Môđun phụ đối hữu hạn và môđun h phụ đối hữu hạn

Bộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN HÀ THỊ PHƯƠNG THẢO VỀ MÔĐUN PHỤ ĐỐI HỮU HẠN VÀ MÔĐUN H- PHỤ ĐỐI HỮU HẠN LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC BÌNH ĐỊNH - NĂM 2019 HÀ THỊ PHƯƠNG THẢO VÊ MÔĐUN PHỤ ĐÔI HỮU HẠN VÀ MÔĐUN H- PHỤ ĐÔI HỮU HẠN Chuyên ngành : Đại số lí thuyết số Mã số : 8460104 Người hướng dẫn : Tiến sĩ Mai Quý Năm Lời cam đoan Tôi xin cam đoan luận văn với đề tài: môđun phụ đối hữu hạn môđun H- phụ đối hữu hạn cơng trình nghiên cứu khoa học hướng dẫn TS Mai Quý Năm khơng chép Các kết trình bày luận văn trích dẫn nguồn gốc rõ ràng Bình Định, ngày 26 tháng 08 năm 2019 Học viên thực Hà Thị Phương Thảo Lời cảm ơn Lời xin gửi lời cảm ơn chân thành đến thầy TS MAI QUÝ NĂM, người trực tiếp hướng dẫn, dẫn tận tình giải đáp thắc mắc suốt q trình tơi hồn thành luận văn Đồng thời xin bày tỏ biết ơn sâu sắc đến thầy khoa Tốn thống kê, Trường Đại học Quy Nhơn bảo, truyền dạy cho kiến thức bổ ích suốt năm theo học trường, lãnh đạo Trường Đại học Quy Nhơn, phòng Đào tạo sau đại học tạo điều kiện thuận lợi cho học viên khác Cuối cùng, xin gửi lời cảm ơn đến gia đình, bạn bè, người ln ủng hộ cổ vũ tinh thần giúp tơi có động lực để hoàn thành luận văn cách tốt Trong q trình làm luận văn, thời gian có hạn lực, kiến thức thân hạn chế nên khơng trách khỏi sai sót, kính mong thầy bảo độc giả đóng góp ý kiến để giúp luận văn hồn thiện Tơi xin chân thành cảm ơn! Lời mở đầu Cho M R-môđun N, L hai môđun M Người ta gọi N phần phụ L M N cực tiểu theo quan hệ bao hàm tập môđun A M thỏa mãn A + L = M Một môđun M gọi mơđun phần phụ hay nói tắt phần phụ phần phụ mơđun M Phần phụ xuất lần cơng trình nghiên cứu E.A Mares (1966) mơđun vành nửa hồn chỉnh tiếp tục nghiên cứu F Kasch Mares quan hệ với phủ xạ ảnh môđun Phần phụ môđun không thiết tồn tồn phần phụ quan hệ chạt chẽ với tồn phủ xạ ảnh Một môđun M gọi môđun phụ môđun có phần phụ Lớp mơđun phụ mở rộng thực lớp môđun nâng- lớp môđun quan trọng quan tâm nghiên cứu rộng rãi nhiều chục năm qua Một điều rõ ràng hạng tử trực tiếp môđun M phần phụ, điều ngược lại nói chung khơng trường hợp tổng qt Bởi lẽ đó, phần phụ khảo sát theo ý tưởng xấp xỉ hoạc đồng với hạng tử trực tiếp Điều dẫn đến khái niệm môđun H-phụ định nghĩa sau: Môđun M goị H-phụ với môđun A M, tồn hạng tử trực tiếp D M cho với môđun X M, M = A + X M =A + D Từ định nghĩa dễ dàng chứng minh M Hphụ mơđun M có phần phụ hạng tử trực tiếp M, vậy, M mơđun phụ Các tính chất mơđun phụ mơđun H-phụ tìm thấy [8; 11; 13; 15; 18; 21] Vào năm 2001, R