Một số đặc trưng của môđun buchsbaum

Bộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN NGUYỄN THỊ TRI MỘT SỐ ĐẶC TRƯNG CỦA MÔĐUN BUCHSBAUM LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Bình Đinh - 2020 NGUYỄN THỊ TRI MỘT SỐ ĐẶC TRƯNG CỦA MÔĐUN BUCHSBAUM Chuyên ngành: Đại số Lý thuyết số Mã số: 80.46.01.04 Người hướng dẫn TS NGUYỄN THÁI HÒA Muc luc MỞ ĐẦU 1 Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 Địa phương hóa 1.2 Sự phân tích nguyên sơ 1.3 Chiều Krull 1.4 Đối đồng điều địa phương 11 Đặc trưng môđun Buchsbaum 13 2.1 Đạc trưng môđun Buchsbaum qua hệ tham số 13 2.2 Đạc trưng môđun Buchsbaum qua đối đồng điều địa phương 24 2.3 Môđun Buchsbaum phân bậc 42 KẾT LUẬN 50 DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO 51 MỞ ĐẦU Cho (R,m) vành giao hoán Noether địa phương, M R- môđun hữu hạn sinh với dim M = d > q iđêan tham số Khi đó,định lý đa thức Hillbert nói hàm độ dài X , (n) = l (M/q M) đa thức theo n n n M q đủ lớn (n 0) Đạc biệt, bậc đa thức d, cịn tích hệ số n d với d! bội số e(q, M) Hơn nữa, hiệu I (M)=l (M/q M) — e(q,M) n cho ta nhiều thông tin cấu trúc Mơđun M Ví dụ mơđun CohenMacaulay lớp mơđun quan trọng Đại số giao hốn,có thể đạc trưng điều kiện đây: (i) Hm(M) = với i = d (ii) Mọi hệ tham số M dãy quy (iii) I (M) = với iđêan tham số q M q Từ ý tưởng nghiên cứu I (M) hàm theo q dẫn đến việc hình thành q lý thuyết mơđun Buchsbaum sau: Năm 1965, Buchsbaum nêu giả thiết: Với môđun M tùy ý, I (M) q số không phụ thuộc vào cách chọn iđêan tham số q Năm 1973, Vogel Stuckrad xây dựng nhiều phản ví dụ để chứng tỏ giả thiết Buchsbaum không trường hợp tổng quát Tuy nhiên, Vogel lớp môđun thỏa mãn giả thiết Buchsbaum nhiều kết tốt.Vogel gọi môđun thỏa mãn giả thiết Buchsbaum môđun Buchsbaum Chúng chọn đề tài : “Một số đạc trưng môđun Buchsbaum” để tiếp cận sâu Đại số giao hoán Chương 1: Một số kiến thức chuẩn bị Chương trình bày định nghĩa chứng minh lại số tính chất địa phương hóa, phân tích ngun sơ, chiều Krull, đối đồng điều địa phương Chương 2: Đặc trưng môđun Buchsbaum Trong chương trình bày số đạc trưng môđun Buchsbaum, môđun Buchsbaum phân bậc Nội dung gồm: Đạc trưng môđun Buchsbaum qua hệ tham số, đạc trưng môđun Buchsbaum qua đối đồng điều địa phương, mơđun Buchsbaum phân bậc Luận văn hồn thành nhờ hướng dẫn giúp đỡ tận tình thầy hướng dẫn TS Nguyễn Thái Hòa, Trường Đại học Quy Nhơn Tơi xin bày tỏ kính trọng lịng biết ơn sâu sắc đến Thầy giúp đỡ suốt trình học tập thực luận văn Tôi xin gửi lời cảm ơn đến quý Ban lãnh đạo Trường Đại học Quy Nhơn, Phòng Đào tạo Sau Đại học, Khoa Tốn q thầy giáo giảng dạy lớp cao học Đại số Lý thuyết số