Một số bất đẳng thức trên thang thời gian

Nguyễn Thu Hà và PGS.TS Đinh Thanh Đức trong thời gian qua.Mọi số liệu sử dụng phân tích trong đề án và kết quả nghiên cứu là phântích một cách khách quan, trung thực, có nguồn gốc rõ rà

TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN

————————–

NGUYỄN THỊ THANH HOA THUẬN

MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC TRÊN

THANG THỜI GIAN

Ngành: Phương pháp Toán sơ cấp

Mã số: 8460113

NGƯỜI HƯỚNG DẪN:

TS NGUYỄN THU HÀPGS.TS ĐINH THANH ĐỨC

Đề tài “Một số bất đẳng thức trên thang thời gian” tôi xin camđoan là kết quả nghiên cứu và tổng hợp của bản thân dưới sự hướng dẫncủa TS Nguyễn Thu Hà và PGS.TS Đinh Thanh Đức trong thời gian qua.Mọi số liệu sử dụng phân tích trong đề án và kết quả nghiên cứu là phântích một cách khách quan, trung thực, có nguồn gốc rõ ràng đã được tríchdẫn cụ thể trong quá trình thể hiện nội dung và chưa được công bố dướibất kỳ hình thức nào Tôi xin chịu hoàn toàn trách nhiệm nếu có sự khôngtrung thực trong thông tin sử dụng trong kết quả nghiên cứu này.

Ngày 28 tháng 11 năm 2023

Học viên

Nguyễn Thị Thanh Hoa Thuận

Đế án này được thực hiện tại Khoa Toán và thống kê, trường Đại họcQuy Nhơn và hoàn thành dưới sự hướng dẫn của TS Nguyễn Thu Hà vàPGS TS Đinh Thanh Đức Tôi xin được bày tỏ lòng biết ơn chân thành

và sâu sắc tới tập thể hướng dẫn khoa học của mình Những người đã đặtvấn đề nghiên cứu, dành nhiều thời gian hướng dẫn, tận tình dìu dắt vàchỉ bảo tôi trong suốt quá trình thực hiện đề tài đề án này Tôi xin trântrọng cảm ơn Ban giám hiệu trường Đại học Quy Nhơn, Ban chủ nhiệmkhoa Toán và thống kê cùng các giảng viên đã tham gia giảng dạy, đã tạomọi điều kiện tốt nhất để tôi học tập và nghiên cứu

Tôi cũng xin gửi lời cảm ơn tới gia đình, bạn bè đồng nghiệp và người thân

đã chăm sóc động viên khích lệ tôi trong suốt quá trình học tập và nghiêncứu Sau cùng tôi xin kính chúc toàn thể quý thầy cô trường Đại học QuyNhơn thật dồi dào sức khỏe, niềm tin để tiếp tục thực hiện sứ mệnh caođẹp của mình là truyền đạt tri thức cho thế hệ mai sau Xin chân thànhcảm ơn!

