Luận văn môđun đều và chiều đều của môđun

LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan luận văn khơng trùng lặp với khóa luận, luận văn, luận án cơng trình nghiên cứu cơng bố Người cam đoan Mai Thị Hiền i LỜI CẢM ƠN Luận văn hoàn thành hướng dẫn PGS TS Ngơ Sỹ Tùng Trong q trình làm luận văn, Thầy người hướng dẫn mặt khoa học mà Thầy cịn ln động viên, khích lệ tác giả khắc phục khó khăn để hồn thành luận văn Tác giả xin cảm ơn bày tỏ kính trọng, lịng biết ơn sâu sắc đến Thầy Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn đến Thầy cô giảng dạy lớp K11 cao học Đại số Lý thuyết số Trường Đại học Hồng Đức Tại tác giả nhận nhiều dẫn, góp ý q báu mơi trường thuận lợi để tác giả hoàn thành luận văn Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, Phòng Quản lý đào tạo Sau đại học, Ban chủ nhiệm khoa Khoa học Tự nhiên, Bộ môn Đại số khoa Khoa học Tự nhiên - Trường ĐH Hồng Đức tạo điều kiện tốt để tác giả hoàn thành thời hạn luận văn Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu trường THPT Ba Đình, Nga Sơn đồng nghiệp trường tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả suốt trình học tập hoàn thành luận văn Xin cảm ơn bạn bè người thân ln động viên giúp đỡ Thanh Hóa, tháng 10 năm 2020 Tác giả Mai Thị Hiền ii Mục lục Bảng kí hiệu iv MỞ ĐẦU Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Môđun cốt yếu .3 1.2 Phạm trù σ [M] 1.3 Bao đóng nội xạ bao đóng M- nội xạ Chương MÔĐUN ĐỀU VÀ CHIỀU ĐỀU CỦA MÔĐUN 10 2.1 Khái niệm tính chất mơđun 10 2.2 Chiều môđun 14 2.3 Chiều hữu hạn môđun số ứng dụng 21 KẾT LUẬN 26 Tài liệu tham khảo 27 iii Bảng kí hiệu Trong toàn luận văn trừ trường hợp đặc biệt nêu rõ mục, lại sử dụng ký hiệu sau • N: Tập hợp số tự nhiên • Q: Tập hợp số hữu tỉ • Z : Tập hợp số nguyên • A ⊂ M: A môđun môđun M • A ⊂∗ M: A mơđun cốt yếu mơđun M • A ⊂⊕ M: A hạng tử trực tiếp mơđun M • A∼ = B: Môđun A đẳng cấu với môđun B • ⊕ Mi : Tổng trực tiếp môđun Mi với tập số I i∈I • ∏ Mi : Tích Đềcác mơđun Mi với tập số I i∈I • : Kết thúc chứng minh iv MỞ ĐẦU Tính cấp thiết đề tài Việc nghiên cứu lý thuyết môđun phát triển mạnh mẽ có nhiều ứng dụng quan trọng nghiên cứu lý thuyết vành Một hướng để nghiên cứu lý thuyết vành đặc trưng vành qua tính chất lớp mơđun xác định chúng Năm 1959 1960, A W Goldie giới thiệu khái niệm môđun chiều mơđun (xem [6] [7]) Từ đến nhiều người quan tâm dùng đến môđun chiều môđun Môđun chiều môđun dùng nhiều vào đặc trưng lớp môđun vành Chúng xem việc nghiên cứu tìm hiểu mơđun chiều mơđun cơng việc thích thú để học tập thêm đại số nói chung lý thuyết mơđun vành nói riêng Dựa vào tài liệu "Extending Modules" N V Dung, D V Huynh, P F Smith R Wisbauer 1994 (xem [5]), tài liệu ([10]) nghiên cứu, tìm hiểu để hệ thống trình bày số vấn đề lớp môđun đều, chiều mơđun số tính chất liên quan số ứng dụng chúng Vì chúng tơi chọn đề tài luận văn là: "Môđun chiều