Đang tải... (xem toàn văn)
Trong bài viết này, đề xuất một khái niệm mở rộng cho quá trình ngẫu nhiên lồi mới, cụ thể đó là quá trình ngẫu nhiên lồi theo cặp tựa trung bình số học. Hơn nữa, bài viết còn thiết lập một bất đẳng thức loại Hermite-Hadamard cho quá trình ngẫu nhiên. Kết quả mới mở rộng một số kết quả đã có trong hướng nghiên cứu này
KỶ YẾU HỘI THẢO KHOA HỌC ĐỔI MỚI GIẢNG DẠY MÔN LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ ỨNG DỤNG CHO SINH VIÊN KHỐI NGÀNH KINH TẾ, QUẢN TRỊ KINH DOANH VÀ CÁC VẤN ĐỀ LIÊN QUAN 20 MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC CHO QUÁ TRÌNH NGẪU NHIÊN LỒI THEO CẶP TỰA TRUNG BÌNH SỐ HỌC TS Trần Đình Phụng* Tóm tắt Trong viết này, tác giả đề xuất khái niệm mở rộng cho trình ngẫu nhiên lồi mới, cụ thể q trình ngẫu nhiên lồi theo cặp tựa trung bình số học Hơn nữa, viết thiết lập bất đẳng thức loại Hermite-Hadamard cho trình ngẫu nhiên Kết mở rộng số kết có hướng nghiên cứu Từ khóa: Bất đẳng thức loại Hermite-Hadamard, trình ngẫu nhiên, tựa trung bình số học Giới thiệu Cho hàm f lồi [a, b], đó: Bất đẳng thức biết đến bất đẳng thức Hermite-Hadamard * Bộ mơn Tốn - Thống kê, Khoa Kinh tế - Luật, Trường Đại học Tài - Marketing 167 KỶ YẾU HỘI THẢO KHOA HỌC ĐỔI MỚI GIẢNG DẠY MÔN LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ ỨNG DỤNG CHO SINH VIÊN KHỐI NGÀNH KINH TẾ, QUẢN TRỊ KINH DOANH VÀ CÁC VẤN ĐỀ LIÊN QUAN Dạng xác suất bất đẳng thức có dạng: , kỳ vọng tốn, biến ngẫu nhiên có phân phối [a, b] {a, b} Khái niệm hàm lồi không đóng vai trị quan trọng Giải tích tốn học mà sử dụng rộng rãi lĩnh vực khác như: Lý thuyết xác suất thống kê, Toán kinh tế, Bất đẳng thức Khái niệm thực cho thấy vị trí quan trọng Tốn học ngày nay, chứng lượng lớn công trình hàm lồi cơng bố, bất đẳng thức Hermite-Hadamard kết đặc trưng cho tính chất hình học hàm lồi nhiều nhà toán học quan tâm nghiên cứu thiết lập kết (xem tài liệu [2, 3, 4]) Trong hướng nghiên cứu bất đẳng thức Hermite-Hadamard cho hàm lồi có nhiều quan tâm dành cho việc phát triển kết cho lớp hàm lồi mở rộng: log-lồi, lồi điều hòa, lồi mạnh, log lồi điều hòa, r-lồi… nhằm tìm kiếm ứng dụng trực tiếp gián tiếp đến lĩnh vực Toán học, Xác suất, Tối ưu… Năm 1980, Nikodem [6] giới thiệu khái niệm q trình ngẫu nhiên lồi nghiên cứu tính chất chúng Năm 1992, Skowronski [7] thu thêm số kết trình ngẫu nhiên lồi mà tổng quát số tính chất tương ứng biết hàm lồi Gần có nhiều nghiên cứu số loại trình ngẫu nhiên lồi khác bất đẳng thức Hermite - Hadamard q trình ngẫu nhiên lồi (xem tài liệu [5, 8, 9]) Mục đích viết mở rộng bất đẳng thức Hermite -Hadamard cổ điển trình ngẫu nhiên lồi mở rộng mà chúng