NGUYỄN THỊ THU THỦY Trang 5 Bảng ký hiệuRtập số thựcR+ tập số thực khơng âmRn khơng gian thựcnchiềuRm×n khơng gian các ma trận cấpm × ntrên RL[a, b]khơng gian các hàm khả tích trên đoạn
Hàm lồi và hàm s -lồi
Hàm lồi
Cho hai điểm a, b ∈ R n Tập tất cả các điểm x = (1 − λ)a + λb với
0 ≤λ ≤1 gọi là đoạn thẳng (đóng) nối a và b, và được ký hiệu là [a, b]. Định nghĩa 1.1.1 (xem [1]) Tập C ⊆ R n được gọi là tập lồi nếu với mọi λ ∈ [0,1] và mọi x 1 , x 2 ∈ C thì x λ := λx 1 + (1−λ)x 2 ∈ C.
Như vậy, tập lồi C chứa mọi đoạn thẳng nối hai điểm bất kỳ của nó.Định nghĩa 1.1.2 (xem [1]) Cho C là một tập con lồi khác rỗng của không gian R n , f : C →R là hàm số thực xác định trên tập lồi C Hàm f được gọi
Hình 1.1: Tập lồi Hình 1.2: Tập không lồi là
(i) hàm lồi trên C nếu với mọi x, y ∈ C và mọi số thực λ ∈ [0,1], ta có f[λx+ (1−λ)y] ≤ λf(x) + (1−λ)f(y); (1.1)
(ii) hàm lồi chặt trên C nếu bất đẳng thức (1.1) là chặt với mọi x khác y.
Hàm f được gọi là hàm lõm nếu hàm (−f) là lồi.
Nếu n = 1, Định nghĩa 1.1.2 cho ta định nghĩa về hàm lồi một biến trên
Hình 1.3: Hàm lồi Định lý sau đây cho ta mối liên hệ giữa hàm lồi và tập lồi. Định lý 1.1.3 (xem [1]) Giả sử hàm f : R n → R là một hàm lồi trên R n và λ ∈ R Khi đó
Tập C λ , C λ trong Định lý 1.1.3 gọi là các tập mức dưới.
Sau đây là mối liên hệ giữa hàm lồi n biến và hàm lồi một biến. Định lý 1.1.4 (xem [1]) Hàm f(x), x ∈ R n là hàm lồi khi và chỉ khi hàm một biến φ(λ) := f(x+λd) là hàm lồi theo λ với mỗi x, d ∈ R n
Chứng minh Điều kiện cần là rõ ràng Ta chứng minh điều kiện đủ Giả sử φ là hàm lồi với mọi x, d ∈ R n Lấy x, y bất kỳ thuộc R n và đặt d = x−y. Khi đó với mọi λ ∈ [0,1] ta có f (1−λ)x+λy = f(x+ λd) =φ(λ) =φ (1−λ).0 +λ.1
Ví dụ 1.1.5 Các hàm sau đây là các hàm lồi (một biến):
(i) hàm afin ax+ b trên R với mọi a, b ∈ R,
(ii) hàm mũ e ax trên R với mọi a ∈ R.
Ví dụ 1.1.6 (i) Mọi hàm chuẩn đều là hàm lồi trên R n , trong đó
(ii) Cho C ⊆ R n là một tập lồi khác rỗng, các hàm sau đây là hàm lồi trên
(b) Hàm khoảng cách từ điểm x ∈ R n đến C :d C (x) = inf y∈C∥x−y∥.
Hàm s -lồi
Trong mục này ta sử dụng ký hiệu R + = [0,+∞). Định nghĩa 1.1.7 (xem [6]) Hàm f : R + →R được gọi là
(i) hàm s-lồi loại một nếu f(αx+βy) ≤ α s f(x) +β s f(y) (1.2) với mọi x, y ∈ R + và mọi α, β ≥ 0 với α s +β s = 1, s ∈ (0,1];
(ii) hàm s-lồi loại hai nếu bất đẳng thức (1.2) thỏa mãn với mọi x, y ∈ R + , và mọi α, β ≥ 0 với α +β = 1, s ∈ (0,1].
Nhận xét 1.1.8 Dễ thấy rằng khi s = 1 thì hàm s-lồi (loại một, loại hai) trở thành hàm lồi một biến thông thường xác định trên [0,+∞).