Alizade cộng [1] giới thiệu khái niệm môđun phụ đối hữu hạn - dạng tổng qt hóa mơđun phụ Một mơđun N môđun M gọi đối hữu hạn (cofinite) môđun thương M/N hữu hạn sinh, M gọi môđun phụ đối hữu hạn (cofinitely supplemented module) môđun đối hữu hạn M có phần phụ Rõ ràng mơđun phụ phụ đối hữu hạn Theo hướng này, vào năm 2007, M.T.Kosan [12] định nghĩa khảo sát môđun H-phụ đối hữu hạn tổng quát hóa môđun H- phụ điều kiện tương tự hạn chế cho môđun đối hữu hạn Các môđun H-phụ đối hữu hạn tiếp tục nghiên cứu Y.Talebi cộng [17] (2013) Như biết, phần phụ mơđun phụ có quan hệ chạt chẽ với tồn phủ xạ ảnh Bởi vậy, cách tự nhiên, môđun phụ môđun H-phụ sử dụng khảo sát vành hoàn chỉnh nửa hoàn chỉnh Tương tự, Y.Talebi [17] nghiên cứu lớp vành với tính chất đạc trưng cho H-phụ đối hữu hạn Xuất phát từ nội dung trình bày đây, lựa chọn đề tài luận văn thạc sĩ " môđun phụ đối hữu hạn môđun H-phụ đối hữu hạn" Mục tiêu đề tài tổng hợp trình bày với chứng minh chi tiết kết môđun phụ đối hữu hạn môđun H-phụ đối hữu hạn từ tài liệu tham khảo [1], [2], [11], [12], [16] [17] Đồng thời, nghiên cứu, phát nhằm bổ sung kết lớp môđun mối quan hệ chúng với lớp mơđun phụ Nội dung luận văn trình bày chương: Chương 1: Kiến thức chuẩn bị Trong chương chúng tơi trình bày số khái niệm kết liên quan đến nội dung luận văn Chương 2: Mơđun phụ đối hữu hạn Chúng giới thiệu định nghĩa số kết môđun phụ đối hữu hạn môđun phụ yếu đối hữu hạn Chương 3: Môđun H-phụ đối hữu hạn ứng dụng Chúngmôđun phụ, trình H-phụbày đốiđịnh hữu hạn nghĩa vàvà ứng dụng số vào kết đạc trưng môđun vành H- Mục lục Tài liệu tham khảo 67 Bảng kí hiệu Môđun < Môđun nhỏ ( hay đối cốt yếu) Soc(M) Đế môđun M Qe Môđun cốt yếu ( hay lớn) Rad(M) Căn môđun M Rad(R), Jac(R), J(R) Căn Jacobson vành R E (M) Bao nội xạ mơđun M C® Hạng tử trực tiếp Ker(f) Hạt nhân đồng cấu f Im(f) Anh đồng cấu f End (M) Vành tự đồng cấu mơđun M Mơđun ®-phụ Mơđun trực tiếp phụ cws- môđun Môđun phụ yếu đối hữu hạn R Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trong chương trình bày số khái niệm kết liên quan đến nội dung luận văn trích dẫn từ tài liệu [8], [15], [16], [21] 1.1 Môđun nhỏ, môđun hổng môđun Định nghĩa 1.1.1 Một môđun A môđun M gọi nhỏ M với môđun B = M ta có A + B = M Một cách tương đương, A + B = M kéo theo B = M Khi ta kí hiệu A < M Mệnh đề 1.1.2 ([21]; 19.3) Cho K, L M R-mơđun, (1)Nếu K c L c M L M K M L/K c M/K (2)Nếu K M, (1 < i < n) K + K + K M i (3) Nếu K c L c n M L hạng tử trực tiếp M K M K L Định nghĩa 1.1.3 (1) R-môđun khác không M gọi môđun hổng môđun thực M nhỏ M + D' theo [21, 41.14] Bây