SË nguyên tË
‡nh nghổa 1.1.1 (Sậ nguyờn tậ)
Sậ nguyờn p ˜ềc gÂi là sậ nguyờn tậ n∏u p > 1 và chứ cú ˜ểc là 1 và chớnh nó Nh˙ng sË nguyên p > 1 không là sË nguyên tË thì là hÒp sË.
T™p cỏc sậ nguyờn tậ th˜èng ˜ềc kớ hiêu là P
Tớnh chòt 1.1.2 Vểi mÂi sậ tá nhiờn n, n > 1, ˜ểc tá nhiờn khỏc 1 nh‰ nhòt cıa n là mẻt sậ nguyờn tậ.
Cho sậ n 2N, cho d là ˜ểc nh‰ nhòt cıa n, d 6 = 1.
N∏u d không nguyên tË thì d = d 1 d 2, trong ó 1 < d 1 , d 2 < d.
Suy ra d 1 là ˜ểc th™t sá cıa d.
Vỡ v™yd 1 là˜ểc cıa n, d 1 < d i∑u này mõu thuđn vểi sánh‰ nhòt cıad.
‡nh lớ 1.1.3 Vểi mÂi sậ tá nhiờn n > 1, tÁn tĐi mẻt t™p duy nhòt cỏc sậ nguyờn tậ p 1 < p 2 < ã ã ã < p r và cỏc sậ nguyờn d˜ẽng a 1 , , a r sao cho: n =
Mẻt sậ k∏t quÊ cÍ i∫n cıa sậ nguyờn tậ
‡nh lớ 1.2.1 Cho n 2 N, n 2 GÂi q là ˜ểc sậ nguyờn tậ nh‰ nhòt cıa n.Khi ó vÓi mÂi ˜Óc d cıa n, n∏u d 6 = 1 và d không là sË nguyên tË thì d q 2
Ch˘ng minh: Gi£ s˚ d q 2 Vì d 6 = 1 và d không là sË nguyên tË nên ta có d = a ã b, 1 a, b d.
‡nh lớ 1.2.2 Vểi mÂi sậ tá nhiờn n 2 N , n > 1 , ˜ểc sậ tá nhiờn khỏc 1 nh‰ nhòt cıa n là mẻt sậ nguyờn tậ p.
GiÊ s˚ p là ˜ểc tá nhiờn khỏc 1 nh‰ nhòt cıa n và p khụng là sậ nguyờn tậ. Khi ú: p = p 1 ã p 2 , (p > p 1 ; p 2 > 1) Suy ra p 1 | n vểi p 1 < p. i∑u này mõu thuđn vểi p là nh‰ nhòt.
‡nh lớ 1.2.3 Mẻt hềp sậ n cú ˜ểc sậ nguyờn tậ nh‰ nhòt khụng v˜ềt quỏ p n.
Gi£ s˚ n là hÒp sË nên ta có th∫ vi∏t n = ab, trong ó a, b là các sË nguyên vÓi 1 a b < n Rõ ràng ta ph£i có a ho∞c b không v˜Òt quá p n.
Gi£ s˚ ó là a, khi ó ˜Óc nguyên tË cıa a cÙng là ˜Óc nguyên tË cıa n.
‡nh lớ 1.2.4 N∏u sậtánhiờnn > 1 th‰a món:" n khụng chia h∏t cho p, 8 p 2P, p 2 n", thỡ n là mẻt sậ nguyờn tậ.
GiÊ s˚ răng n khụng phÊi là sậ nguyờn tậ i∑u này cú nghổa là n cú mẻt ˜ểc sË nguyên tË q sao cho 1 < q < n.
Vì q là sË nguyên tË, ta có q 2P.
Theo giÊ thi∏t, n khụng chia h∏t cho q, v™y n khụng chia h∏t cho bòt k˝ sậ nguyờn tậ nào nh‰ hẽn ho∞c băng q. Áng thèi, do 1 < q < n, ta cú q 2 n i∑u này ậi l™p vểi i∑u kiên răng n khụng chia h∏t cho bòt k˝ sậ nguyờn tậ mÙ hai nào nh‰ hẽn ho∞c băng n.
Suy ra, giÊ ‡nh ban ảu là sai và n phÊi là mẻt sậ nguyờn tậ.
1.3 ‡nh lí Euclid v∑ sË nguyên tË
‡nh lớ 1.3.1 ( ‡nh lớ th˘ nhòt cıa Euclid) N∏u p là sậ nguyờn tậvà p | ab thì p | a ho∞c p | b.
Gi£ s˚ p là sË nguyên tË và p | ab N∏up không chia h∏t cho a, t˘c là (a, p) = 1, vì p là sË nguyên tË.
Do ó, 9 x, y : ax + py = 1 hay xab + ypb = b.
Vì p | ab và p | pb nên suy ra p | b.
Hê quÊ 1.3.2 N∏u p | a 1 a 2 a n thỡ p | a i tÁn tĐi 1 i n
‡nh lí 1.3.3 ( ‡nh lí th˘ hai cıa Euclid) SËcác sËnguyên tË là vô h§n.
Gi£ s˚ 2, 3, 5, , p là dãy các sË nguyên tË không v˜Òt quá p.
∞t q = 2.3.5 p + 1, khi ó q không chia h∏t cho sË nào trong dãy2, 3, 5, , p. T¯ ó, ta có th∫ suy ra r¨ng q là sË nguyên tË ho∞c q phân tích ˜Òc thành tích các th¯a sË nguyên tË, trong ó không có th¯a sË nào là 2, 3, 5, , p Do ó, phÊi cú mẻt sậ nguyờn tậ năm trong khoÊng (p, q), nghổa là q chia h∏t cho mẻt sË nguyên tË n¨m trong o§n (p, q) T¯ ó suy ra luôn tÁn t§i sË nguyên tË lÓn hẽn p Nh˜ v™y, i∑u cản ch˘ng minh ó ˜ềc ch˘ng minh.
‡nh lí 1.3.4 (Wilson) N∏u p là sË nguyên tË thì
Dπ thòy tr˜èng hềp p = 2 và p = 3 hi∫n nhiờn ỳng vểi ‡nh lớ Ta s≥ ch˘ng minh ‡nh lí úng vÓi p > 3.
∞t a là mẻt trong cỏc sậ nguyờn d˜ẽng 1; 2; 3; ; p 1 sao cho na ⌘ 1 (mod p) (I)
Vỡ (n, p) = 1 nờn (I) cú nghiêm duy nhòt (mod p) Do ú, tÁn tĐi duy nhòt sË n 0 2 1, 2, 3, , p 1 tho£ mãn nn 0 ⌘ 1 (mod p).
Khi ú ta cú th∫ tĐo ra p 2 3 c∞p sậ (n, n 0 ) phõn biêt nh˜ v™y.