khóa 19 giảng dạy tạo điều kiện thuận lợi cho tơi q trình học tập thực đề tài Tôi xin bày tỏ lịng biết ơn đến người thân, bạn bè ln giúp đỡ động viên để tơi hồn thành khóa học luận văn Mạc dù luận văn thực với nỗ lực cố gắng thân, điều kiện thời gian có hạn, trình độ kiến thức kinh nghiệm nghiên cứu cịn hạn chế nên luận văn khó tránh khỏi thiếu sót Tơi mong nhận góp ý q thầy giáo để luận văn hồn thiện Quy Nhơn, tháng năm 2020 Học viên Nguyễn Thị Tri Chương Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 Địa phương hóa Nội dung tiết trình bày theo [1] Cho R vành giao hoán có đơn vị Tập S c R gọi tập nhân đóng E S với x, y E S xy E S Xét tập S X R = {(s,r) | s E S r E R} định nghĩa S X R quan hệ hai ngôi: V(s, r), (t, k) E S X R, (s, r) ~ (t, k) o 3u E S : u(st — kr) = Khi đó, quan hệ ~ quan hệ tương đương Với (s, r) E S X R, ta kí hiệu lớp tương đương (s,r) r tập thương (S X R)/^, S R s hay RS —1 Ta định nghĩa hai phép toán cộng nhân sau: r k Với - —E R , s 1 Chúng ta t s r s k tr + sk rk rk t st st st - + - = — -= kiểm tra(R ,+ ,.) vành S — giaohốn có đơn vị Định nghĩa 1.1.1 Vành R gọi vành thương vành R tương ứng S với tập nhân đóng S Chúng ta kiểm tra MS R -môđun S Định nghĩa 1.1.3 Môđun MS vành R gọi mơđun địa phương hóa S M tương ứng với tập nhân đóng S Chú ý rằng, với p G Spec(R), S = R \ p tập nhân đóng Khi đó, ta kí hiệu MS = Mp 1.2 Sự phân tích nguyên sơ Nội dung tiết trình bày theo [5] Cho R vành Noether giao hoán M R-môđun Định nghĩa 1.2.1 Một iđêan nguyên tố p R gọi iđêan nguyên tố liên kết M tồn phần tử x G M cho Ann(x) = p Tập tất iđêan nguyên tố liên kết M kí hiệu Ass (M) hay R Ass(M) Mệnh đề 1.2.2 Các khẳng định sau (i) p G Ass(M) tồn môđun N M cho R/p = N (ii) Nếu p phần tử cực đại tập iđêan {Ann(x) | x G M x = 0} p E Ass(M) Hệ 1.2.3 Ass(M) = 0O M = Bổ đề 1.2.4 Cho S tập nhân đóng R Đặt R = S-rR, M' = S M Khi -1 ASSR(Mf) = Ass (M) n{p G Spec(R) | p n S = 0} R Định lý 1.2.5 Cho R vành Noether giao hốn M R-mơđun Khi Ass(M) C Supp(M) phần tử cực tiểu Supp(M) thuộc Ass(M) Mệnh đề 1.2.6 Cho R vành Noether M R-môđun hữu hạn sinh Khi Ass(M) tập hữu hạn Định nghĩa 1.2.7 Một R-môđun gọi đối nguyên sơ có iđêan nguyên tố liên kết Một môđun N M gọi môđun nguyên sơ M M/N đối nguyên sơ Nếu Ass(M/N) = {p}, ta nói N p-nguyên sơ hay N liên kết với p Cho N mơđun M Một phân tích ngun sơ N biểu diễn dạng N = Q n Q n n Q với Q nguyên sơ M Hơn nữa, r i phân tích nguyên sơ gọi rút gọn bỏ Q i iđêan nguyên tố liên kết M/Qị phần tử khác với < i < r Hiển nhiên, phân tích ngun sơ N đưa phân tích nguyên sơ rút gọn Bổ đề 1.2.8 Nếu N = Q n n Q phân tích nguyên sơ rút gọn Q r i liên