Đang tải... (xem toàn văn)
Bài viết tập trung trình bày việc chứng minh một số bất đẳng thức cơ bản trong không gian L p,q(Ω) như bất đẳng thức Holder, bất đẳng thức nội suy và chứng minh bất đẳng thức Landau-Kolmogorov vẫn đúng trong không gian L p,q(R+), 1 < q ≤ p < ∞ với hằng số C + k,n.
MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC CƠ BẢN TRONG KHÔNG GIAN Lp,q DƯƠNG THỊ QUỲNH CHÂU Trường Đại học Sư phạm - Đại học Huế Tóm tắt: Trong báo này, chứng minh số bất đẳng thức không gian Lp,q (Ω) bất đẳng thức Holder, bất đẳng thức nội suy chứng minh bất đẳng thức Landau-Kolmogorov + không gian Lp,q (R+ ), < q ≤ p < ∞ với số Ck,n Từ khóa: Khơng gian Lp,q , Bất đẳng thức Holder, Bất đẳng thức nội suy, Bất đẳng thức Landau-Kolmogorov GIỚI THIỆU Lý thuyết hàm ngành quan trọng giải tích tốn học nghiên cứu lớp gồm hàm đo không gian có độ đo Vào năm 1950, G Lorentz nghiên cứu đưa không gian khơng gian Lp,q Đây khơng gian tổng quát không gian Banach Lp Cho (Ω, Σ, µ) khơng gian độ đo σ-hữu hạn < p ≤ ∞, < q ≤ ∞ Khi đó, khơng gian Lp,q (Ω, µ) (xem [7]) tập hợp tất hàm giá trị thực f đo cho f pq < ∞ với f pq = ∞ p t f ∗ (t) sup t p f ∗ (t) q dt t q < p < ∞, < q < ∞ < p ≤ ∞, q = ∞ t>0 µf (λ) = µ({x ∈ Ω : |f (x)| > λ}), λ ≥ f ∗ (t) = inf{λ ≥ : µf (λ) ≤ t}, t > Kỷ yếu Hội nghị Khoa học Sau Đại học lần thứ hai Trường Đại học Sư phạm Huế, tháng 10/2014: tr 17-26 18 DƯƠNG THỊ QUỲNH CHÂU Hơn Ω = Rn , µ độ đo Lebesgue, ta biểu diễn f f pq = ∞ q−1 t p q p pq sau: q µf (t) dt < p < ∞, < q < ∞ sup tµf (t) p < p ≤ ∞, q = ∞ t>0 Không gian (Lp,q (Ω), pq ) chứng minh [7] không gian định chuẩn ≤ q ≤ p < ∞ p = q = ∞ Trên lớp khơng gian Lp , nhà tốn học nước nghiên cứu số bất đẳng thức bất đẳng thức Holder, bất đẳng thức nội suy, bất đẳng thức Landau-Kolmogorov Bất đẳng thức Landau-Kolmogorov f (k) n ∞ ≤ K(k, n) f n−k ∞ f (n) k ∞, với < k < n nghiên cứu L Landau J Hadamard với trường hợp n = Năm 1939, A Kolmogorov chứng minh bất đẳng thức R với số tối ưu Ck,n Sau J Hadamard, A Gorny, A P Matorin nghiên cứu R+ số chưa tối ưu Năm 1970, I J Schoenberg A Cavaretta tìm + số Ck,n tối ưu cho bất đẳng thức R+ Năm 2004, H H Bang M T Thu chứng minh bất đẳng thức cho hàm số không gian Nφ (R+ ) với + số Ck,n Trong báo chứng minh bất đẳng thức Holder, bất đẳng thức nội suy không gian Lp,q dựa vào phương pháp chứng minh tài liệu [3], chứng minh bất đẳng thức Landau-Kolmogorov cho không + gian Lp,q (R+ ) với số Ck,n < q ≤ p < ∞ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Định