(Luận văn) môđun không xoắn trên vành giao hoán

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Trần Thị Vân Anh lu an n va p ie gh tn to MÔĐUN KHÔNG XOẮN TRÊN VÀNH GIAO HOÁN d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC z m co l gm @ an Lu n va Thành phố Hồ Chí Minh – 2018 ac th si BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Trần Thị Vân Anh lu an n va p ie gh tn to MÔĐUN KHÔNG XOẮN TRÊN VÀNH GIAO HOÁN nl w d oa Chuyên ngành: Đại số lí thuyết số Mã số: 60 46 01 04 nf va an lu z at nh oi lm ul LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC z NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS Trần Huyên m co l gm @ an Lu n va Thành phố Hồ Chí Minh - 2018 ac th si LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan luận văn tơi thực hướng dẫn TS Trần Huyên Nội dung luận văn có tham khảo sử dụng số kết quả, nội dung từ sách, tạp chí liệt kê danh mục tài liệu tham khảo Tơi xin chịu hồn tồn trách nhiệm luận văn lu an n va p ie gh tn to d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th si Lời cảm ơn Trong suốt trình học tập hồn thành luận văn, tơi nhận giúp đỡ hướng dẫn nhiệt tình thầy cô, đồng nghiệp bạn cao học tốn K26 Đầu tiên, tơi xin gửi lời biết ơn sâu sắc đến TS Trần Huyên, người thầy tâm huyết giảng dạy người tận tình, giúp đỡ, hướng dẫn tơi q trình hồn thành luận văn Với lịng kính trọng biết ơn, tơi xin gởi lời cảm ơn chân thành đến: Các thầy khoa Tốn - Tin Trường Đại học Sư phạm TP.HCM GS.TS Bùi Xuân Hải, GS.TSKH Nguyễn Tự Cường trực tiếp trang bị cho kiến lu thức làm tảng cho trình nghiên cứu hồn thành luận văn an Ban giám hiệu, phịng Đào tạo sau đại học, khoa Tốn - Tin trường Đại học Sư n va phạm TP Hồ Chí Minh tạo điều kiện thuận lợi cho tơi q trình học tập, Các thầy Hội đồng Bảo vệ luận văn thạc sĩ đọc, đóng góp ý kiến, gh tn to hồn thành bảo vệ luận vặn p ie nhận xét đánh giá luận văn w Cuối xin dành lời cảm ơn đến gia đình, bạn bè người oa nl động viên, giúp đỡ q trình hồn thành luận văn d TP Hồ Chí Minh, tháng 03 năm 2018 lu nf va an Trần Thị Vân Anh z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th si MỤC LỤC MỞ ĐẦU .1 CHƯƠNG 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ .2 1.1 Một vài khái niệm kết lý thuyết môđun 1.2 Dãy khớp .5 1.3 Các hàm tử đồng điều CHƯƠNG 2: MƠĐUN KHƠNG XOẮN TRÊN VÀNH GIAO HỐN 19 2.1 Môđun không xoắn miền nguyên 19 lu 2.2 Mơđun khơng xoắn vành giao hốn .25 an n va KẾT LUẬN 40 TÀI LIỆU THAM KHẢO 41 p ie gh tn to d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th si DANH MỤC CÁC KÍ HIỆU : Tập số nguyên : Môđun sinh tập S S Hom  X , Y  : Tập hợp tất đồng cấu môđun từ X vào Y F (S ) : Môđun tự có sở S A B : Tổng trực tiếp hai môđun A B X : Mơđun tích trực tiếp họ môđun  X i  i lu an n va Xi : Môđun tổng trực tiếp họ môđun  X i  X Y : Tích tenxơ R  môđun phải X R  môđun trái Y f g : Tích tenxơ đồng cấu R  môđun f g to : Tích xoắn n  chiều R R  môđun phải A gh tn