ta chứng minh N chạn N' Gọi A môđun M với N < A M/N = N/N + A/N Thế M = N + A Vì N = ND(NnD'), ta có M = N+ f (NnD')+A Do M = (NnD )+A Nhưng N f n I y D' nên M = A Điều suy N/N M/N (3) (1): Theo Mệnh đề 3.2.4 (1) (2): Là rõ ràng (2) (1): Gọi N môđun đối hữu hạn M Bởi giả thiết tồn môđun K K M cho M = K K1 K1 Vì M n- xạ ảnh nên tồn môđun K D K = N + K N n c N cho M = K D K theo [21, 41.14] Điều suy ra, M = N + X M = K + X với X < M Vậy M H- phụ đối hữu hạn Các kết xét hạng tử trực tiếp môđun thương môđun Hphụ đối hữu hạn với điều kiện cho trước Môđun M gọi có tính chất tổng hạng tử, viết tắt SSP (Summand Sum Property) tổng hai hạng tử trực tiếp M lại hạng tử trực tiếp, M gọi môđun phân phối dàn môđun M dàn phân phối Định lý 3.2.7 ([12]; Định lý 2.1) (1) Giả sử M môđun H- phụ đối hữu hạn X môđun M Nếu với hạng tử trực tiếp K M, (X + K)/X hạng tử trực tiếp M/X M/X H- phụ đối hữu hạn (2) Giả sử M môđun H- phụ đối hữu hạn SSP Thế hạng tử trực tiếp M môđun H- phụ đối hữu hạn (3) Giả sử M môđun phân phối H- phụ đối hữu hạn Thế M/N H- phụ đối hữu hạn với môđun N M Chứng minh (1) Mỗi mơđun đối hữu hạn M/N có dạng T/N với T môđun đối hữu hạn M N c T Vì M H- phụ đối hữu hạn nên tồn hạng tử trực tiếp D M cho M = T + Y M = D + Y Bởi giả thiết, (D + N)/N hạng tử trực tiếp M/N Do đó, M/N = T/N + L/N M/N = (D + N)/N + L/X với L/N < M/N (2) Cho N hạng tử trực tiếp M Xét M = N®N' với N < M Để chứng minh N H- phụ đối hữu hạn ta cần M/N' H- phụ đối hữu hạn Giả sử L hạng tử trực tiếp M Vì M có SSP, L + N hạng tử trực tiếp M Giả sử M = (L + N') ® K với K < M Thế M/N = (L + N )/N ® (K + N )/NDo đó, M/N mơđun Hf f phụ đối hữu hạn (1) (3) Lấy D hạng tử trực tiếp M Và M = D ® Df với Df < M Bây M/N = (D + N)/N + (D' + N)/N với môđun N M Chú ý N = N + (D n Dr) = (N + D) n (N + Dr) theo tính chất phân phối M Bây M/N = (D + N)/N ® (D + N)/N Bởi (1) M/N mơđun H- phụ z đối hữu hạn □ Một môđun M gọi Duo môđun N M bất biến hồn tồn, có nghĩa f (N) c N với tự đồng cấu M Một kết biết mơđun Duo có SSP Bởi vậy, Định lý 3.2.7 (2) có hệ sau: Hệ 3.2.8 [12, Hệ 2.3] Giả sử M môđun Duo H- phụ đối hữu hạn Thế hạng tử trực tiếp M môđun H- phụ đối hữu hạn Quay lại mối quan hệ tính chất H- phụ đối hữu hạn ®- phụ đối hữu hạn, ta có: Mệnh đề 3.2.9 [12, Mệnh đề 2.4] Giả sử M mơđun ®- phụ đối hữu hạn cho với mễi phân tích M = M ® M M M xạ ảnh tương Thế 2 M mơđun H- phụ đối hữu hạn Chứng minh Lấy N mơđun đối hữu hạn M Vì M mơđun ®- phụ đối hữu hạn nên N có phần phụ hạng tử trực tiếp M M Thế tồn phân tích M = M ® M cho M = N + M N n M M với 2 2 môđun M M Theo giả thiết, M