Nhõn tòt cÊ p 2 3 Áng d˜vểi nhau và s≠p x∏p lĐi thỡ ta ˜ềc:
Lúc này ta có th∫ t§o ra p 3
2 c∞p sậ (a, a 0 ) phõn biêt nhau v™y Nhõn tòt cÊ chúng l§i, ta có
TÍng quỏt hẽn ta ˜ềc:
2 + a) (mod p). Nhân c£ hai v∏ vÓi a 0, ta ˜Òc aa 0 ⌘ 1 (mod p).V™y
Hàm Zeta - Rieman
‡nh nghổa 1.4.1 Hàm Zeta - Riemann là mẻt hàm sậ quan trÂng trong l˛ thuy∏t sậ, ˜ềc kớ hiêu băng ⇣(s) và ˜ềc ‡nh nghổa nh˜ sau:
Trong ú s là mẻt sậ ph˘c cú phản thác lển hẽn 1 Hàm sậ này liờn quan ch∞t ch≥ ∏n tớnh nguyờn tậ cıa cỏc sậ tánhiờn thụng qua cụng th˘c Euler:
Trong cÊ hai ‡nh nghổa trờn thỡ s là bi∏n sậ ph˘c s = + it Khi ú chuẩiDirichlet 1.4.1 là hẻi tˆ vểi > 1, hẻi tˆ ∑u trong mi∑n.
T Íng t¯ng phản
‡nh lí 1.5.1 ( ‡nh lí Abel) Gi£ s˚ { a n } là các hàm liên tˆc trong tr˜Ìng sË ph˘c, và f (t) là mẻt hàm khÊ vi liờn tˆc trờn khoÊng [1, x], vểi x là sậ nguyờn d˜ẽng ∞t
Ch˘ng minh: ảu tiờn, giÊ s˚ x là mẻt sậ tá nhiờn Chỳng ta vi∏t lĐi v∏ trỏi nh˜ sau:
A(t)f 0 (t)dt vểi A(t) là mẻt hàm b˜ểc nhÊy
N∏u x khụng phÊi là sậ nguyờn thỡ ta s≥ vi∏t b x c ∫ bi∫u th‡ cho phản nguyờn lển nhòt nh˜ng khụng v˜ềt qua x T¯ ú ta suy ra:
Vểi mÂi x là sậ nguyờn d˜ẽng, tÁn tĐi
Mênh ∑ 1.5.4 GÂi d(n) là ˜ểc sậ tá nhiờn cıa mẻt sậ tá nhiờn n, khi ú
Mênh ∑ 1.5.5 GiÊ s˚ A(x) = O(x ) Vểi mÂi s > thỡ chuẩi Dirichlet hẻi tˆ,
Công th˘c tÍng Euler-Maclaurin
Sậ Bernoulli B k vểi k là sậ nguyờn d˜ẽng là nh˙ng hê sậ thoÊ món chuẩi khai tri∫n sau: e e x 1 =
VÓi B n là các sË Bernoulli, a th˘c B n (x) ˜Òc gÂi là a th˘c Bernoulli n∏u tho£ mãn: 8
0 B n (x) dx = 0 vÓi (n 1) Tớnh chòt 1.6.3 Cỏc tớnh chòt sau õy ˜ềc suy ra t¯ ‡nh nghổa:
‡nh lớ 1.6.4 (Cụng th˘c tÍng Euler - Maclaurin) Vểi f(x) là mẻt hàm khÊ vi
∏n b™c m trờn oĐn [a, b], b x c là hàm phản nguyờn, B r là sậ Bernoulli và B n (x) là a th˘c Bernoulli thì b 1
Logarithms
Mẻt vài tớnh chòt cıa hàm logarithms ˜ềc xỏc ‡nh cho sậ thác d˜ẽng Tớnh chòt 1.7.1 (i) e log x = x
Ngoài ra, tớnh chòt (ii) cũn ˜ềc vi∏t lĐi d˜ểi dĐng log(1 + x) = x + O(x 2 ).
Bòt ỉng th˘c (i) là hi∫n nhiờn và khụng cản ch˘ng minh.
∫ ch˘ng minh bòt ỉng th˘c (ii), chỳng ta s˚dˆng phõn tớch dóy sậ mÙcıa log(1 + x) khi | x | < 1, t˘c là: log(1 + x) =
4 + , và ỏp dˆng bòt ỉng th˘c tam giỏc
Do ú, n∏u | x | 1 2 , ta cú th∫ cẻng dóy sậ hỡnh hÂc bờn phÊi ∫ tỡm ra răng
Ch˘ng minh cho tớnh chòt (iii) bõy giè tr nờn ròt dπ dàng; n∏u x 6 = 0 và
| x | 1 2 , thì log(1 + x) x 1 + E(x) x 1 + | x | 2, và n∏u x = 0, (iii) cÙng rõ ràng úng.
Bõy giè ta xỏc ‡nh hai logarithms, mẻt cho sậ ph˘c cú dĐng 1 1 z vểi | z | < 1, ˜ềc kớ hiêu bểi log 1 , và mẻt cho hàm L(s, ), ˜ềc kớ hiêu bi log 2
Vểi logarithms ảu tiờn, ta ‡nh nghổa log 1 ⇣ 1
Chú ˛ r¨ng, log 1 ! ˜Òc xác ‡nh n∏u Re(!) > 1 2
Mênh ∑ 1.7.2 Hàm logarithms log 1 thoÊ món cỏc tớnh chòt sau: i N∏u | z | < 1 thì e log 1 ( 1 1 z ) = 1
Trong ó sai sË E 1 tho£ mãn | E 1 (z) | | z | 2 n∏u | z | < 1/2. iii N∏u | z | < 1/2 thì log 1 ⇣ 1
Ch˘ng minh: ảu tiờn, ta s≥ ch˘ng minh i.).
Lòy vi phõn v∏ trỏi theo r ta ˜ềc
Nh™n thòy v∏ trỏi cıa ph˜ẽng trỡnh (1.2) khụng Íi, ta ∞t r = 0 và ˜ềc k∏t qu£ mong muËn.
Viêc ch˘ng minh hai tớnh chòt cũn lĐi thác hiên giậng tớnh chòt thác ˜ềc ˜a ra trong tớnh chòt (1.7.1).
S˚ dˆng k∏t quÊ này, ta cú th∫ phỏt bi∫u mẻt i∑u kiên ı ∫ Êm bÊo sá hẻi tˆ cıa tớch vụ hĐn sậ ph˘c Ch˘ng minh cÙng giậng nh˜ tr˜èng hềp thác, ngoĐi tr¯ viêc chỳng ta s˚ dˆng logarithm log 1
| a n | hẻi tˆ và a n 6 = 1 vểi mÂi n, thỡ ta cú:
◆ hẻi tˆ Hẽn n˙a, k∏t quÊ này khỏc khụng.
VÓi n ılÓn, ta có | a n | < 1 2 Do ó, ta gi£ s˚:
YN n=1 e log 1 ( 1 1 an ) = e P N n=1 log 1 ( 1 1 an )
T¯mênh ∑ tr˜ểc ta cú log 1 ⇣ 1
| a n | hẻi tˆ, nghổa là tÁn tĐi
Vỡ hàm sậ mÙ liờn tˆc nờn tớch sậ hẻi tˆ v∑ e A , hi∫n nhiờn giỏ tr‡ này khỏc không.
