Đang tải... (xem toàn văn)
Nghiên cứu này được thực hiện dựa trên kết quả về sự hội tụ theo luật và hội tụ căn bản theo luật của dãy các quá trình ngẫu nhiên một chỉ số mở rộng cho dãy các quá trình ngẫu nhiên hai chỉ số bằng sử dụng kỹ thuật 1 - thời điểm dừng. Mời các bạn tham khảo!
TẠP CHÍ KHOA HỌC TÀI CHÍNH KẾ TỐN SỬ DỤNG KỸ THUẬT - THỜI ĐIỂM DỪNG MỞ RỘNG SỰ HỘI TỤ CỦA DÃY CÁC QUÁ TRÌNH NGẪU NHIÊN MỘT CHỈ SỐ CHO DÃY CÁC QUÁ TRÌNH NGẪU NHIÊN HAI CHỈ SỐ TRONG KHÔNG GIAN BALAN USE O OF T TECHNIQUE OF 1-STOPPING TIME FOR THE EXTENSION OF TH THE CHNI O TOPPIN TI O TH T N ION O CONVERGENCE OF TH THE ON ONE-PARAMETER PROCESSES THE CON NC O PA A T STOCHASTIC TOCHA TIC P OC TO TH TWO-PARAMETER PROCESSES THE PO POLISH T O PA A T STOCHASTIC TOCHA TIC P OC IN TH I H SPACES PAC Ngà : 09/3/2021 N y nhận Ngà N y nhận kết phản biện : 16/9/2021 Ngày duyệt đăng : 25/9/2021 N ThS Phạm Viết Thanh Tùng Trường Đại học Tài - Kế tốn TĨM TẮT Nghiên cứu thực dựa kết hội tụ theo luật hội tụ theo luật dãy trình ngẫu nhiên số mở rộng cho dãy trình ngẫu nhiên hai số sử dụng kỹ thuật - thời điểm dừng Các kết đạt không gian Balan, hội tụ theo luật tương đương với hội tụ theo luật mối liên hệ hội tụ theo luật hội tụ hầu chắn dãy trình ngẫu nhiên hai số Từ khóa: Sự hội tụ, - thời điểm dừng, dãy trình ngẫu nhiên hai số ABSTRACT This study is based on the results on the convergence in law and the essential convergence in law of a sequence of one-parameter stochastic processes in order to extend to the convergence of two-parameter stochastic processes by using the technique of one-stopping time The results are obtained in the Polish spaces where the convergence in law is equivalent to the essential convergence in law Moreover, the relation between the essential convergence in law and the almost sure convergence for the sequence of two-parameter stochastic processes is also given Keywords: convergence, 1-stopping time, sequence of two-parameter stochastic processes Đặt vấn đề Lý thuyết q trình ngẫu nhiên ngành tốn học đại có nhiều ứng dụng ngành khoa học khác điều khiển, dự báo quân sự, kinh tế,…Một hướng nghiên cứu lý thuyết trình ngẫu nhiên nghiên cứu hội tụ, hướng nghiên cứu thu nhiều kết sâu sắc trình số, trình đa số có kết chưa nhiều Bài viết nghiên cứu hội tụ trình ngẫu nhiên số khơng gian Balan Một số kết hội tụ dãy trình ngẫu nhiên số 2.1 Định nghĩa - Không gian Balan: Không gian tôpô E gọi không gian Balan