1.2 I¶an thu gån v  bao âng nguy¶n 11

1.3 ë d i v  chi·u Krull 16

Ch÷ìng 2 Bao âng nguy¶n v  bëi cõa mæun 20

2.1 ë d i mæun qua çng c§u ph¯ng 20

2.2 Ph¦n tû b· m°t 22

2.3 a thùc Hilber-Samuel 25

2.4 Sè bëi v  bao âng nguy¶n cõa i¶an 30

K˜T LUŠN 39

LÍI NÂI †U

Cho (R,m) l  v nh Noether, àa ph÷ìng chi·u d, I l  i¶an m-nguy¶n sì v  M

l  R-mæun húu h¤n sinh Khi â tçn t¤i mët a thùcP (n) theo n vîi h» sè húut¿ thäa m¢n khi n õ lîn

ành lþ ¯ng c§u cì b£n cõa mæun, ë d i v  chi·u cõa mæun

Ch÷ìng 2 t¼m hiºu v· sè bëi li¶n h» vîi bao âng nguy¶n Luªn v«n tr¼nh b yt½nh a thùc cõa h m ℓR(M/InM ) b¬ng quy n¤p theo chi·u cõa M v  kÿ thuªt

l  sû döng ph¦n tû b· m°t Mët sè chu©n bà v· ph¦n tû b· m°t v  ë d i mæunqua chuyºn ph¯ng ÷ñc ÷a ra ð ¦u Ch÷ìng 2

Luªn v«n ÷ñc ho n th nh d÷îi sü h÷îng d¨n khoa håc cõa PGS.TS Tr¦nNguy¶n An - gi£ng vi¶n khoa To¡n Tr÷íng ¤i håc S÷ ph¤m - ¤i håc Th¡iNguy¶n Nh¥n dàp n y tæi xin b y tä láng bi¸t ìn s¥u s­c tîi th¦y, ng÷íi ¢h÷îng d¨n tæi c¡ch åc t i li»u, nghi¶n cùu khoa håc óng ­n, tinh th¦n l m

vi»c nghi¶m tóc v  ¢ d nh nhi·u thíi gian, cæng sùc gióp ï tæi ho n th nh luªnv«n n y.

Tæi công xin b y tä láng bi¸t ìn s¥u s­c tîi c¡c th¦y cæ gi¡o cõa Vi»n To¡nhåc v  ¤i håc Th¡i Nguy¶n nhúng ng÷íi ¢ tªn t¼nh gi£ng d¤y v  kh½ch l», ëngvi¶n tæi v÷ñt qua nhúng khâ kh«n trong håc tªp

Tæi xin c£m ìn Ban l¢nh ¤o Tr÷íng ¤i håc S÷ ph¤m - ¤i håc Th¡i Nguy¶n,Khoa To¡n ¢ t¤o i·u ki»n thuªn lñi, gióp ï tæi trong suèt thíi gian tæi håctªp

Cuèi còng, tæi xin c£m ìn b¤n b±, ng÷íi th¥n ¢ gióp ï, ëng vi¶n, õng hëtæi º tæi câ thº ho n th nh tèt luªn v«n công nh÷ khâa håc cõa m¼nh

Th¡i nguy¶n, ng y 16 th¡ng 6 n«m 2023

Ng÷íi vi¸t Luªn v«n

NGUY™N V‹N TOƒN

Ch֓ng 1

Bao âng nguy¶n v  mët sè ki¸n

thùc chu©n bà

1.1 Bao âng nguy¶n cõa i¶an

ành ngh¾a 1.1.1 Cho I l  i¶an cõa v nh R Mët ph¦n tû r ∈ R ÷ñc gåi l nguy¶n tr¶n I n¸u tçn t¤i sè nguy¶n n v  c¡c ai ∈ Ii, i = 1, , n, sao cho

rn+ a1rn−1+ a2rn−2+ + an−1r + an = 0.

¯ng thùc tr¶n ÷ñc gåi l  ¯ng thùc phö thuëc nguy¶n (bªc n) cõar tr¶nI Tªphñp gçm t§t c£ c¡c ph¦n tû nguy¶n tr¶n I ÷ñc gåi l  bao âng nguy¶n cõa I, k½hi»u l  I. N¸u I = ¯ I th¼ I ÷ñc gåi l  âng nguy¶n Gi£ sû I ⊆ J l  c¡c i¶an cõa

R. Ta nâi J l  nguy¶n tr¶n I n¸u J ⊆ ¯ I. N¸u I l  mët i¶an sao cho In l  ângnguy¶n vîi måi sè nguy¶n d÷ìng n th¼ I ÷ñc gåi l  i¶an chu©n t­c

V½ dö 1.1.2 Vîi c¡c ph¦n tû x v  y tòy þ cõa R, ta câ xy ∈ (x 2 , y 2 ).

vîi a1 = = ad−1= 0 v  ad = −(xiyd−i)d = −(xd)i.(yd)d−i ∈ (xd, yd)d.