Ti∏p theo ta s≥ ch˘ng minh
GÂi L là v∏ trỏi cıa ph˜ẽng trỡnh ‡nh nghổa
⌘hẻi tˆtheo mênh ∑trờn Th™t v™y, ∞t a n = (p n )p n s , trong ó p n là sË nguyên tË th˘ n.
Ta nh™n thòy n∏u s > 1, thỡ P ( | a n | ) < 1 Thờm vào ú, ta ‡nh nghổa:
Bây giÌ, chÂn✏ > 0 và chÂn N ı lÓn ∫
Ti∏p theo, ta chÂn M ı lÓn sao cho
∫ ch˘ng minh bòt ỉng th˘c ảu tiờn, ta s˚ dˆng ‡nh l˛ cẽ bÊn v∑ sậ hÂc và tớnh chòt nhõn cıa cỏc hàm Dirichlet.
Bòt ỉng th˘c th˘ hai ˜ềc suy ra chứ vỡ mẩi dóy sậ P 1 n=1
| L ⇧ | | L S N | + S N ⇧ N,M + ⇧ N,M ⇧ N + | ⇧ N ⇧ | < 4✏; nh˜ ã ˜Òc ch˘ng minh.
Hàm M¨obius
‡nh nghổa 1.8.1 Hàm Măobius ˜ềc ‡nh nghổa nh˜ sau: à(d) =
0 vÓi các tr˜Ìng hÒp còn l§i
Hê quÊ 1.8.2 Vểi mÂi n là sậ nguyờn d˜ẽng
Vểi n = 1, do 1 chứ cú mẻt ˜ểc duy nhòt là 1 nờn P d | 1 à(d) = à(1) = 1.
VÓi n > 1, sË nguyên n có d§ng n = p ↵ 1 1 p ↵ 2 2 p ↵ 3 3 p ↵ m m vÓi p i là các sË nguyên tË phõn biêt.
S‹ Vễ HẹN Sằ NGUYấN Tằ
TRONG MÀT Sằ CỏP Sằ CÀNG êC BIõT
Th∞ng d˜ b™c hai
‡nh nghổa 2.1.1 Cho sậ nguyờn a và sậ nguyờn tậ p sao cho (a, p) = 1 Ta núi a là th∞ng d˜b™c hai (hay chớnh ph˜ẽng) module p n∏u tÁn tĐi sậ nguyờn x th‰a mãn x 2 ⌘ a (mod p).
N∏u a khụng là th∞ng d˜ b™c hai mod p, ta núi a là bòt th∞ng d˜ b™c hai (khụng chớnh ph˜ẽng) mod p.
‡nh lớ 2.1.2 N∏u p là sậ nguyờn tậ lƠ và p khụng là ˜ểc sậ cıa a thỡ ph˜ẽng trỡnh x 2 ⌘ a (mod p) ho∞c vụ nghiêm ho∞c cú ỳng hai nghiêm khụng Áng d˜ theo module p
Nh™n thòy răng: N∏u x ⌘ b (mod p) là nghiêm cıa ph˜ẽng trỡnh x 2 ⌘ a (mod p) thỡ x ⌘ b (mod p) cÙng là nghiêm cıa ph˜ẽng trỡnh x 2 ⌘ a (mod p). N∏u lÓp th∞ng d˜ [b] (mod p) trùng l∞p vÓi lÓp th∞ng d˜ [ b] (mod p) thì b ( b) p, hay 2b p.
Nên a p ( i∑u này trái gi£ thi∏t)
‡nh lớ 2.1.3 Trong hê th∞ng d˜ thu gÂn mod p (vểi p là sậ nguyờn tậ lƠ), cú p 1
2 th∞ng d˜ b™c hai cựng lểp vểi cỏc th∞ng d˜ 1 2 ,2 2 , p 2 1 2 và cú p 2 1 bòt th∞ng d˜ b™c hai mod p.
‡nh lớ 2.1.4 i∑u kiên cản và ı ∫ a là th∞ng d˜ b™c hai mod p (vểi p là sậ nguyên tË l¥) là a p 2 1 ⌘ 1 (mod p).
Kớ hiêu Legendre
‡nh nghổa 2.2.1 Cho p > 2 là mẻt sậ nguyờn tậ, a 2Z vểi a khụng chia h∏t cho p Khi ú, kớ hiêu Legendre ⇣ a p
-1 n∏u a là bòt th∞ng d˜ khụng chớnh ph˜ẽng cıa p
1 n∏u a là th∞ng d˜ chớnh ph˜ẽng cıa p
Tớnh chòt 2.2.2 Vểi mÂi sậ nguyờn tậ p ta luụn cú ⇣
Tớnh chòt 2.2.3 Cho sậ nguyờn tậ lƠ p N∏u (a, p) = 1; (b, p) = 1 và a ⌘ b
Tớnh chòt 2.2.4 (Tiờu chuân Euler) Cho p > 2 là mẻt sậ nguyờn tậ Khi ó vÓi mÂi a 2Z, a không chia h∏t cho p, ta có a p 2 1 ⌘
Tớnh chòt 2.2.5 Cho p là sậ nguyờn tậ lƠ Khi ú
Nh™n xột: T¯ k∏t quÊ trờn ta cú th∫ thòy 1 là mẻt th∞ng d˜ b™c hai theo module p khi và chứ khi p ⌘ 1 (mod 4).
Tớnh chòt 2.2.6 Cho p là sậ nguyờn tậ lƠ Khi ú
Tớnh chòt 2.2.7 (Lu™t t˜ẽng hẩ Gauss) Vểi hai sậ nguyờn tậ lƠ p, q phõn biêt ta luụn cú: ✓ p q
Hê quÊ 2.2.8 i) N∏u mẻt trong hai sậ nguyờn tậ lƠ p, q cú dĐng 4k + 1 thỡ
◆ ii) N∏u mẻt trong hai sậ nguyờn tậ lƠ p, q cú dĐng 4k + 3 thỡ
Sá vụ hĐn cıa sậ nguyờn tậ trong mẻt còp sậ cẻng tÍng quỏt
‡nh lí 2.3.1 Có vô sË sË nguyên tË có d§ng 3n + 2
Vểi mÂi sậ tá nhiờn n, n 2 luụn cú mẻt trong ba dĐng: 3k, 3k + 1, 3k + 2. Nh˙ng sậ cú dĐng 3n là mẻt hềp sậ.
Xét 2 sË có d§ng 3a + 1 và 3b + 1 Khi ó:
Ta s≥ ch˘ng minh ph£n ch˘ng:
Gi£ s˚có h˙u h§n các sË nguyên tË có d§ng3n + 2, ta gÂi chúng làq 1 , q 2 , , q n.
Ta xột sậ nguyờn d˜ẽng:
Khi ó ta xét hai tr˜Ìng hÒp sau:
- Tr˜Ìng hÒp 1: N là sË nguyên tË và N > q n nên ta i∑u có mâu thu®n T¯ ó, ‡nh lí ã ˜Òc ch˘ng minh.