kết với p , ta có i Ass(M/N) = {p1, , pr} Định lý 1.2.9 Cho R vành Noether M R-mơđun Khi = Q(p), Q(p) mơđun p-ngun sơ peAss(M) 1.3 Chiều Krull Nội dung tiết trình bày theo [5] Cho R vành giao hoán có đơn vị = Một dãy hữu hạn gồm n + iđêan nguyên tố p D p D D p gọi dây chuyền nguyên tố độ dài n n 33 Chứng minh Chúng ta có dãy khớp (nhắc lại: a = a n a ) O Rd/a (Rd/a1) © (Rd/a ) Rd/(a1 + a ) O, 2 f(a mod a)=(a mod a , a mod a ),a G R , g((a mod a , a mod a ))=(a — a ) mod (a + a ),a ,a G R 1 2 d 2 d Nhưng Rd/ai, i = 1, vành Cohen-Macaulay (và mơđun CohenMacaulay Rd) Rd/(a1 + a2) —= Rd—1/b Do Hm (Rd/a1 © Rd/a2) =— Hm (Rd/a1) © Hm (Rd/a2) = O i i d i d d với i < d — Hm (Rd/(a1 + a2)) —= Hm (Rd—1/b) i i d d-1 với i Do chuỗi đối đồng điều khớp với i < d — đẳng cấu Hm (Rd/(a) = H— (Rd—1/b) , -1 Bằng lập luận quy nạp theo d, chứng minh bổ đề hồn thành □ Để có đạc trưng cần đủ môđun Buchsbaum, người ta phải tìm tiêu chuẩn “tốt hơn” Chúng ta chứng minh điều thay hàm tử “Ext” “môđun đối đồng điều” phức Koszul theo nghĩa giới thiệu [6] Định lý 2.2.12 Gọi M R-môđun Noether có chiều dương d Các phát biểu sau tương đương: (i) M môđun Buchsbaum (ii) Các ánh xạ tắc ĂM, : H (m,M) i toàn ánh với i < d Hm(M) 34 (iii) Cho x , ,x M-cơ sở M iđêan cực đại m R Với hệ i i , ,i số nguyên thỏa < i < • • • < i < t, dãy xi, x'id M1 d d dãy yếu với r , ,r G {1,2} d Hệ 2.2.13 Cho R vành địa phương quy M Rmơđun Noether chiều dương Khi M mơđun Buchsbaum ánh xạ tắc À : ExtR(k,M) Hm (M) toàn ánh với i < dim M Nhận xét 2.2.14 Tìm hiểu ban đầu mơđun Buchs- baum thể cần thiết để nghiên cứu tất hệ tham số (xem ví dụ, Mệnh đề 2.1.10 Định lý 2.1.11) Sử dụng đặc tính đối đồng điều mơđun Buchsbaum rút gọn xem xét đến tập hữu hạn hệ tham số, xem Định lý 2.2.12 Trong tình đặc biệt, Mệnh đề 2.2.9 cho phép làm việc với hệ tham số Vì vậy, muốn đặt điều sau Vấn đề Có điều kiện cho môđun Buchsbaum sử dụng hệ tham số cố định? Câu hỏi Cho M R-môđun Noether R chiều d > Giả sử có phần tử x , , x m cho d xn , , xn x , ,x s(1) d s(d) M-dãy yếu cho hoán vị s {1, , d} cho tất số nguyên n , ,n > d Khi M có phải mơđun Buchsbaum khơng? 35 Ví dụ sau (chưa công bố) S Goto cho thấy câu hỏi có phản ví dụ Ví dụ Cho R := k[[X , , X , Y , , Y ]], d > 3, vành chuỗi lũy thừa d d d hình thức với biến [X , , X , Y , , Y ] trường tùy ý k d d Đạt a := (Xi, ,Xd)R n (y > ,y< ) • R, í q := (XĨ,X , ,Xd,YỈ,Y2, ,Yd) • R, Fi := Xi + Yi, với i = 1, ,d A := R/ (a n q) + F1 • R) với n > Khi đó, dim R = d — A vành Buchsbaum m • U(O) = R Bây dễ dàng thấy ảnh F , , F A tạo d thành hệ tham số cho A có tính chất mong muốn Chú ý ảnh F , ,F phần A- sở iđêan d cực