TorRn  A, B  p ie R  môđun trái B : Tích mở rộng R  chiều R  môđun phải A w Ext Rn  A, B  : Tích xoắn R  chiều R  môđun phải A R  môđun d Tor  A, B  oa nl R  môđun trái B an lu trái B nf va Ext  A, B  : Tích mở rộng R  chiều R  môđun phải A : Kết thúc chứng minh z at nh oi ■ lm ul R  môđun trái B z m co l gm @ an Lu n va ac th si MỞ ĐẦU Khái niệm môđun không xoắn xác định trước hết miền ngun, có vai trị quan trọng lý thuyết mơđun số ngành tốn học khác Việc mở rộng khái niệm lên vành tổng quát miền nguyên điều thực cần thiết Ở đây, dừng lại mức độ xây dựng môđun không xoắn vành giao hoán Với đối tượng phạm vi nghiên cứu môđun không xoắn miền nguyên vành giao hốn Ngồi phần mở đầu kết luận, luận văn trình bày thành hai chương: Chương 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ lu an Trong phần này, giới thiệu kiến thức lý thuyết n va môđun đại số đồng điều cần thiết cho trình bày nội dung triển khai Chương 2: MÔĐUN KHÔNG XOẮN TRÊN VÀNH GIAO HOÁN gh tn to chương p ie Trước hết, giới thiệu môđun không xoắn miền nguyên, trình bày w kết liên quan đến khái niệm mối liên hệ với khái niệm khác lý oa nl thuyết mô đun sau: mơđun con, mơđun thương, tích trực tiếp, tổng trực tiếp, d môđun xạ ảnh, môđun dẹt, an lu Tiếp theo đánh giá đặc trưng môđun không xoắn miền nguyên, u nf va đưa cách thể khác đặc trưng dạng ngơn ngữ tổng quát hơn, để đưa khả mở rộng cho khái niệm vành giao hoán ll oi m z at nh z m co l gm @ an Lu n va ac th si CHƯƠNG 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ §1.1 Một vài khái niệm kết lý thuyết môđun Mục giới thiệu vài khái niệm kết lý thuyết mơđun cần thiết cho trình bày sau 1.1.1 Môđun tự Cho môđun X , tập S  X gọi hệ sinh X S  X Nói cách khác, S hệ sinh X với phần tử x  X lu x  r1s1  r2 s2   rn sn an n va với r1 , r2 , , rn  R s1 ,s2 , ,s n  S , tức x biểu thị dạng tổ hợp tuyến tính tn to S ie gh Tập hợp S  X gọi độc lập tuyến tính phần tử  X có cách biểu p thị dạng tổ hợp tuyến tính S , tổ hợp tuyến tính tầm thường với tất nl w hệ tử Nói cách khác, S độc lập tuyến tính r1s1  r2 s2   rn sn  d oa r1  r2   rn  an lu Khi S  X khơng độc lập tuyến tính, ta nói S phụ thuộc tuyến tính Một hệ sinh S u nf va mơđun X đồng thời hệ độc lập tuyến tính gọi sở môđun X ll Định nghĩa 1.1.1.1 ([1], trang 48) Mơđun X có sở môđun tự m oi Định lý 1.1.1.2 ([1],Định lý , trang 48) Tập S  {si }iI phần tử môđun X z at nh sở X phần tử x  X có cách biểu thị tuyến tính qua S z l r1 , r2 , , rn  R s1 , s2 , , sn  S gm @ Nghĩa với phần tử x  X cách biểu thị x  r1s1  r2 s2   rn sn với m co Định lý 1.1.1.3 ([1], Định lý 2, trang 49) Nếu f : X  Y đẳng cấu môđun X sở Y an Lu mơđun tự Y môđun tự Hơn nữa, S sở X f ( S ) ac th môđun tự n va Định lý 1.1.1.4 ([1],Định lý 3, trang 49) Tổng trực tiếp môđun tự si Định lý 1.1.1.5 ([1],Định lý 4, trang 51) R  môđun X tự X đẳng cấu với tổng trực tiếp họ vành hệ tử R Định lý 1.1.1.6 ([1],Định lý 6, trang 53) Mỗi môđun X đẳng cấu