Quy Nhơn, ngày 28 tháng 11 năm 2023

Lời cam đoan

Lời cảm ơn

Mục lục

Danh sách các ký hiệu

Mở đầu 1

1 Kiến thức chuẩn bị 4 1.1 Định nghĩa và ví dụ về thang thời gian 5

1.2 Hàm hồi quy, hàm chính quy và hàm liên tục 7

1.3 Đạo hàm Delta trên thang thời gian 8

1.4 Tích phân Delta trên thang thời gian 10

1.4.1 Độ đo ∆ trên thang thời gian 10

1.4.2 Tích phân Delta trên thang thời gian 11

1.5 Hàm mũ trên thang thời gian 13

2.1 Bất đẳng thức H¨older 16

2.1.1 Bất đẳng thức H¨older trên thang thời gian 17

2.1.2 Mở rộng của bất đẳng thức H¨older cho nhiều thừa số 20 2.1.3 Mở rộng bất đẳng thức H¨older cho số mũ âm 25

2.1.4 Mở rộng bất đẳng thức H¨older cho tích phân có trọng số 28

2.1.5 Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz 31

2.2 Bất đẳng thức Minkowski 32

2.2.1 Bất đẳng thức Minkowski dạng cổ điển 32

2.2.2 Một số dạng mở rộng của bất đẳng thức Minkowski 34 2.2.3 Bất đẳng thức tích phân Minkowski ngược 40

2.3 Bất đẳng thức Jensen 41

3 Bất đẳng thức Hardy trên thang thời gian và ứng dụng 46 3.1 Bất đẳng thức Hardy 46

3.2 Ứng dụng của bất đẳng thức Hardy trong phương trình vi phân 65 Kết luận và kiến nghị 68

N, R = Tập tất cả các số tự nhiên, số thực

T = Thang thời gian

Tk = T \ {M } nếu T có phần tử lớn nhất M là điểm cô lập trái;

bằng T trong các trường hợp còn lại

Tt 0 = {t ∈ T : t ⩾ t0}

Crd(T, R) = Tập tất cả các hàm : T → R là rd-liên tục

Crd+(T, R) = Tập tất cả các hàm : T → R là dương và rd-liên tục

R(Tk, R) = Tập tất cả các hàm hồi quy, xác định trên T

R+(Tk, R) = Tập tất cả các hàm hồi quy dương, xác định trên T

CrdR(T, R) = Tập tất cả các hàm : T → R là rd-liên tục và hồi quy

GL(Rm) = Tập các tự đẳng cấu tuyến tính của không gian Rm

Km×n = Tập tất cả các m × n−ma trận có các phần tử thuộc K

L(X) = Tập tất cả các toán tử tuyến tính liên tục từ X vào X

Ln = Nhánh chính của logarithm phức với miền giá trị là [−iπ, iπ)

Lploc Tt0, Rn
= Tập các hàm f : Tt 0 → Rn khả tích địa phương bậc p trên Tt 0

Lời mở đầu

Bất đẳng thức là một trong những chủ đề quan trọng của toán học, nókhông chỉ là một phần kiến thức nền rất quan trọng, một loại bài toánhay và khó có liên quan hầu hết đến các dạng bài tập ở chương trình Toánhọc phổ thông mà còn được sử dụng nhiều trong toán học hiện đại để ướclượng, đánh giá nghiệm hệ động lực, Bất đẳng thức có hai dạng: dạngrời rạc ứng với thang thời gian rời rạc liên quan đến các dãy số và dạngliên tục liên quan đến liên quan đến tích phân trên đường thẳng thực hoặctrong không gian Cách trình bày và các chứng minh các kết quả của haidạng này trong nhiều trường hợp khá tương tự nhau Từ đó, nảy sinh ýtưởng thống nhất các sự trình bày của hai loại này thành bất đẳng thứctrên thang thời gian nói chung Ngoài ra, việc sử dụng bất đẳng thức cótrong hầu hết các bài toán nghiên cứu, đánh giá nghiệm của hệ động lựcdưới rời rạc và liên tục Trong toán sơ cấp, nó cũng là chủ đề dành đượcrất nhiều sự quan tâm của học sinh và giáo viên phổ thông Có rất nhiềusách và tài liệu tham khảo viết về bất đẳng thức hay như của các tác giảtrong và ngoài nước như R.Bellman, E.Beckenbach [2] và B G.Pachpatte[7], tác giả Nguyễn Vũ Lương hay Phan Huy Khải,