E đồng phôi không gian mêtric khả ly đầy đủ - Phần tử ngẫu nhiên: Giả sử (E, ρ) không gian Balan B σ-trường sinh tập mở E Một ánh xạ X: Ω → E thỏa mãn điều kiện X-1(B) A gọi phần tử ngẫu nhiên A- đo Đặc biệt E = » E = » k X gọi đại lượng ngẫu nhiên hay vectơ ngẫu nhiên tương ứng Ký hiệu L0(E,A) không gian gồm tất phần tử ngẫu nhiên A-đo được, xác định Ω nhận giá trị không gian Balan E, [1] 84 ĐẠI ẠI HỌC TÀI CHÍNH - KẾ TỐN - Dãy (X n , n ∈ ») L0(E,A) gọi hội tụ theo luật tới X ∈ L0(E,A) n → ∞ dãy hàm phân phối tương ứng PXn X n hội tụ yếu tới hàm phân phối PX X n → ∞, kí hiệu D → X, n → ∞ ,[2] X n - Tập A X - liên tục A ∈ B với PXn (∂A) = , ∂A biên tập A PX(B) = P[X ∈ B], B ∈ B Dãy (X n , n ∈ ») gọi hội tụ theo luật tới X với X - liên tục A, m≥n ta có lim PX ∪ [ X m ∈ A ] = P(X ∈ A) = lim P ∩ [ X m ∈ A ] n →∞ n →∞ n m≥n ED Kí hiệu là: X n → X, n → ∞ ,[2] 2.2 Đặc trưng hội tụ theo luật Trong [4], Billisgley nhiều đặc trưng khác dạng hội tụ theo luật Bài viết sử dụng đặc trưng là: Dãy (X n , n ∈ ») hội tụ theo luật tới X với tập A X - liên tục, ta có: PXn (A) → PX (A), n → ∞ 2.3 Các dạng hội tụ dãy trình ngẫu nhiên số Định lý Dãy (X n , n ∈ ») phần tử ngẫu nhiên hội tụ theo luật tới X n → ∞ X τ hội tụ theo luật tới X với τ ∈ Τ , T tập thời điểm dừng, [7] Định lý Dãy (X n , n ∈ » ) phần tử ngẫu nhiên hội tụ theo luật tới X n → ∞ tồn phần tử ngẫu nhiên X’ cho Xn hội tụ hầu chắn tới X’ PX = PX’,[7] Định lý Giả sử (Xn, n ≥ 1) dãy phần tử ngẫu nhiên không gian Balan E, hội tụ hầu chăc chắn đến phần tử ngẫu nhiên X nhận giá trị E Khi đó, dãy (Xn, n ≥ 1) hội tụ theo luật đến X,[7] Từ kết trên, sau viết sử dụng kỹ thuật 1- thời điểm dừng để mở rộng cho dãy trình ngẫu nhiên hai số Sự hội tụ theo luật hội tụ theo luật dãy trình ngẫu nhiên hai số 3.1 Một số ký hiệu Giả sử (Ω,A,P) không gian xác suất đầy đủ Tập số xét » × » ký hiệu I, I = {(i, j) : i, j ∈ »} Khi đó, I tập định hướng với thứ tự phận sau: t = (i, j) ≤ t ' = (i ', j') i ≤ i’, j ≤ j’ Giả sử (At,t ∈ I) họ tăng σ-trường đầy đủ A,với A = nA n , n = (n, n), n ∈ » [5] 3.2 1- thời điểm dừng Một hàm τ : Ω → I gọi 1- thời điểm dừng τ nhận giá trị hữu hạn [ τ = (i, j) ] ∈ A1i, (i, j) ∈ I; A1i = ∪ Aij,i ∈ » Ký hiệu tập 1-thời điểm dừng T1 Khi đó, T1 j≥1 tập định hướng với thứ tự phận xác định τ ≤ τ ' τ(ω) ≤ τ '(ω), (h.c.c), [5] Dãy (Xt, t ∈ I) L0(E,A) gọi tương thích với họ (At,t ∈ I) Xt ∈ L0(E,At) với t ∈ I Với dãy (Xt,t ∈ I) L0(E,A) τ ∈ Τ1 