M»nh · sau ÷a ra mët sè t½nh ch§t cì b£n cõa bao âng nguy¶n cõa i¶an.M»nh · 1.1.3 (i) I ⊆ I

(ii) N¸u I ⊆ J l  c¡c i¶an th¼ I ⊆ J

(iii) I ⊆ √

I.

(iv) √I l  âng nguy¶n °c bi»t, méi i¶an nguy¶n tè ·u âng nguy¶n.(v) √0 ⊆ I vîi måi i¶an I

(vi) Giao cõa hå c¡c i¶an âng nguy¶n l  mët i¶an âng nguy¶n

(vii) N¸u φ : R → S l  çng c§u v nh th¼ φ(I) ⊆ φ(I)S, trong â φ(I)S l  i¶ancõa S sinh bði tªp φ(I).

(viii) N¸u φ : R → S l  çng c§u v nh v  I l  i¶an âng nguy¶n cõa S th¼

φ−1(I) l  âng nguy¶n trong R

Mët tr÷íng hñp °c bi»t cõa (viii) l  n¸u R l  v nh con cõa S v  I l  i¶an

âng nguy¶n cõa S th¼ I ∩ R l  i¶an âng nguy¶n trong R.

Chùng minh (i) V¼ vîi méir ∈ I, chånn = 1, a1 = −r cho ta ¯ng thùc phö thuëcnguy¶n cõa r tr¶n I.

(ii) V¼ méi ¯ng thùc phö thuëc nguy¶n cõa r tr¶n I công l  ¯ng thùc phöthuëc nguy¶n cõa r tr¶n J.

(iii) Gi£ sû r ∈ I. Khi â tçn t¤i n ∈ N, sao cho

Gi£ sû P l  i¶an nguy¶n tè cõa R. V¼ √P = P v  √P l  âng nguy¶n n¶n P

l  ¯ng thùc phö thuëc nguy¶n cõa r tr¶n I, trong â a i ∈ Ii vîi måi i = 1, , n.

V¼ Ii ⊆ Iαi, vîi måi α ∈ Λ v  måi i = 1, , n n¶n ai ∈ Iαi vîi måi α ∈ Λ, ngh¾a l 

(1.1) công l  ¯ng thùc phö thuëc nguy¶n cõa r tr¶n Iα, vîi måi α ∈ Λ. Suy ra

r ∈ Iα vîi måi α ∈ Λ. Do Iα l  âng nguy¶n n¶n Iα = Iα, vîi måi α ∈ Λ. V¼ th¸

(vii) Gi£ sû φ(r) ∈ φ(I)trong â r ∈ I. Khi â tçn t¤i sè nguy¶nn v  c¡c ph¦n

tû ai∈ I i , vîi i = 1, , n sao cho

rn+ a1rn−1+ a2rn−2+ + an−1r + an = 0.

T¡c ëng φ v o hai v¸ ta ÷ñc

(φ(r))n+ φ(a1)(φ(r))n−1+ φ(a2)(φ(r))n−2+ + φ(an) = 0.

V¼ ai ∈ I i , vîi i = 1, , n n¶n φ(ai) ∈ (φ(I)S)i. Do â φ(r) l  nguy¶n tr¶n φ(I)S.

Suy ra φ(r) ∈ φ(I)S. Tùc l  φ(I) ⊆ φ(I)S.

(viii) N¸u r nguy¶n tr¶n φ−1(I) th¼ r câ ¯ng thùc phö thuëc nguy¶n l 

rn+ a 1 rn−1+ a 2 rn−2+ + a n−1 r + a n = 0,

trong â ai∈ (φ−1(I))i, vîi i = 1, , n. Do φ((φ−1(I))i) ⊆ Ii n¶n φ(ai) ∈ Ii. V¼ th¸

(φ(r))n+ φ(a1)(φ(r))n−1+ φ(a2)(φ(r))n−2+ + φ(an) = 0

l  mët ¯ng thùc phö thuëc nguy¶n cõa φ(r) tr¶n I. Do I = I n¶n φ(r) ∈ I. V¼th¸ r ∈ φ−1(I). Vªy φ−1(I) = φ−1(I).