đại m A chúng tạo thành phần sở cực tiểu m Một ứng dụng quan trọng Định lý 2.2.12 lời giải cho tốn nâng mơđun Buchsbaum, nghĩa khả nâng tính chất Buchsbaum ước khác không M Hochster hỏi câu hỏi liên quan sau đây: Cho R = R/a vành địa phương R quy a một iđêan R Giả sử rằng: (i) Ap vành Cohen-Macaulay với p G SpecA \ {m} (ii) tồn ước khác không x A cho A/x • A vành Buchsbaum A có vành Buchsbaum? 36 Ví dụ sau cho thấy câu trả lời cho câu hỏi phủ định Ví dụ 2.2.15 Lấy A := k[[Xi,X2,X3,X4]]/(X ,X2) n (XsX) k trường tùy ý X , , X biến Khi đó, có điều sau đây: (i) Ap vành Cohen-Macaulay với p G Spec A \ {m} (ii) A/(X + X ) • A vành Buchsbaum (iii) A vành Buchsbaum (iv) m • O Khi điều kiện sau tương đương: (i) M mơđun Buchsbaum (ii) Có ước khác không x G m M cho M/x • M môđun Buchsbaum (ii') M/x • M môđun Buchsbaum cho ước khác không x E m M (iii) Có ước khác không x G m M cho: a) M/x • M môđun Buchsbaum b) x • Hm(M) = O với i < dim M (iii') Đối với tất ước khác không x G m M a) b) (iii) (iv) Có ước khác không x G m M cho: c) M/x • M mơđun Buchsbaum d) x • H (M/x • M) = O với i < dim M — m 37 (iv') Đối với tất ước khác không x G m M, điều kiện c) d) (iv) Mệnh đề 2.2.17 Giả sử P G VnFU độ dài (fl , f )• R > Nếu P r điểm Buchsbaum V/k P điểm Buchsbaum V n F /k(u) u Điều ngược lại grade(f , , f ) • R > (f1, , f ) • R C p • r r R Kết chứng minh N V Trung (xem [2], Định lý 4) Nó cung cấp thơng tin thuộc tính nâng trường hợp depth M = O Mệnh đề 2.2.18 Cho M R-môđun Noether chiều dương d depth M = O Khi M mơđun Buchsbaum điều kiện sau thỏa: (i) m • Hm(M) = O (ii) M/H (M) môđun Buchsbaum m (iii) Có M-cơ sở x , ,x m cho t Hm(M) n (Xi Xx ) • M = Ovới < ii < • • • < id < t id Chứng minh Cho M môđun Buchsbaum Khi đó, (i) suy từ Hệ 2.2.5, (ii) suy từ Hệ 2.1.9 (iii) suy từ chứng minh Định lý 2.2.12(iii) (ii) Ngược lại, chứng minh Định lý 2.2.12(iii)^(ii) cho thấy ánh xạ tắc AM : H (m, M) Hm(M) toàn ánh với i < dim M, nghĩa M môđun Buchsbaum theo Định lý 2.2.12 □ 38 Hệ 2.2.19 Cho M R-môđun Noether với d := dim M > depth M > O Giả sử thêm R ảnh toàn cấu vành Gorenstein hay Hm (M) mơđun Noether Khi đó, M mơđun Buchsbaum M/xM : (m) môđun Buchsbaum với x G m với dim M/xM = d — Mệnh đề 2.2.20 Cho R vành địa phương với d := dim R > iđêan a, b R với a n b = 0, dim R/a + b < d Giả sử R/a R/b vành Cohen-Macaulay có chiều d Khi đó, R vành Buchsbaum a + b = m B := R/(a + b) vành Buchsbaum kích thước d — Bổ đề 2.2.21 Cho M R-mơđun Noether có chiều dương Khi M môđun Buchsbaum R M* mơđun Buchsbaum R Ngồi ra, I(M*) = I(M) Chứng minh Chúng ta có AM = AM id 0AA* hàm tử khớp, * R R* AM toàn ánh AM toàn ánh Điều