tơi gọi q trình ngẫu nhiên lồi theo cặp tựa trung bình số học Kết tổng quát số kết gần hướng nghiên cứu Nội dung nghiên cứu không gian xác suất tùy ý biến ngẫu nhiên Cho Một hàm gọi trình ngẫu nhiên với , biến ngẫu nhiên Q trình ngẫu nhiên có bất đẳng thức: gọi lồi với , ta ta nói q trình ngẫu nhiên Nếu bất đẳng thức thỏa mãn với Jensen-lồi Quá trình ngẫu nhiên gọi là: • Liên tục theo xác suất với Tức là: 168 với KỶ YẾU HỘI THẢO KHOA HỌC ĐỔI MỚI GIẢNG DẠY MÔN LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ ỨNG DỤNG CHO SINH VIÊN KHỐI NGÀNH KINH TẾ, QUẢN TRỊ KINH DOANH VÀ CÁC VẤN ĐỀ LIÊN QUAN • Mean-square-liên tục với Rõ ràng, trình ngẫu nhiên điều ngược lại khơng Mean-square-liên tục liên tục theo xác suất, cho và Cho trình ngẫu nhiên phân hoạch đoạn tùy ý, với k = 1, 2…, n Một biến ngẫu nhiên gọi Mean-square- tích phân q trình ngẫu nhiên nếu: Khi đó, ta viết: Giả thiết Mean-square-liên tục của kéo theo tồn Mean-square tích phân Tốn tử Mean-square- tích phân tăng, tức là: với Năm 2012, Kotrys [5] thiết lập bất đẳng thức tích phân Hermite-Hadamard cho q trình ngẫu nhiên lồi sau: Jensen-lồi Mean-square-liên tục, Cho q trình ngẫu nhiên với , ta có: hàm số liên tục đơn điệu nghiêm ngặt Trung bình tựa số học Cho với trọng , ký hiệu (xem [10], Chương IV) định nghĩa sau: , xây dựng trình ngẫu Đặc biệt, ký hiệu nhiên lồi theo cặp tựa trung bình số học sau: Định nghĩa 1: Cho ngặt Quá trình ngẫu nhiên , ta có bất đẳng thức: Nếu bất đẳng thức thỏa mãn với lồi hàm số liên tục đơn điệu nghiêm gọi lồi với ta nói, q trình ngẫu nhiên Jensen 169 KỶ YẾU HỘI THẢO KHOA HỌC ĐỔI MỚI GIẢNG DẠY MÔN LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ ỨNG DỤNG CHO SINH VIÊN KHỐI NGÀNH KINH TẾ, QUẢN TRỊ KINH DOANH VÀ CÁC VẤN ĐỀ LIÊN QUAN Khái niệm bao hàm nhiều khái niệm xây dựng như: • Q trình ngẫu nhiên lồi ( ) • Q trình ngẫu nhiên log- lồi ( ) • Q trình ngẫu nhiên lồi điều hòa ( ) nhiều khái niệm khác ta chọn hàm Định lý 1: Cho trình ngẫu nhiên tục, đó, với , ta có: khác lồi Mean-square-liên (*) Chứng minh: Ta có: Suy ra: Đặt Khi đó, ta có: Với = , lấy tích phân hai vế theo Vế trái bất đẳng thức (*) chứng minh 170 ta được: KỶ YẾU HỘI THẢO KHOA HỌC ĐỔI MỚI GIẢNG DẠY MÔN LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ ỨNG DỤNG CHO SINH VIÊN KHỐI NGÀNH KINH TẾ, QUẢN TRỊ KINH DOANH VÀ CÁC VẤN ĐỀ LIÊN QUAN Tiếp theo chứng minh vế lại bất đẳng thức (*) Với , ta có bất đẳng thức: Hay: Lấy tích phân hai vế theo ta vế phải bất đẳng thức (*) Định lý chứng minh Kết luận Trong viết này, tác giả đề xuất mở rộng cho khái niệm trình ngẫu nhiên, lồi Khái niệm bao hàm khái niệm q q trình ngẫu nhiên trình