Sau ¥y l  t½nh ch§t cõa bao âng nguy¶n khi chuyºn qua àa ph÷ìng hâa.M»nh · 1.1.4 Cho R l  mët v nh v  I l  i¶an cõa R. Vîi méi tªp con ângnh¥n W cõa R, W−1I = W −1 I. Hìn núa, c¡c i·u ki»n sau l  t÷ìng ÷ìng:(i) I = I.

(ii) Vîi måi tªp con âng nh¥n W cõa R, W−1I = W−1I.

(iii) Vîi måi i¶an nguy¶n tè P cõa R, IP = IP.

(iv) Vîi måi i¶an cüc ¤i M cõa R, IM = IM.

Chùng minh p döng M»nh · 1.1.3 (vii) cho çng c§u tü nhi¶n

vîi n ∈ N v  ai ∈ W−1Ii, i = 1, , n. Tçn t¤i w ∈ W sao cho wr ∈ R v  vîi måi

i = 1, , n, wa i ∈ Ii. Nh¥n c£ hai v¸ cõa ¯ng thùc tr¶n vîi wn ta ÷ñc

Do wai ∈ Ii n¶n ai(ww′)i ∈ Ii, vîi måi i = 1, , n. V¼ th¸ (1.2) l  ¯ng thùc phöthuëc nguy¶n cõa ww′r ∈ R tr¶n I. Do â ww′r ∈ I. Suy ra r ∈ W−1I. V¼ th¸

W−1I = W−1I.

Ti¸p theo, ta chùng minh bèn m»nh · t÷ìng ÷ìng

(i) ⇒ (ii) Hiºn nhi¶n theo chùng minh tr¶n ta câ W−1I = W−1I = W−1I.

(ii) ⇒ (iii) l  rã r ng vîi chó þ r¬ng IP = W−1I, trong â W = R \ P.

(iii) ⇒ (iv) l  hiºn nhi¶n v¼ méi i¶an cüc ¤i ·u l  i¶an nguy¶n tè

(iv) ⇒ (i) Ta ch¿ c¦n chùng minh I ⊆ I. Gi£ sû r ∈ I. Vîi méi i¶an cüc ¤i M

cõa R ta câ r

1 ∈ IM = IM. Theo gi£ thi¸t (iv), IM = IM. Suy ra r

1 ∈ IM. V¼ th¸tçn t¤i w / ∈ M sao cho wr ∈ I. Do w l  kh£ nghàch n¶n r ∈ I. Do â I = I.

M»nh · ti¸p theo chùng tä ta câ thº quy c¡c b i to¡n li¶n quan ¸n bao ângnguy¶n v· b i to¡n li¶n quan ¸n bao âng nguy¶n trong mët mi·n nguy¶n Chó þr¬ng,N (R)l  c«n lôy linh cõaRtùc l N (R) = {x ∈ R |tçn t¤i n ∈N, xn = 0} = √

0

v  RRed k½ hi»u cho v nh th÷ìng R/N (R) Hìn núa

N (R) = √

0 = \p∈Spec(R)

p= \p∈Min(R)

p,

trong â Min(R) l  tªp c¡c i¶an nguy¶n tè tèi tiºu cõa R

M»nh · 1.1.5 Cho R l  mët v nh, khæng nh§t thi¸t l  v nh Noether v  I l mët i¶an cõa R.

(i) ƒnh cõa bao âng nguy¶n cõa I trong v nh th÷ìng RRed l  bao âng nguy¶ncõa £nh cõa I trong RRed : IRRed= IRRed.

(ii) Mët ph¦n tû r ∈ R thuëc bao âng nguy¶n cõa I n¸u v  ch¿ n¸u vîi méii¶an nguy¶n tè tèi tiºu P cõa R, £nh cõa r trong R/P công thuëc bao ângnguy¶n cõa (I + P )/P.

Chùng minh (i) X²t çng c§u v nh

φ : R → R/ √

0 cho bði φ(r) = r + N (R),

vîi méi r ∈ R. Theo M»nh · 1.1.3, ta câ

IRRed= φ(I) ⊆ φ(I)RRed = IRRed.