mơđun" Mục đích đề tài Mục đích nghiên cứu đề tài nghiên cứu tìm hiểu khái niệm môđun đều, chiều môđun số tính chất liên quan Chứng minh chi tiết số kết có mơđun đều, chiều Phương pháp nghiên cứu Để hoàn thành luận văn sử dụng phương pháp tìm hiểu lý thuyết: đọc, dịch nghiên cứu tài liệu; phân tích, suy luận logic tổng hợp tài liệu có liên quan đến đề tài; sử dụng kĩ thuật chứng minh đặc thù đại số để chứng minh kết đề tài Nội dung nghiên cứu Ngoài phần mở đầu, kết luận tài liệu tham khảo, luận văn chia thành chương: - Chương I Kiến thức chuẩn bị Nội dung chương nhắc lại số khái niệm, tính chất sở lý thuyết môđun như: môđun cốt yếu, phạm trù σ [M], bao đóng nội xạ, bao đóng M- nội xạ số mệnh đề, bổ đề tính chất - Chương II Môđun chiều môđun Chương chúng tơi trình bày cách có hệ thống tính chất đặc trưng mơđun đều, chiều môđun số ứng dụng chiều hữu hạn để đặc trưng số lớp môđun Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trong Luận văn xét vành kết hợp, có đơn vị, mơđun mơđun phải, có đơn vị xét vành R Vì R- mơđun phải M nói gọn mơđun M Các khái niệm, tính chất, kí hiệu Luận văn chủ yếu dựa theo [4], [5] 1.1 Môđun cốt yếu Định nghĩa 1.1.1 (i) Cho M R- môđun phải N môđun M Môđun N gọi môđun cốt yếu M với 6= K ⊂ M K ∩ N 6= Kí hiệu N ⊂∗ M (ii) Nếu N môđun cốt yếu M M mở rộng cốt yếu N (iii) Mơđun N gọi đóng M N khơng có mở rộng cốt yếu thực M Nói cách khác, N gọi đóng M với mơđun K khác khơng M mà N ⊂∗ K K = N (iv) Môđun K M gọi bao đóng mơđun N M K môđun tối đại M cho N cốt yếu K Nhận xét: • Bao đóng mơđun N M ln tồn • Nếu ⊂∗ M M = Mệnh đề 1.1.2 Cho M R- mơđun Khi ta có: (i) A ⊂∗ M với 6= x ∈ M, xR ∩ A 6= 0; (ii) Cho A ⊂ B ⊂ M A ⊂∗ M A ⊂∗ B B ⊂∗ M; n n i=1 n i=1 (iii) Nếu Ai ⊂∗ Bi (∀i = 1, 2, , n), Ai , Bi ⊂ M ∩ Ai ⊂∗ ∩ Bi Đặc biệt, Ai ⊂∗ M với i = 1, , n ∩ Ai ⊂∗ M; i=1 (iv) Cho A ⊂ B ⊂ M Nếu B/A ⊂∗ M/A B ⊂∗ M; (v) Nếu f : M → N đồng cấu môđun A ⊂∗ N f −1 (A) ⊂∗ M; (vi) Cho M = ∑ Mi với Mi môđun M, ∀i ∈ I, A = ⊕ Ai với Ai ⊂∗ i∈I i∈I Mi Khi tồn ⊕ Mi A i∈I ⊂∗ ⊕ Mi i∈I Chứng minh (i) Giả sử A ⊂∗ M Với 6= x ∈ M, ta có xR 6= xR ⊂ M Do xR ∩ A 6= Ngược lại, xR ∩ A 6= với 6= x ∈ M Khi đó, giả sử tồn 6= X ⊂ M mà X ∩ A = Do X 6= nên tồn 6= x ∈ X Ta có = (X ∩ A) ⊃ xR ∩ A 6= (Vô lý) Vậy X ∩ A 6= hay A ⊂∗ M (ii) Giả sử A ⊂∗ M Lấy 6= X ⊂ B Ta có X ⊂ M X ∩ A 6= ( A ⊂∗ M), suy A ⊂∗ B Lấy 6= X ⊂ M Ta có X ∩ A 6= X ∩ A ⊂ X ∩ B nên X ∩ B 6= Do B ⊂∗ M Ngược lại, giả sử A ⊂∗ B B ⊂∗ M Lấy 6= X ⊂ M Do B ⊂∗ M nên X ∩ B 6= Mà (X ∩ B) ⊂ B A ⊂∗ B nên (X ∩ B) ∩ A 6= Suy X ∩ A 6= 0, tức A ⊂∗ M n (iii) Lấy 6= X ⊂ ∩ Bi ⇒ X ⊂ Bi , ∀i = 1, 2, , n Mà Ai ⊂∗ Bi nên X ∩ Ai 6= n i=1 n n Do đó, X ∩ ( ∩ Ai ) 6= Điều có nghĩa ∩ Ai ⊂∗ ∩ Bi i=1 i=1 (iv) Lấy 6= X ⊂ M Giả sử X ∩ B = Do B/A i=1 ∗ ⊂ M/A (X ⊕ A)/A ⊂ M/A nên ((X ⊕ A)/A) ∩ (B/A) 6= Suy tồn x ∈ X, a ∈ A, b ∈ B cho x + a + A = b + A Suy x = b + a0 ∈ X ∩ B (a0 ∈ A) Điều vô lý Vậy X ∩ B 6= 0, tức B ⊂∗ M (v) Lấy 6= X ⊂ M - Nếu f (X) = X ⊂ f −1 (A) Do (X ∩ f −1 (A)) = X 6= - Nếu f (X) 6= Vì A ⊂∗ N nên A ∩ f (X) 6= 0, tức tồn 6= a ∈ A ∩ f (X) Do tồn 6= x ∈ X cho a = f (x) hay x = f −1 (a) Do 6= x ∈ X ∩ f −1 (A) Vậy f −1 (A) ⊂∗ M (vi) Trước hết ta chứng minh cho trường hợp I hữu hạn Dùng quy nạp ta xét với n = Ta có M = M1 + M2 , A = A1 ⊕ A2 , A1 ⊂∗ M1 , A2 ⊂∗ M2 Theo (iii) ta có (A1 ∩ A2 ) ⊂∗ (M1 ∩ M2 ) Mà A1 ∩ A2 = nên ⊂∗ (M1 ∩ M2 ), suy M1 ∩ M2 = Do tồn tổng M1 ⊕ M2 Xét phép chiếu π1 : M1 ⊕ M2 → M1 ; π2 : M1 ⊕ M2 → M2 Do A1 ⊂∗ M1 nên π −1 (A1 ) ⊂∗ (M1 ⊕ M2 ) (Theo (v) ) Mặt khác, từ π1−1 (A1 ) = A1 ⊕ M2 nên (A1 ⊕ M2 ) ⊂∗ (M1 ⊕ M2 ) (1) Do A2 ⊂∗ M2 nên π2−1 (A2 ) ⊂∗ (M1 ∩ M2 ) hay (M1 ⊕ A2 ) ⊂∗ (M1 ∩ M2 ) (2) Lấy giao vế (1) (2) ta có: (A1 ⊕ M2 ) ∩ (M1 ⊕ A2 ) ⊂∗ (M1 ⊕ M2 ) Do (A1 ⊕ A2 ) ⊂∗ (M1 ⊕ M2 ) Bây ta chứng minh trường hợp I vô hạn: Lấy x ∈ ∑ Mi , ta biểu diễn x = ∑ xi với F tập hữu hạn I Theo i∈I i∈F trường hợp tồn ⊕ Mi biểu diễn i∈F Tiếp theo lấy 6= X ⊂ ⊕ Mi , tồn 6= x ∈ X cho: i∈I x ∈ ⊕ Mi , ⊕ Ai ⊂∗ ⊕ Mi i∈F i∈F Ta có xR ∩ ⊕ Ai 6= nên X ∩ ⊕ Ai 6= Suy i∈F i∈F X ∩ ⊕ Ai 6= i∈I Vậy ⊕ Ai ⊂∗ ⊕ Mi i∈I i∈I i∈F Định nghĩa 1.1.3 Cho M R- môđun phải Ta xét điều kiện sau môđun M: (C1 ) : Mọi môđun M cốt yếu hạng tử trực tiếp M Nói cách khác, mơđun đóng M hạng tử trực tiếp M (C2 ): Nếu A B môđun M đẳng cấu với A hạng tử trực tiếp M B hạng tử trực tiếp M (C3 ): Nếu A B hạng tử trực tiếp M A ∩ B = A ⊕ B hạng tử trực tiếp M Một môđun M gọi CS- môđun M thỏa mãn điều kiện (C1 ) Một môđun M gọi liên tục M thỏa mãn điều kiện (C1 ) (C2 ) Một môđun M gọi tựa liên tục M thỏa mãn điều kiện (C1 ) (C3 ) Nhận xét: Ta có sơ đồ sau: Nội xạ ⇒ Tựa nội xạ ⇒ Liên tục ⇒ Tựa liên tục ⇒ CS Môđun U 6= gọi môđun hai môđun khác U có giao khác 0, tức mơđun khác không U cốt yếu U Môđun M gọi (1 − C1 )- môđun môđun M cốt yếu hạng tử trực tiếp M hay mơđun đóng M hạng tử trực tiếp Môđun M gọi U- liên tục M (1 −C1 )- môđun A, B môđun M cho A ∼ = B A ⊂⊕ M B ⊂⊕ M Một mơđun M gọi noether địa phương (locally noetherian) môđun hữu hạn sinh M noether Cho M R- môđun phải m ∈ M Tập hợp rR (m) = {r ∈ R : mr = 0} gọi linh hóa tử phần tử m Kí hiệu r(m) Tập hợp rR (M) = {r ∈ R : mr = 0, ∀m ∈ M} gọi linh hóa tử mơđun M Kí hiệu r(M) Một môđun M gọi trung thành r(M) = Suy tồn U1 ⊕U2 ⊕ K3 ⊕ ⊕ Kn+1 Tiếp tục q trình ta U1 ⊕U2 ⊕U3 ⊕ ⊕Un ⊕ Kn+1 Do U1 ⊕U2 ⊕U3 ⊕ ⊕Un cốt yếu M nên Kn+1 = Ta có điều phải chứng minh n n (ii) Theo (i) ta có k ≤ n n ≤ k vai trò hai tổng trực tiếp ⊕ Ui ⊕ Vi i=1 i=1 2.2 Chiều môđun Định nghĩa 2.2.1 Theo Định lý 2.1.9, với môđun khác không M không chứa tổng trực tiếp vô hạn môđun khác không tồn số nguyên dương n cho M chứa môđun cốt yếu dạng U1 ⊕U2 ⊕ ⊕Un với Ui , i = 1, 2, , n môđun M Hơn n xác định bất biến M Ta gọi số n chiều hay chiều Goldie môđun M Kí hiệu: udim M Khi M = ta quy ước udim M = Mệnh đề 2.2.2 Gọi N