cho, ta xác định: X τ : Ω → E, X τ (ω) = X τ( ω) (ω) ( h.c.c ) A τ = {A ∈ A: A ∩ [τ = (i, j)] ∈ A1i,(i, j) ∈ I} Khi đó, A τ A (A τ , τ ∈ T1) họ tăng σ-trường đầy đủ A Hơn nữa, X τ phần tử ngẫu nhiên A τ -đo được, τ ∈ T1 3.3 Mối liên hệ hội tụ theo luật hội tụ theo luật dãy trình ngẫu nhiên hai số 3.3.1 Định nghĩa 85 TẠP CHÍ KHOA HỌC TÀI CHÍNH KẾ TỐN - Dãy (X t , t ∈ I) L0(E,A) gọi hội tụ theo luật tới X dãy hàm phân phối tương D → X, t ∈ I ,[5] ứng PX t X t hội tụ yếu tới hàm phân phối PX X, kí hiệu X t Sự hội tụ theo luật mêtric hóa tính chất sau: D → X, τ ∈ T1 với dãy (τn ), τn ∈ T1 Giả sử dãy (Xt,t ∈ I) L0(E,A) Khi đó, X τ D với τn ≥ n, n ∈ » X τ → X, n → ∞ n ED - Dãy (X t , t ∈ I) L0(E,A) gọi hội tụ theo luật tới X, kí hiệu X t → X, t ∈ I với tập B X - liên tục, B ∈ B, ta có: lim P ∪ [ X t ∈ B] = P(X ∈ B) = lim P ∩ [ X t ∈ B] n →∞ n →∞ t ≥n t ≥n 3.3.2 Mối liên hệ hội tụ theo luật hội tụ theo luật dãy trình ngẫu nhiên hai số ED D → X, t ∈ I X t → X, t ∈ I Bổ đề Nếu X t Thật vậy, với tập B X - liên tục, B ∈ B t ∈ I cho t ≥ n, n ∈ » P ∩ [ X t ∈ B] − P[X ∈ B] ≤ P[X t ∈ B] − P[X ∈ B] ≤ P ∪ [ X t ∈ B] − P[X ∈ B] t ≥n t ≥n ED Vì X t → X, t ∈ I nên P [ X t ∈ B] → P[X ∈ B], n → ∞ Theo đặc trưng hội tụ theo luật suy D → X, t ∈ I X t Chiều ngược lại nói chung khơng Đối với biến ngẫu nhiên (một số) độc lập phân phối không suy biến L0( » , A) hội tụ theo luật dãy không suy hội tụ theo luật Thật vậy, giả sử (Xn, n ≥ 1) dãy biến ngẫu nhiên độc lập phân phối không suy biến Rõ ràng, dãy (Xn, n ≥ 1) hội tụ theo luật đến biến ngẫu nhiên X, với biến ngẫu nhiên X có phân phối với biến ngẫu nhiên Xn, n ≥ Giả sử A tập X - liên tục cho < PX(A) = P[X ∈ A] = a < Khi đó, lim P ∩ [ X k ∈ A ] = ≠ P[X ∈ A] = a > Suy ra, Xn không hội tụ theo luật đến n →∞ k≥n X, n → ∞ Như vậy, có chiều ngược lại Định lý sau giải vấn đề nhờ sử dụng kỹ thuật thời điểm dừng Định lý Giả sử dãy (Xt,t ∈ I) X thuộc L0(E,A) Khi đó, điều kiện sau tương đương: ED → X, t ∈ I i X t ED ii Với dãy (τn ), τn ≥ n, n ∈ » X τ → X, n → ∞ D → X, τ ∈ T iii X τ n Chứng minh Chứng minh định lý theo lược đồ sau: i ii iii i ED → X, t ∈ I ( τn ), τn ∈ T cho τn ≥ n, n ∈ » Khi đó, với tập B i ii.) Giả sử X t ∈ B X - liên tục n ∈ » , ta có ∪ [ X t ∈ B] ⊃ ∪ X τk ∈ B ⊃ ∩ X τk ∈ B ⊃ ∩ [ X t ∈ B] t ≥n k≥n k≥n t ≥n ⇒ P∪ [ X t ∈ B] ≥P ∪ X τk ∈ B ≥ P ∩ X τk ∈ B ≥ P ∩ [ X t ∈ B] k≥n k≥n t ≥n t ≥n ED Vì X t → X, t ∈ I nên theo định nghĩa hội tụ theo luật, ta có lim