Ng÷ñc l¤i, cho r ∈ R sao cho r + √

W khæng chùa 0 th¼ {0} ∩ W = ∅. V¼ th¸ tçn t¤i i¶an nguy¶n tè Q cõa R sao cho

Q ∩ W = ∅. Suy ra tçn t¤i i¶an nguy¶n tè tèi tiºu P cõa R sao cho P ⊆ Q. Khi

â W ∩ P ⊆ W ∩ Q = ∅. Nh÷ng theo gi£ thi¸t, £nh cõa r trong R/P thuëc bao

âng nguy¶n cõa (I + P )/P vîi måi i¶an nguy¶n tè tèi tiºu P cõa r. V¼ th¸ tçnt¤i n ∈N>0 v  ai∈ I i sao cho

rn+ a1rn−1+ + an ∈ P.

Suy ra W ∩ P ̸= ∅. i·u n y m¥u thu¨n Chùng tä W luæn chùa 0. Do â r l nguy¶n tr¶n I. V¼ th¸ r ∈ I.

Khi tªp c¡c i¶an nguy¶n tè tèi tiºu cõa R l  húu h¤n, ¯ng thùc phö thuëcnguy¶n cõa r tr¶n I câ thº x¡c ành tø ¯ng thùc phö thuëc nguy¶n cõa r tr¶n

I modulo méi i¶an nguy¶n tè tèi tiºu P1, , Pm nh÷ sau: tçn t¤i c¡c aji ∈ I i ,

0. Do â tçn t¤i sè nguy¶n d÷ìng k sao cho fk = 0. Thay f v o ta

÷ñc ¯ng thùc phö thuëc nguy¶n cõa r tr¶n I.

M»nh · 1.1.6 Cho R l  mët v nh, khæng nh§t thi¸t l  v nh Noether Vîi méi

r ∈ R v  i¶an I cõa R, r ∈ I n¸u v  ch¿ n¸u tçn t¤i sè nguy¶n n sao cho

Méi ph¦n tû cõa (I + (r))n sinh bði nhúng ph¦n tû câ d¤ng a1 an−j.rj, trong â

a1, , an−j ∈ I, j = 0, , n. Vîi j = 0, , n − 1, ta câ a1 an−j.rj ∈ I(I + (r)) n−1

V¼ th¸ (I + (r))n ⊆ I(I + (r))n−1.

Hiºn nhi¶n I(I + (r))n−1 ⊆ (I + (r)) n Vªy (I + (r))n = I(I + (r))n−1.

Ng÷ñc l¤i, n¸u (I + (r))n = I(I + (r))n−1 th¼ do rn ∈ (I + (r)) n n¶n rn ∈ I(I + (r))n−1. V¼ th¸

rn = b1rn−1+ b2rn−2+ + bn−1r + bn,

trong â bi∈ Ii. °t ai= −bi, i = 1, , n. Khi â ai∈ Ii v  ta câ

rn+ a1rn−1+ a2rn−2+ + an−1r + an = 0.

i·u n y chùng tä r nguy¶n tr¶n I.

H» qu£ 1.1.7 (Mµo ành thùc) Cho I l  mët i¶an cõa R v  r ∈ R. C¡c i·uki»n sau l  t÷ìng ÷ìng:

(i) r l  nguy¶n tr¶n I.

(ii) Tçn t¤i R-mæun húu h¤n sinh M sao cho rM ⊆ IM v  n¸u aM = 0 vîi a

n o â thuëc R th¼ ar ∈ √

0.

Hìn núa, n¸u I l  i¶an húu h¤n sinh v  I chùa ph¦n tû khæng l  ÷îc cõa

0 th¼ r nguy¶n tr¶n I n¸u v  ch¿ n¸u tçn t¤i R-mæun húu h¤n sinh M sao cho

AnnR(M ) = 0 v  IM = (I + (r))M.

Chùng minh (i) ⇒ (ii) Cho rn + a1rn−1 + + an−1r + an = 0 l  ¯ng thùc phöthuëc nguy¶n cõa r tr¶n I, trong â ai ∈ I i , i = 1, , n. Khi â tçn t¤i i¶anhúu h¤n sinh J ⊆ I sao cho a i ∈ Ji, vîi måi i = 1, , n. V¼ th¸ r nguy¶n tr¶n J.

Theo M»nh · 1.1.6 tçn t¤i sè nguy¶n n sao cho J (J + (r))n−1 = (J + (r))n. Khi

â M = (J + (r))n−1 l  i¶an húu h¤n sinh (công l  R-mæun húu h¤n sinh) v 

(ii) ⇒ (i) ChoM = Rb 1 + + Rb m l R-mæun sinh bðib 1 , , b m ∈ M sao cho

rM ⊆ IM. Vîi måi i = 1, , m, ta vi¸t rbi =

trong â Sn, k½ hi»u cho nhâm c¡c ph²p th¸ bªc n, l  tªp c¡c song ¡nh tø

{1, 2, , n} v o ch½nh nâ Khai triºn (det(A)r)k = 0 ta ÷ñc ¯ng thùc phö thuëcnguy¶n cõa r tr¶n I. V¼ th¸ r l  nguy¶n tr¶n I.