với môđun thương mơđun tự Ta xét mơđun tự F ( X ) sinh tập X Khi ánh xạ đồng 1X : X  X mở rộng tới đồng cấu  : F ( X )  X hiển nhiên  tồn cấu X  F (X) ker  Định lý 1.1.1.7 ([1], Định lý 7, trang 53) Môđun môđun tự vành mơđun tự 1.1.2 Mơđun xạ ảnh lu Định nghĩa 1.1.2.1 ([1], trang 72) Môđun P gọi môđun xạ ảnh với an n va toàn cấu  : B  C , đồng cấu f : P  C , tồn đồng cấu  : P  B , cho to f   gh tn Định lý 1.1.2.2 ([1], Định lý 1, trang 73) Mỗi môđun tự X môđun xạ ảnh ie Định lý 1.1.2.3 ([1],Định lý 2, trang73) Tổng trực tiếp họ môđun P   Pi xạ p iI nl w ảnh môđun thành phần Pi xạ ảnh d oa Định lý 1.1.2.4 ([1], Định lý 4, trang 76) Khi R vành chính, môđun P xạ ảnh va 1.1.3 Môđun nội xạ an lu P môđun tự ll u nf Định nghĩa 1.1.3.1 ([1], trang 77) Môđun J gọi môđun nội xạ với z at nh f  f oi m đơn cấu  : A  B , đồng cấu f : A  J , tồn đồng cấu f : B  J , cho Bởi  đơn cấu nên ta xem A  B , f xem mở rộng z gm @ f B Vì lý có người ta xem môđun nội xạ J môđun cho phép mở rộng đồng cấu f : A  J thành đồng cấu f : B  J , môđun m co l B  A an Lu Định lý 1.1.3.2 ([1], Định lý 5, trang 77) (Tiêu chuẩn Baer) R  môđun J nội xạ với Iđêan trái I R đồng cấu f : I  J , luôn tồn n va phần tử q  J cho với   I , ta có: f ( )   q ac th si Nói cách khác đồng cấu f : I  J mở rộng tới đồng cấu f :R  J Định lý 1.1.3.3 ([1], Định lý 8, trang 81) Tích trực tiếp họ mơđun J   J k kK nội xạ môđun thành phần J k nội xạ 1.1.4 Môđun chia Định nghĩa 1.1.4.1 ([1], trang 58) Cho R miền nguyên X R  môđun Khi X mơđun chia với x  X   R * ln có y  X cho x  y Khi R vành giao hốn có đơn vị tích hai phần tử khác Định lu nghĩa mơđun chia vành giao hốn ta loại tất phần tử ước an sau: n va Cho R vành giao hoán   R Linh hóa tử ký hiệu r    xác định to gh tn r       R :   0 p ie Định nghĩa 1.1.4.2 Môđun A gọi môđun chia với   R thỏa d oa nl w r    a  ta ln có a   A ll u nf va an lu oi m z at nh z m co l gm @ an Lu n va ac th si 27 H  r  x / (  1)(r  x)  ker(i  1) (  1)( H )  K Vì  1 tồn cấu nên áp dụng định lý Noether ta có: K  H ker(  1) suy ker(i  1)  Ta có  Tor R thể xem  R , X  ker  (i  1)(  1)  i  1: X  X x  X /  x  0 r( ) X ker(  1) phép  ker(i  1) nhân r( ) X  với suy Như vậy, để kết thúc chứng minh, ta chứng minh “ X môđun không xoắn x  X /  x  0  r ( ) X Cho X mơđun khơng xoắn,   hiển nhiên  x  X /  x  0  r ( ) X Nếu lu an   với x   x  X /  x  0  x  X môđun không xoắn nên n va x  r ( ) X suy  x  X /  x  0  r ( ) X Bây với x  r ( ) X tồn to gh tn   r ( ) x '  X cho x   x ' ,  x   x '  0x '  , nên x   x  X /  x  0 p ie Vậy  x  X /  x  0  r ( ) X Ngược lại,  x  X /  x  0  r ( ) X w nl  x  X /  x  0  r ( ) X nên x X với x  thỏa d oa x  r ( ) X Vậy X môđun không xoắn.