- Tr˜Ìng hÒp 2: N không là sË nguyên tË Khi chia N cho q 1 , q 2 , , q n ta ˜Òc cỏc sậ d˜ khỏc 0 Suy ra cỏc ˜ểc nguyờn tậ cıa N ∑u lển hẽn q n Cỏc ˜ểc nguyên tË này không th∫ có d§ng 3n Do ó, các ˜Óc nguyên tË cıa N ph£i có d§ng 3n + 1 do ó N ph£i có d§ng 3n + 1 Nh˜v™y trong các ˜Óc nguyên tË cıa
N, ớt nhòt mẻt sậ cú dĐng 3n + 2, mà theo ‡nh nghổa thỡ sậ này phÊi lển hẽn q n i∑u này d®n ∏n mâu thu®n.
V™y có vô sË sË nguyên tË có d§ng 3n + 2.
‡nh lí 2.3.2 Có vô sË sË nguyên tË có d§ng 4n + 3
Gi£ s˚ có h˙u h§n sË nguyên tË có d§ng 4n + 3 là p 1 , p 2 , , p n ∞t
Khi ó p | A và p là sË nguyên tË có d§ng 4n + 3 Th™t v™y, A có d§ng 4n + 3. Gi£ s˚ mÂi ˜Óc sË nguyên tË p cıa A ∑u không có d§ng 4n + 3 nên p ∑ có d§ng 4n + 1 ( vì A l¥ ).
Do ó p|A, p nguyên tË có d§ng 4n + 3.
V™y có vô sË sË nguyên tË có d§ng 4n + 3.
‡nh lớ 2.3.3 Vểi n là sậ nguyờn d˜ẽng cho tr˜ểc, cú vụ sậ sậ nguyờn tậ cú d§ng 4n + 1.
∫ ch˘ng minh ‡nh l˛ trờn ta cản ch˘ng minh bÍ ∑ sau:
BÍ ∑: Vểi a là mẻt sậ nguyờn d˜ẽng thỡ mÂi ˜ểc nguyờn tậ lển hẽn 2 cıa a 2 + 1 ∑u có d§ng 4n + 1.
Th™t v™y, n∏u p là mẻt ˜ểc nguyờn tậ cıa a 2 + 1 và p cú dĐng 4k + 3.
Dπ thòy a khụng chia h∏t cho p nờn ta cú: a p 1 ⌘ 1 (mod p) () a 2(2k+1) + 1 ⌘ 2 (mod p).
V™y mÂi ˜ểc nguyờn tậ lển hẽn 2 cıa a p 1 ⌘ 1 (mod p) ∑u cú dĐng 4n + 1. Ti∏p theo ta s≥ s˚ dˆng bÍ ∑ ∫ ch˘ng minh ‡nh lớ GiÊ s˚ răng chứ cú h˙u h§n sË nguyên tË có d§ng 4n + 1 là p 1 , p 2 , , p k (k 1).
Khi ó tÁn t§i sË nguyên tË p sao cho p | A, vì A l¥ nên p > 2.
Hay 1 là th∞ng d˜ b™c 2 theo module p.
V™y có vô sË sË nguyên tË có d§ng 4n + 1
‡nh lớ 2.3.4 Vểi n là sậ nguyờn d˜ẽng cho tr˜ểc, cú vụ sậ sậ nguyờn tậ cú d§ng 6n + 1.
GiÊ s˚ răng chứ cú h˙u hĐn sậ nguyờn tậ dĐng 6n + 1 là p 1 , p 2 , p 3 , , p k
Do N>1 nên tÁn t§i sË nguyên tË p sao cho p | N.
Cú th∫ thòy ph˜ẽng trỡnh trờn cú nghiêm 3 là mẻt th∞ng d˜ chớnh ph˜ẽng theo module p Ta xét bài toán sau:
Tỡm i∑u kiên cıa p ∫ -3 là mẻt th∞ng d˜ chớnh ph˜ẽng theo module p.
= ( 1) p 1 p 3 (II) Xét các tr˜Ìng hÒp sau:
Tr˜èng hềp 1: p ⌘ 1 (mod 3) nghổa là p = 3a + 1, a 2Z
Thay p = 3a + 1 vào (II) ta ˜Òc:
Tr˜èng hềp 1: p ⌘ 2 (mod 3) nghổa là p = 3a + 2, a 2Z
Thay p = 3a + 2 vào (II) ta ˜Òc:
V™y p ⌘ 2 (mod 6) (lo§i vì p là sË nguyên tË l¥).
TÍng hÒp hai tr˜Ìng hÒp trên ta thu ˜Òc k∏t qu£ p ⌘ 1 (mod 6).
Mà p là sậ nguyờn tậ nờn p chứ cú th∫ băng mẻt trong k sậ nguyờn tậ p 1 , p 2 , p 3 , , p k tho£ mãn p | N.
T¯ ú ti∏p tˆc suy ra ˜ềc p | 3 (mõu thuđn vểi p là ˜ểc nguyờn tậ lển hẽn 3 cıa N vì N > 3).
V™y có vô sË sË nguyên tË có d§ng 6n + 1.
‡nh lớ 2.3.5 Vểi n là sậ nguyờn d˜ẽng, cú vụ sậ sậ nguyờn tậ cú dĐng 8n + 3.
Gi£ s˚ có h˙u h§n sË nguyên tË 8n + 3 là p 1 , p 2 , p 3 , , p k.
Do N>1 nên tÁn t§i sË nguyên tË p sao cho p | N.
Vỡ ph˜ẽng trỡnh trờn cú nghiêm nờn 2 là mẻt th∞ng d˜ chớnh ph˜ẽng theo module p Nên p ⌘ 1, 3 (mod 8).
Do ó p ph£i có d§ng 8n + 1 ho∞c 8n + 3.
N∏u p có d§ng 8n + 1 thì p không là ˜Óc cıa N.
N∏u p có d§ng 8n + 3 thì theo gi£ thi∏t có k h˙u h§n sË nguyên tË nên p | p 1 , , p | p k.
M∞t khác p | N nên p | 2 (mâu thu®n vì p l¥ ).
V™y có vô sË sË nguyên tË có d§ng 8n + 3.
‡nh lớ 2.3.6 Vểi n là sậ nguyờn d˜ẽng, cú vụ sậ sậ nguyờn tậ cú dĐng 8n + 7.
Ch˘ng minh: Gi£ s˚ có h˙u h§n sË nguyên tË 8n + 7 là p 1 , p 2 , p 3 , , p k
Do N>1 nên tÁn t§i sË nguyên tË p sao cho p | N.
Vỡ ph˜ẽng trỡnh trờn cú nghiêm nờn2là mẻt th∞ng d˜chớnh ph˜ẽng theo module p.
Tr˜èng hềp 1: p ⌘ 1 (mod 8) nghổa là p = 8a + 1, a 2Z.