1.2 I¶an thu gån v  bao âng nguy¶n

Trong möc n y, luªn v«n giîi thi»u kh¡i ni»m i¶an thu gån

ành ngh¾a 1.2.1 Cho J ⊆ I l  c¡c i¶an J ÷ñc gåi l  mët i¶an thu gån cõa

I n¸u tçn t¤i sè nguy¶n khæng ¥m n sao cho In+1 = J In.

Tø M»nh · 1.1.6 ta câ H» qu£ sau:

H» qu£ 1.2.2 Ph¦n tû r ∈ R l  nguy¶n tr¶n J n¸u v  ch¿ n¸u J l  mët i¶anthu gån cõa J + (r).

Chó þ 1.2.3 N¸u J In = In+1 th¼ vîi måi sè nguy¶n m, ta câ

Im+n = J Im+n−1 = = JmIn.

°c bi»t, n¸u J ⊆ I l  mët thu gån th¼ tçn t¤i sè nguy¶n n sao cho vîi måi m ≥ 1,

Jm+n ⊆ Jm.

I¶an thu gån câ t½nh ch§t b­c c¦u T½nh ch§t n y ÷ñc ph¡t biºu trong M»nh

· sau:

M»nh · 1.2.4 Cho K ⊆ J ⊆ I l  c¡c i¶an cõa R.

(i) N¸u K l  mët i¶an thu gån cõa J v  J l  mët i¶an thu gån cõa I th¼ K

l  mët i¶an thu gån cõa I.

(ii) N¸u K l  mët i¶an thu gån cõa I th¼ J công l  mët i¶an thu gån cõa I.

(iii) N¸u I l  i¶an húu h¤n sinh, J = K + (r1, , rk) v  K l  mët i¶an thugån cõa I th¼ K l  mët i¶an thu gån cõa J.

Chùng minh (i) Gi£ sû K ⊆ J v  J ⊆ I l  c¡c thu gån Khi â tçn t¤i c¡c sènguy¶n n v  m sao cho KJn = Jn+1, J Im = Im+1. Theo Nhªn x²t 1.2.3, ta câ

Im+n+1 = Jn+1Im = KJnIm ⊆ KIm+n ⊆ Im+n+1.

V¼ th¸ Im+n+1 = KIm+n. Vªy K l  mët i¶an thu gån cõa I.

(ii) Gi£ sû K ⊆ I l  mët thu gån Khi â tçn t¤i sè nguy¶n n sao cho In+1 =

KIn ⊆ JI n ⊆ I n+1 Suy ra In+1 = J In. Ngh¾a l  J l  mët i¶an thu gån cõa I.

(iii) Gi£ sû I l  i¶an húu h¤n sinh, J = K + (r1, , rk) v  K l  i¶an thugån cõa I. Khi â, tçn t¤i sè nguy¶n n sao cho KIn = In+1. Theo (ii), vîi måi

i = 1, , k, K + (r1, , ri−1) ·u l  i¶an thu gån cõa I. (Khi i = 0, (r1, , ri−1)

÷ñc hiºu l  i¶an 0.) V¼ ri ∈ I, n¶n theo c¡ch chån n ta câ riIn ⊆ I n+1 ⊆ KI n ⊆ (K + (r1, , ri−1))In. N¸u aIn = 0 vîi a ∈ R n o â th¼ do ri ∈ I n¶n arni = 0.

Theo gi£ thi¸t, In l  húu han sinh, v¼ th¸ theo H» qu£ 1.1.7, r i nguy¶n tr¶n

K + (r1, , ri−1). Do â, theo M»nh · 1.1.6, K + (r1, , ri−1) l  i¶an thu gåncõa K + (r1, , ri). V¼ th¸ theo (i) v  quy n¤p theo k, K ⊆ K + (r1, , rk) = J l mët thu gån

Chó þ r¬ng M»nh · 1.2.4 khæng cán óng n¸u bä i gi£ thi¸t I l  húu h¤nsinh trong (iii)

V½ dö 1.2.5 Cho k l  mët tr÷íng, X v  Y l  c¡c bi¸n tr¶n k v  R l  t½ch trücti¸p ho°c têng trüc ti¸p cõa væ h¤n nh÷ng ¸m ÷ñc c¡c copy cõa k[X, Y ]. Cho

K l  i¶an m  c¡c th nh ph¦n bªc i cõa nâ trong R l  (Xi, Yi), J l  i¶an câ c¡c

th nh ph¦n thù i l  (Xi, Yi, XYi−1) v  I l  i¶an câ th nh ph¦n thù i l  (X, Y )i.