Mặt khác, trong những năm gần đây, lý thuyết về thang thời gian, vớicái tên “Giải tích trên thang thời gian”, được Stefan Hilger giới thiệu nghiêncứu của mình nhằm thống nhất giải tích liên tục và rời rạc [6] Ngay khi lýthuyết này ra đời, nó đã nhận được rất nhiều sự quan tâm Cho đến nay,

có rất nhiều sách và bài báo viết về phương trình động lực trên thang thờigian như [1], [3],[4], Nhiều kết quả quen thuộc trong trường hợp liên tục

và rời rạc đã được "chuyển" và làm "tổng quát" cho thang thời gian Đây

là bài toán đáng được quan tâm và cũng đã có rất nhiều công trình nghiêncứu về vấn đề này như [5] Bản đề án này cũng nghiên cứu về bất đẳngthức trên thang thời gian nhằm thống nhất cách trình bày bất đẳng thứcdạng rời rạc và liên tục cũng như phát triển chúng thành các bất đẳng thứctổng quát hơn Thông qua đó, ta cũng thấy được vai trò của nó trong toánhọc hiện đại và toán học phổ thông

Đề án bao gồm ba chương với nội dung cụ thể như sau Chương 1 tatrình bày về thang thời gian, giải tích trên thang thời gian với các địnhnghĩa và tích chất của đạo hàm, tích phân và hàm mũ trên thang thời gian.Nội dung chính của chương này được dựa trên tài liệu [3] Trong chương 2,

ta phân tích, tổng hợp và đưa ra các chứng minh về các bất đẳng thức cổđiển trên thang thời gian như bất đẳng thức Holder, Mincopski, Jensen, tacũng phân tích để thấy rõ mối liên hệ của các bất đẳng thức đó trên cácthang thời gian khác nhau như thời gian rời rạc T = Z , thời gian liên tụckhi T = R và một số thang thời gian khác dựa trên tài liệu [5] Cuối cùng,

ở chương 3, ta trình bày về bất đẳng thức Hardy trên thang thời gian và

ứng dụng của nó với việc nghiên cứu tính ổn định của phương trình độnglực trên thang thời gian Trong quá trình nghiên cứu và hoàn thiện đề án,tác giả đã cố gắng rất nhiều, tuy nhiên có thể vẫn còn một số hạn chế nhấtđịnh nên đề án vẫn không tránh khỏi một số thiếu sót nhỏ Tác giả xintiếp thu mọi ý kiến nhận xét và trao đổi của các nhà toán học, độc giả vànhững người quan tâm đến vấn đề này.

Chương 1

Kiến thức chuẩn bị

Chương này trình bày các khái niệm cơ bản nhất về thang thời gian, một

số loại hàm số định nghĩa trên thang thời gian như hàm chính quy, hàmhồi quy, hàm rd-liên tục và khái niệm ∆−đạo hàm và ∆−tích phân củamột hàm xác định trên thang thời gian Bên cạnh đó ta cũng định nghĩaphép biến đổi trụ và sử dụng phép biến đổi trụ để đưa ra khái niệm hàm

mũ suy rộng trên thang thời gian và các tính chất của hàm mũ trên thangthời gian T

Những định nghĩa và định lý được trình bày trong chương này được xemnhư một giới thiệu tổng quan về thang thời gian mà hầu hết trong số đó

ta có thể tìm thấy trong cuốn sách [3] của các tác giả M Bohner và A.Peterson, đây là một trong những tài liệu viết đầy đủ và chi tiết nhất vềthang thời gian và phương trình động lực trên thang thời gian

1.1 Định nghĩa và ví dụ về thang thời gian

Định nghĩa 1.1.1 Thang thời gian là một tập con đóng tùy ý khác rỗngcủa tập các số thực R, ký hiệu T Ta giả sử xuyên suốt rằng thang thờigian T có một tôpô mà nó được cảm sinh từ tôpô trên tập các số thực Rvới tôpô tiêu chuẩn