Ví dụ 1.1.9 Cho s ∈ (0,1) và a, b, c ∈ R Ta định nghĩa hàm f từ [0,+∞) vào R như sau: f(x)
(i) Nếu b ≥ 0, c ≤ a thì f là hàm s-lồi loại một.
(ii) Nếu b ≥ 0 và 0 ≤c ≤ a thì f là hàm s-lồi loại hai.
Chứng minh (i) Ta xét hai trường hợp sau đây:
Chứng minh tương tự cho (ii) □
Bất đẳng thức tích phân dạng Hermite–Hadamard cho hàm lồi và hàm s -lồi
Bất đẳng thức tích phân dạng Hermite–Hadamard cho hàm lồi
Một trong những bất đẳng thức nổi tiếng cho hàm lồi là bất đẳng thức Hermite–Hadamard Bất đẳng thức này được nêu trong định lý sau. Định lý 1.2.1 (xem [7]) Cho f là một hàm lồi trên [a, b] ⊂ R, a < b Khi đó ta có bất đẳng thức sau f a+b 2
Bất đẳng thức (1.3) có thể viết lại dưới dạng:
Chứng minh Vì hàm f lồi trên đoạn [a, b], nên với mọi λ ∈ [0,1] ta có f λa+ (1−λ)b ≤ λf(a) + (1−λ)f(b).
Lấy tích phân hai vế theo λ trên đoạn [0,1], ta nhận được
2 và bằng phép đổi biến x = λa+ (1−λ)b, suy ra
Kết hợp với (1.5) ta nhận được bất đẳng thức thứ hai của (1.3) Cũng do tính lồi của hàm f,
Tích phân hai về bất đẳng thức này theo λ trên đoạn [0,1] ta nhận được f a+b
Bất đẳng thức thứ nhất của (1.3) được chứng minh □
Ký hiệu L p [a, b] là không gian các hàm khả tích bậc p (1 ≤ p < ∞) trên đoạn [a, b], nghĩa là nếu f(x) ∈ L p [a, b] thì
Nhận xét 1.2.2 Giả sử f : [a, b] ⊂ R → R là hàm khả vi trên [a, b] với a < b Nếu f ′ ∈ L 1 [a, b] thì f(a) + f(b)
2 f ′ (t)dt (1.6) Định lý 1.2.3 (xem [4]) Nếu f : [a, b] → R là hàm khả vi trên [a, b] ⊂ R và hàm φ(x) : x− a+b
Chứng minh Áp dụng bất đẳng thức cho hàm φ:
Sử dụng định nghĩa của hàm φ ta thu được:
□ Định lý 1.2.4 (xem [4]) Giả sử f : [a, b] ⊂R → R là hàm khả vi trên [a, b] và p > 1 Nếu |f ′ | là q-khả tích trên [a, b], trong đó 1 p + 1 q = 1, thì f(a) +f(b)
Chứng minh Sử dụng bất đẳng thức H¨older với p > 1 và q > 1 thỏa mãn 1 p + 1 q = 1, ta có
1 q và khi đó, bất đẳng thức (1.8) được suy ra từ (1.6) □
Bất đẳng thức Hermite–Hadamard cho hàm s -lồi
Tiểu mục này trình bày các bất đẳng thức mới được thiết lập từ bất đẳng thức Hermite–Hadamard cho hàm s-lồi trong [2] Một mở rộng kết quả của Định lý 1.2.1 về bất đẳng thức Hermite–Hadamard cho hàm s-lồi như sau. Định lý 1.2.5 (xem [2]) Giả sử hàm f : [0,+∞) → [0,+∞) là một hàm s-lồi loại hai với s ∈ (0,1) Giả sử a, b ∈ [0 + ∞), a < b Khi đó nếu f ∈ L 1 [a, b] thì bất đẳng thức sau đây thỏa mãn:
Bổ đề 1.2.6 (xem [2]) Cho f : C ⊂ R → R là hàm khả vi trên phần trong
C o của C, a, b ∈ C với a < b Nếu f ′′ ∈ L 1 [a, b] thì ta có đẳng thức:
(1.10) Định lý 1.2.7 (xem [2]) Giả sử f : C ⊂ [0,+∞) → R là hàm khả vi trên phần trong C o của C sao cho f ′′ ∈ L 1 [a, b], ở đây a, b ∈ C với a < b Nếu hàm |f| là hàm s-lồi loại hai trên [a, b] với s ∈ (0,1] thì bất đẳng thức sau đây thỏa mãn f a+b
Chứng minh Từ Bổ đề 1.2.6 ta có f a+b
(1.13) ở đây ta sử dụng các kết quả
(s3 + 3). Như vậy ta chứng minh được bất đẳng thức (1.11) Để chứng minh bất đẳng thức (1.12), từ hàm |f| là hàm s-lồi loại hai trên [a, b] với s ∈ (0,1), từ (1.9) ta có
Kết hợp (1.13) và (1.14) ta nhận được f a+b
|f ′′ (a)|+|f ′′ (b)| , đây là bất đẳng thức (1.12) □
Hệ quả 1.2.8 (xem [2]) Trong Định lý 1.2.7 nếu ta chọn s = 1 thì f a+b
Một vài áp dụng
Bất đẳng thức Hermite–Hadamard được áp dụng cho việc đánh giá một số bất đẳng thức đặc biệt liên quan đến giá trị trung bình như trung bình cộng, trung bình nhân, trung bình điều hòa, trung bình lôgarit Trước hết, ta nhắc lại định nghĩa các giá trị trung bình này.