lý 2.1 [7] Bất đẳng thức Hardy-Littlewood Cho f, g hàm Σ-đo Ω Khi đó, ∞ f ∗ (t)g ∗ (t)dt |f (x)g(x)|dµ ≤ Ω Định nghĩa 2.1 [7] Độ đo µ gọi độ đo phi hạt nhân tập đo A với µA > tồn tập B A đo µA > µB > MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC CƠ BẢN TRONG KHÔNG GIAN Lp,q 19 Định lý 2.2 [7] Cho µ độ đo phi hạt nhân, f1 , f2 , , fn , n ∈ N hàm Σ-đo Ω Khi đó, n ∞ n fk∗ (t)dt |fk (x)|dµ ≤ Ω k=1 k=1 n 1 = r j=1 pj Định lý 2.3 [1] Giả sử ≤ r, pj ≤ ∞ n Nếu fj ∈ Lpj (Ω) với ≤ j ≤ n fj ∈ Lr (Ω) j=1 n n fj r ≤ j=1 fj pj j=1 Định lý 2.4 [2] Giả sử < p ≤ ∞, < q ≤ ∞ Nếu f ∈ Lp,q (Rn ) f ∈ L1loc (Rn ) f ∗g pq ≤c f pq g 1, ∀g ∈ L1 (Rn ), với c số phụ thuộc p, q Định lý 2.5 [5] Nếu < q ≤ p < ∞ f ∈ Lp,q (Ω) f pq sup | = g p q =1 f (x)g(x)dx| Ω 1 1 + = 1, + = p p q q Định lý 2.6 [4] Giả sử < p, q < ∞ Nếu f, f1 , f2 , ∈ Lp,q (Ω) cho fn → f h.k.n Ω fn pq → f pq fn − f pq → n → ∞ Định lý 2.7 [6] Giả sử n ≥ Nếu f ∈ L1loc (R+ ) g đạo hàm suy rộng cấp n f thuộc L1loc (R+ ) f định nghĩa lại tập có độ đo cho f (n−1) liên tục tuyệt đối f (n) = g hầu khắp nơi R+ MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC CƠ BẢN TRONG KHÔNG GIAN Lp,q Định lý 3.1 Bất đẳng thức Holder không gian Lp,q Giả sử f ∈ Lp1 ,q1 (Ω), g ∈ Lp2 ,q2 (Ω) với p1 , p2 , q1 , q2 số dương thõa 1 + = Khi f.g ∈ L1 (Ω) q1 q2 fg f (x)g(x)dµ ≤ f = Ω p1 q1 g p2 q2 1 + =1 p1 p 20 DƯƠNG THỊ QUỲNH CHÂU Chứng minh Trường hợp < q1 < ∞ < q2 < ∞ Áp dụng bất đẳng thức Holder Định lý 2.1, ta có: ∞ f (x)g(x)dµ ≤ f ∗ (t)g ∗ (t)dt |f (x)g(x)|dµ ≤ Ω Ω ∞ 1 p1 t f ∗ (t) = t ∞ q1 t p1 = q1 1 p2 t g ∗ (t) dt t q2 q1 −1 ∗ f (t)q1 q2 t p2 −1 ∗ g (t)q2 q2 dt ∞ ≤ q1 t p1 ∞ q1 −1 ∗ f (t)q1 dt = f q2 t p2 −1 ∗ g (t)q2 dt q2 p1 q1 g p2 q2 Tương tự với trường hợp q1 = 1, q2 = ∞ Hệ 3.1 Giả sử f1 ∈ Lp1 ,q1 (Ω), f2 ∈ Lp2 ,q2 (Ω) với p1 , p2 , q1 , q2 , r số dương 1 1 1 + = + = Khi f1 f2 ∈ Lr (Ω) thõa p p2 r q1 q r f1 f2 rr ≤ f1 p1 q1 f2 p2 q2 Chứng minh Với ≤ p < ∞ ta có (|f |p )∗ (t) = (f ∗ (t))p Suy |f |r pq = f r pr,qr < p, r < ∞, < q ≤ ∞ Áp dụng Định lý 3.1 với f = |f1 |r , g = |f2 |r , ta có: f1 f2 r rr ≤ |f1 |r |f2 |r ≤ |f1 |r p1 q1 r r |f2 |r p2 q2 r r = f1 r p1 q1 f2 r p2 q2 Vậy f1 f2 rr ≤ f1 p1 q1 f2 p2 q2 Định lý 3.2 Cho µ độ đo phi hạt nhân, n n Giả sử fk ∈ Lpk ,qk (Ω) với = 1, = Khi đó, k=1 pk k=1 qk n k=1 n fk (x)dµ ≤ Ω k=1 n fk k=1 pk qk fk ∈ L1 (Ω) MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC CƠ BẢN TRONG KHÔNG GIAN Lp,q 21 Chứng minh Áp dụng Định lý 2.3 Định lý 2.2, ta có: n ∞ n n