chứng minh phát * biểu Tiếp theo, cho M (và đó, M*) môđun Buchsbaum Cho q iđêan tham số M Khi q* iđêan tham số M * I(M*) = l(M*/q*^ M*) — eo(q*,M*) = l((M/q • M)*) — eo(q*,M*) = l(M/q • M) — eo(q,M) = I(M) Bổ đề 2.2.22 Cho R vành phân bậc giả thiết p c R p Khi iđêan nguyên tố với [R] l>R I-'J />* =R p (p) 39 có R-môđun M phân bậc: Mp = M(p) Hệ 2.2.23 Cho R vành Noether phân bậc cho M Rmơđun Noether phân bậc Khi đó, với iđêan nguyên tố p c R với [R] C p : Mp môđun Buchsbaum M(p) môđun Buchsbaum Trong trường hợp này, I(Mp) = I(M(p)) 2.3 Môđun Buchsbaum phân bậc Trong mục ta ln kí hiệu R k-đại số phân bậc với iđêan cực đại (thuần nhất) m = ® >i[R] n n Định nghĩa 2.3.1 Cho M R-mơđun Noether phân bậc có chiều dương Khi M gọi mơđun Buchsbaum phân bậc M môđun m Buchsbaum (trên R ) M gọi môđun h-Buchsbaum hệ m tham số ứng với M M-dãy yếu Rõ ràng M mơđun h-Buchsbaum mơđun Buchsbaum Mục tiêu phần nghiên cứu điều ngược lại phát biểu Chúng ta chứng minh điều k trường vô hạn Nghĩa là, mạt hình học, tính Buchsbaum vành địa phương nón affine đỉnh đa tạp xạ ảnh xác định hệ tham số Trong [6], M-cơ sở bao gồm phần tử iđêan a với dim M/a • M định nghĩa Vì vậy, chúng tơi bỏ qua định nghĩa bổ sung Nhưng ngược lại với trường hợp địa phương, sở khơng tồn Chúng ta đưa hai ví dụ: 40 (a) Trong sở a xuất phần tử có bậc khác nhau: Chúng ta chọn R = k[X, Y], a = (X, Y ) • R, M = R/X • R (X, Y biến) (b) Trong trường k hữu hạn: Chúng ta chọn a = m M := R/p • R, p tích tất phần tử bậc R Nếu loại trừ hai trường hợp này, chứng minh tồn M-cơ sở Các chứng minh giống trường hợp địa phương (Mệnh đề 2.1.8) Ngoài cần điều sau Bổ đề 2.3.2 Giả sử trường sở k vô hạn Nếu yỵ, ,y phần t tử [R]i, l > 0, có iđêan b , , b R với (y , 1 s ,y )R b với i = 1, ,s tồn phần tử a , ,a k thỏa t i i• a t yi + • • • + at • yt ị bi u • • • u bs Chứng minh Cho V C [R] không gian véctơ sinh y-s Ta đạt V := V n t b , i = 1, , s Vì (y , ,y ) • R b với i nên V i t i không gian thực V với i Vì k vơ hạn nên ta suy V n (b u • • • u b ) = V u • • • u V g V Do có V ị bi u • • • u s s b □ s Mệnh đề 2.3.3 Giả sử trường sở k vô hạn Cho a c R iđêan có sở bao gồm phần tử bậc r M , , M R1 n môđun Noether phân bậc với dim M /aM = với i = 1, , n Khi tồn R i i phần tử a , , a G a tạo thành M-cơ sở a với = 1, ,n t 41 Chứng minh Chúng ta sử dụng chứng minh Mệnh đề 2.1.8 với ý rằng, xây dựng a , cần chọn phần tử bậc r không chứa m (a , , a )R u up p (áp dụng Bổ đề 2.3.2) Ta có điều phải chứng minh m-1 eL □ Mệnh đề 2.3.4 Cho M R-môđun Noether phân bậc với d := dim M > Khi điều kiện sau tương đương: (i) Có hệ tham số M m mà M-dãy yếu (ii) Mỗi hệ tham số M m