M - xạ ảnh Bởi [15, Bổ đề 4.47] 2 ta nhận M = A® M với mơđun A M cho A < N Thế N = A ® (M M n n N).Giả sử X < M với M = N + X Thế M = A + (M n N)+ X Vì N nhỏ M nhỏ M, M = A + X Do đó, M = N + X M = A + X Vậy, M môđun H- phụ đối hữu hạn Nhận xét 3.2.10 Đối với môđun H- phụ trình bày Chương 2, ta có kết hoàn toàn tương tự với Hệ 3.2.8 Mệnh đề 3.2.9 ( xem Nhận xét 3.1.13., mục 3.1) Như nói, ta chưa biết hạng tử trực tiếp môđun H- phụ đối hữu hạn có H- phụ đối hữu hạn hay khơng Từ đó, người ta khảo sát mơđun M có hạng tử trực tiếp H- phụ đối hữu hạn gọi môđun H- phụ đối hữu hạn hoàn toàn (Completely H-cofinitely supplemented) Với khái niệm này, Hệ 3.2.8 khẳng định môđun Duo H- phụ đối hữu hạn H- phụ đối hữu hạn hoàn tồn Với tính chất Duo, ta xét tổng trực tiếp hữu hạn môđun H- phụ đối hữu hạn Định lý 3.2.11 ([12]; Định lý 2.5) Giả sử M = M ® M mơđun Duo Nếu M M H- phụ đối hữu hạn M H- phụ đối hữu hạn Chứng minh Giả sử M M môđun H- phụ đối hữu hạn Lấy môđun đối hữu hạn L M Bởi [14], L = (LnM )®(LnM ) Hiển nhiên L n M L n M môđun đối hữu hạn M M , tương ứng Với i tồn 2 hạng tử trực tiếp D M cho Mi = Di + Y Mi = Ai + Y i i với Y < M Đạt D = D1 ® D , lấy X < M Thế X = X i n ® X , Xi = X Mi giả thiết Duo Do M = A + X Mi = Ai + Xi (i = 1,2) M = D + X (i = 1,2) M = D + X i i i □ Từ Định lý 3.2.11., thu hệ sau cho tổng hữu hạn Hệ 3.2.12 Giả sử M = ®rn= M môđun Duo Nếu Mị H- phụ đối i hữu hạn với i = 1, ,n M H- phụ đối hữu hạn Chứng minh Trường hợp n = chứng minh Định lý 3.2.11 Ta chứng minh Hệ 3.2.12 cho n > quy nạp Trước hết ta chứng minh rằng, hạng tử trực tiếp môđun Duo môđun Duo Giả sử M = N ® L mơđun Duo Xét tự đồng cấu f : N —> N môđun A N Gọi p : M —> N phép chiếu tổng trực tiếp M = N ® L lên N, có nghĩa p(x + y) = x, Vx E N, y E L Kí hiệu q phép nhúng tắc N vào M = N ® L Đạt ộ = q.f.p : M —> M Thế giả thiết M mơđun Duo, ta có ộ(A) c A Dễ thấy ộ(A) = f(A), A bất biến f Vậy N n môđun Duo Bây giả sử M = @ M , (n > 2) môđun Duo i i=1 n- Mi H- phụ đối hữu hạn với i = 1, ,n Thế thì, N = i=1 Mi mơđun Duo M = N ® M H- phụ đối hữu hạn giả thiết n quy nạp Bây M = N ® M H- phụ đối hữu hạn Định lý 3.2.11 n □ Tiếp theo, trở lại xem xét hạng tử trực tiếp môđun thương môđun H- phụ đối hữu hạn Mệnh đề 3.2.13 [17; Mệnh đề 3.5] Cho M môđun H- phụ đối hữu hạn N môđun M Giả sử với hạng tử trực tiếp K M, (K + N)/N chặn hạng tử trực tiếp M/N Thế M/N H- phụ đối hữu hạn Chứng minh Lấy Y/N < M/N môđun đối hữu hạn Vì M H- phụ đối hữu hạn nên tồn hạng tử trực tiếp K M cho M = X + Y M = X + K với X < M Bởi giả thiết, có mơđun L M cho N c L c K + N, L/N hạng tử trực tiếp M/N (K + N/N M/N Lấy X < M môđun cho N c X Nếu M/N = X/N + L/N, M = X + L Vậy M = X + K + N = X + K Do đó, M = X + Y Vì M/N = X/N + Y/N Mặt khác, M/N = X/N + Y/N, M = X+Y Vì M = X + K Vậy M/N = [(X+L)/N] + [(K+N)/N M/N (X + L)/N (K + N)/N Theo " / T = -—— + - Điều dẫn đến M/N = L/N L/N L/N X/N + L/N Mệnh đề chứng minh □ Mệnh đề 3.2.14 [17; Mệnh đề 3.7] Cho M môđun H- phụ đối hữu hạn N hạng tử trực tiếp M Giả sử với hạng tử trực tiếp K M với M = N + K, N n K hạng tử trực tiếp M Thế N H- phụ đối hữu hạn Chứng minh Lấy N môđun M cho M = N ® -V Xét A môđun đối hữu hạn N Thì A ® N mơđun đối hữu hạn M Bởi giả thiết có hạng tử trực tiếp D M cho M = Y + D M = Y + A + N với Y < M Vì M = N + A + N, ta có M = N + D Vì D n N hạng tử trực tiếp N Lấy X N môđun < Nếu N = X + A, M = X + A + N' Vậy M = X + D Do N = X + (D n N) Mặt khác, N = X + (D n N), M = X + (D n N) + D = X + D M = N + D Vì M = X + A + N Vì X + A < N, ta có N = X + A Kết là, N Hphụ đối hữu hạn □ Xin nhắc lại, mơđun M gọi có (D ) với hạng tử trực tiếp tùy ý M M cho M = M + M , M 2 n M hạng tử trực tiếp M Môđun M gọi có SIP (Summand Intersection Property) giao hai hạng tử trực tiếp tùy ý M hạng tử trực tiếp M Rõ ràng, M mơđun H- phụ đối hữu hạn có (D ) có SIP hạng tử trực tiếp N M thỏa mãn giả thiết Mệnh đề 3.2.14 đây, đó, N H- phụ đối hữu hạn Nói cách khác, M mơđun H- phụ đối hữu hạn hồn tồn Ta có kết sau: Định lý 3.2.15 [17; Định lý 3.8] Giả sử M môđun H- phụ đối hữu hạn có (D ) có SIP Thế M mơđun H- phụ đối hữu hạn hồn toàn Chứng minh Suy từ Mệnh đề 3.2.14 □ Hồn tồn tương tự mơđun H- phụ Mệnh đề 3.1.5, kết cho điều kiện đủ để môđun thương hạng tử trực tiếp môđun H- phụ đối hữu hạn H- phụ đối hữu hạn Mệnh đề 3.2.16 [17; Mệnh đề 3.10] Cho M môđun N mơđun M cho với phân tích M = M ® M , ta có N = (N n Ml) ® (N n M ) Nếu M H- phụ đối hữu hạn M/N H- phụ đối hữu hạn Thêm nữa, N hạng tử trực tiếp M N H- phụ đối hữu hạn Chứng minh Lấy D D' môđun M cho M = D ® D Bởi giả thiết, ta có N = (DnN) ® (D'nN) Thế (D + N) n (D' + N) = [D ® (D' n N)] n [(D n N) ® D] = (D n N) ® (D' n N) = N Vì vậy, M/N = [(D + N)/N] ® [(D + z N)/N] Mệnh đề 3.2.13 M/N môđun H- phụ đối hữu hạn Bây giả sử N hạng tử trực tiếp M.Lấy D Df môđun M cho M = D ® Df = N + D Vì N = (D n N) ® (Dn N), ta có M = (D n N) + (D'n N)+ D = D ® (D n N) Dẫn đến D' n N = D' Do D' c N Theo N = (D n N) ® D' Kết từ Mệnh đề 3.2.14 □ Nhận xét 3.2.17 Một môđun N M thỏa mãn giả thiết Mệnh đề 3.2.16 N môđun bất biến chiếu (projection invariant), có nghĩa e(N) c N với tự đồng cấu lũy đẳng (e = e) M Kết cho