BÀ GIÁO D÷C VÀ ÀO TÑO TR◊ÕNG ÑI H≈C QUY NHÃN NGUYôN VãN C◊ÕNG TÌM HIöU ¿NH LÍ DIRICHLET Vó S» NGUYÊN T» TRONG MÀT CáP S» CÀNG ó ÁN THÑC Sû PH◊ÃNG PHÁP TOÁN Sà CáP BÌNH ¿NH - 2023 BÀ GIÁO D÷C VÀ ÀO TÑO TR◊ÕNG ÑI H≈C QUY NHÃN NGUYôN VãN C◊ÕNG TÌM HIöU ¿NH Lfi DIRICHLET Vó S» NGUYÊN T» TRONG MÀT CáP S» CÀNG Ngành: Ph˜Ïng pháp Toán sÏ cßp Mã sË: 8460113 BÌNH ¿NH - 2023 LÕI CAM OAN Tôi xin cam oan r¨ng toàn bÎ nÎi dung cıa ∑ án "Tìm hi∫u ‡nh l˛ Dirichlet v∑ sË nguyên tË trong mÎt cßp sË cÎng" chính tôi th¸c hiªn mÎt cách Îc l™p và hoàn thành t§i Tr˜Ìng §i hÂc Quy NhÏn d˜Ói s¸ h˜Óng d®n cıa PGS TSKH Hu˝nh V´n Ngãi Các tài liªu tham kh£o phˆc vˆ mˆc ích nghiên c˘u công trình này ˜Òc s˚ dˆng úng quy ‡nh, không vi ph§m quy ch∏ b£o m™t cıa Nhà n˜Óc Tôi xin ch‡u hoàn toàn trách nhiªm cho bßt k˝ sai l¶m ho∞c vi ph§m nào liên quan ∏n ∑ cıa mình Quy NhÏn, tháng 10 n´m 2023 Tác gi£ Nguyπn V´n C˜Ìng LÕI CÉM ÃN ¶u tiên tôi xin bày t‰ lòng bi∏t Ïn sâu s≠c ∏n PGS.TSKH Hu˝nh V´n Ngãi, ng˜Ìi th¶y ã t™n tình h˜Óng d®n, dành nhi∑u thÌi gian giúp Ô v∑ ki∏n th˘c và ph˜Ïng pháp cÙng nh˜ là tinh th¶n ∫ tôi hoàn thành ∑ án Ti∏p ∏n, tôi cÙng muËn g˚i lÌi c£m Ïn chân thành ∏n toàn th∫ gi£ng viên t§i Khoa Toán - ThËng kê nói riêng và Ban giám hiªu tr˜Ìng §i hÂc Quy NhÏn nói chung, ã t§o i∑u kiªn thu™n lÒi cho tôi trong quá trình nghiên c˘u và hÂc t™p D¸ án này không th∫ th¸c hiªn thành công n∏u thi∏u s¸ hÈ trÒ, Îng viên, khích lª cıa tßt c£ nh˙ng ng˜Ìi thân và b§n bè thân thi∏t cıa tôi trong suËt thÌi gian qua Tôi rßt h§nh phúc và t¸ hào v∑ k∏t qu£ mà tôi ã §t ˜Òc Tuy nhiên v®n có th∫ có nh˙ng m∞t h§n ch∏, thi∏u sót Rßt mong nh™n ˜Òc nh˙ng ˛ ki∏n, chø d®n cıa qu˛ th¶y cô MÎt l¶n n˙a, xin chân thành c£m Ïn tßt c£ mÂi ng˜Ìi Nguyπn V´n C˜Ìng Mˆc lˆc I M– ÜU 1 II NÀI DUNG 4 1 MÀT S» KIòN THŸC S» H≈C VÀ GIÉI TÍCH Cà BÉN 5 1.1 SË nguyên tË 5 1.2 MÎt sË k∏t qu£ cÍ i∫n cıa sË nguyên tË 5 1.3 ‡nh lí Euclid v∑ sË nguyên tË 6 1.4 Hàm Zeta - Rieman 8 1.5 TÍng t¯ng ph¶n 9 1.6 Công th˘c tÍng Euler-Maclaurin 10 1.7 Logarithms 11 1.8 Hàm Mo¨bius 14 2 S‹ VÔ HÑN S» NGUYÊN T» TRONG MÀT S» CáP S» CÀNG êC BIõT 16 2.1 Th∞ng d˜ b™c hai 16 2.2 Kí hiªu Legendre 17 2.3 S¸ vô h§n cıa sË nguyên tË trong mÎt cßp sË cÎng tÍng quát 18 3 ¿NH Lfi DIRICHLET VÀ CÁC B◊ŒC CHŸNG MINH 23 3.1 ∞c tr˜ng và tÍng các ∞c tr˜ng 23 3.2 L - Hàm 25 3.3 ‡nh lí Dirichlet 29 3.4 Các b˜Óc ch˘ng minh 36 III KòT LUäN VÀ KIòN NGH¿ 43 Danh mˆc k˛ hiªu Danh mˆc k˛ hiªu ⇤(n) Hàm ⇤ Mangoldt (x) Hàm Mangoldt L(s, ) Hàm L µ(n) Hàm mo¨bius ⇡(x) Hàm ∏m sË nguyên tË P TÍng ch§y qua tßt c£ các sË nguyên tË p Qp Tích cıa các sË nguyên tË p TÁn t§i M < 0 sao cho B MA p A⌧B AB TÁn t§i M > 0 sao cho B MA ⇥a⇤ K˛ hiªu Jacobi Hàm mÙ n exp Z T™p hÒp sË nguyên C⇤ T™p hÏp sË ph˘c khác 0 (Z/qZ)⇤ Nhóm nhân các ph¶n t˚ kh£ ngh‡ch cıa vành (Z/qZ) Ph¶n I M– ÜU 1 LÕI NÓI ÜU SË nguyên tË (cÙng nh˜ SË hÂc) th™t x˜a cÙ Xoay quanh câu chuyªn sË nguyên