M-dãy yếu (iii) m • Hm = O với i = d Chứng minh (ii)^ (i) hiển nhiên (i)^ (iii) chứng minh chứng minh Mệnh đề 2.2.1 Chúng ta phải ý đến thay đổi bậc Cuối cùng, (iii)^(ii) suy cách địa phương hóa m áp dụng Mệnh đề 2.2.1 □ Định lý 2.3.5 Cho M R-môđun Noether phân bậc với dim M > Nếu ánh xạ tự nhiên (k = R/m) Vu : EX_tR(k,M) Hm(M) toàn ánh với i < dim M M mơđun Buchsbaum Hệ 2.3.6 Cho môđun M Định lý 2.3.5 Giả sử thêm r := depth M < dim M =: d H (M) = O với i = r,d Khi điều kiện m sau tương đương: (i) M môđun Buchsbaum (ii) M mơđun h-Buchsbaum 42 (iii) m • Hm(M) = O Chứng minh (i)^ (ii) hiển nhiên, (ii)^(iii) suy từ Mệnh đề 2.3.4 (iii)^ (i) chứng minh địa phương hóa m áp dụng Mệnh đề 2.2.9 □ Bây chúng tơi chứng minh kết phần này: Định lý 2.3.7 Giả sử k trường vô hạn Nếu M R-môđun Noether phân bậc với d := dim M > O.Khi điều kiện sau tương đương: (i) M môđun Buchsbaum (ii) M môđun h-Buchsbaum (iii) Lấy M-cơ sở x , , x m Khi đó, với hệ i , ,i t d số nguyên với < i < • • • < id < t, dãy x^ , ,xrid M-dãy 1 yếu với r , ,r G {1,2} d (iv) Ánh xạ tự nhiên x\t : H (m,M) Hm(M) i toàn ánh với i < d Nếu R k-đại số tự (i)-(iv) tương đương với phát biểu sau: (v) Ánh xạ tự nhiên vMt : M(k, M) Hm(M) toàn ánh với i < d Bổ đề 2.3.8 Cho R := k[X , ,X ] (X , , X biến) cho H R1 n n 43 mơđun phân bậc với m • H = O Khi ExtR(k, H) = Hom (R ' (—i)H^ = H (i) với i > R ) ( ) ” Chứng minh Phức Koszul phân bậc K(X , , X ; R): O R (-n) n > R (-2) R (-1) R O ( n) ( n) ( n) cho ta phép giải tự k = R/m Áp dụng Hom ( , H) ta có, với i R > (m • Hom ( , H) = O): R ExtR(k, H) Hom (R( R ' i HỈ = Hom (R( ,H(iỷf R n) H (i) ( n) □ Bây giờ, với R-môđun phân bậc M, ta định nghĩa tập hợp số nguyên g(M):= {í e Z|[M]i = O} 44 Mệnh đề 2.3.9 Cho M R-môđun Noether phân bậc với d := dim M > m • H (M) = O với i < d Nếu với cặp số nguyên i,j với < i m < j < d p ị g(H (M)), q e g(Hm(M)), m (i + p) - (j + q) = M môđun Buchsbaum Chứng minh Giả sử R = k[X , ,X ], X , ,X biến Nếu = i < j < d 1 n n với q ị g(H (M)), theo Bổ đề 2.3.8): m ExtR— (k,Hm(M)) n j-i+1 & i+1 ) q+j-i+1 q = O Điều suy từ giả thiết q + j — i + ị g(H (M)) m Cho O I phép giải xạ ảnh phân bậc cực tiểu M đạt Ji := Hm(I ) Ta nghiên cứu phức tương ứng i O J0 d J1 Đạt B := Im d , Z := Ker d Khi có dãy khớp i i O j B j—1 i Z Hm(M) j O(với j > 0) đẳng cấu Hom (k, Z ) = ExtR(k, M)(vì phép giải xạ ảnh tối tiểu) j R Ánh xạ Z j //RO/) cảm sinh đồng cấu n : j j ExtR(k, M) HomR(k, Z ) — H-(k, Hm(M)) * H m(M) j j Hợp thành ánh xạ ánh xạ tự nhiên rR/ 45 Bằng lập luận quy nạp theo j, ta chứng minh n tồn ánh Vì m • H^M) = O nên n đẳng cấu Cho < j < d Khi với q G g(Hm(M)), tồn dãy