điều kiện đủ để hạng tử trực tiếp môđun Hphụ đối hữu hạn H- phụ đối hữu hạn Kết hoàn toàn tương tự với kết cho Định lý 3.1.9(2) môđun H- phụ Định lý 3.2.18 [17; Định lý 3.12] Giả sử M = M ® M Nếu M H- phụ đối hữu hạn M Mĩ- xạ ảnh M H- phụ đối hữu hạn Chứng minh Lấy D hạng tử trực tiếp M cho M = M1 + D Vì M M1- xạ ảnh nên theo [8; 4.12] ta có M = M1 ® D' với mơđun D' < D Vậy D = (Ml n D) ® D' Vì M n D hạng tử trực tiếp M Dẫn đến M H- phụ đối hữu hạn Mệnh đề 3.2.14 Bổ đề 3.2.19 [17; Bổ đề 4.5] Cho M = M ® □ M tổng trực tiếp hai môđun H- phụ đối hữu hạn M M Giả sử N môđun đối hữu hạn M với M c N Thế tồn hạng tử trực tiếp D M cho M = 2 X + N M = X + M + D với môđun X M Chứng minh Vì M/M H- phụ đối hữu hạn N/M môđun đối 1 hữu hạn M/M1 nên tồn môđun D M chứa M cho D/M 1 hạng tử trực tiếp M/M M/M = X/M1 + N/M1 M/M1 = X/M1 + D/M1 với X M cho M c < 2 n M với M c X Lấy D' môđun D' (D/M1)®(D'/M1) = M/Mi Vì D = M1®(M2nD),tacó D'+(M2nD) = M Nhưng D'n(M nD) Lấy D = M < M nM = Thế D'® (M nD) = M 2 D Hiển nhiên D hạng tử trực tiếp M Bây giả sử X 2 môđun M Nếu M = X + N M = X + M + N Vì M = X + M + D = X + M + D ra, M = X + M + D , M = X + M + D Vậy 1 2 M = X + M + N = X + N Bổ đề chứng minh xong 1 □ Bổ đề 3.2.20 [21, Bổ đề 1.24] Cho K,L N môđun M Giả sử K + L = M (K n L) + N = M Thế K + (L n N) = L + (K n N) = M Chứng minh Đầu tiên ý K + (L n N) = K + (L n K) + (L n N) = K + (L n ((L n K) + N)) = K+(LnM) = K+L= M Lập luận tương tự cho L + (K n N) ta L + (K n N) = M □ Định lý xét tổng trực tiếp hai môđun H- phụ đối hữu hạn Kết hoàn toàn tương tự kết môđun H- phụ Định lý 3.1.9(1) Định lý 3.2.21 [17; Định lý 4.7] Cho M = M ® M Nếu M M - xạ ảnh 2 (hoặc M Mĩ- xạ ảnh căn) M , M H- phụ đối hữu hạn M H- phụ 2 đối hữu hạn Chứng minh Lấy Y mơđun đối hữu hạn M Thế M/Y phụ yếu đối hữu hạn Mệnh đề 2.2.4 Mệnh đề 2.2.9 Do tồn môđun L M cho Y c L, M/Y = (L/Y) + [(Y + M )/Y] [L n (Y + M )/Y] < Mỵ)/L M/L Bởi bổ đề 3.2.19, tồn hạng tử trực tiếp D M cho c M/Y Thế M = L + M Bởi [17, Bổ đề 4.4] (L + 1 X + Y + M = M X + D1 + M = M với X < M Cũng theo Bổ 2 đề 3.2.19 tồn hạng tử trực tiếp D M cho X + L + M = M 2 X + M + D = M với X < M Ta đạt D = D ® ® D = (D1 ® M2) n (Mi D2) Rõ ràng, D hạng tử trực tiếp M Lấy X Thế M = X + D o M = X + [(Di ® M2) n (Mi ® D2)] < M mơđun M = (D1 ® M2) + [X n (M1 ® D2)], M= X + (M ® D ) Bổ đề 3.2.20 M = (Y+M2) + [X n (M1 ® D2)], M = X + (M1 ® D2) M= (M1 ® D2) + [X n (Y + M2)], M= X+Y+M Bổ đề 3.2.20 M= (L+M1) + [X n (Y + M2)], M= X+Y+M2 M= L + [X n(Y + M2)] M= X+Y+M (L + M )/L < M/L M= X+ [ L n(Y + M2)] Bổ đề 3.2.20 M= L+M2 o M = X + Y [L n (Y + M2)]/Y < M/Y Do M H- phụ đối hữu hạn □ Để kết thúc Luận văn, chúng tơi trình bày định lý đạc trưng vành nửa hoàn chỉnh môđun H- phụ đối hữu hạn Định lý phát biểu hoàn toàn tương tự với Định lý 2.9 [6] đạc trưng vành nửa hoàn chỉnh mơđun ®- phụ đối hữu hạn Hơn nữa, phương pháp kỹ thuật chứng minh hai kết tương tự Định lý 3.2.22 ([17]; Định lý 5.1) Đối với vành R phát biểu sau tương đương: (1) Vành R nửa hoàn chỉnh (2) Mọi R-môđun trái tự hữu hạn sinh H-phụ đối hữu hạn (3) RR H-phụ (4) R H-phụ đối hữu hạn R (5) Mọi R-môđun trái tự H-phụ đối hữu hạn Chứng minh Bằng phương pháp ký thuật tương tự phép chứng minh kết [6; Định lý 2.9], đồng thời sử dụng kết áp dụng Mệnh đề 3.2.6, ta có phép chứng minh cho Định lý □ Kết luận Luận văn bao gồm nội dung sau: Trình bày chi tiết số kết môđun phụ đối hữu hạn môđun phụ yếu đối hữu hạn: Định nghĩa; tính chất đạc trưng môđun phụ đối hữu hạn (Định lý 2.1.12) môđun phụ đối hữu hạn đủ (Định lý 2.1.14); tính chất đạc trưng môđun phụ yếu đối hữu hạn (Định lý 2.2.12) môđun phụ yếu đối hữu hạn với nhỏ (Định lý 2.2.16) Trình bày chi tiết số vấn đề môđun H- phụ: Định nghĩa; tính chất đạc trưng (Định lý 3.1.4); Mơđun thương hạng tử trực tiếp môđun H- phụ (Mệnh đề 3.1.5); Tổng trực tiếp hữu hạn môđun H- phụ (Định lý 3.1.9) Trình bày số nội dung môđun H- phụ đối hữu hạn: Định nghĩa; tính chất đạc trưng mơđun H- phụ đối hữu hạn (Định lý 3.2.3); môđun H- phụ đối hữu hạn n- xạ ảnh (Mệnh đề 3.2.6); kết môđun thương hạng tử trực tiếp môđun H- phụ đối hữu hạn (Định lý 3.2.7; Mệnh đề 3.2.13; Mệnh đề 3.2.14; Mệnh đề 3.2.16 Định lý 3.2.18); Kết tổng trực tiếp hai môđun H- phụ đối hữu hạn (Định lý 3.2.11; Định lý 3.2.21).Trong mục luận văn phát biểu chứng minh kết tổng trực tiếp hữu hạn môđun Hphụ đối hữu hạn (hệ 3.2.12) Tài liệu tham khảo [1] R Alizade, G Bilhan and P F Smith, Modules whose maximal submodules have supplements, Comm Algebra 29 (2001), no 6, 23892405 [2] R Alizade and E Buyukasik, Cofinitely weak supplemented modules, Comm Algebra 31 (2003), no 11, 5377-5390 [3] F.W Andreson and K.R Fuller, Rings and categories of modules, Springger Verlag, New York, 1974 [4] G.F Birkenmeier, F Takil Mutlu, C Nebiyev, N Sokmez and A Tercan, Goldie*-supplemented modules, Glasg Math J 52 (2010) 41-52 [5] E Buyukasik and C Lomp, On a recent generalization of semiperfect rings, Bull Aust Math Soc 78 (2008), no 2,317-325 [6] H Calisici and A Pancar, ©-(^finitely supplemented modules, Czechoslovak Math J 54 (2004), no 4, 1083-1088 [7] M.T Kosan and D Kesin, H-supplemented duo modules, Journal of