môđun R- môđun M (i) Nếu N ⊂∗ M M có chiều hữu hạn N có hữu hạn chiều udim M = udim N Ngược lại, M có chiều hữu hạn udim M = udim N N ⊂∗ M; (ii) Nếu M = M1 ⊕ M2 ⊕ ⊕ Mk udim M = udim M1 + udim M2 + + udim Mk ; (iii) Giả sử N M/N có chiều hữu hạn M có chiều hữu hạn udim M ≤ udim N + udim M/N; (iv) Giả sử M có chiều hữu hạn Khi với đơn cấu f : M → M Im f ⊂∗ M Chứng minh (i) (ii) suy từ Định lý 2.1.9 (iii) Gọi K phần bù N M Khi N ⊕ K ⊂∗ M Lại có K∼ = (N ⊕ K)/N ⊂ M/N 14 Do udim K ≤ udim (M/N) ( theo (i), (ii) ) Ta có: udim M = udim (N ⊕ K) = udim N + udim K ≤ udim N + udim M/N (iv) Do f đơn cấu nên M ∼ = f (M) Suy udim f (M) = udim M Theo (i) ta có Im f ⊂∗ M b điều sau tương Định lý 2.2.3 Với mơđun M có M- bao nội xạ M, đương: b có chiều hữu hạn; (i) M (hoặc M) (ii) M có mơđun (cốt yếu) tổng trực tiếp môđun đều; (iii) Mọi môđun cốt yếu có chiều hữu hạn; b tổng trực tiếp mơđun khơng thể phân tích được; (iv) M b bán hoàn hảo (v) EndR (M) Chứng minh Sự tương đương (i), (ii), (iii) suy từ Mệnh đề 2.2.2 b có chiều hữu hạn Khi M b có mơđun cốt yếu (i) ⇒ (iv) Giả sử M U = U1 ⊕U2 ⊕ ⊕Uk với Ui , i = 1, , n b =U b =U c1 ⊕ ⊕ U ck M bi , U bi nên Ui khơng thể phân tích Vì Ui ⊂∗ U (iv) ⇒ (i) Ta có mơđun M- nội xạ khơng phân tích N ∈ σ [M] môđun Với K môđun khác khơng N N ln chứa b hạng tử trực tiếp N Do N khơng phân tích bao M-nội xạ K : K, b = N Vậy K ⊂∗ N nên K (i) ⇒ (v) Ta có vành tự đơng cấu mơđun tự nội xạ vành b S/Jac(S) quy phần bán hoàn hảo, tức với S = EndR (M) b tử lũy đẳng S(Jac(S)) nâng lên phần tử lũy đẳng M b khơng có phân tích vơ hạn nên khơng có tập hợp vơ hạn Vì M phần tử lũy đẳng trực giao Vì S nửa đơn trái bán hồn hảo b bán hồn hảo, ta có = e1 + e2 + + ek với ei (v) ⇒ (iv) Nếu S = EndR (M) 15 phần tử lũy đẳng địa phương S Khi Mei mơđun M có phân tích b = Me b ⊕ ⊕ Me b k M Gọi M môđun với chiều hữu hạn N môđun M Rõ ràng N có chiều hữu hạn Mệnh đề 2.2.4 (i) Nếu udim M < ∞ udim A < ∞ với A môđun môđun M; (ii) Nếu A, B môđun M tồn A ⊕ B với udim (A ⊕ B) < ∞ udim (A ⊕ B) = udim A + udim B Chứng minh (i) Giả sử A chứa tổng trực tiếp vô hạn môđun khác không Do A ⊂ M nên M chứa tổng trực tiếp vơ hạn mơđun khác khơng Vậy M có chiều vô hạn Mâu thuẫn với giả thiết udim M < ∞ Vậy A không chứa tổng trực tiếp vô hạn môđun khác không hay udim A < ∞ với A môđun M (ii) Do A, B ⊂ (A ⊕ B), theo giả thiết udim (A ⊕ B) < ∞ Theo (i) ta có udim A < ∞, udim B < ∞ n Đặt udim A = n, udim B = m Do A tồn ⊕ Ui ⊂∗ A B tồn i=1 m ⊕ Vi ⊂∗ B với Ui , V j , i = 1, , n; j = 1, , m j=1 Do tồn A ⊕ B nên Ui ∩V j = với i, j Ta có n m i=1 j=1 U = ( ⊕ Ui ) ⊕ ( ⊕ Vi ) Khi U ⊂∗ A ⊕ B Vậy udim (A ⊕ B) = m + n = udim A + udim B Bổ đề 2.2.5 Cho M môđun cho với K ⊂∗ M M/K có chiều hữu hạn Khi A ⊂∗ B B/A có chiều hữu hạn với A ⊂ B ⊂ M Chứng minh Theo Bổ đề Zorn tồn T tối đại M mà T ∩ A = Khi (T ⊕ A) ⊂∗ M 16 Theo giả thiết ta có M/(T ⊕ A) có chiều hữu hạn (1) Do A ⊂∗ B T ∩ A = nên T ∩ B = Do tồn T ⊕ B Ta có B/A ≡ (T ⊕ B)/(T ⊕ A) ⊂ M/(T ⊕ A) Theo Mệnh đề 2.2.4 (1) suy B/A có chiều hữu hạn Nhận xét 2.2.6 M môđun với chiều hữu hạn, N môđun M Hiên nhiên ta có N có chiều hữu hạn Tuy nhiên, trường hợp tổng quát, M/N khơng có chiều hữu hạn Ví dụ: Z- mơđun (Q, +) mơđun Q/Z khơng có chiều hữu hạn (udim Q = udim Z = udim Q/Z = +∞) Mệnh đề 2.2.7 Cho K môđun R- môđun M (i) Giả sử M có chiều hữu hạn Khi K đóng M K M/K có chiều hữu hạn udim M = udim K + udim M/K (ii) Những điều sau tương đương: (a) M có chiều hữu hạn; (b) M có ACC mơđun đóng; (c) M có DCC mơđun đóng Chứng minh (i) Giả sử K đóng M Hiển nhiên K có chiều hữu hạn Gọi K phần bù K M Khi K ⊕ K ⊂∗ M (K ⊕ K )/K ⊂∗ M/K Từ Mệnh đề 2.2.2 ta có: udim M/K = udim (K ⊕ K )/K = udim K Do vậy, M/K có chiều hữu hạn Hơn nữa, udim M = udim (K ⊕ K ) = udim K + udim K = udim K + udim (M/K) Ngược lại, giả sử K M/K có chiều hữu hạn udim M = udim K + udim (M/K) Gọi Q ⊂∗ M cho K ⊂ Q Ta có: udim K + udim M/K = udim M = udim Q ≤ udim K + udim Q/K 17 Suy udim M/K ≤ udim Q/K Theo Mệnh đề 2.2.2, ta có Q/K ⊂∗ M/K Do K đóng M + Chứng minh (ii): (a) ⇒ (b), (c) : Gọi K ⊂ L môđun đóng, phân biệt M Khi K đóng L Theo (i) ta có udim K < udim L (b) ⇒ (a) Giả sử M chứa tổng trực tiếp vô hạn môđun khác không: M = N1 ⊕ N2 ⊕ Gọi H1 phần bù N2 ⊕ N3 ⊕ chứa N1 Rõ ràng (H1 ⊕ N2 ) ∩ (N3 ⊕ N4 ⊕ ) = Tồn phần bù H2 N3 ⊕ N4 ⊕ chứa H1 ⊕ N2 Khi (H2 ⊕ N3 ) ∩ (N4 ⊕ N5 ⊕ ) = Tiếp tục trình ta nhận xích tăng vơ hạn phần bù H1 ⊂ H2 ⊂ Điều vô lý Vậy M có chiều hữu hạn (c) ⇒ (a) Tương tự (b) ⇒ (a) Mệnh đề 2.2.8 Những điều sau tương đương với R- môđun M (i) Mọi ảnh đồng cấu M có chiều hữu hạn; (ii) Mọi ảnh đồng cấu M có socle hữu hạn sinh; (iii) Mọi môđun N M chứa môđun hữu hạn sinh K cho N/K mơđun tối đại Chứng minh (i) ⇒ (iii) Giả sử ảnh đồng cấu M có chiều hữu hạn Gọi N ⊂ M mơđun con, khơng chứa mơđun hữu hạn sinh K mà N/K khơng có mơđun tối đại Gọi P1 môđun tối đại N Với x2 ∈ N/P1 , gọi P2 ⊂ N môđun tối đại chứa x2 Với x3 ∈ N/P2 , gọi P3 ⊂ N môđun tối đại chứa Rx2 + Rx3 Tiếp tục trình ta nhận dãy x1 = 0, x2 , x3 , phần tử N dãy P1 , P2 , môđun tối đại N cho Rx1 + Rx2 + + Rxk ⊂ Pk xk+1 ∈ / Pk , k ≥ 18 Đặt P = ∩ Pi N = N/P Theo quy nạp, với k ≥ i∈N k ∞ i=1 i=k+1 N = ( ∩ Pi ) ⊕ ( ∩ Pi ) Do ∞ ∞ i=2 i=3 ⊂ ( ∩ Pi ) ⊂ ( ∩ Pi ) ⊂ xích tăng ngặt hạng tử trực tiếp N Do N khơng có chiều hữu hạn Điều mâu thuẫn Vậy N/K khơng có mơđun tối đại với K mơđun hữu hạn sinh (iii) ⇒ (ii) Giả sử (iii) Gọi H ⊂ S ⊂ M môđun cho S/H = Soc(M/H) Theo giả thiết, tồn môđun hữu hạn sinh T ⊂ M cho S/T khơng có mơđun tối đại Khi S/(T + H) mơđun nửa đơn khơng có mơđun tối đại Do S = T + H S/H = (T + H)/H ∼ = T /(T ∩ H) hữu hạn sinh (ii) ⇒ (i) Giả sử M = M/K khơng có chiều hữu hạn với mơđun K ⊂ M Gọi N1 ⊕ N2 ⊕ tổng trực tiếp vô hạn môđun khác không M Gọi 6= Li ⊂ Ni môđun xyclic Pi ⊂ Li môđun tối