■ an lu Mệnh đề 2.2.4 Môđun X không xoắn dãy khớp u nf va     A   B   X   khiết Chứng minh:  ll  oi m Nếu X môđun khơng xoắn Tor R  R , X  với   R Từ dãy khớp z at nh     A   B   X  0 áp dụng định lý 1.3.4.5 ta có dãy khớp  z 1  R  A   R  B    R , X   R R gm @    Tor R l   đơn cấu Khi áp dụng mệnh đề 1.3.3.14 định nghĩa 1.2.2.2 ta có dãy m co dãy khớp khiết    1  Tor R , X   R  A   R  B   R , B  R R R n va   Tor R an Lu Đảo lại, xét dãy khớp ac th si 28 Theo định lý 1.1.1.6 mơđun X đẳng cấu với mơđun thương mơđun   tự Khi ta chọn B mơđun xạ ảnh, từ Tor R  R , B  , nên ta có dãy khớp   Tor R  1  R  A   R  B   R , X  R R 1 Mặt khác, từ dãy khớp khiết ta có dãy  R  R  A    R  B suy R  Tor R   R , X  Vậy X môđun không xoắn.■    A   B   C  0 Mệnh đề 2.2.5 Với dãy khớp  Nếu A C mơđun khơng xoắn B mơđun khơng xoắn lu Chứng minh: an    A   B   C   áp dụng định lý 1.3.4.5 ta có dãy Với dãy khớp  n va   R , A Tor  R  R , B  Tor  R  R , C   R  R  A  R  R  B  Tor  R , A  Tor  R , C   nên Tor  R , B   Vậy B môđun không R R R 1  Tor R to gh tn Vì p ie xoắn.■  C ta có dãy khớp Như biết ta có tồn cấu  : B  oa nl w i   Ker   B   C   tương tự  : A   B đơn cấu ta ngắn  d  p  A   B   Co ker    (với Co ker   B Im  ) Trong có dãy khớp ngắn  lu va an trường hợp, toàn cấu  (tương ứng: đơn cấu  ) phép chiếu tự nhiên (tương ll u nf ứng: phép nhúng tự nhiên) ta có định nghĩa sau: oi m    A   B   C   Khi đó, Định nghĩa 2.2.6 Cho dãy khớp  z at nh Môđun C gọi mơđun thương mơđun B  tồn cấu chiếu tự nhiên A  Ker z m co l C  Co ker  gm @ Môđun A gọi môđun môđun B  đơn cấu nhúng tự nhiên Đồng thời, dãy khớp tương ứng với môđun thương (hay môđun con) gọi dãy an Lu  C (hay đơn cấu  : A   B ) khớp liên kết với toàn cấu  : B  ac th xoắn dãy khớp liên kết khiết n va Mệnh đề 2.2.7 Một môđun thương C môđun không xoắn B môđun không si 29 Chứng minh: Giả sử C môđun thương môđun B : C  B A ta có dãy khớp     A   B   C  0 áp dụng định lý 1.3.4.5 , ta có dãy khớp       1   Tor R , B   Tor R , C   R  A   R  B   R , A  R R R R Nếu C mơđun khơng xoắn theo mệnh đề 2.2.3 Tor R  R , C     Tor R   đơn cấu nên theo mệnh đề 1.3.3.14 định nghĩa 1.2.2.2 dãy khớp dãy khớp khiết lu an Ngược lại, dãy khớp khiết ta có dãy khớp sau: va  n  Tor R tn to   p ie gh  R   1   Tor R , C   R  A   R  B   R , B  R R R 1  R  B   R  A  R  oa nl w Nên Tor R  R , C  suy C môđun không xoắn.■ d Định nghĩa 2.2.8 Vành R gọi vành PP Iđêan R mơđun va an lu xạ ảnh ll dẹt u nf Định nghĩa 2.2.9 Vành R gọi vành PF Iđêan R môđun m oi Hiển nhiên, vành PP vành PF z at nh Mệnh đề 2.2.10 Môđun môđun không xoắn môđun không xoắn z vành R vành PF l gm @ Chứng minh: m co Giả sử B môđun không xoắn A môđun mơđun B từ dãy khớp n va ta có dãy khớp an Lu     A   B   C  B  0 A ac th si 30    Tor2 R         Tor2 R , C   Tor R , A   Tor R , B    R , B  R R R Nếu R vành vành PF với   R  R môđun dẹt Từ dãy khớp i p    R   R  R 0  R  ta có dãy khớp   Tor2  R, C    Tor2 R    Tor   R, C    Tor  R, C    R , C     Suy Tor2 R  R , C  Tor   R,C   nên Tor R  R , A  nên A môđun không xoắn lu an Ngược lại, với C mơđun tùy ý tồn dãy khớp va n     A   B   C  0 tn to ie gh với B môđun xạ ảnh p Do B môđun xạ ảnh nên B môđun không xoắn nên A môđun không xoắn nên    R  R , A  suy  Tor2  R , C  Tor   R,C  Vậy Tor   R, C   với nl w  Tor R d oa môđun C nên vành R vành PF.