Rã r ng K ⊆ J ⊆ I v  K l  i¶an thu gån cõa I nh÷ng K khæng l  i¶an thu gåncõa J.

H» qu£ 1.2.6 Cho K ⊆ I l  c¡c i¶an Gi£ sû I l  i¶an húu h¤n sinh Khi â

K l  i¶an thu gån cõa I n¸u v  ch¿ n¸u I ⊆ K.

Chùng minh (⇒) Gi£ sû K l  i¶an thu gån cõa I. Theo M»nh · 1.2.4 (3), vîiméi r ∈ I, K l  i¶an thu gån cõa K + (r). V¼ th¸, theo H» qu£ 1.2.2, r l  nguy¶ntr¶n K, do â r ∈ K.

(⇐) Gi£ sû I = (r1, , rn) ⊆ K. Khi â, vîi j = 1, , n, rj nguy¶n tr¶n K, do

â nguy¶n tr¶n K + (r1, , rj−1). Theo M»nh · 1.1.6, méi th nh ph¦n b¶n tr¡itrong x½ch sau ·u l  thu gån cõa th nh ph¦n k· ngay b¶n ph£i:

K ⊆ K + (r1) ⊆ K + (r1, r2) ⊆ ⊆ K + (r1, , rn) = J.

V¼ th¸ theo M»nh · 1.2.4 (1), K l  i¶an thu gån cõa I.

H» qu£ 1.2.7 Cho K l  mët i¶an cõa R. Bao âng nguy¶n cõa K trong R l mët i¶an âng nguy¶n trong R.

Chùng minh Rã r ngK l  tªp con âng nh¥n cõaR.Ta ch¿ cán ph£i chùng minh

K âng vîi ph²p to¡n cëng Gi£ sû r, s ∈ K. Khi â, do r nguy¶n tr¶n K n¶n ta

câ ¯ng thùc

rn+ k1rn−1+ + kn = 0,

trong â ki ∈ K i Suy ra tçn t¤i i¶an húu h¤n sinh K′ n¬m trong K sao cho

k i ∈ (K′)i (ta câ thº l§y i¶an sinh bði c¡c k i) Do â r ∈ K′. T÷ìng tü, ta câ thº

mð rëng K′ sao cho s ∈ K′. Ta k½ hi»u J = K′+ (r) v  I = K′+ (r, s) = J + (s).

Theo M»nh · 1.1.6, K′ l  i¶an thu gån cõa J v  J l  mët i¶an thu gån cõa I.

V¼ th¸, ¡p döng M»nh · 1.2.4, ta ÷ñc K′ l  i¶an thu gån cõa I. V¼ K′, J v  I

·u húu h¤n sinh n¶n theo M»nh · 1.2.4 ta câ K′ ⊆ K′+ (r + s) ⊆ I l  c¡c thugån Suy ra, theo M»nh · 1.1.6, r + s l  nguy¶n tr¶nK′ v  do â r + s l  nguy¶ntr¶n K. Vªy K l  mët i¶an

º chùng minh bao âng nguy¶n cõa i¶an l  âng nguy¶n ta gi£ sû I l  i¶ancõaR v  r ∈ I. Khi â, tçn t¤i i¶an con J húu h¤n sinh cõaI sao cho r ∈ J Gi£

sû J = (j 1 , , jk). Lªp luªn t÷ìng tü nh÷ tr¶n, tçn t¤i i¶an húu h¤n sinh K ⊆ I

sao cho ji l  nguy¶n tr¶n K. Theo M»nh · 1.2.4, ta câ K l  i¶an thu gån cõa

K + J v  K + J l  i¶an thu gån cõa K + J + (r). V¼ th¸ K l  i¶an thu gån cõa

K + (r). Do â r l  nguy¶n tr¶n K v  k²o theo r nguy¶n tr¶n I, ngh¾a l  r ∈ I.