Định nghĩa 1.1.2 Cho thang thời gian T, với mỗi t ∈ T, ta định nghĩatoán tử nhảy tiến và toán tử nhảy lùi như sau:

i) Toán tử nhảy tiến: σ : T −→ T, σ(t) := inf{s ∈ T : s > t},

ii) Toán tử nhảy lùi: ρ : T −→ T, ρ(t) := sup{s ∈ T : s < t}

Ta quy ước: nếu t = max T thì σ(t) = t; nếu t = min T thì ρ(t) = t

Định nghĩa 1.1.3 Điểm t ∈ T gọi là điểm cô lập phải nếu σ(t) > t, trùmật phải nếu t < sup T và σ(t) = t, cô lập trái nếu ρ(t) < t, trù mật tráinếu t > inf T và ρ(t) = t Điểm vừa là cô lập phải vừa là cô lập trái gọi làđiểm cô lập, điểm vừa là trù mật phải vừa là trù mật trái gọi là điểm trùmật

Định nghĩa 1.1.4 Hàm số µ : T → R+xác định bởi µ(t) = σ(t)−t, t ∈ Tgọi là hàm hạt của thang thời gian T

Ký hiệu (a, b)T = {t ∈ T : a < t < b} Để cho đơn giản, ngoại trừ nhữngtrường hợp cần nhấn mạnh, từ đây trở đi ta viết (a, b); (a, b]; [a, b); [a, b]thay cho (a, b)T; (a, b]T; [a, b)T; [a, b]T

Nếu thang thời gian T có phần tử lớn nhất M là điểm cô lập trái thì tađặt Tk = T \ {M }; và Tk = T trong các trường hợp còn lại Chẳng hạn,[a, b]k = [a, b] nếu b là điểm trù mật trái và [a, b]k = [a, b) = [a, ρ(b)] nếu b

là cô lập trái

Ví dụ 1.1.5

i) Khi T = R thì σ(t) = t = ρ(t), và µ(t) ≡ 0, với mọi t ∈ T

Khi T = Z thì σ(t) = t + 1, ρ(t) = t − 1 và µ(t) ≡ 1, với mọi t ∈ T.ii) Cho h > 0 là một số cố định Thang thời gian hZ được xác định nhưsau:

hZ = {hn : n ∈ Z} = {· · · , −3h , −2h , −h , 0 h , 2h , 3h , · · · }

Ta có σ(t) = t + h, ρ(t) = t − h và µ(t) ≡ h, với mọi t ∈ T

iii) Cho a, b > 0 là các số thực cố định Xác định thang thời gian Pa,b bởi

Pa,b = ∪∞k=0[k(a + b), k(a + b) + a]

Khi đó, nếu t ∈ ∪∞k=0[k(a + b), k(a + b) + a), thì t là những điểm trù mậtphải nên

Khi đó, H = {Hn : n ∈ N0} là một thang thời gian với

1.2 Hàm hồi quy, hàm chính quy và hàm liên tục

Định nghĩa 1.2.1 Cho K là trường số thực hoặc phức Hàm p: T −→ Kđược gọi là hồi quy nếu 1 + µ(t)p(t) ̸= 0 với mọi t ∈ Tk

Gọi R = R(T, K) là tập hợp tất cả các hàm hồi quy p : T −→ K TrênR(T, K) ta định nghĩa phép toán ⊕ được xác định bởi

(p ⊕ q)(t) := p(t) + q(t) + µ(t)p(t)q(t)

(p ⊖ q)(t) = p(t) − q(t)

1 + µ(t)q(t), với mọi p, q ∈ R.

Chú ý, ta hiểu (p ⊖ q)(t) chính là (p ⊕ ⊖q)(t) Ta chú ý rằng, nếu p, q ∈ Rthì ⊖p, ⊖q, p ⊕ q, p ⊖ q ∈ R Khi đó, tập hợp R(T, K) cùng với phép toán

⊕ lập thành một nhóm Abel Ta gọi R(T, K) là nhóm hồi quy

Hệ quả 1.2.2 Tập các phần tử hồi quy dương của R(T, R), xác định bởi

R+ = R+(T, R) = {p ∈ R(T, R) : 1 + µ(t)p(t) > 0, với mọi t ∈ Tk},

là một nhóm con của R(T, R)

Vì tôpô trên thang thời gian T được cảm sinh từ tôpô tiêu chuẩn trênđường thẳng thực, nên khái niệm hàm liên tục được đưa ra một cách tựnhiên như trên đường thẳng thực R Tuy nhiên, trên thang thời gian có

một số loại điểm đặc thù, nên ta cũng có thêm một số khái niệm sau liênquan đến tính liên tục của hàm số trên thang thời gian.