■ lu an Mệnh đề 2.2.11 Tích trực tiếp môđun không xoắn môđun không xoắn oi m Chứng minh: ll u nf va với   R , linh hóa tử r    hữu hạn sinh z at nh Giả sử r    hữu hạn sinh với   R ,  X i iI họ môđun không xoắn iI z X   X i tích trực tiếp họ môđun không xoắn Với x   xi   X , @ gm xi  X i , i  I  x   xi  0, i  I Vì X i môđun không xoắn nên m co l xi  r    X i Do r    hữu hạn sinh 1 ,  , ,  r nên tồn xij  X i cho an Lu  r  r x     j xij     i  xij   r    X Do mơđun khơng xoắn  j 1  j 1 n va ac th si 31 Ngược lại, với   R , r      i , i  I  đặt X    Ri , Ri  R, i  I tích trực tiếp iI vành hệ tử R lấy số r    Với x   xi   X , xi  X i , i  I  x  R môđun tự nên môđun không xoắn Suy X  môđun không xoắn nên x  r    X  Do x thuộc tích hai Iđêan r    , X  , nên x  huu han   x j (với  j  r    , x j  X  ) x  j   x   huu han j j , (với x j  X  ) nên j j huu han  huu han  x     j x j  nên x j    j x j Vậy r    hữu hạn sinh.■ j  j  Bổ đề 2.2.12 Iđêan  R vành R môđun xạ ảnh tồn lu phần tử lũy đẳng e thỏa    e r     r  e   e ' R với e '   e an n va Chứng minh: to tn R Nếu mơđun xạ ảnh theo mệnh đề 1.2.1.3 dãy khớp gh p ie i    r      R    R   chẻ Như  có nghịch đảo phải, tồn nl w đồng cấu  ' cho  '  1 R suy  '    hay e   (với e   '  ) d oa Trước hết, ta chứng minh r     r  e  Thật với   r  e  ta có e  e  suy   r  e  u nf va an lu e  hay   suy r  e   r    Nếu   r       '   hay ll Đặt e '   e , ta chứng minh r  e   1  e  R Nếu   r  e  e  hay m oi   e   Do 1  e     nên   1  e  R từ r  e   1  e  R Ngược lại, với z at nh   1  e  R ta có   1  e   ' với  '  R từ    1  e   '        '  nên 1  e  R  r  e  Vì e   nên  1  e   @ e 1  e   Tóm lại tồn e cho    e m co r     r  e   e ' R thỏa e '   e e lũy đẳng l gm 1  e   r     r  e  z   r     r  e  r     R tương tự ta có đẳng cấu R r  e   e R mà r     r  e  nên ta có  R  e R n va R an Lu   R ta có đẳng cấu Đảo lại, ta chứng minh  R mơđun xạ ảnh Từ tồn cấu  : R  ac th si 32 Bây ta chứng minh R  e R  e ' R Thật vậy, với r  R ta có r  e r  1  e  r nên ta có R  e R  e ' R Đồng thời với r  e R  e ' R tồn  ,  '  R cho r  e   1  e   ' suy r  e e    e  e e   '  Do R  e R  e ' R  e R  r    i   r      R    R   chẻ theo mệnh đề 1.1.2.4  R dãy khớp  môđun xạ ảnh.■ Dựa vào bổ đề, ta đưa mệnh đề sau: Mệnh đề 2.2.13 Cho R vành PP Khi X mơđun khơng xoắn  : e X   X định   x    x với x  e X đơn cấu lu Chứng minh: an n va Ker    x  e X :  x  0   x  e X : x  r    X   e X  e ' X  0 có: Ta (do tn to R  e R  e ' R ) Vậy  đơn cấu ie gh Đảo lại, với X R  môđun x  X thỏa  x  x  Ker  suy x  nên p x  r    X Vậy X môđun không xoắn.