Nhận xét 1.2.9 (a) Với hàm lồi f(x) = 1 t, t > 0, nếu a ̸= b ta có
(b) Với hàm lồi (lõm)f(x) = x p , p∈ (−∞,0)∪[1,∞)\ {−1}(hoặc p thuộc khoảng (a, b)), ta có
Mệnh đề 1.2.10 (xem [3]) Giả sử p ∈ (−∞,0)∪ [1,∞)\ {−1} và [a, b] nằm trong khoảng (0,∞) Khi đó,
L p p −t p pt p−1 ≥ A − t với mọi t ∈ [a, b] (1.16) Chứng minh Xét ánh xạ f : [a, b] −→[a,+∞), f(x) =x p với p thỏa mãn p∈ (−∞,0)∪[1,∞)\ {−1}, ta thu được
Z b a x p dx = L p p (a, b) = L p p Suy ra, ta nhận được bất đẳng thức cần chứng minh (1.16) □
Mệnh đề 1.2.11 (xem [3]) Cho 0 < a < b Khi đó, với mọi t∈ [a, b] ta có bất đẳng thức
Chứng minh Gọi f : I ⊆R →R là hàm lồi trên I, a, b ∈ I với a < b Lấy t ∈ [a, b] Với mọi λ ∈ [f − ′ (t), f + ′ (t)] ta có bất đẳng thức f(x)−f(t) ≥ λ(x−t) với mọi x ∈ [a, b].
Lấy tích phân bất đẳng thức trên theo biến x trên [a, b], ta thu được
Z b a f(x)dx (1.18) Áp dụng (1.18) cho hàm f(x) = x 1 với x ∈ [a, b], ta thu được
Sử dụng bất đẳng thức (1.17), ta có các bất đẳng thức sau đây cho các giá trị trung bình.
L ≥ b− A b Chứng minh (a) Do a ≤ L p ≤ b nên thay t = L p vào (1.17) ta được
Do a ≤ G ≤b nên thay t= G vào (1.17) ta được
L Các trường hợp (b), (c) được chứng minh tương tự.
□ Mệnh đề 1.2.12 (xem [4]) Xét p > 1 và [a, b] ⊂ [0,+∞) Khi đó,
Chứng minh Theo Định lý 1.2.4 áp dụng cho hàm lồi f(x) =x p , ta có: a p +b p
Z b a x (p−1)q dx = b pq−q+1 −a pq−q+1 p+ 1 = L p p (a, b)(b−a) và do đó ta có:
. Vậy bất đẳng thức (1.19) đã được chứng minh.
Mệnh đề 1.2.13 (xem [4]) Cho p > 1 và 0 < a < b Khi đó,
Chứng minh Áp dụng Định lý 1.2.4 cho hàm lồi f(x) := 1 x ta có:
Bất đẳng thức tích phân dạng
Chương này trình bày bất đẳng thức tích phân dạng Hermite–Hadamard cho hàm (α, s)-lồi, hàm (α, s, m)-lồi Nội dung của chương được viết trong hai mục Mục 2.1 giới thiệu về hàm (α, s)-lồi, hàm (α, s, m)-lồi và mối liên hệ với hàm s-lồi và hàm lồi Mục 2.2 trình bày các bất đẳng thức tích phân dạng Hermite–Hadamard cho hàm (α, s)-lồi và hàm (α, s, m)-lồi Kiến thức của chương được viết trên cơ sở tổng hợp kết quả trong [10] và một số tài liệu trích dẫn trong đó.