Algebra and Its Applications vol.6, No (2007) 965-971 [8] H Calisici and A Pancar, Cofinitely semiperfect modules, Sib Math J 46 (2005), no 2, 359-363 [9] J Clack, C Lomp, N Vanaja and R Wisbauer, Lifting Modules supplements and Projectivity in Module Theory, Frontier in Mathematics, Birkhauser Verlag, Basel, 2006 [10] P Fleury, Hollow modules and local endomorphism rings, Pacific J Math 53 (1974), no 2, 359-385 [11] J Hausen, Modules with the summand intersection property, Comm Algebra 17 (1989), no 1, 135-148 [12] D Keskin Tutuncu, M.J Nematollahi and Y Talebi, On H- supplemented modules, Agebra Colloq 18 (2011), no Spec 1, 915924 [13] M.T Kosan, H-cofinitely supplemented modules, Vietnam J Math 35 (2007), no 2, 1-8 m14 T Kosan, N Agayev, A Leghwel, and A Harmanci, Duo modules and Duo rings, Far East J Math 20 (2006) 314-346 [14] M.T Kosan and D Kesin, H-supplemented duo modules, Journal of Algebra and Its Applications vol.6, No (2007) 965-971 [15] T Kosan, N Agayev, A Leghwel, and A Harmanci, Duo modules and Duo rings, Far East J Math 20 (2006) 314-346 [16] S.H Mohamed and B.J.Muller, Continuous and discrete modules, London Math Soc Lecture Note Series 147, Cambridge University Press, 1990 [17] Khitam Salameh, On Some Types of Supplemented Modules, Master in Mathematics, Birzeit University, 2013 [18] Y Talebi, R Tribak and A R Moniri Hamzekolaee, On H- Cofinitely supplemented modules, Bulletin of the Iranian Mathematical Society Vol 39 No (2013), pp 325-346 [19] R Tribak, H-supplemented modules with small radical, East-West J Math 11 (2009), no 2, 211-221 [20] R Tribak, On cofinitely lifting and cofinitely weak lifting modules, Comm Algebra 36 (2008), no 12, 4448-4460 [21] G.V Wilson, Modules with the summand intersection property, Comm Algebra 14 (1986), no 1, 21-38 [22] Wisbauer, R (1991), Foundations of Modules and Rings, Gordon and Breach ... Mơđun phụ đối h? ??u h? ??n Chúng giới thiệu định nghĩa số kết môđun phụ đối h? ??u h? ??n môđun phụ yếu đối h? ??u h? ??n Chương 3: Môđun H -phụ đối h? ??u h? ??n ứng dụng Chúngmôđun phụ, tơi trình H- phụbày đối? ?ịnh h? ??u h? ??n. .. mơđun ®- phụ đối h? ??u h? ??n phụ đối h? ??u h? ??n Như ta có quan h? ?? sau lớp mơđun xét luận văn này: H- phụ ®- phụ phụ phụ đối h? ??u h? ??n H- phụ H- phụ đối h? ??u h? ??n ®- phụ đối h? ??u h? ??n phụ đối ... phụ đối h? ??u h? ??n (phụ đối h? ??u h? ??n đủ) Thế môđun thương — môđun phụ đối h? ??u h? ??n (tương ứng, phụ đối h? ??u h? ??n đủ) với môđun N M Chứng minh Giả sử M môđun phụ đối h? ??u h? ??n N môđun M, mơđun đối h? ??u h? ??n