đại với i ≥ Đặt P = ⊕ Pi Khi i≥1 Soc(M/P) ⊃ ⊕ (Li /Pi ) i≥1 Do Soc(M/P) khơng hữu hạn sinh Mơđun mà mơđun khác khơng chứa môđun cực đại gọi môđun Max Hệ 2.2.9 (i) R- môđun M Noether ảnh đồng cấu M môđun Max với chiều hữu hạn (ii) Cho M R- môđun tự di truyền với chiều hữu hạn Khi M mơđun Noether Mệnh đề 2.2.10 Cho M R- mơđun Khi điều sau tương đương: (i) M môđun Noether địa phương; 19 (ii) Mọi mơđun thương, xyclic M có chiều hữu hạn môđun đối sinh hữu hạn σ [M] Noether địa phương Chứng minh (i) ⇒ (ii): Hiển nhiên c (ii) ⇒ (i): Ta cần chứng minh F = ⊕Sc α , với Sα bao M- nội xạ môđun đơn Sα , M- nội xạ Gọi Fb bao M- nội xạ F Ta cần F mở rộng Mb Giả sử tồn f : M → Fb với f (M) * F Theo sinh cốt yếu thực (trong F) b * F giả thiết f (M) chứa môđun (xyclic) K với K * F, K b khơng có socle khác không nên tồn đồng cấu h : Sc b Do K ∩ F 6= 0, K α →K b Khi với vài α ∈ A, mà mở rộng thành tự đồng cấu h : Fb → F b = h(Sc F môđun bất biến đầy đủ Fb K α ) ⊂ F Điều mâu thuẫn Vậy M môđun Noether địa phương Nhắc lại, Soc(M) giao tất môđun cốt yếu M Ta có mệnh đề sau: Mệnh đề 2.2.11 Cho M mơđun cho với K ⊂∗ M M/K có chiều hữu hạn Khi M/Soc(M) có chiều hữu hạn Chứng minh Cho A, B môđun M cho A cốt yếu B Gọi L phần bù A M, ta có B ∩ L = A ⊕ L ⊂∗ M Theo giả thiết M/(A ⊕ L) có chiều hữu hạn Do B/A ∼ = (B ⊕ L)/(A ⊕ L) nên B/A có chiều hữu hạn Gọi H phần bù Soc(M) M Ta có: H ∩ Soc(M) = Suy (H ⊕ Soc(M)) ⊂∗ M Vì theo giả thiết, M/(H ⊕ Soc(M)) có chiều hữu hạn Vì (M/Soc(M)) ∼ = (H ⊕ Soc(M))/Soc(M) nên để chứng minh M/Soc(M) có chiều hữu hạn ta cần chứng minh (H ⊕ Soc(M))/Soc(M) có chiều hữu hạn Lại có (H ⊕ Soc(M))/Soc(M) ∼ = H Do ta phải chứng minh H có chiều hữu hạn Giả sử ngược lại Khi H chứa X = ⊕ Xi , tổng trực tiếp vô hạn môđun i∈I Xi 20 Do H ∩ Soc(M) = X = ⊕ Xi nên Xi ∩ Soc(M) = 0, ∀i ∈ I Giả sử với môđun K i∈I ∗ ⊂ M mà K ∩ Xi = Xi Suy Xi ⊂ Soc(M) (Do Soc(M) giao tất môđun cốt yếu M ) Điều vơ lý Xi ∩ Soc(M) = Vậy tồn K ⊂∗ M cho K ∩ Xi 6= Xi Đặt Yi = K ∩ Xi Ta có Xi 6= Yi Yi ⊂∗ Xi , ∀i ∈ I Do tồn X = ⊕ Xi nên suy tồn Y = ⊕ Yi Lại có Xi 6= Yi i∈I i∈I nên Xi /Yi 6= Khi đó, ta có tổng trực tiếp vô hạn môđun khác không là: (X1 /Y1 ) ⊕ (X2 /Y2 ) ⊕ = ⊕ (Xi /Yi ) ∼ = X/Y (1) i∈I Mặt khác Yi ⊂∗ Xi nên ⊕ Yi ⊂∗ ⊕ Xi Điều có nghĩa Y ⊂∗ X Vậy X/Y có i∈I i∈I chiều hữu hạn (mâu thuẫn với đẳng cấu (1)) Vậy H có chiều hữu hạn Nhận xét 2.2.12 Cho E môđun cốt yếu M, M/E Noether M có điều kiện ACC mơđun cốt yếu Tuy nhiên, M/E Artin với mơđun cốt yếu E M chưa thể suy điều kiện DCC môđun cốt yếu M Mệnh đề 2.2.13 (i) Môđun M thỏa mãn ACC môđun cốt yếu M/SocM môđun Noether (ii) Môđun M thỏa mãn DCC môđun cốt yếu M/SocM môđun Artin Chứng minh (i): Theo nhận xét (ii): Nếu M/SocM môđun Artin hiển nhiên M có DCC mơđun cốt yếu Giả sử M thỏa mãn DCC với môđun cốt yếu Khi đó, SocM giao hữu hạn mơđun cốt yếu cốt yếu M Do M/SocM có DCC với mơđun nó, tức M/SocM