Hàm (α, s) -lồi, hàm (α, s, m) -lồi
Định nghĩa 2.1.1 (xem [10]) Hàm f : [0, b] → R + = [0,∞) với b > 0 và m ∈ (0,1] được gọi là hàm m-lồi trên [0, b], nếu f(tx+m(1−t)y) ≤ tf(x) +m(1−t)f(y) x, y ∈ [0, b] và t ∈ [0,1].Định nghĩa 2.1.2 (xem [10]) Hàm f : [0, b] → R + với b > 0 và (α, m) thuộc (0,1]×(0,1] được gọi là hàm (α, m)-lồi trên [0, b] nếu f(tx+ m(1−t)y) ≤ t α f(x) +m(1−t α )f(y) với x, y ∈ [0, b] và t ∈ [0,1]. Ở Chương 1 ta đã xem xét khái niệm hàm s-lồi như trong Định nghĩa 1.1.7 Chương 2 sẽ làm việc với một lớp hàm s-lồi khác. Định nghĩa 2.1.3 (xem [10]) Cho s ∈ [−1,1] Hàm f : I ⊆ R → R được gọi là hàm s-lồi mở rộng nếu f(tx+ (1−t)y) ≤t s f(x) + (1−t) s f(y) với mọi x, y ∈ I và t ∈ (0,1). Định nghĩa 2.1.4 (xem [10]) Cho (s, m) ∈ [−1,1]×(0,1] Hàmf từ I ⊆R vào R + được gọi là (s, m)-lồi mở rộng nếu f(tx+m(1−t)y) ≤t s f(x) +m(1−t) s f(y) với mọi x, y ∈ I và t ∈ (0,1). Định nghĩa 2.1.5 (xem [10]) Cho s ∈ [−1,1] và α ∈ (0,1] Hàm f từ (0, b] vào R, b > 0, được gọi là (α, s)-lồi nếu f(tx+ (1−t)y) ≤t αs f(x) + (1−t α ) s f(y) với mọi x, y ∈ (0, b] và t ∈ (0,1). Định nghĩa 2.1.6 (xem [10]) Cho s ∈ [−1,1] và (α, m) ∈ (0,1] ×(0,1]. Hàm f : (0, b] → R được gọi là (α, s, m)-lồi nếu f(tx+m(1−t)y) ≤t αs f(x) +m(1−t α ) s f(y) với mọi x, y ∈ (0, b] và t ∈ (0,1).
Nhận xét 2.1.7 (xem [10]) Từ Định nghĩa 2.1.6 suy ra
1 nếu s = 1 thì f(x) trở thành hàm (α, m)-lồi trên (0, b];
2 nếu α = 1 thì f trở thành hàm (s, m)-lồi mở rộng trên (0, b];
3 nếu α = m = 1 thì f(x) trở thành hàm s-lồi mở rộng trên (0, b];
4 nếu α = s = m = 1 thì f trở thành hàm lồi trên (0, b]. Điều này có nghĩa rằng Định nghĩa 2.1.5 và 2.1.6 là có ý nghĩa.
Bất đẳng thức tích phân dạng Hermite–Hadamard cho hàm (α, s) -lồi, hàm (α, s, m) -lồi
cho hàm (α, s) -lồi, hàm (α, s, m) -lồi Để thiết lập các bất đẳng thức tích phân kiểu Hermite–Hadamard mới cho hàm (α, s)-lồi và (α, s, m)-lồi, ta cần bổ đề sau.
Bổ đề 2.2.1 (xem [10]) Giả sử f : I ⊆ R → R là hàm khả vi hai lần trên
Chứng minh Sử dụng công thức tích phân từng phần và phép đổi biến ta thu được
Bổ đề được chứng minh.