fk (x)dµ ≤ Ω k=1 fk∗ (t)dt |fk (x)|dµ ≤ Ω k=1 ∞ n ≤ t pk fk∗ (t) k=1 1 k=1 ∞ n n qk t pk k=1 −1 ∗ fk (t)qk dt qk −1 ∗ fk (t)qk qk dt k=1 ∞ ≤ t dt = t qk qk pk n = fk pk qk k=1 Định lý 3.3 Bất đẳng thức nội suy không gian Lp,q Giả thiết ≤ s, t ≤ ∞ ≤ s ≤ t ≤ ∞, ≤ θ ≤ 1, r r hai số dương thõa θ 1−θ θ 1−θ = + , = + Giả sử f ∈ Ls,s (Ω) ∩ Lt,t (Ω) r s t r s t Khi đó, f ∈ Lr,r (Ω) 1−θ f rr ≤ f θss f tt Chứng minh Áp dụng bất đẳng thức Holder, ta có: ∞ f r rr r y r −1 f ∗ (y)r dy = ∞ θ yr ( s + = = ∞ y 1−θ )−r t r θ − rs θ s ) ∗ ( sθ + 1−θ t f (y)r θ+r (1−θ) dy f ∗ (y)r θ y r (1−θ) r (1−θ) − t t f ∗ (y)r (1−θ) dy ∞ ≤ Vậy f rr ≤ f y = f rθ ss θ ss 1−θ tt f s s −1 ∗ s f (y) dy ∞ r θ s y t t −1 ∗ t f (y) dy r (1−θ) t f r (1−θ) tt Định lý 3.4 Bất đẳng thức Landau-Kolmogorov Cho < q ≤ p < ∞ Giả sử f ∈ Lp,q (R+ ) f (k) đạo hàm suy rộng cấp k f , f (k) ∈ Lp,q (R+ ) ( ≤ k ≤ n) Khi đó, f (k) n pq + ≤ Ck,n f n−k pq f (n) k pq + Ck,n số bất đẳng thức Landau-Kolmogorov cổ điển L∞ (R+ ) 22 DƯƠNG THỊ QUỲNH CHÂU Chứng minh Theo Định lý 2.5, với ε > 0, tồn hàm số v ∈ Lp ,q (R+) cho v p q = ∞ f (k) (x)v(x)dx ≥ f (k) pq − ε (1) Đặt ∞ f (x + y)v(y)dy F (x) = Theo Bất đẳng thức Holder F bị chặn R+ F ∈ L∞ (R+ ) Với ϕ ∈ C0∞ (R+ ), ta có: < F (r) (x), ϕ(x) > = (−1)r < F (x), ϕ(r) (x) > f (x + y)v(y)dy ϕ(r) (x)dx = (−1)r R+ R+ = (−1)r f (x + y)ϕ(r) (x)dx v(y)dy R+ R+ f (r) (x + y)ϕ(x)dx v(y)dy = R+ R+ f (r) (x + y)v(y)dy ϕ(x)dx = R+ R+ f (r) (x + y)v(y)dy, ϕ(x) > =< R+ Do đó, ∞ f (r) (x + y)v(y)dy F (r) (x) = theo nghĩa hàm suy rộng Với f ∈ Lp,q (R+ ), x ∈ R+ , y > 0, đặt A = {a ∈ R+ : |f (a + x)| > y} A + x = {a + x : a ∈ A} B = {a ∈ R+ : |f (a)| > y} Khi A + x ⊂ B, nên µ(A) = µ(A + x) ≤ µ(B) Hay µf (x+·) (y) ≤ µf (y), ∀y > Suy ∞ f (x + ·) pq = py q−1 q p µf (x+·) (y)dy q ∞ q py q−1 µfp (y)dy ≤ q = f pq (2) MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC CƠ BẢN TRONG KHÔNG GIAN Lp,q 23 Do |F (r) (x)| ≤ f (r) (x + ·) v pq ≤ f (r) pq pq Chúng ta chứng minh F (r) liên tục R+ , (0 ≤ r ≤ n) Trường hợp r = ta cần chứng minh lim f (x + t + ·) − f (x + ·) = pq t→0 Giả sử tồn δ > 0, điểm x0 dãy {tm } tm + x0 ∈ R+ , tm → 0, thõa mãn: f (x0 + tm + ·) − f (x0 + ·) pq ≥ δ, m ≥ (3) Để đơn giản giả sử x0 = Bởi f ∈ Lp,q (R+ ) nên f ∈ L1loc (R+ ), ta có: j |f (x + tm ) − f (x)|dx → 0, m → ∞ Do tồn dãy {tmj }, ta kí hiệu {tm }, cho f (· + tm ) → f hầu khắp nơi [0, j] Suy tồn dãy {tm }, cho f (· + tm ) → f hầu khắp nơi [0, ∞) Theo (2), ta có: lim sup f (· + tm ) pq ≤ f pq m→∞ Mặt