■ w oa nl Mệnh đề 2.2.14 Cho R vành PP, mơđun A có mơđun nhỏ B d (theo quan hệ bao hàm) cho môđun thương A B môđun không xoắn u nf va an lu Chứng minh: ll Với R vành PP  Bi iI tập hợp tất môđun môđun A cho m Bi môđun không xoắn Ta chứng minh oi A A môđun không xoắn z at nh Bi iI   m co l gm @ minh dãy tiến S bị chặn z Trước hết ta chứng minh S  A B có phần tử tối đại bổ đề Zorn tức chứng i Giả sử A B  A B   A B  dãy tiến môđun thương không xoắn A Vì i1 i2 ij an Lu R vành PP nên theo mệnh đề 2.2.10 môđun môđun không xoắn môđun n va  B đơn cấu B mơđun khơng xoắn A không xoắn Ta suy ra: “Nếu  : A  ac th môđun không xoắn.” (*) Hơn R vành PP nên  R mơđun xạ ảnh nên si 33 theo mệnh đề 2.2.13 r    hữu hạn sinh nên theo mệnh đề 2.2.10  AB ij môđun không xoắn Khi đó, ta xét đồng cấu  : A   a   j Bij   A  Bij    a  Bij  Hiển nhiên  đơn cấu nên theo (*) j  A không xoắn suy Bij Bij xác định A Bij môđun j chặn S Theo bổ đề Zorn S có phần tử tối j đại Ta chứng minh S có phần tử lớn Giả sử A B , A B hai phần tử tối đại   lu an B  B khác Trước tiên ta có: n va B to B  B B A ie B  B môđun không xoắn Mặt khác: p hay B B  B Vì R vành PP B môđun không xoắn nên theo (*) gh tn B A  B  B B  B B A B  B B nên ta có d oa nl w dãy khớp sau: B môđun không xoắn lu B B  B  A B  B  A B  0 u nf va an   ll B Áp dụng mệnh đề 2.2.5 A B ,  B  B môđun không xoắn nên suy A B  B      oi m có phần tử lớn nhất.■ z at nh môđun không xoắn Điều mâu thuẫn với A B , A B phần tử tối đại Nên S   z m co l R môđun không xoắn X gm @ Định nghĩa 2.2.15 Một R môđun A gọi môđun xoắn Hom  A, X   với Mệnh đề 2.2.16 Nếu A mơđun xoắn ảnh đơn cấu A môđun n va Chứng minh: an Lu xoắn ac th si 34  Im  với  B Khi đồng cấu  *: A  Giả sử A môđun xoắn đơn cấu  : A   *  a     a  , a  A đẳng cấu Vậy Im  môđun xoắn.■ Mệnh đề 2.2.17 Tổng trực tiếp  Ai môđun xoắn hạng tử iI môđun xoắn Chứng minh: Với môđun   không xoắn X theo mệnh đề 1.3.1.6  ta có:  Hom  Ai , X   Hom  Ai , X  nên  Ai môđun xoắn Hom  Ai , X  iI iI iI iI hay  Hom  Ai , X   Điều có Hom  Ai , X   0, i  I nghĩa iI lu an thành phần môđun xoắn với i  I ■ n va    A   B   C   Khi Mệnh đề 2.2.18 Dãy khớp ngắn  tn to B mơđun xoắn C mơđun xoắn ie gh i p ii A C môđun xoắn B mơđun xoắn oa nl w Chứng minh: d    A   B   C   ta có dãy khớp Từ dãy khớp  lu u nf va an   Hom  C , X    Hom  B, X    Hom  A, X    với môđun không xoắn X ll m oi i Nếu B mơđun xoắn Hom  B, X   suy Hom  C , X   C môđun z at nh xoắn z ii Nếu A C mơđun xoắn Hom  A, X   Hom  C , X   suy l gm @ Hom  B, X   B môđun xoắn.■ m co Mệnh đề 2.2.19 Cho R vành PP, mơđun A có mơđun xoắn lớn an Lu Chứng minh: n va ac th si 35 Gọi S   Ai iI tập tất môđun xoắn môđun A Ta chứng minh A i iI mơđun xoắn Vì theo mệnh đề 2.2.18 môđun thương môđun xoắn môđun  B tồn cấu A mơđun xoắn B xoắn nên ta có: “Nếu đồng cấu  : A  môđun xoắn.” (**) Trước hết ta chứng minh S có phần tử tối đại bổ đề Zorn, tức chứng minh dãy tăng bị chặn Giả sử Ai1  Ai   Aij  dãy tăng môđun xoắn   Aij S Đặt B   Aij , xét ánh xạ  :  Aij  j j   xác định j   aij  j   aij Ánh xạ xác định có hữu hạn phần tử khác Rõ ràng j lu an  toàn cấu Theo mệnh đề 2.2.17 từ Aij