Vªy I l  i¶an âng nguy¶n

Chó þ 1.2.8 (i) C¡c i·u ki»n sau l  t÷ìng ÷ìng èi vîi méi i¶an I v  ph¦n

tû r cõa R :

(a) r ∈ I;

(b) r/1 ∈ W−1I, vîi måi tªp con âng nh¥n W cõa R;

(c) r/1 ∈ IP, vîi måi i¶an nguy¶n tè P cõa R;

(d) r/1 ∈ IM, vîi måi i¶an cüc ¤i M cõa R.

(ii) N¸u I v  J l  c¡c i¶an cõa R th¼

Vîi méi a ∈ J, nh¥n c£ hai v¸ cõa ¯ng thùc tr¶n vîi an ta ÷ñc

(ar)n+ a1a(ar)n−1+ + an−1an−1(ar) + anan = 0.

¯ng thùc n y chùng tä ar nguy¶n tr¶n I. Suy ra ar ∈ I = I. V¼ th¸ rJ ⊆ I. i·u

n y câ ngh¾a l  I : J l  âng nguy¶n

(iii) N¸u I ⊆ J v  J ⊆ K l  c¡c mð rëng nguy¶n, ngh¾a l , méi ph¦n tû cõa J

nguy¶n tr¶n I, v  méi ph¦n tû cõa K nguy¶n tr¶n J. Khi â

K ⊆ J ⊆ I = I.

Do â, K nguy¶n tr¶n I.

(iv) N¸uI ⊆ I′ v  J ⊆ J′ l  c¡c mð rëng nguy¶n cõa c¡c i¶an th¼I + J ⊆ I′+ J′

v  IJ ⊆ I′J′ công l  c¡c mð rëng nguy¶n Thªt vªy, rã r ng méi ph¦n tû cõa I′

v  J′ ·u nguy¶n tr¶n I + J, v¼ th¸ I′+ J′ l  nguy¶n tr¶n I + J. Hìn núa, vîi méi

a ∈ I, b ∈ J′ ta d¹ d ng kiºm tra ÷ñc ab′ nguy¶n tr¶n IJ (ta ch¿ c¦n vi¸t ¯ngthùc phö thuëc nguy¶n cõa b′ tr¶n J rçi nh¥n hai v¸ vîi lôy thøa cõa a) Suy ra

IJ′ l  nguy¶n tr¶n IJ. T÷ìng tü, I′J′ nguy¶n tr¶n IJ′. V¼ th¸ ta câ

I′J′ ⊆ IJ ′ ⊆ IJ.

V½ dö 1.2.9 Cho R = k[X, Y ] l  v nh a thùc hai bi¸n X v  Y tr¶n tr÷íng k.

Khi â, i¶an I = (X2+ Y3, XY3, Y4) l  âng nguy¶n

Chùng minh Tø gi£ thi¸t suy raI l  i¶an thu¦n nh§t vîi bªc câ trång l deg(X) =

3, deg(Y ) = 2. I¶an cõa R gçm t§t c£ c¡c ph¦n tû bªc 8 ho°c cao hìn ·u sinhbði X3, X2Y, XY3 v  Y4,v  ·u n¬m trong I. Gi£ sûr ∈ I \ I câ h¤ng tû bªc thüc

sü nhä hìn 8.V¼ I l  mët i¶an n¶n b¬ng c¡ch l§y r trø i c¡c ph¦n tû cõa I ⊆ I,

khæng m§t t½nh ch§t têng qu¡t, ta câ thº gi£ sû

degX(r) ≤ 1 v  degY(r) ≤ 3.

Do r nguy¶n tr¶n I n¶n ¯ng thùc phö thuëc nguy¶n cõa r câ d¤ng

rn+ a1rn−1+ + an = 0,

trong â ai∈ Ii. ìn thùc câ bªc th§p nh§t trong rn ph£i tri»t ti¶u mët v i ìnthùc trong airn−i, hay nâi c¡ch kh¡c, tçn t¤i sè nguy¶n i sao cho ìn thùc câ bªcth§p nh§t r0 xu§t hi»n trong r câ bªc b¬ng bªc cõa th nh ph¦n xu§t hi»n trong

a i m  chia h¸t cho i. Nh÷ng a i ∈ Ii, v¼ th¸ bªc cõaa i lîn hìn ho°c b¬ng 6i.V¼ th¸

deg(r0) ho°c l  6 ho°c l  7.Suy ra, th nh ph¦n câ bªc th§p nh§t trong ai ph£i câbªc ½t nh§t l  7i.M°t kh¡c, bªc th§p nh§t cõa c¡c th nh ph¦n trong ai l  bëi cõaph¦n tû sinh duy nh§t cõa I câ bªc nhä hìn 8, â l  X2+ Y3. V¼ i·u n y óngcho måi i n¶n r 0 ∈p(X 2 + Y 3 ) = (X2+ Y3). i·u n y l  m¥u thu¨n vîi gi£ thi¸t

degX(r) < 2. V¼ th¸ I = I.