ngẫu nhiên lồi điều hịa, q trình ngẫu nhiên log- lồi… Hơn nữa, tác giả thu bất đẳng thức kiểu Hermite-Hadamard sau cho trình ngẫu nhiên lồi số điều kiện thích hợp: Kết mở rộng kết công trình [5, 8, 9] Từ kết này, tương lai, có tiếp tục số hướng phát triển liên quan như: thiết lập bất đẳng thức làm mịn bất đẳng thức trên, tìm chặn cho đại lượng: tìm kiếm ứng dụng bất đẳng thức đề cập lĩnh vực Lý thuyết xác suất thống kê, Toán kinh tế… TÀI LIỆU THAM KHẢO De la Cal, J and Carcamo, J (2006), Multidimensional Hermite-Hadamard Inequalities and The Convex Order J Math Anal Appl 324, pp 248 - 261 Dragomir, S.S and Pearce, C.E.M (2000), Selected Topics on Hermite-Hadamard Inequality and Applications Victoria University, Melbourne D.T Duc, N.N Hue, N.D.V Nhan, V.T Tuan (2020), Convexity according to a pair of quasi-arithmetic means and inequalities, J Math Anal Appl 488 (2020) 124059 D.T Duc, T.D Phung, N.D.V Nhan, V.T Tuan, Co-ordinated convexity according to a pair of quasi-arithmetic means on the rectangle from plane and inequalities, viasm preprint 171 KỶ YẾU HỘI THẢO KHOA HỌC ĐỔI MỚI GIẢNG DẠY MÔN LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ ỨNG DỤNG CHO SINH VIÊN KHỐI NGÀNH KINH TẾ, QUẢN TRỊ KINH DOANH VÀ CÁC VẤN ĐỀ LIÊN QUAN Kotrys, D (2012), Hermite-Hadamard Inequality for Convex Stochastic Processes Aequat Math 83, pp 143 - 151 Nikodem, K (1980), On Convex Stochastic Processes Aequat Math 20, pp 184 - 197 Skowro´nski, A (1992), On some properties of J-convex stochastic processes Aequat Math 44, pp 249 - 258 Okur, N., Işcan, I., Yüksek Dizdar, E (2018), Hermite-Hadamard inequalities for harmonically convex stochastic processes International Journal of Economic and Administrative Studies, 11 (18 EYI Special Issue), pp 281 - 292 Muharrem T., Erhan S and Selahattin M (2015), HermiteHadamard type inequalities for Log-convex stochastic processes Journal of New Theory 2015, N 2, pp 23 - 32 10 P.S Bullen (2003), Handbook of Means and Their Inequalities, Kluwer Academic Publishers Group, Dordrecht 172 ... , biến ngẫu nhiên Quá trình ngẫu nhiên có bất đẳng thức: gọi lồi với , ta ta nói q trình ngẫu nhiên Nếu bất đẳng thức thỏa mãn với Jensen -lồi Quá trình ngẫu nhiên gọi là: • Liên tục theo xác... gọi trình ngẫu nhiên lồi theo cặp tựa trung bình số học Kết tổng quát số kết gần hướng nghiên cứu Nội dung nghiên cứu không gian xác suất tùy ý biến ngẫu nhiên Cho Một hàm gọi trình ngẫu nhiên. .. xuất mở rộng cho khái niệm trình ngẫu nhiên, lồi Khái niệm bao hàm khái niệm q trình ngẫu nhiên trình ngẫu nhiên lồi điều hịa, trình ngẫu nhiên log- lồi? ?? Hơn nữa, tác giả thu bất đẳng thức kiểu