Định nghĩa 1.2.3 Cho hàm số f : T −→ R, khi đó

1 Hàm f được gọi là chính quy nếu tồn tại giới hạn bên phải (hữu hạn)tại tất cả các điểm trù mật phải trong T và tồn tại giới hạn bên trái(hữu hạn) tại tất cả các điểm trù mật trái trong T

2 Hàm f được gọi là rd-liên tục nếu nó liên tục tại các điểm trù mậtphải và tồn tại giới hạn trái hữu hạn tại các điểm trù mật trái trongT

Ký hiệu Crd(T, R) = {f : T → R là rd-liên tục}

1.3 Đạo hàm Delta trên thang thời gian

Định nghĩa 1.3.1 Xét hàm số f : T −→ R Khi đó ∆−đạo hàm của ftại t ∈ Tk là một số (nếu nó tồn tại), ký hiệu f∆(t), nếu với mọi ϵ > 0 chotrước tồn tại lân cận U của t sao cho

f (σ(t)) − f (s) − f∆(t)σ(t) − s

⩽ ϵ|σ(t) − s|, ∀ s ∈ U

Hàm f được gọi là ∆−khả vi hay nói ngắn gọn là khả vi trên Tk nếu

f∆(t) tồn tại với mọi t ∈ Tk

Định lý 1.3.2 Xét hàm số f: T −→ R và t ∈ Tk Khi đó ta có:

i) Nếu f khả vi tại t thì f liên tục tại t

ii) Nếu f liên tục tại t và t là điểm cô lập phải thì f là khả vi tại t và

f∆(t) = f (σ(t)) − f (t)

µ(t) .iii) Nếu t là điểm trù mật phải thì f là khả vi tại t khi và chỉ khi giới hạnlim

t ∈ Tk = T và f∆(t) = ∆f (t) = f (t + 1) − f (t), ở đây ∆ là toán tử saiphân tiến thông thường

3 Hàm tích f g: T −→ R khả vi tại t và

(f g)∆(t) = f∆(t)g(t) + f (σ(t))g∆(t) = f (t)g∆(t) + f∆(t)g(σ(t))

4 Nếu f (t)f (σ(t)) ̸= 0 thì 1f khả vi tại t và (f1)∆(t) = −f (t)f (σ(t))f∆(t)

5 Nếu g(t)g(σ(t)) ̸= 0 thì fg khả vi tại t và (fg)∆(t) = f∆(t)g(t)−f (t)gg(t)g(σ(t))∆(t)

1.4 Tích phân Delta trên thang thời gian

Trong phần này chúng tôi trình bày một số khái niệm cơ bản của tíchphân trên thang thời gian Có một số cách để định nghĩa tích phân, ta

có thể định nghĩa tích phân Riemann của một hàm bằng cách xem xétcác phân hoạch của khoảng [t0, T ] thành các khoảng con, sau đó tính tổngDarboux và thiết lập giới hạn nếu nó tồn tại Để biết thêm chi tiết, chúng

ta có thể tham khảo trong tài liệu [?] của tác giả Gusein Sh Guseinov.Ngoài ra, cũng có thể đề cập đến tích phân Lebesgue trên thang thời gianbằng phương pháp mở rộng độ đo Carathéodory như sau

1.4.1 Độ đo ∆ trên thang thời gian

Trước hết, ta xây dựng độ đo Lebesgue trên thang thời gian T Xét họtập hợp có dạng