P ∪ [ X t ∈ B] = P ( X ∈ B ) = lim P ∩ [ X t ∈ B] n →∞ n →∞ t ≥n t ≥n 86 ĐẠI ẠI HỌC TÀI CHÍNH - KẾ TỐN ⇒ lim P ∪ X τk ∈ B = P ( X ∈ B ) = lim P ∩ X τk ∈ B n →∞ n →∞ k ≥n k ≥n ED → X, n → ∞ Theo định nghĩa hội tụ theo luật, suy X τ ii iii.) Giả sử dãy (Xt, t ∈ I) thỏa mãn ii X τ không hội tụ theo luật đến X, τ ∈ T1 Khi đó, tồn dãy (τn ), τn ∈ T1 với τn ≥ n, n ∈ » cho X τn không hội tụ theo luật đến X, n → ∞ n Theo kết trên, suy X τn không hội tụ theo luật đến X, n → ∞ Điều mâu thuẫn với ii D → X, τ ∈ T1 , nghĩa ii thỏa mãn Vậy phải có X τ iii i.) Giả sử dãy (Xt, t ∈ I) thỏa mãn iii Ta chứng minh dãy thỏa mãn định nghĩa hội tụ theo luật Bằng cách xây dựng dãy thời điểm dừng (τn ), τn ∈ T1 với τn ≥ n, n ∈ » cho lim P ∪ [ X t ∈ B] = lim P ( X τn ∈ B ) = P ( X ∈ B ) với tâp B ∈ B X - liên tục n →∞ t ≥n n →∞ Với n ∈ » : lim P ∪ [ X t ∈ B] = P ∪ [ X t ∈ B] Do đó, với n ∈ » tồn n ≤ m →∞ n≤t ≤m t ≥n (1.1) mn ≥ n cho P ∪ [ X t ∈ B] ≥ P ∪ [ X t ∈ B] ≥ P ∪ [ X t ∈ B] − t ≥n t ≥n n n ≤ t ≤ mn m n ω∈ ∩ [ X t ∉ B] n ≤t ≤m Bây xác định dãy (τn ) sau: τn : Ω → I với τn (ω) = đó, (i, j) ω∈ ∪ [ X t ∈ B] n ≤t ≤m i = inf s : n ≤ s ≤ m n , ω∈ ∪ X s, j ∈ B j = inf l : n ≤ l ≤ m n , ω∈ X i,l ∈ B n ≤ j≤ m n Bằng cách xác định dãy (τn ) trên, ta có τn ∈ T1 , τn ≥ n, n ∈ » { ∪ [X n ≤ t ≤ mn t } ∈ B] = X τn ∈ B , n ∈ » (1.2) D D → X, n ∈ » → X, τ ∈ T1 Theo bổ đề (2.3.2), với dãy (τn ) ⊂ T1 , τn ≥ n X τ Theo iii., X τ hay lim P ( X τn ∈ B ) = P ( X ∈ B ) (1.3) n →∞ Từ (1.1), (1.2) (1.3) suy ra: lim P ∪ [ X t ∈ B] = P ( X ∈ B ) n →∞ t ≥n ∈ = ∈ lim P X B P X B Tương tự, ta có ) ] ( ∩[ t n →∞ t ≥n Như vậy, với tập B ∈ B X-liên tục lim P [ X t ∈ B] = P ( X ∈ B ) = lim P [ X t ∈ B] n n →∞ ∪ t ≥n n →∞ ∩ t ≥n ED Theo định nghĩa hội tụ theo luật dãy trình ngẫu nhiên hai số X t → X, t ∈ I Sự hội tụ theo luật hội tụ hầu chắn dãy trình ngẫu nhiên hai số 4.1 Định nghĩa hội tụ hầu chắn dãy trình ngẫu nghiên hai số hcc → X, t ∈ I Dãy (Xt, t ∈ I) gọi hội tụ hầu chắn tới phần tử X, kí hiệu X t P[ lim sup ρ ( X t , X ) = 0] = ,[8] n →∞ t ≥ n 4.2 Sự hội tụ hầu chắn dãy Xt dãy X τn D.Szynal W.Zieba chứng minh rằng: Dãy Xn hội tụ hcc tương đương với hội tụ hcc dãy X τn với (τn ) dãy thời điểm dừng hội tụ hcc tới ∞ ,[8] Mở rộng kết cho dãy trình ngẫu nhiên hai số sau: 87 TẠP CHÍ KHOA HỌC TÀI CHÍNH KẾ TỐN Định lý Dãy (Xt, t ∈ I) hội tụ hầu chắn tới X với dãy (τn ), τn ∈ T1 với τn ≥ n, n ∈ » X τn hội tụ hầu chắn tới X n → ∞ Chứng minh: Điều kiện cần: hcc → X, t ∈ I (τn ), τn ∈ T1 với τn ≥ n, n ∈ » Khi đó, Giả sử X t ( ) Suy ra, P[ lim sup ρ ( X , X ) = 0] ≤ P[ lim sup ρ ( X , X ) = 0] Theo (3.1), ta có ≥ P[ lim sup ρ ( X , X ) = 0] ≥ P[ lim sup ρ ( X , X ) = 0] = sup ρ X τk , X ≤ sup ρ ( X t , X ) (hcc) k ≥n t n →∞ t ≥ n n →∞ k ≥ n hcc t ≥n n →∞ k ≥ n τk τk t n →∞ t ≥ n Suy ra, X τ → X, n → ∞ n Điều kiện đủ: Giả sử Xt không hội tụ hcc đến X, t ∈ I Ta xây dựng dãy thời điểm dừng (τn ) cho X τn không hội tụ hcc đến X, n → ∞ Đặt Sn = sup ρ ( X t , X ) , n ∈ » Khi đó, ( Sn , n ∈ » ) dãy giảm Vì Xt khơng hội tụ hcc đến X, t t ≥n ∈ I nên ∃ε ≥ cho ∀n ∈ » , ta có: P[Sn ≥ ε] ≥ ε Hơn nữa, X ∈ L0(E,A) nên tồn dãy phần tử ngẫu nhiên (Yn , n ∈ ») cho Yn ∈ L0(E,A n , n ∈ ») (Yn , n ∈ ») hội tụ theo xác suất đến X Do đó, tìm n(ε) ∈ » cho ∀n ≥ n(ε) (1.4) P[ρ(Yn , X) ≥ ε] ≤ ε Nhưng ∀n ∈ » , ta có lim sup ρ ( X t , X ) = Sn (hcc) Suy ra, với n ∈ » tồn mn ≥ n n ≤ m →∞ n ≤ t ≤ m cho P[ sup ρ(X t , X) ≥ 4ε] ≥ 4ε (1.5) n ≤t ≤m Bây xây dựng dãy - thời điểm dừng (τn ) : τn : Ω → I xác định sau: m n ω∈ [ sup ρ(X t , Yn ) < 2ε] n ≤t ≤m τn (ω) = ω∈ (i, j) [ sup ρ(X t , Yn ) ≥ 2ε] n ≤t ≤m đó, i = inf s : n ≤ s ≤ m n , ω∈ ∪ ρ(X s, j , Yn ) ≥ 2ε n ≤ j≤ m n j = inf l : n ≤ l ≤ m n , ω∈ ρ(X i,l , Yn ) ≥ 2ε { } Bằng cách xây dựng dãy τn trên, ta có τn ∈ T với τn ≥ n, n ∈ » Hơn nữa, [ sup ρ(X t , Yn ) ≥ 2ε] = ρ(X τn , Yn ) ≥ 2ε n ≤t ≤m Lại có, P[ sup ρ(X t , Yn ) ≥ 4ε] ≤ P[ sup ρ(X t , Yn ) ≥ 2ε]+P[ρ(X t , Yn ) ≥ 2ε] n≤t ≤m n ≤t ≤m ≤ P[ρ(X τn , Yn ) ≥ 2ε]+P[ρ(X n , X) ≥ ε], n ∈ » Từ (1.4) (1.5) , suy ra: P[ρ(X τn , Yn ) ≥ 2ε] ≥ ε, n ≥ n(ε) (1.6) Ta có P[ρ(X τn , Yn ) ≥ 2ε] ≤ P[ρ(X τn , X) ≥ ε]+P[ρ(Yn , X) ≥ ε] Theo (1.4) (1.6), suy P[ρ(X τ , X) ≥ ε] ≥ 2ε, n ≥ n(ε) Điều chứng tỏ X τ hội tụ hầu chắn tới X n → n hcc → X, t ∈ I ∞ Vậy X t 4.3 Mối liên hệ hội tụ theo luật hội tụ hầu chắn dãy trình ngẫu nhiên hai số n Định lý Dãy (Xt, t ∈ I) hội tụ theo luật tới X X’ ∈ L0(E,A) để dãy hội tụ hầu chắn tới X’ cho PX’ = PX 88 ĐẠI ẠI HỌC TÀI CHÍNH - KẾ TỐN Chứng minh Điều kiện cần: ED → X, t ∈ I Khi đó, theo định lý (2.3.2) với dãy (τn ), τn ∈ T1 với τn ≥ n , n ∈ » Giả sử X t hcc '' ED X τ → X, n → ∞ Theo định lý (1.3.2) dãy (X τn , n ∈ ») ta có X τ → X , n → ∞ với X’’ ∈ L0(E,A) PX’’ = PX n n n n = 2k, k ≥ τn n = 2k + 1, k ≥ Xác định dãy (σn) - thời điểm dừng sau: σ n = hcc hcc Khi đó, (σn) ∈ T1 σn ≥ n, n ∈ » ta có X σ → X '' , n → ∞ Suy ra, → X ' , n → ∞ X