khác f pq = lim inf f (· + tm ) m→∞ ≤ lim inf f (· + tm ) pq m→∞ nên lim f (· + tm ) lim f (· + tm ) − f m→∞ pq = f pq Vì theo Định lý 2.6 m→∞ pq =0 mâu thuẫn với (3) Trường hợp ≤ r ≤ n chứng minh tương tự Vậy tính liên tục F (r) chứng minh Áp dụng Bất đẳng thức Landau-Kolmogorov cổ điển, ta có: + F |F (k) (0)|n ≤ Ck,n n−k ∞ F (n) k ∞ pq 24 DƯƠNG THỊ QUỲNH CHÂU Mặt khác |F (r) (x)| ≤ f (r) pq (0 ≤ r ≤ n) Theo (1) { f (k) pq + − ε}n ≤ Ck,n f n−k pq f (n) k pq Cho ε → 0, ta thu được: f (k) n pq + ≤ Ck,n f n−k pq f (n) k pq Định lý 3.5 Cho < q ≤ p < ∞ Giả sử f, f (n) ∈ Lp,q (R+ ) f (k) ∈ Lp,q (R+ ) với < k < n Chứng minh Theo Định lý 2.7 giả sử f, f , · · · , f (n−1) liên tục R+ f (n−1) liên tục tuyệt đối R+ Đặt f (k) (x), x ∈ [0, ∞) f(k) (x) = 0, x ∈ (−∞, 0) Chọn ψ ∈ C0∞ (R), ψ ≥ 0, suppψ ⊂ [0, 1] R ψ(x)dx = 1 x Đặt ψλ (x) = ψ( ), λ > fλ = f(0) ∗ ψλ λ λ Với ϕ ∈ C0∞ (b, ∞) với < λ < b, k = 1, , n, ta có: (k) < fλ , ϕ > = (−1)k < fλ , ϕ(k) > ∞ ∞ = (−1)k f(0) (x − y)ψλ (y)dy ϕ(k) (x)dx b ∞ λ (−1)k = f(0) (x − y)ϕ(k) (x)dx ψλ (y)dy b ∞ λ f (k) (x − y)ϕ(x)dx ψλ (y)dy = b ∞ λ f (k) (x − y)ψλ (y)dy ϕ(x)dx =< f(k) ∗ ψλ , ϕ > = b Suy ra, (k) fλ = (f(0) ∗ ψλ )(k) = f(k) ∗ ψλ D (b, ∞) (4) MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC CƠ BẢN TRONG KHÔNG GIAN Lp,q 25 Do đó, (n) fλ Lp,q [b,∞) = (f(0) ∗ ψλ )(n) ≤ f(n) ∗ ψλ = f(n) Lp,q [b,∞) Lp,q (R) Lp,q (R) (k) = f(n) ∗ ψλ ≤ f(n) = f (n) Lp,q (R) Lp,q [b,∞) ψλ (5) L1 (R) Lp,q (R+ ) (k) Mặt khác fλ = (f(0) ∗ ψλ )(k) = f(0) ∗ ψλ ∈ Lp,q (R), ∀k = 0, 1, , n Áp dụng Bất đẳng thức Landau-Kolmogorov Định lý 3.4 cho fλ [b, ∞), kết hợp (4), (5) với k = 1, , n − 1, ta có: (k) n Lp,q [b,∞) fλ + ≤ Ck,n fλ + ≤ Ck,n f n−k Lp,q [b,∞) n−k Lp,q [0,∞) (n) k Lp,q [b,∞) fλ f (n) k Lp,q [0,∞) Do f(k) liên tục R+ nên lim f(k) ∗ ψλ (x) = f(k) (x) = f (k) (x), ∀x > (6) λ→0 (xem Định lý 2.9, [1]) Áp dụng Bổ đề Fatou, (5), (6), với v ∈ Lp ,q [b, ∞), v ta có: ,q [b,∞) = 1, < λ < b, ∞ ∞ (f (k) (x)v(x)dx| = | | Lp lim (f(k) ∗ ψλ )(x)v(x)dx| λ→0 b ∞ b ≤ (lim |(f(k) ∗ ψλ )(x)v(x)|)dx b λ→0 ∞ ≤ lim inf λ→0 |(f(k) ∗ ψλ )(x)v(x)|dx b ≤ lim inf f(k) ∗ ψλ λ→0 n−k Lp,q [0,∞) + f ≤ {Ck,n (k) Lpq [b,∞) f (n) = lim inf fλ λ→0 Lpq [b,∞) k n Lp,q [0,∞) } Suy ra, f (k) Lp,q [b,∞) + ≤ Ck,n f n−k Lp,q [0,∞) f (n) k L,pq [0,∞) < ∞ Mặt khác, tính liên tục f (k) [0, ∞) nên f (k) ∈ Lp,q [0, b) với b > Ta có: f (k) Lp,q (R+ ) ≤ f (k) Vậy f (k) ∈ Lp,q (R+ ), (0 < k < n) Lp,q [0,b) + f (k) Lp,q [b,∞) < ∞ 26 DƯƠNG THỊ QUỲNH CHÂU KẾT LUẬN Như báo trình