A0 = {[a, b)T, a, b ∈ T, a ⩽ b}

Đặt m1([a, b)) = b − a, sau đó ta thác triển độ đo này lên lớp các tập đođược trên T bằng phương pháp Carathéodory thì nhận được độ đo m∆ Độ

đo này có các tính chất sau

Định lý 1.4.1 Với mỗi t0 ∈ T \ {Tmax}, tập hợp chỉ gồm một điểm {t0}

là ∆-đo được và

m∆{t0} = σ(t0) − t0 (1.1)

Vì mỗi tập con điểm đơn của T là ∆-đo được và vì mọi loại khoảng đều

có thể thu được từ một khoảng có dạng [a, b) bằng cách cộng hoặc trừ cácđiểm a, b nên mỗi khoảng của T là ∆-đo được Định lý sau đây đưa ra cáccông thức để xác định độ đo ∆ của bất kỳ khoảng nào trên T

Tích phân Lebesgue gắn với độ đo m∆ trên thang thời gianT được gọi là

∆-tích phân Lebesgue trên T Đối với một tập ∆-đo được E ⊂ T và mộthàm đo được f : E → R, ta biểu thị tích phân của f trên E tương ứng với

[a,b)

f (t)∆t Dễ dàng thấy rằng mọi hàm chính quy đều khả tích vì số điểmgián đoạn của nó là nhiều nhất đếm được Đặc biệt, mọi hàm rd-liên tụcđều ∆−khả tích

Với cách xây dựng tích phân Lebesgue trên thang thời gian T như thế,tất cả các định lý của lý thuyết tích phân Lebesgue tổng quát, sẽ được bảotoàn cho tích phân Lebesgue trên T Tiếp theo, ta trình bày một số tínhchất cần lưu ý của tích phân trên thang thời gian.

Định nghĩa 1.4.5 Cho 0 < p < ∞ và a, b ∈ R Một hàm f ∈ Crd [a, b)T, R

là khả tích bậc p trên [a, b)T và ta viết là f ∈ Lp([a, b)T) nếu

Z b a

|f (t)|p∆t < ∞

Nếu f ∈ Lp([a, b)T), ta định nghĩa

∥f ∥Lp ([a,b)T) = 

Z b a

|f (t)|p∆t

1 p

1.5 Hàm mũ trên thang thời gian

Để định nghĩa hàm mũ suy rộng trên thang thời gian, trước tiên ta địnhnghĩa phép biến đổi trụ như sau

Định nghĩa 1.5.1 Với h > 0, ta định nghĩa tập các số phức Hilger Ch vàdải Zh bởi

ở đó Ln là nhánh chính của logarithm phức với miền giá trị là [−iπ, iπ).

Chú ý rằng, phép biến đổi trụ nghịch đảo ξh−1 : Zh → Ch, được xác địnhbởi

Định lý 1.5.4 Nếu p(·) là rd-liên tục và hồi quy thì hàm mũ có tính chấtnửa nhóm

ep(t, r)ep(r, s) = ep(t, s), với mọi r, s, t ∈ T

Và với mỗi t0 ∈ Tk cố định, ep(·, t0) là nghiệm duy nhất của bài toán giátrị ban đầu

x∆ = p(t)x, x(t0) = 1 (1.5)

Một số tính chất của hàm mũ trên thang thời gian

Cho p(·), q(·) ∈ CrdR(T, C) và s, t tuỳ ý thuộc T ta có:

6 Nếu p(·), q(·) ∈ R+ và p ⩽ q thì ep(t, t0) ⩽ eq(t, t0) với mọi t ⩾ t0,

7 Nếu p(·) ∈ R+ thì ep(t, t0) > 0 với mọi t ∈ T,

8 Nếu tồn tại τ ∈ T sao cho 1+µ(τ )p(τ ) < 0 thì ep(τ, t0)ep(σ(τ ), t0) < 0

Ví dụ 1.5.5 Ta xét hai trường hợp đặc biệt của hàm mũ:

như sau

Z b a

f (t)g(t)