mơđun Artin 2.3 Chiều hữu hạn môđun số ứng dụng Mệnh đề 2.3.1 Giả sử M mơđun có chiều hữu hạn Khi điều kiện sau tương đương: 21 (i) M (1 −C1 )- môđun M CS- mơđun; (ii) Nếu M U- liên tục M liên tục Chứng minh Nhận thấy (ii) suy từ (i) nên ta cần chứng minh (i) Giả sử M (1 −C1 )- mơđun có chiều hữu hạn M tổng trưc tiếp hữu hạn môđun đều, nghĩa M = U1 ⊕ U2 ⊕ ⊕ Un , Ui mơđun M với i = 1, , 2, , n Mặt khác, mơđun có chiều hữu hạn hạng tử trực tiếp địa phương hạng tử trực tiếp Do M CS- mơđun Định lý 2.3.2 Một môđun M (1 −C1 )- môđun với chiều hữu hạn : (i) M tổng trực tiếp hữu hạn môđun đều; (ii) Mọi hạng tử trực tiếp M có chiều (1 −C1 )- môđun Chứng minh Giả sử M (1 −C1 )- mơđun có chiều hữu hạn Khi M tổng trực tiếp mơđun Nghĩa M = ⊕ Mi với Mi môđun i∈I M Mặt khác, hạng tử trực tiếp M (1 −C1 )- mơđun Do hạng tử trực tiếp M có chiều (1 −C1 )- mơđun Như ta có (i) (ii) Ngược lại, giả sử M thỏa mãn điều kiện (i) (ii) Nghĩa là, M = U1 ⊕U2 ⊕ ⊕Un với Ui môđun M, ≤ i ≤ n Với V mơđun đóng M V 6= M tồn i ∈ {1, , n} cho V ∩Ui = Khơng tính tổng qt, giả sử i = Đặt U = U2 ⊕ ⊕Un , tồn mơđun K đóng M cho V ⊕U1 ⊂∗ K (K môđun tối đại với tính chất V ⊕U1 ⊂∗ K nên K khơng có mở rộng cốt yếu, nghĩa K đóng ) Ta có K = U1 ⊕ (K ∩ U ) Do K ∩ U đóng K K đóng M nên K ∩U đóng M Do K ∩U đóng U Quy nạp theo chiều ta có K ∩U ⊂⊕ U Khi ((K ∩U ) ⊕U1 ) hạng tử trực tiếp U ⊕U1 , tức K ⊂⊕ M Mặt khác V ⊕U1 ⊂∗ K V, U1 môđun nên K có chiều Như theo (ii) ta có K có chiều nên K (1 −C1 )-mơđun 22 Do mơđun đóng V K hạng tử trực tiếp K Mà K ⊂⊕ M V hạng tử trực tiếp M.Vậy M (1 −C1 )- môđun Hệ 2.3.3 Nếu M (1 −C1 )- mơđun có chiều hữu hạn M tổng trực tiếp hữu hạn mơđun Chứng minh Theo giả thiết M có chiều hữu hạn nên M chứa môđun U1 Gọi X1 bao đóng U1 M Vì U1 nên X1 Mặt khác M (1 −C1 )- môđun nên X1 ⊂⊕ M, tức M = X1 ⊕ M1 , M1 ⊂ M Do vậy, M1 môđun đóng M đồng thời (1 −C1 )- mơđun có chiều hữu hạn Lí luận tương tự M1 ta có M1 = X2 ⊕ M2 ; M2 mơđun đóng, M1 Từ ta có: M = X1 ⊕ X2 ⊕ M2 Tiếp tục trình ta có: M = X1 ⊕ X2 ⊕ , Xi mơđun với i Mặt khác, M có chiều hữu hạn nên trình phải dừng lại sau hữu hạn bước, tức tồn số nguyên n cho M = X1 ⊕ X2 ⊕ ⊕ Xn , với Xi môđun i = 1, 2, , n Do M tổng trực tiếp môđun Mệnh đề 2.3.4 Giả sử M (1 −C1 )- mơđun A mơđun đóng có chiều hữu hạn M Khi A hạng tử trực tiếp M Chứng minh Theo giả thiết M (1 −C1 )-môđun A mơđun đóng M nên A (1 −C1 )- mơđun Mặt khác, A có chiều hữu hạn nên theo Hệ 2.3.3 ta có phân tích mơđun A sau: A = A1 ⊕ A2 ⊕ ⊕ An , 23 Ai môđun A với i = 1, 2, , n Bây ta chứng minh quy nạp theo n: Với n = 1, ta có A = A1 với A1 đều, suy A mơđun đóng M nên A hạng tử trực tiếp M Giả sử với (n − 1) , tức ta có: M = A1 ⊕ A2 ⊕ ⊕ An−1 ⊂⊕ M Do M (1 − C1 )- môđun, M ⊂⊕ M, An môđun M nên A = M ⊕ An hạng tử trực tiếp M Vậy A = A1 ⊕ A2 ⊕ ⊕ An hạng tử trực tiếp M Hệ 2.3.5 Giả sử M (1 −C1 )- mơđun Khi mơđun đóng M có dạng A = A1 ⊕ A2 ⊕ ⊕ An , Ai mơđun M, hạng tử trực tiếp M Ví dụ 2.3.6 Tồn Z- mơđun (1 − C1 )- môđun CS- môđun, Z vành số nguyên Chứng minh Gọi F nhóm Aben tự vơ hạn sinh, có nghĩa F Z- mơđun F = ⊕ Ui , Ui ∼ = Z, ∀i ∈ I ( I tập vơ hạn) i∈I Vì F nhóm Aben có chiều vơ hạn nên F CS- môđun Ta chứng minh F (1 −C1 )- môđun Thật vậy, giả sử U mơđun đóng F Do nhóm nhóm Aben tự nhóm Aben tự nên U nhóm Aben tự Do vậy, U phải tổng trực tiếp số lượng với tất đẳng cấu với Z Từ giả thiết U mơđun đóng nên U khơng phân tích được, U ∼ = Z Từ ta có U Z- mơđun xyclic Khi tồn số tự nhiên n cho: U ⊂ U1 ⊕U2 ⊕ ⊕Un ; với {1, 2, , n} ⊂ I Vì U1 ⊕U2 ⊕ ⊕Un nhóm Aben tự hạng hữu hạn nên: U1 ⊕U2 ⊕ ⊕Un CS- môđun Mặt khác, U môđun đóng U1 ⊕ U2 ⊕ ⊕ Un nên ta có U hạng tử trực tiếp U1 ⊕U2 ⊕ ⊕Un (Theo Mệnh đề 2.3.4) Như ta 24 có U ⊂⊕ F, theo định nghĩa (1 − C1 )- môđun ta có F (1 − C1 )mơđun 25 KẾT LUẬN Dựa vào tài liệu [5], [10], hệ thống tường minh số vấn đề môđun chiều môđun Cụ thể luận văn đề cập đến nội dung sau: Hệ thống khái niệm số tính chất môđun cốt yếu, môđun thỏa mãn điều kiện CS (hay CS- môđun), phạm trù σ [M] Trình bày khái niệm mơđun (uniform) chứng minh chi tiết số tính chất mơđun tồn mơđun đều, tính chất mơđun (Mệnh đề 2.1.3, Mệnh đề 2.1.5 , Bổ đề 2.1.8) Hệ thống chứng minh chi tiết việc xây dựng chiều hữu hạn cách xác định số chiều môđun thông qua số lượng môđun mà tổng trực tiếp chúng cốt yếu số lượng bất biến (Định lý 2.1.9) Trình bày số tính chất mơđun có chiều hữu hạn (Mệnh đề 2.2.2, Định lý 2.2.3, Mệnh đề 2.2.7, Mệnh đề 2.2.8), ứng dụng chiều hữu hạn để đặc trưng số lớp môđun (Mệnh đề 2.3.1, Định lý 2.3.2, Mệnh đề 2.3.4 ) Nội dung Luận văn hướng chúng tơi nghiên cứu tìm hiểu tiếp lớp môđun môđun liên tục, môđun tựa nội xạ 26 Tài liệu tham khảo Tiếng Việt [1] Nguyễn Tiến Quang - Nguyễn Duy Thuận (2001), Cơ sở lý thuyết môđun vành, NXBGD [2] Đinh Đức Tài (2003), Tổng trực tiếp mơđun đều, Luận văn thạc sĩ tốn học, Đại học Vinh [3] Ngô Sỹ Tùng (1995), Một số lớp vành đặc trưng bới điều kiện liên tục lớp CS- mơđun, Luận án phó tiến sĩ khoa học Toán lý, Đại học sư phạm Vinh Tiếng Anh [4] F.W Anderson and Fuller (1974), Rings and Categories of Modules, Springer-Verlag, New York [5] N.V Dung, D.V Huynh, P.F Smith and R Wisbauer (1994), Extending Modules, Pitman-London [6] A.W Goldie (1960), The structure of prime rings under ascending chain condition, Pro London Math Soc.(3) 10, 589-608 [7] A.W Goldie (1960), Semi- prime rings with maximum condition, Pro London Math Soc.(3) 10, 201-220 [8] M Harada and K Oshiro (1981), On extending property on direct sums of uniform modules, Osaka J Math 18, 762-785 27 [9] M.A Kamal and B.J Muller (1988), The structure of extending modules over noetherian rings, Osaka Journal of Mathematics, 25(3), 539-551 [10] N S Tung (1994), Some results on quasi-continuous modules, Acta Math Vietnam Vol 19 No.2, 13-19 28