Bổ đề 2.2.2 (xem [10]) Cho α ∈ (0,1] và s ∈ [−1,1] Khi đó
, trong đó B(x, y) và Ψ n (x) tương ứng là các hàm Beta và hàm polygamma thông thường, xác định bởi
1−e −z e −xz dz (2.3) với Γ(x) Z ∞ 0 t x−1 e −t dt,R(x) > 0, n ∈ N 0 Bây giờ ta thiết lập một số bất đẳng thức tích phân mới kiểu Hermite–Hadamard cho hàm (α, s, m)-lồi. Định lý 2.2.3 (xem [10]) Cho (α, m) ∈ (0,1] 2 và s ∈ (−1,1] và giả sử f : 0, b m ∗ → R là hàm khả vi hai lần và f ′′ ∈ L1([a, b]) với a, b ∈ (0, b ∗ ] với a < b, b ∗ > 0 Nếu |f ′′ | q là hàm (α, s, m)-lồi trên 0, b m ∗ với q ≥ 1 thì
(2.4) trong đó M(α, s) được xác định bởi (2.1).
Chứng minh Theo Bổ đề 2.2.1 và bất đẳng thức H¨older, ta thu được
Từ tính lồi của (α, s, m)-lồi của |f ′ | q và Bổ đề 2.2.2, ta thu được
Từ bất đẳng thức (2.5) và (2.6), ta suy ra bất đẳng thức (2.4) Điều phải chứng minh □
Hệ quả 2.2.4 (xem [10]) Cho α ∈ (0,1] và s ∈ (−1,1] Giả sử hàm f từ
I ⊆ R vào R khả vi hai lần và f ′′ ∈ L 1 ([a, b]) với a, b ∈ I với a < b Nếu
|f ′′ | q là hàm (α, s)-lồi trên I với q ≥ 1 thì
1/q , trong đó M(α, s) được xác định bởi (2.1).
Chứng minh Đây là trường hợp đặc biệt của Định lý 2.2.3 với m = 1 □ Định lý 2.2.5 (xem [10]) Cho (α, m) ∈ (0,1] 2 Giả sử f : 0, b m ∗ → R là hàm khả vi hai lần và f ′′ ∈ L 1 ([a, b]) với a, b ∈ (0, b ∗ ] với a < b, b ∗ > 0 Nếu
|f ′′ | q là hàm (α,−1, m)-lồi trên 0, b m ∗ với q ≥ 1 thì
,trong đó Ψ(x) được xác định bởi (2.3).
Chứng minh Lập luận tương tự như trong chứng minh Định lý 2.2.3 □
Hệ quả 2.2.6 (xem [10]) Giả sử f : I ⊆ R → R là hàm khả vi hai lần và f ′′ ∈ L 1 ([a, b]) và f ′′ ∈ L 1 ([a, b]) với a, b ∈ I với a < b Nếu |f ′′ | q là hàm (α,−1)-lồi trên I với α ∈ (0,1] và q ≥ 1 thì
1/q , trong đó Ψ(x) được xác định bởi (2.3).
Chứng minh Đây là trường hợp đặc biệt của Định lý 2.2.5 với m = 1 □ Định lý 2.2.7 (xem [10]) Cho (α, m) ∈ (0,1] 2 , s ∈ (−1,1], và ℓ ≥ 0, giả sử f : 0, b m ∗ → R là hàm khả vi hai lần và f ′′ ∈ L 1 ([a, b]) với a, b ∈ (0, b ∗ ] với a < b Nếu |f ′′ | q là hàm (α, s, m)-lồi trên 0, b m ∗ với q > 1 và q ≥ ℓ thì
, trong đó B(x, y) là hàm beta thông thường được xác định bởi (2.2).
Chứng minh Theo Bổ đề 2.2.1, bất đẳng thức H¨older và từ tính lồi của
Hệ quả 2.2.8 (xem [10]) Giả sử các giả thiết của Định lý 2.2.7 được thỏa mãn, nếu ℓ = 0 thì
, trong đó B(x, y) là hàm beta thông thường được xác định bởi (2.2).
Hệ quả 2.2.9 (xem [10]) Cho α ∈ (0,1] và s ∈ (−1,1] và ℓ ≥ 0, giả sử f : I ⊆ R → R khả vi hai lần và f ′′ ∈ L 1 ([a, b]) với a, b ∈ I và a < b Nếu
|f ′′ | q là hàm (α, s)-lồi trên I với q ≥ 1 và q ≥ ℓ thì
1/q , trong đó B(x, y) là hàm beta thông thường được xác định bởi (2.2).