môđun xoắn với j nên  Aij j n va mơđun xoắn B mơđun xoắn theo (**) Vì B chặn S theo to gh tn bổ đề Zorn S có phần tử tối đại p ie Ta chứng minh S có phần tử lớn Giả sử A , A hai phần tử tối đại khác S Ta có A  A A oa nl w A  A  A Vì R vành PP A mơđun xoắn A  A d A  A môđun xoắn nên A A môđun xoắn Từ ta có dãy khớp ngắn: an lu A  A va   A   A  A   ll A môđun xoắn nên theo mệnh đề 2.2.18 A  A môđun xoắn oi m A  A  0 u nf Mà A A z at nh Điều mâu thuẫn với A , A phần tử tối đại Vậy S có phần tử tối đại nhất, z phần tử lớn nhất.■ @ m co l xoắn A ký hiệu   A  gm Định nghĩa 2.2.20 Môđun xoắn lớn môđun A gọi môđun Mệnh đề 2.2.21 Cho R vành PF, A vừa môđun xoắn, vừa môđun không n va Chứng minh: an Lu xoắn A  ac th si 36 A môđun xoắn nên Hom  A, C   với môđun không xoắn C Nên với A mơđun khơng xoắn Hom  A, A   hay A  Mệnh đề 2.2.22 Nếu R vành PF, A mơđun xoắn có mơđun thương khơng xoắn tầm thường A A Chứng minh: Giả sử B môđun môđun xoắn A thỏa A B môđun không xoắn Mặt khác A B môđun thương mơđun xoắn A nên theo mệnh đề 2.2.18 A B lu mơđun xoắn Theo mệnh đề 2.2.21 A B  hay A  B an n va Ngược lại, mơđun A có mơđun thương không xoắn tầm thường A A Với to ie gh tn môđun không xoắn X , với đồng cấu f  Hom  A, X  ta có: A Kerf  Im f  X p Vì X mơđun khơng xoắn nên theo mệnh đề 2.2.10 Im f không xoắn nên A Kerf oa nl w mơđun khơng xoắn Vì theo giả thiết A  Kerf hay f  Vậy Hom  A, X   hay d A môđun xoắn.■ an lu Mệnh đề 2.2.23 Nếu R miền ngun định nghĩa 2.2.15 mơđun xoắn trùng với va ll u nf định nghĩa 2.1.4 môđun xoắn §1 oi m Chứng minh: 2.2.15 A mơđun khơng xoắn dãy khớp z   A z at nh Khi R miền nguyên R miền PF Giả sử A môđun xoắn theo định nghĩa  0   A m co l gm @ i p    A   A  A xoắn theo định nghĩa 2.1.4 an Lu   A    A  Vậy A môđun 0 dãy khớp khiết nên Hom  A, A  A    suy  n va ac th si 37 Ngược lại A môđun xoắn theo định nghĩa 2.1.4 nên A    A  Với B môđun thực môđun A A B mơđun xoắn Vậy A có môđun thương không xoắn A   A Theo mệnh đề 2.2.22 A mơđun xoắn theo định nghĩa 2.2.15.■ Nhận xét: Nếu R miền ngun mơđun X khơng xoắn   X   Định nghĩa 2.2.24 Môđun X gọi môđun không xoắn yếu   X   Nhận xét: Môđun X không xoắn môđun không xoắn yếu lu Thật vậy, X mơđun khơng xoắn Hom   X  , X     X  môđun xoắn an n va Nếu   X   có phép nhúng  i  Hom   X  , X   (điều vô lý) Do to gh tn   X   ■ p ie Định lý 2.2.25 Các mệnh đề sau tương đương: R vành PP oa nl w i d ii Với mơđun A A   A môđun không xoắn an lu u nf va iii Mọi môđun không xoắn yếu môđun không xoắn ll iv Nếu Hom  A, X   với mơđun xoắn A X môđun không xoắn oi m z at nh Chứng minh: (i.)  (ii.) Theo mệnh đề 2.2.14 mơđun A có mơđun nhỏ B cho z B môđun không xoắn Ta chứng minh B có mơđun thương khơng xoắn tầm gm @ A m co l thường Giả sử ngược lại B có mơđun C thực cho B C mơđun khơng xoắn Vì an Lu C  B   A   A   Theo mệnh đề nên ta có dãy khớp:  C C B n va A A  C B B ac th si 38 B , A môđun không xoắn nên A môđun không xoắn C  B Điều C C B mâu thuẫn với tính nhỏ B Vậy theo mệnh đề B mơđun xoắn B    A    A  môđun xoắn nên   A B môđun xoắn Mặt khác   A B môđun không xoắn nên theo giả thiết R vành PP mệnh đề 2.2.10 môđun không xoắn Theo mệnh đề 2.2.21 suy A   A   A B A   A B B  nên   A   B Vậy môđun không xoắn lu  A theo ii A (ii.)  (iii.) Nếu A mơđun khơng xoắn yếu   A   Do A   A an môđun không xoắn n va Đặt Hom  A, X   A    X  , với mơđun xoắn A hay tn to (iii.)  (iv.) ie gh Hom   X  , X     X   có đồng cấu nhúng  i  Hom   X  , X   (điều p vô lý) suy   X   theo định nghĩa 2.2.24 X môđun không xoắn yếu theo giả oa nl w thiết iii X mơđun khơng xoắn d (iv.)  (i.) Giả sử X môđun không xoắn, A môđun môđun X B lu u nf 1.3.2.8 ta có dãy khớp: va an  A   X   X   theo mệnh đề môđun xoắn Từ dãy khớp ngắn:  A ll  oi m   Hom  B, A   Hom  B, X    Hom B, X A   z at nh Vì X mơđun khơng xoắn B môđun xoắn nên Hom  B, X   nên z Hom  B, A   theo giả thiết iv suy A môđun không xoắn theo mệnh đề 2.2.10 @ l gm nên R vành PF Hơn  X i iI họ môđun không xoắn B môđun m co   xoắn Hom  B, X i   0, i  I Hom  B,  X i    Hom  B, Xi   suy tích  iI  iI an Lu trực tiếp môđun không xoắn môđun không xoắn theo mệnh đề 2.2.11 n va r    hữu hạn sinh với   R Xét đồng cấu  : R    R xác định   r    r có ac th si 39 Ker   r  R :  r  0  r    hữu hạn sinh suy  R có biểu diễn hữu hạn  R môđun dẹt ( R vành PF) Theo mệnh đề 1.3.3.12 suy  R môđun xạ ảnh theo định nghĩa 2.2.8 suy R vành PP.■ lu an n va p ie gh tn to d oa nl w ll u nf va an lu oi m z at nh z m co l gm @ an Lu n va ac th si 40 KẾT LUẬN Luận văn tổng hợp số kết môđun không xoắn miền nguyên đưa định nghĩa mơđun khơng xoắn vành giao hốn có đơn vị Từ tổng quát hóa kết hợp số khái niệm như: dãy khớp khiết, vành PP để đưa số kết mơđun khơng xoắn vành giao hốn Do hạn chế lực thời gian nên luận văn chủ yếu trình bày số kết mơđun khơng xoắn vành giao hốn Dựa luận văn tác giả tiếp tục tìm hiểu môđun không xoắn số vành đặc biệt như: vành quy, vành Artin, vành Noether,… Ngồi ra, ta kết hợp với số môđun khác (chẳng hạn môđun chia được) thêm số kết quan lu an trọng môđun không xoắn n va p ie gh tn to d oa nl w ll u nf va an lu oi m z at nh z m co l gm @ an Lu n va ac th si 41 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt Nguyễn Viết Đông, Trần Huyên (2006), Đại số đồng điều, Nhà xuất Đại học quốc gia TP Hồ Chí Minh Nguyễn Viết Đơng, Trần Hun, Nguyễn Văn Thìn (2003), Bài tập Đại số đồng điều, Nhà xuất Đại học quốc gia TP Hồ Chí Minh Tiếng Anh J J Rotman (2008), An Introduction to Homological Algebra, Academic Press, New York lu an J Zelamanowitz (1972), Regular modules, Transactions of the American va n Mathematical Society to Robert Wisbauer (1991), Foundations of Module and Ring Theory, University gh tn p ie of Dusseldorf T Y Lam (1999), Lectures on Modules and Rings, Springer- Verlag, New w d oa nl York- Heidelberg- Berlin ll u nf va an lu oi m z at nh z m co l gm @ an Lu n va ac th si