bày số bất đẳng thức không gian Lp,q Đầu tiên chứng minh bất đẳng thức Holder không gian Lp,q cho hai hàm trường hợp tổng quát cho n hàm với độ đo phi hạt nhân Tiếp theo chứng minh bất đẳng thức nội suy Cuối cùng, dựa vào phương pháp chứng minh [3] chứng minh bất đẳng thức Landau-Kolmogorov không gian + Lp,q (R+ ), < q ≤ p < ∞ với số Ck,n TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Trần Đức Vân (2008) Lý thuyết phương trình vi phân đạo hàm riêng, Nhà xuất đại học quốc gia Hà Nội [2] H H Bang, N M Cong (2005) Bernstein- Nikolskii type inequality in Lorentz spaces and related topics,Vladikavkazky J.Math, Vol.7, Issue 2, 91-100 [3] H H Bang, M T Thu (2004) A Landau- Kolmogorov Inequality for Lorentz spaces, Tokyo J Math, Vol 27, No 1, 13-19 [4] H H Bang, N M Cong (2005) Generalizations of the Riez convergence theorem for Lorentz spaces , Acta Math Hungar, 106(4), 331-341 [5] S Barza, V Kolyada, J Soria (2009) Sharp constants related to the triangle inequality in Lorentz spaces , Trans Am Math Soc 361, 5555-5574 [6] R A Devore, G G Lorentz (1993) Constructive Approximation, Springer [7] Erik Kristiansson (2002) Decreasing Rearrangement and Lorentz Lp,q spaces, Lulea University of Technology Title: SOME FUNDAMENTAL INEQUALITIES FOR Lp,q SPACES Abstract: In this paper, we prove some fundamental inequalities for Lp,q spaces such as the Holder inequality, the interpolation inequality and prove the Landau- Kolmogorov + inequality still holds for Lp,q (R+ ) spaces, in < q ≤ p < ∞, with the constants Ck,n Keywords: Lp,q spaces, the Holder inequality, the interpolation inequality, the LandauKolmogorov inequality DƯƠNG THỊ QUỲNH CHÂU Học viên Cao học, chun ngành Tốn Giải Tích, khóa 21 (2012-2014), Trường Đại học Sư phạm - Đại học Huế, ĐT: 0989 945 213, Email: duongquynhchau3010@gmail.com ... = q = ∞ Trên l? ??p khơng gian Lp , nhà tốn học nước nghiên cứu số bất đẳng thức bất đẳng thức Holder, bất đẳng thức nội suy, bất đẳng thức Landau-Kolmogorov Bất đẳng thức Landau-Kolmogorov f (k)... cho f (n−1) liên tục tuyệt đối f (n) = g hầu khắp nơi R+ MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC CƠ BẢN TRONG KHÔNG GIAN Lp,q Định l? ? 3.1 Bất đẳng thức Holder không gian Lp,q Giả sử f ∈ Lp1 ,q1 (Ω), g ∈ Lp2 ,q2 (Ω)... (4) MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC CƠ BẢN TRONG KHÔNG GIAN Lp,q 25 Do đó, (n) fλ Lp,q [b,∞) = (f(0) ∗ ψλ )(n) ≤ f(n) ∗ ψλ = f(n) Lp,q [b,∞) Lp,q (R) Lp,q (R) (k) = f(n) ∗ ψλ ≤ f(n) = f (n) Lp,q (R) Lp,q