Tr˜èng hềp 2: p ⌘ 2 (mod 8) nghổa là p = 8a + 2, a 2 Z Tr˜èng hềp này khụng tho£ mãn vì p l¥.
Tr˜èng hềp 3: p ⌘ 3 (mod 8) nghổa là p = 8a + 3, a 2Z.
Tr˜èng hềp 4: p ⌘ 4 (mod 8) nghổa là p = 8a + 4, a 2 Z Tr˜èng hềp này khụng tho£ mãn vì p l¥.
Tr˜èng hềp 5: p ⌘ 5 (mod 8) nghổa là p = 8a + 5, a 2Z.
Tr˜èng hềp 6: p ⌘ 6 (mod 8) nghổa là p = 8a + 6, a 2 Z Tr˜èng hềp này khụng tho£ mãn vì p l¥.
Tr˜èng hềp 7: p ⌘ 7 (mod 8) nghổa là p = 8a + 7, a 2Z.
T¯ các tr˜Ìng hÒp trên ta thu ˜Òc p ⌘ 7 (mod 8) hay p ⌘ 1 (mod 8).
Mà p là sË nguyên tË nên p | p 1 , , p | p k
M∞t khác p | N nên p | 2 (mâu thu®n vì p l¥ ).
V™y có vô sË sË nguyên tË có d§ng 8n + 7.
Ch˜ẽng 3 ¿NH L fi DIRICHLET VÀ CÁC B◊ŒC CHŸNG MINH
3.1 ∞c tr˜ng và tÍng các ∞c tr˜ng
‡nh nghổa 3.1.1 Cho G là mẻt nhúm Abel Mẻt ∞c tr˜ng cıa G là là Áng còu nhúm G vào C ⇤ Núi cỏch khỏc, là mẻt ∞c tr˜ng cıa G n∏u vểi mÂi A, B trong G ta ∑u có
GÂi E là phản t˚ ẽn v‡ cıa G và A 1 là phản t˚ ngh‡ch Êo cıa A trong G. Khi ú ta cú cỏc tớnh chòt cıa mẻt ∞c tr˜ng nh˜ sau
Tớnh chòt 3.1.3 GiÊ s˚G cú b™c h, khi ú theo ‡nh lớ Lagrange ta cú A h = E vÓi mÂi A trong G T¯ ó ta có (A) h = (A h ) = (E) = 1
Do v™y (A) là mẻt c´n b™c h cıa ẽn v‡ vểi mÂi A trong G.
Tớnh chòt 3.1.4 Mẻt nhúm G cú b™c h thỡ cú ỳng h ∞c tr˜ng.
Tr˜ểc h∏t ta ch˘ng minh chòt ỳng vểi G là mẻt nhúm cyclic GiÊ s˚ răng
G = h A i và | G | = r Khi ú, mẻt hàm k˛ hiêu t¯ G vào C ⇤ ˜ềc xỏc ‡nh duy nhòt bi (A) Theo tớnh chòt 3.1.3, (A) là mẻt c´n r cıa ẽn v‡ Hi∫n nhiờn, vểi mẩi ⇢ là mẻt c´n r cıa ẽn v‡, ta xỏc ‡nh mẻt Áng còu nhúm duy nhòt t¯
(A j ) = ⇢ j ; j 2 { 0, , r 1 } Do cú ỳng r cıa ẽn v‡ nờn sậ cỏch chÂn ⇢ chớnh băng r T¯ ú, trong tr˜èng hềp G là mẻt nhúm cyclic, G cú ỳng |G| ∞c tr˜ng.
∫ ch˘ng minh ‡nh l˛ tÍng quỏt, ta cản mẻt k∏t quÊ v∑ còu trỳc cıa cỏc nhóm Abel h˙u h§n sinh: MÈi nhóm Abel h˙u h§n luôn là tích cıa các nhóm cyclic Ta có:
GiÊ s˚ còp cıa G i là r i và G i =< A i > vểi mÂi i 2 1, 2, , k.
Khi ú mÂi phản t˚ trong G cú th∫ ˜ềc vi∏t d˜ểi dĐng A t 1 1 A t 2 2 A t k k , vểi
0 t i r i 1; vÓi mÂi i 2 1, 2, , k VÓi ∞c tr˜ng, ta có:
T¯ ú, ta cú th∫ thòy cú mẻt sá t˜ẽng ˘ng duy nhòt theo giỏ tr‡ cıa nú trờn A 1 , A 2 , , A k Băng cỏch l™p lu™n t˜ẽng tá, ta suy ra răng cú ỳng
Tớnh chòt 3.1.5 Vểi mÂi A khỏc phản t˚ ẽn v‡, tÁn tĐi mẻt ∞c tr˜ng sao cho (A) 6 = 1.
Tớnh chòt 3.1.6 Cỏc ∞c tr˜ng cıa mẻt nhúm Abel G l™p thành mẻt nhúm Abel vÓi phép nhân ˜Òc xác ‡nh nh˜ sau
( )(A) = (A) (A) Phản t˚ ẽn v‡ là ∞c tr˜ng tảm th˜èng 0 Phản t˚ngh‡ch Êo ˜ềc xỏc ‡nh
1 (A) = (A 1 ) Nhúm cỏc ∞c tr˜ng cıa G ta kớ hiêu là Gb
GiÊ s˚ q là mẻt sậ nguyờn d˜ẽng, xột
Khi ó (Z /q Z ) ⇤ có b™c là '(q), nên theo ‡nh l˛ Euler ta có a '(q) ⌘ 1 (mod q),
Hay '(q) (a) = 1 vểi mÂi a 2 (Z /q Z ) ⇤ Ti∏p theo, ta s≥ m rẻng mi∑n xỏc ‡nh cıa ∞c tr˜ng lên t™p hÒp sË nguyên nh˜ sau:
Trong ú A là mẻt lểp nguyờn tậ th∞ng d˜ modulo q và ch˘a a Vểi nh˙ng sậ nguyờn a và gcd(a, q) > 1 ta ‡nh nghổa (a) = 0.
Ta ‡nh nghổa mẻt ∞c tr˜ng theo modulo q là mẻt hàm sậ hÂc cú nh˙ng tớnh chòt sau
Cú ỳng '(q) ∞c tr˜ng modulo q Cỏc ∞c tr˜ng này l™p thành mẻt nhúm Abel, ỉng còu vểi nhúm cỏc th∞ng d˜ nguyờn tậ modulo q.
Vểi n là sậ tá nhiờn thỡ ˜ềc ‡nh nghổa nh˜ sau:
‡nh lí 3.1.7 TÍng các ∞c tr˜ng
0 vÓi các tr˜Ìng hÒp còn l§i
L - Hàm
‡nh nghổa 3.2.1 Cho :N!C là mẻt hàm nhõn tớnh, và L(s, ) ˜ềc ‡nh nghổa là, 8 s 2C
‡nh nghổa 3.2.2 Hàm L(s, ) hẻi tˆ tuyêt ậi ậi vểi mÂi Re(s) > 1 và cú bi∫u diπn d˜Ói d§ng tích nh˜ sau:
1 (p)p s , trong ú tớch là trờn tòt cÊ cỏc sậ nguyờn tậ p Bi∫u th˘c này hẻi tˆ tuyêt ậi Ëi vÓi mÂi Re(s) > 1.