khớp j O [Hom (k, fl B [ExtR(k,B j-1 [HomR(k,Z )]q [Hom (k,Hm(M))]q j fl )] q Với i < j, theo giả thiết quy nạp , với l > 0, tồn dãy khớp O ExtR(k,B ) ExtR(k,z ) i-1 ExtR(k,Hm(M)) i O Vì ExtR(k, BB ) = ExtR~ (fc, Z ) với l > 0, i > nên ta có Hơn nữa, với r ị g(H m(M)) ta có [HomR(k, Hm(M))] = [Hm(M)] = O [Extk(k, B 1t q = [ExtR(k,Z a q = [ExtR(k, B 2)] [n ] toàn ánh với i G Z Vậy n tồn ánh M mơđun [ ExtR(k, Z )] q = = [ExtR (k,B Buchsbaum theo Định lý 2.3.5 1 i1 j r j- j r j-1 i r\j r\j j- j-2 B+ m(M)) = O Bây cho R k-đại số phân bậc, đồng thời ảnh toàn cấu S := k[X1 q , ,Xn] Cho n := (X1, ,Xn) • S Khi Hm(M) đẳng cấu với H n(M) S-môđun Vậy M môđun Buchsbaum S R theo Bổ đề 2.1.5 □ Chúng ta lưu ý tiêu chuẩn không cần thiết Để chứng minh điều này, ví dụ sử dụng tích Segre mơđun phân bậc (xem [6], Ví dụ V.5.5) Hệ 2.3.10 Cho V C P W C P đa tạp xạ ảnh chiều dương Phép n m nhúng Segre S(V X W) đa tạp Cohen-Macaulay địa phương V W đa tạp Cohen-Macaulay địa phương KÊT LUẬN Trong luận văn này, thực số cơng việc sau: (a) Trình bày số kiến thức chuẩn bị nhằm bổ trợ cho việc trình bày nội dung chương 2: Địa phương hóa, phân tích ngun sơ, chiều Krull, mơđun phân bậc, đối đồng điều dịa phương (b) Trình bày định nghĩa mơđun Buchsbaum, đạc trưng môđun Buchsbaum qua hệ tham số, số ví dụ mơđun Buchsbaum qua hệ tham số đối, đồng điều địa phương, môđun phân bậc 46 DANH MỤC TÀI LIẸU THAM KHẢO [1] Atiyal, M.F and I.G Macdonald (1969), Introducation to Commutative Algebra, Reading, Mass [2] Auslander, M and D.A Buchsbaum (1958) Codimension and Multiphicity Ann: Math, 68, 625-657 [3] Brodman, M.P and R.Y Sharp (1998), Local Cohomology and Algebraic introducation with Geometric Applications, Cambridge University Press [4] Goto, S.(1983) On the associated graded Rings of the parameter in ideal in Buchsbaum Rings, J.Algebra 85 490-534 [5] Matsamura, H (1986), H (1986) The Theory Commutative Rings, Cambridge University Press [6] Stiickrad, J and W Vogel (1986), Buchsbaum Rings and Applications, Springer-Verlag, Berlin-Heidelberg- New York ... trình bày số đạc trưng môđun Buchsbaum, môđun Buchsbaum phân bậc Nội dung gồm: Đạc trưng môđun Buchsbaum qua hệ tham số, đạc trưng môđun Buchsbaum qua đối đồng điều địa phương, môđun Buchsbaum. .. phương 11 Đặc trưng môđun Buchsbaum 13 2.1 Đạc trưng môđun Buchsbaum qua hệ tham số 13 2.2 Đạc trưng môđun Buchsbaum qua đối đồng điều địa phương 24 2.3 Môđun Buchsbaum phân... triệt tiêu môđun đối đồng điều địa phương (xem [4]) Chương Đặc trưng môđun Buchsbaum 2.1 Đặc trưng môđun Buchsbaum qua tham số Trong chương 2, chúng tơi trình bày mốt số đạc trưng mơđun Buchsbaum,