σ hcc X’’ = X (hcc) X τ → X ' , n → ∞ Vì (τn ) tùy ý T1 nên theo 3.2, ta có n n n hcc X t → X ' , t ∈ I PX’ = PX hcc → X ' , t ∈ I PX’ = PX Khi đó, theo 3.2, ta có với dãy (τn ), τn ∈ T1 Điều kiện đủ: Giả sử X t hcc với τn ≥ n, n ∈ » X τ → X ' , n → ∞ ED → X' , n → ∞ Áp dụng định lý (1.3.2) cho dãy (X τn , n ∈ ») , ta có X τ n n ED ED → X ' , t ∈ I PX’ = PX nên X t → X, t ∈ I Do (τn ) tùy ý T1 nên X t Kết luận Bài viết trên, nghiên cứu hội tụ dãy trình ngẫu nhiên số không gian Balan Từ kết mối liên hệ hội tụ theo luật, hội tụ theo luật hội tụ hầu chắn dãy q trình ngẫu nhiên số; khơng sử dụng kỹ thuật 1- thời điểm dừng khó mở rộng kết cho dãy trình ngẫu nhiên số Qua việc chứng minh định lý cho thấy việc sử dụng kỹ thuật 1–thời điểm dừng mối quan hệ tương đương hội tụ theo luật, hội tụ theo luật hội tụ hầu chắn dãy trình ngẫu nhiên số không gian Balan TÀI LIỆU THAM KHẢO Phạm Xuân Hà, Về hội tụ martingale tiệm cận hai số không gian Balan, (2005) Đinh Quang Luu, Nguyen Hac Hai (1992), One the essential convergence in law of two-parameter radom processes, Bull Pol Ac.: Math 40 , 197-2024 Đinh Quang Luu, Nguyen Hac Hai (1992), Pointwise convergence in law of two-parameter radom processes in terms of conditional 1-Amarts, Bull Pol Ac.: Math 40 , 204-215 P Billingsley (1968), Convergence of probability measures, New York Academic Press G.A Edgar, L Sucheston (1992), Stopping Times and Directed Processes, Cambridge Univ, Press, D Partyka, D Szynal (1985), On some properties of the essential convergence in law and their applications, Bull Pol Ac Math, 32 , 211-217 D.Szynal, W.Zieba, Some type of convergence in law, ibid, 11(1974),1143-1149 D.Szynal, W.Zieba, On some characterization of almost sure convergence, ibid, 34 (1986) Nguyễn Duy Tiến, Vũ Viết Yên (2000), Lý thuyết xác suất, Nhà xuất giáo dục, Hà Nội 89 ... khơng sử dụng kỹ thuật 1- thời điểm dừng khó mở rộng kết cho dãy trình ngẫu nhiên số Qua việc chứng minh định lý cho thấy việc sử dụng kỹ thuật 1? ? ?thời điểm dừng mối quan hệ tương đương hội tụ theo... tử ngẫu nhiên X nhận giá trị E Khi đó, dãy (Xn, n ≥ 1) hội tụ theo luật đến X,[7] Từ kết trên, sau viết sử dụng kỹ thuật 1- thời điểm dừng để mở rộng cho dãy trình ngẫu nhiên hai số Sự hội tụ. .. T1 nên X t Kết luận Bài viết trên, nghiên cứu hội tụ dãy trình ngẫu nhiên số không gian Balan Từ kết mối liên hệ hội tụ theo luật, hội tụ theo luật hội tụ hầu chắn dãy q trình ngẫu nhiên số;