Ch˘ng minh: ậi vểi mẻt sậ nguyờn tậ p, ta xột chuẩi:
(p) n p ns ậi vểi mẻt bi∏n s 2 C Vỡ ˜ềc giểi hĐn, tÁn tĐi mẻt sậ thác M sao cho
| (n) |6 M ậi vểi tòt cÊ cỏc n Do ú,
Vỡ p Re(s) < 1, cho nờn chuẩi này hẻi tˆ tuyêt ậi vểi tòt cÊ cỏc sậ nguyờn tậ p. N∏u chỳng ta liêt kờ cỏc sậ nguyờn tậ nh˜ p 1 = 2, p 2 = 3, p 3 = 5, , thỡ vểi mÂi sậ tá nhiờn N 2N, ta cú:
Mênh ∑ 3.2.3 GiÊ s˚ 0 là mẻt ∞c tr˜ng Dirichlet tảm th˜èng,
1 n∏u n và q là hai sË nguyên tË cùng nhau
0 các tr˜Ìng hÒp còn l§i
Và q = p a 1 1 p a N N là mẻt phõn tớch th¯a sậ nguyờn tậ cıa q Ta cú
Mênh ∑ 3.2.4 N∏u là mẻt ∞c tr˜ng khụng tảm th˜èng thỡ chuẩi
(n) n s hẻi tˆ vểi Re(s) > 0 Hẽn n˙a i L(s, ) là hàm kh£ vi liên tˆc vÓi0 < s < 1. ii TÁn t§i các h¨ng sË c, c 0 > 0 sao cho
BÍ ∑ 3.2.5 N∏u là mẻt ∞c tr˜ng khụng tảm th˜èng, thỡ
Th™t v™y, n∏u S bi∫u th‡ tÍng ú và a thuẻc Z ⇤ (q) , thỡ
Vỡ là ∞c tr˜ng khụng tảm th˜èng, t˘c là (a) 6 = 1 vểi mẻt sậ a, do ú S = 0. Bây giÌ, chúng ta vi∏t k = aq + b vÓi 0 b < q, và chú ˛ r¨ng
(n), và khụng cú nhi∑u hẽn q sậ hĐng trong tÍng cuậi cựng Ch˘ng minh ó hoàn tòt khi | (n) | 1.
Bõy giè chỳng ta cú th∫ ch˘ng minh mênh ∑ ∞t s k =Pk n=1 (n), và s 0 = 0. Chúng ta bi∏t r¨ng L(s; ) ˜Òc xác ‡nh cho s > 1bi dãy sË
(n) n s , mà hẻi tˆ tuyêt ậi và Áng ∑u cho s > > 1 Hẽn n˙a, dóy sậ Đo hàm cÙng hẻi tˆ tuyêt ậi và Áng ∑u cho s > > 1, i∑u này ch˘ng t‰ L(s; ) là mẻt hàm có kh£ n´ng vi phân liên tˆc cho s > 1.
∫ m rẻng k∏t quÊ này cho s > 0, chỳng ta s≥ s˚ dˆng ph˜ẽng phỏp tÍng theo phản Th™t v™y, chỳng ta cú:
⌘ N∏ug(x) = x s , thìg 0 (x) = sx s 1 , do ó, áp dˆng ‡nh l˛ giỏ tr‡ trung bỡnh gi˙a x = k và x = k + 1, và sá th™t là | s k | q, chúng ta có:
P f k (s) hẻi tˆ tuyêt ậi và Áng ∑u cho s > > 0, i∑u này ch˘ng t‰ L(s; )liên tˆc cho s > 0 ∫ ch˘ng minh nó cÙng có kh£ n´ng vi phân liờn tˆc, chỳng ta vi∏t lĐi chuẩi này theo cỏch tÍng qua cỏc phản ∫ thu ˜ềc:
Áp dˆng ‡nh l˛ giỏ tr‡ trung bỡnh cho hàmg(x) = x s log x cho thòy răng cỏc giỏ tr‡ này là O(k 2 1 ), do ú chuẩi ó vi phõn hẻi tˆ Áng ∑u cho s > > 0 Vỡ v™y, L(s; ) có kh£ n´ng vi phân liên tˆc cho s > 0.
Ti∏p theo, quan sát r¨ng cho mÂi s lÓn,
Chỳng ta cú th∫ chÂn c = log 2 ∫ nh™n thòy L(s; ) = 1 + O(e cs ) khi s ! 1. Mẻt l™p lu™n t˜ẽng tá cÙng cho thòy L 0 (s; ) = O(e c 0 s ) khi s ! 1, trong ú c 0 = c,.
N∏u là mẻt ∞c tr˜ng khụng tảm th˜èng và s > 1, ta ‡nh nghổa log 2 L(s; ) =
Ta bi∏t răng L(t; ) 6 = 0 ậi vểi mÂi t > 1 vỡ nú ˜ềc bi∫u diπn bi mẻt tớch, và phản tớch phõn hẻi tˆ vỡ
Ch˘ng minh: §o hàm e log 2 L(s; ) L(s; ) theo s cho ta
Vỡ v™y, e log 2 L(s; ) L(s; ) là mẻt hăng sậ, và hăng sậ này cú th∫ ˜ềc thòy là 1 khi ˜a s ! 1.
∫ ch˘ng minh sá băng nhau gi˙a hai hàm logarithm, ta gi˙ s khụng Íi và lòy lÙy th¯a c£ hai bên V∏ trái tr thành e log 2 L(s; ) = L(s; ), và v∏ ph£i tr thành e P p log 1 ( 1 ps (p) ) =Y p
T¯(i) trong mênh ∑ 3.2.4 và cụng th˘c nhõn Dirichlet, ta cú: cho mẩi s, tÁn tĐi mẻt sậ nguyờn M(s) sao cho log 2 L(s; ) X p log 1
Ta cú th∫ thòy v∏ trỏi là liờn tˆc theo s, và i∑u này ỏm chứ tớnh liờn tˆc cıa hàm M (s) Nh˜ng M (s) chứ nh™n giỏ tr‡ nguyờn, do ú ta k∏t lu™n răng M(s) là mẻt hăng sậ, và hăng sậ này c là 0 khi ∫ s ! 1.