1.3 ë d i v  chi·u Krull

º ti»n theo dãi chó þ ¦u möc nh­c l¤i mët sè ki¸n thùc chu©n bà ¢ ÷ñchåc trong ch÷ìng tr¼nh cao håc

ành lþ 1.3.1 (i) (ành lþ ¯ng c§u thù nh§t) N¸u f : M → N l  çng c§u

(iii) (ành lþ ¯ng c§u thù ba) Cho c¡c mæun con H, K cõa

R-mæun G tho£ m¢n K ⊆ H Khi â H/K l  mæun con cõa R-mæun G/K

v  ta câ ¯ng c§u

(G/K)/(H/K) ∼ = G/H.

Chó þ 1.3.2 (i) Gi£ sû N′ f→ N → Ng ′′ → 0 l  d¢y khîp c¡c R-mæun Khi âvîi måi R-mæun M hai d¢y sau l  khîp:

Chó þ 1.3.3 (i) Mët R-mæun M ÷ñc gåi l  R-mæun ìn n¸u M ̸= 0 v  M

ch¿ câ hai mæun con l  khæng v  ch½nh nâ

(ii) Cho v nh R v  R-mæun M Mët d¢y húu h¤n c¡c mæun con cõa M

M = M0 ⊋M1 ⊋· · ·⊋Mn = 0

÷ñc gåi l  d¢y hñp th nh cõa mæun M n¸u Mi−1/Mi l  c¡c R-mæun ìn vîimåi i = 1, , n Sè tü nhi¶n n ÷ñc gåi l  ë d i cõa d¢y hñp th nh

(iii) Gi£ sû M câ mët d¢y hñp th nh ë d i n Khi â måi d¢y hñp th nh cõa

M câ còng ë d i n v  måi d¢y trong M ·u câ thº mð rëng th nh mët d¢y hñp

th nh

(iv) Ta ành ngh¾a ë d i cõa mæun M, k½ hi»u ℓR(M ), l  ë d i cõa mët d¢yhñp th nh trongM (n¸uM câ d¢y hñp th nh) Trong tr÷íng hñp n y ta công nâi

M câ ë d i húu h¤n N¸u M khæng câ d¢y hñp th nh ta quy ÷îc ℓR(M ) = ∞.

(v) Cho v nh R Khi â R-mæun M câ d¢y hñp th nh khi v  ch¿ khi M vøa

l  R-mæun Artin vøa l  R-mæun Noether

(vi) Cho d¢y khîp c¡c R-mæun

0 → M′ α→ M → Mβ ′′→ 0.

Khi â M câ ë d i húu h¤n n¸u v  ch¿ n¸u M′ v  M′′ câ ë d i húu h¤n Hìnnúa

ℓ(M ) = ℓ(M′) + ℓ(M′′).

(vii) Cho d¢y khîp 0 → M1 → Mφ1 2 → · · ·φ2 φ→ Mn−1 n → 0 cõa c¡c R-mæun câ ë

d i húu h¤n Khi â

n

X

i=1 (−1)iℓ (Mi) = 0.

Chó þ 1.3.4 Cho v nh R

(i) Mët d¢y c¡c i¶an nguy¶n tè cõa R l  d¢y t«ng c¡c i¶an nguy¶n tè

p0⊊ p1 ⊊· · ·⊊ pn

cõa v nh R Sè nguy¶n n ÷ñc gåi l  ë d i cõa d¢y

(ii) Cªn tr¶n óng cõa ë d i måi d¢y i¶an nguy¶n tè cõa R ÷ñc gåi l  chi·uKrull cõa R v  ÷ñc kþ hi»u l  dim(R)

(iii) Chi·u Krull cõa R-mæun M, công gåi t­t l  chi·u cõa M, k½ hi»u l 

dim M, ÷ñc x¡c ành bði

dim M = dim(R/ Ann M ),

n¸u M ̸= 0 N¸u M = 0 ta quy ÷îc chi·u cõa mæun khæng l  −1

(iv) Cho v nh R v  R-mæun húu h¤n sinh M Ta câ Supp(M ) = V (Ann(M ))

Do â

dim M = sup{dim R/p|p∈ Supp(M )}

= sup{dim R/p|p∈ Min Supp(M )}.