Chứng minh Đây là trường hợp đặc biệt của Định lý 2.2.7 với m = 1 □ Định lý 2.2.10 (xem [10]) Cho (α, m) ∈ (0,1]×(0,1], s ∈ (−1,1] Giả sử f : 0, b m ∗ →R là hàm (α, s, m)-lồi trên 0, b m ∗ với b ∗ > 0 Nếuf ∈ L 1 ([a, b]) với a, b ∈ (0, b ∗ ] và a < b thì f a+b 2
, trong đó B(x, y) là hàm beta thông thường được xác định bởi (2.2).
Chứng minh Từ tính (α, s, m)-lồi của hàm f, ta có f a+ b
Z 1 0 f(ta+ (1−t)b) +m(2 α −1) s f (1−t)a+tb m dt. Đặt x = ta+ (1 −t)b hoặc x = (1−t)a = tb với mọi t ∈ [0,1] thì ta thu được
Mặt khác, khi đặtx = ta+(1−t)bvới mọit ∈ [0,1]thì từ tính(α, s, m)-lồi của hàm f ta có
Hệ quả 2.2.11 (xem [10]) Dưới các giả thiết của Định lý 2.2.10, nếu m = 1 thì
Áp dụng xây dựng một số bất đẳng thức trong chương trình toán phổ thông
Sau đây là một vài ví dụ áp dụng bất đẳng thức Hermite–Hadamard để xây dựng một số bất đẳng thức khác trong chương trình toán phổ thông.
1 +x, x ≥ 0, áp dụng bất đẳng thức Hermite– Hadamard trên đoạn [0, n] ta được
2(n+ 1). Áp dụng bất đẳng thức Hermite–Hadamard trên đoạn [n−1, n] với n ∈ N ∗ ta được
Ví dụ 2.3.2 Với hàm f(x) = e x , từ bất đẳng thức Hermite–Hadamard kéo theo e (a+b)/2 < e b −e a b−a < e a + e b
2 với a ̸= b trong R. Đặt x = e a , y = e b thì x ̸= y, x, y ∈ (0,∞), ta thu được bất đẳng thức
2 Đây chính là bất đẳng thức giữa trung bình nhân, trung bình lôgarít và trung bình cộng.
Ví dụ 2.3.3 Với f(x) = sinx lõm trên [0, π] nên hàm g(x) = −sinx lồi trên [0, π] Từ bất đẳng thức Hermite–Hadamard, ta thu được
Từ đó suy ra sina+ sinb
Kết luận Đề tài luận văn đã trình bày một số bất đẳng thức mới dạng Hermite– Hadamard cho hàm (α, s)-lồi, hàm (α, s, m)-lồi Cụ thể:
(1) Giới thiệu về hàm lồi, hàm s-lồi, hàm (α, s)-lồi, hàm (α, s, m)-lồi, trình bày mối liên hệ giữa hàm lồi và hàm s-lồi cùng một số tính chất của hàm lồi và hàm s-lồi.
(2) Trình bày một số bất đẳng tích phân dạng Hermite–Hadamard cho hàm lồi, hàm s-lồi và một vài áp dụng.
(3) Trình bày một số bất đẳng thức tích phân dạng Hermite–Hadamard cho hàm (α, s)-lồi, hàm (α, s, m)-lồi và một vài áp dụng.
[1] Trần Vũ Thiệu, Nguyễn Thị Thu Thủy, Giáo trình Tối ưu phi tuyến, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội, 2011.
[2] M.E ¨Ozdemir, C Yıldız, A.O Akdemir and E Set (2013), “On some inequalities for s-convex functions and applications”, Journal of Inequal- ities and Applications, 2013:333.
[3] P Cerone, S.S Dragomir (2011), Mathematical Inequalities: A perspec- tive, CRS Press, Taylor and Francis Group, LLC, USA.
[4] S.S Dragomir, E.M.P Charles (2000), Selected Topics on Hermite– Hadamard Inequalities and Applications, RGMIA Monographs, Victoria University.
[5] G Giorgi (2008), “Some remarks on preinvex functions and other gener- alized convex functions”, Math Reports, 10(60), 317–325.
[6] H Hudzik, L Maligranda (1994), “Some remarks ons-convex functions”,Aequationes Mathematicae, 48, 100–111.