K∏t hềp lĐi ta thu ˜ềc cỏc tớnh chòt cıa log 1 cho thòy:
Bõy giè n∏u L(1; ) 6 = 0 cho mẻt k˛ tá Dirichlet khụng tảm th˜èng, thỡ theo bi∫u diπn tớch phõn cıa nú, log 2 L(s; ) b‡ ch∞n s ! 1+ Do ú, sá Áng nhòt gi˙a cỏc hàm logarithm ỏm chứ răng:
(p)p s b‡ ch∞n s ! 1+, i∑u này là k∏t qu£ mong muËn.
fi t˜ng chớnh trong l™p lu™n cıa Dirichlet chứ ra răng: s lim ! 1 +
N∏u q = 1, i∑u này hoàn toàn úng vì:
Trong ó: P 1 n=1 1 np ns là dãy harmonic cıa các sË nguyên tË vÓi mÙ ns. Sau khi s˚ dˆng bi∫u th˘c: log(1 x) =
Ta nh™n thòy răng: s lim ! 1 + ⇣(s) = + 1
Vì dãy harmonic phân k˝ tÓi vô cùng nên chúng ta thu ˜Òc: s lim ! 1 + log ⇣(s) = + 1
T¯ ó chúng ta có th∫ k∏t lu™n r¨ng: s lim ! 1 +
Mênh ∑ 3.3.1 Cho = 0 là mẻt ∞c tr˜ng tảm th˜èng ( mod q) Khi ú s lim ! 1 + log L(s, 0 ) = + 1
(1 1 p s ) trong ú q là modulo cıa kớ hiêu 0. s lim ! 1 + logY p | q
Do tớnh chòt cıa logarit, ta cú log(1 1 p ) < 0 vểi mÂi sậ nguyờn tậ p. T¯ ó, ta có:
V™y, khi s ! 1 + , ta có log L(s, 0 ) = log ⇣(s) +X p | q log(1 1 p s ) ! 1
Tuy nhiên, ta có lim s ! 1 + log L(s, 0 ) = + 1
1 A mà (p n ) 6 = 0 khi p n ⌘ 1 (mod q), ta có th∫ vi∏t l§i tÍng nh˜ sau:
Chú ˛ r¨ng, vÓi mÈi p n ⌘ 1 (mod q), ta có P
(mod q) (p n ) = '(q), vÓi '(q) là hàm Euler Do ó,
Mênh ∑ 3.3.3 Vểi mÂi s > 1, chuẩi Dirichlet
Cú tớnh chòt a 1 = 1 và a n > 0 khi n > 2
Dáa vào k∏t quÊ cıa mênh ∑ 3.3.2 và chuẩi Maclaurin cıa hàm mÙ e x = 1 + x + x 2
Lòy logarit hai v∏, ta ˜ềc: log(e 1/n s ) = log(1 + 1 n s + 1 2!n 2s + )
Vì log và e là hai hàm Áng bi∏n, nên Íi v∏ ta ˜Òc:
∞t (n) = 1 cho tòt cÊ cỏcn, ta cúL(s, ) = ⇣(s)Áp dˆng phộp bi∏n Íi Măobius trên hai v∏ cıa bi∫u th˘c trên, ta ˜Òc:
Ti∏p tˆc ta cản ch˘ng minh a n 0 cho n 2 Ta cú:
Ta thòy răng tÍng bờn phÊi cıa bi∫u th˘c này khụng õm, vỡlog L(s, ) và cỏc sậ 1/(np ns ) ∑u không âm.
Do ó, chuÈi Dirichlet P 1 n=1 a n n s cú tớnh chòt a 1 = 1 và a n 0 cho n 2. Mênh ∑ 3.3.4 Vểi 6 = 0 là mẻt ∞c tr˜ng Dirichlet theo modulo q thỡ
Mênh ∑ 3.3.5 N∏u L(1, ) 6 = 0 thỡ L(1, ) 6 = 0, vểi mẩi ∞c tr˜ng 6 = 0 mod q.
Mênh ∑ 3.3.6 N∏u L(1, ) 6 = 0 vểi mÂi 6 = 0 thỡ s lim ! 1 + (s 1) Y
Ng˜ềc lĐi, theo mênh ∑ 3.3.2, ta lĐi cú
Quan sát r¨ng chúng ta có th∫ vi∏t l§i sË mÙ nh˜ sau
L˜u˛r¨ng (a) (a) = 1 Ngoài ra, (a) (a 1 ) = 1 Vì v™y (a) = (a 1 ), trong ó a 1 là ngh‡ch £o cıa a trong (Z /q Z ) ⇤ Do ó,
(a 1 n), là'(q)n∏ua 1 n ⌘ 1 (mod q)và b¨ng không vÓi tr˜Ìng hÒp còn l§i thì (mod q) (a) (n) = '(q), và ng˜ềc lĐi, n∏u khụng th‰a món i∑u kiên trờn thỡ
Mênh ∑ 3.3.8 Vểi (a, q) = 1 và L(1, ) 6 = 0; 8 6 = 0 thỡ s lim ! 1 + (s 1) Y
Chỳng ta thòy răng ậi vểi s > 1,
(mod q) (a) (p n ) là '(q) n∏up n ⌘ a (mod q) và b¨ng 0 trong các tr˜Ìng hÒp còn l§i Do ó,
T˜ẽng tá nh˜ tr˜ểc, ta cú s ! lim 1+ (s 1) Y
L(s, ) (a) 6 = 0, vì L(1, ) 6 = 0 nên ta có ˜Òc i∑u ph£i ch˘ng minh.
Bõy giè ta cản chứ ra L(1, ) 6 = 0 vểi 6 = 0.
Các b˜Óc ch˘ng minh
ảu tiờn, ta s≥ xột tr˜èng hềp khi là ∞c tr˜ng ph˘c Xột
L(s, ) là chuÈi Dirichlet P 1 n=1 a n n s vÓi a 1 = 1 và a n 0. Mênh ∑ 3.4.1 Vểi 1 là ∞c tr˜ng ph˘c, giÊ s˚ 1 6 = 1 thỡ
L(1, 1 ) 6 = 0 vểi F (s) ˜ềc ‡nh nghổa nh˜ trờn.
Theo mênh ∑ 3.3.4, L(s, ) hẻi tˆ vểi s > 0 N∏u L(1, 1 ) = 0, thỡ ta cú th∫
L(s, 1 ) = (s 1)g(s, 1 ), trong ó g (s, ) là hàm liên tˆc vÓi s > 0, s 6 = 1 Vì
Trong tr˜èng hềp | S(t) | q, tớch phõn này tˆ tuyêt ậi vểis > 0 Ta cÙng thòy r¨ng L(s, )có §o hàm Do ó, n∏u ∞t g(1, ) = L 0 (1, 1 ), thìg(s, )liên tˆc Ëi vểi tòt cÊ s > 0 Theo mênh ∑ 3.3.5, L(1, 1 ) = 0, nờn L(s, 1 ) = (s 1)g(s, 1 ).
L(s, ) và ta thòy răng s lim ! 1 +
X1 n=2 a n n s , chỳng ta ó ch˘ng minh ˜ềc a n 0 theo mênh ∑ 3.3.3, vỡ v™y s lim ! 1 +
Sá mõu thuđn này ngˆ ˛ L(1, 1 ) 6 = 0.