tË, có bi∏t bao nh˙ng công trình toán hÂc suËt chi∑u dài l‡ch s˚ phát tri∫n cıa sË hÂc Nh˙ng bài toán và vßn ∑ liên quan ∏n sË nguyên tË, th˜Ìng là rßt dπ ∫ hi∫u; chø c¶n vÓi ki∏n th˘c toán hÂc phÍ thông, nh˜ng trái l§i th˜Ìng là rßt khó, th™m chí vô cùng khó ∫ gi£i quy∏t Rßt nhi∑u nh˙ng tên tuÍi lÓn trong l‡ch s˚ toán hÂc nh˜ Euler, Riemann, và Fermat, nh˙ng ng˜Ìi ã óng góp quan trÂng vào lænh v¸c này và vén nh˙ng b˘c màn bí m™t xung quanh sË nguyên tË S¸ nghiên c˘u và hi∫u bi∏t v∑ sË nguyên tË ã giúp h ti∏n xa hÏn trong s¸ hi∫u bi∏t v∑ toán hÂc và óng góp vào s¸ phát tri∫n cıa nó M∞c dù ã có nhi∑u ti∏n bÎ trong lænh v¸c này, v®n còn rßt nhi∑u nh˙ng bí ©n xung quanh sË nguyên tË mà nhân lo§i ch˜a khám phá Bên c§nh ó sË nguyên tË v®n óng vai trò cÏ b£n trong SË hÂc; ˜Òc ví nh˜ là nh˙ng “h§t cÏ b£n” ∫ t§o nên th∏ giÓi các con sË Trong hiªn t§i và c£ t˜Ïng lai dài, sË nguyên tË v®n luôn là mÎt chı ∑ t˜Ïi mÓi, ¶y s˘c hßp d®n các nhà nghiên c˘u và hÂc gi£ am mê toán HÏn 2000 n´m tr˜Óc, Euclide ã ch˘ng minh r¨ng t™p hÒp các sË nguyên tË là vô h§n Ch˘ng minh cıa Euclide có th∫ nói là h∏t s˘c Ïn gi£n, nh˜ng µp, µp mÎt cách m®u m¸c cıa l™p lu™n ph£n ch˘ng toán hÂc K∫ t¯ k∏t qu£ cıa Euclide, vßn ∑ xét tính vô h§n cıa sË nguyên tË trong mÎt dãy sË nguyên d˜Ïng ∞c biªt nào ó là mÎt vßn ∑ lÓn-rßt lÓn cıa sË hÂc, và ch≠c ch≠n r¨ng vßn ∑ này quá lÓn, ∫ không th∫ bao giÌ ˜Òc gi£i quy∏t trÂn vµn – ây ta quan tâm ∏n lo§i dãy sË Ïn gi£n nhßt: Cßp sË cÎng N´m 1837, b¨ng mÎt ph˜Ïng pháp gi£i tích vô cùng sáng t§o, Dirichlet ã ch˘ng minh r¨ng có vô h§n sË nguyên tË trong mÎt cßp sË cÎng: a+q, a+2q, , a+nq, , vÓi a, q là nguyên tË cùng nhau, và q nguyên tË Hai n´m sau, cÙng chính ông ã gi£i quy∏t bài toán tÍng quát cho q tùy ˛ Có th∫ nói, công trình này cıa Dirichlet là hòn á t£ng cıa L˛ thuy∏t sË gi£i tích Nh˙ng thành t¸u cıa Dirichlet trong lænh v¸c này ã t§o n∑n móng cho viªc phát tri∫n các l˛ thuy∏t sË gi£i tích và có £nh h˜ng lÓn Ëi vÓi các nhánh khác cıa toán hÂc i∑u ∞c biªt là tr˜Óc Dirichlet rßt lâu, nh˙ng tr˜Ìng hÒp riêng cıa bài toán này ã ˜Òc xem xét ∏n nh˜ng ch˜a §t thành t¸u Vì v™y, tôi chÂn ∑ tài "TÌM HIöU ¿NH LÍ DIRICHLET Vó S» NGUYÊN T» TRONG MÀT CáP S» CÀNG” nh¨m tìm hi∫u sâu hÏn v∑ mÎt ch˘ng minh mang tính cách m§ng thÌi ó NÎi dung cıa ∑ án gÁm 3 ch˜Ïng: Ch˜Ïng 1 MÎt sË ki∏n th˘c sË hÂc và gi£i tích cÏ b£n 2 Trình bày các ‡nh nghæa, ‡nh l˛, tính chßt cÏ b£n cıa gi£i tích và sË hÂc Ch˜Ïng 2 S¸ vô h§n sË nguyên tË trong mÎt sË cßp sË cÎng ∞c biªt Ch˜Ïng này trình bày các ‡nh l˛ xung quanh s¸ vô h§n sË nguyên tË nh˜ ‡nh l˛ th∞ng d˜ b™c hai, kí hiªu Legendre, và mÎt vài s¸ vô h§n sË nguyên tË trong các cßp sË cÎng th˜Ìng g∞p Ch˜Óng 3 ‡nh lí Dirichlet và các b˜Óc ch˘ng minh Ch˜Ïng này trình bày ‡nh l˛, các mªnh ∑, bÍ ∑ có liên quan ∏n ch˘ng minh ‡nh l˛ Dirichlet và chø ra mÎt lo§t các b˜Óc ch˘ng minh ph˘c t§p cıa ‡nh l˛ 3 Ph¶n II NÀI DUNG 4