Ti∏p theo ta s≥ ch˘ng minh L(1, ) 6 = 0 vểi là ∞c tr˜ng thác và 6 = 0
‡nh nghổa 3.4.2 Dirichlet’s Hyperbola Method
GiÊ s˚ chỳng ta cú mẻt hàm sậ f = g ⇤ h nghổa là, f (n) = X d | n g(d)h(n/d)
Trong ú, hai hàm g và h ˜ềc ‡nh nghổa nh˜ sau:
1. Áp dˆng mênh ∑ 3.2.3 và f (n) = 0 (n), g = h = 1 và y = p x. X n x
[ p x] 2 = ( p x { p x } ) 2 = x + O( p x) T¯ ó ta suy ra k∏t qu£ cuËi cùng.
Mênh ∑ 3.4.5 Cho là mẻt ∞c tr˜ng thác (mod q), ‡nh nghổa f (n) = X d | n
Khi ú, f (1) = 1 và f(n)> 0 Ngoài ra f (n)> 1 khi n là sậ chớnh ph˜ẽng.
Trong ó f(n) =P d | n (d) và 6 = 0. Ch˘ng minh: Áp dˆng ph˜ẽng phỏp Dirichlet’s Hyperbola:
– ây, ta Íi bi∏n b¨ng cách ∞t n = dm trong tÍng cuËi cùng:
Vì 6 = 0, nên ta có P d | m (d) = 0 khi m > 1 Do ú, tÍng chứ cũn lĐi khim = 1, và ta có P d | m (d) = 1.
Ti∏p theo, ta thay k∏t qu£ này vào công th˘c Dirichlet’s hyperbola:
Ti∏p theo, ta muËn xác ‡nh tÍng P n x f (n) p n ∫ làm ˜Òc i∑u này, ta s˚dˆng cụng th˘c Dirichlet’s hyperbola mẻt lản n˙a:
Thay th∏ giá tr‡ cıa P n x/d (n) băng 1 (do khụng phˆ thuẻc vào n), ta cú: X n x f(n) p n = X d p x à(d) 1 p d ⇠ X d p x à(d) p d Áp dˆng ˜Óc l˜Òng Dirichlet cho hàm M¨obius
Mênh ∑ 3.4.7 N∏u 6 = 0 là mẻt ∞c tr˜ng thác thỡ L(1, ) 6 = 0.
Ch˘ng minh: Gi£ s˚ L(1, ) = 0 Khi ó:
Ng˜ềc lĐi, t¯ mênh ∑ 3.4.5, ta bi∏t răng f(n) 0 và f(n) 1 khi n là sậ chớnh ph˜ẽng Do ú:
1 m log x, i∑u này tĐo ra mẻt sá mõu thuđn.
Vểi mẩi là ∞c tr˜ng khụng tảm th˜èng theo module q.
Ch˘ng minh: S˚ dˆng tÍng t¯ng phản, ta cú:
Z 1 x s(t) t 2 dt, trong ó s(t) =P n t (n) Nh˜ng | s(t) | q, nên ta có i∑u ph£i ch˘ng minh.
Khi là mẻt ∞c tr˜ng khụng tảm th˜èng (mod q) thỡ
Chỳng ta ỏp dˆng ph˜ẽng phỏp ’s hyperbola:
x y , trong ó s(y) =P n y (n) Vì | s(y) | q, nên ta có:
B¨ng cách chÂny = p x, ta có:
Cuậi cựng, t¯ mênh ∑ 3.4.8, ta cú:
◆ , i∑u này cho thòy k∏t quÊ cản ˜ềc ch˘ng minh.
Mênh ∑ 3.4.10 Vểi mÂi là ∞c tr˜ng thác thỡ
F (x) =X n x a n = O( p x). Áp dˆng tÍng t¯ng phản
F (t) t s+1 dt vểi s > 1/2 và chuẩi Dirichlet hẻi tˆvểi Res > 1/2 Ta lĐi cú
Vỡ L(s, ) hẻi tˆ và giÊi tớch vểi Res > 0 theo mênh ∑ 3.3.4và & (s) cú sá kộo dài phõn tớch ∏n Re(s) > 0 Ta ∞t s = 1/2 + ✏ Tớch phớa bờn phÊi ( ⇤ ) hẻi tˆ tểi L(1/2, )&(1/2) khi ✏ ! 0, vỡ & (s) chứ cú mẻt các tĐi s = 0 Suy ra
Tuy nhiờn, vểi ✏ ! 0, & (1 + 2✏) ! 1 , vỡ 1 là mẻt các cıa & (s). i∑u này d®n ∏n mâu thu®n.
TÍng hềp cỏc mênh ∑ trờn, ta ó ch˘ng minh ˜ềc
T¯ ó suy ra có vô sË sË nguyên tË, và ‡nh lí Dirichlet ˜Òc phát bi∫u nh˜ sau:
‡nh lớ 3.4.11 ( ‡nh lớ Dirichlet) Vểi mẩi sậ nguyờn tậ q và mẻt th∞ng d˜ lÓp a (mod q), có vô sË sË nguyên tË p ⌘ a (mod q).
KũT LUọN VÀ KIũN NGH¿
Trong ∑ án này, tôi ã tìm hi∫u kˇ l˜Ông v∑ ‡nh l˛ Dirichlet v∑ sË nguyên tË trong mẻt còp sậ cẻng, õy là mẻt ‡nh l˛ quan trÂng trong lổnh vác l˛ thuy∏t sậ Tụi ó ti∏n hành phõn tớch chi ti∏t v∑ nẻi dung và chứ ra cỏc b˜ểc ch˘ng minh cıa ‡nh l˛.
Mẻt sậ k∏t quÊ quan trÂng cıa ∑ ỏn này bao gÁm:
1 Giểi thiêu v∑ ‡nh l˛ Dirichlet v∑ sậ nguyờn tậ trong còp sậ cẻng.
2 Trình bày ‡nh l˛ Dirichlet và mô t£ cách mà ‡nh l˛ k∏t nËi sË nguyên tË vểi còp sậ cẻng.
3 ˜a ra cỏc ‡nh l˛ và bÍ ∑ gúp phản cho viêc giÊi quy∏t cỏc vòn ∑ ph˘c t§p cıa ch˘ng minh ‡nh l˛.
Tụi ó thòy răng ‡nh l˛ Dirichlet khụng chứ cú ˛ nghổa l˛ thuy∏t mà cũn cú nhi∑u ˘ng dˆng thác t∏, ∞c biêt là ˘ng dˆng trong quỏ trỡnh giÊng dĐy cỏc còp Trung hÂc phÍ thông.
TÍng k∏t lĐi, ∑ ỏn này ó giỳp tụi hi∫u rừ hẽn v∑ ‡nh l˛ Dirichlet và tảm quan trÂng cıa nó trong toán hÂc và˘ng dˆng Bên c§nh ó, ∑ án còn giúp tôi khỏm phỏ sá ph˘c tĐp trong ch˘ng minh ‡nh l˛ Dirichlet v∑ sậ nguyờn tậ Tụi hy vÂng răng ∑ ỏn này cÙng s≥ giỳp Âc giÊ cú cỏi nhỡn tÍng quan v∑ lổnh vác này và cỏch nú cú th∫ ỏp dˆng trong cỏc bài toỏn thác t∏.