Một số bất đẳng thức hàm s lồi và áp dụng

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ——————–o0o——————– PHẠM THỊ THUÝ QUỲNH MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC HÀM s-LỒI VÀ ÁP DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN, 5/2019 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ——————–o0o——————– PHẠM THỊ THUÝ QUỲNH MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC HÀM s-LỒI VÀ ÁP DỤNG Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp Mã số: 8460113 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC GIÁO VIÊN HƯỚNG DẪN PGS.TS NGUYỄN THỊ THU THỦY THÁI NGUYÊN, 5/2019 iii Mục lục Bảng ký hiệu Mở đầu Một số tính chất hàm s-lồi 1.1 1.2 Hàm lồi 1.1.1 Định nghĩa 1.1.2 Tính chất Hàm s-lồi 1.2.1 Định nghĩa, ví dụ 1.2.2 Một số tính chất hàm s-lồi Một số bất đẳng thức hàm s-lồi áp dụng 2.1 2.2 2.3 19 Bất đẳng thức Hermite–Hadamard 19 2.1.1 Bất đẳng thức Hermite–Hadamard cho hàm lồi 19 2.1.2 Bất đẳng thức Hermite–Hadamard cho hàm s-lồi 22 Bất đẳng thức Ostrowski 25 2.2.1 Bất đẳng thức Ostrowski cho hàm lồi 25 2.2.2 Bất đẳng thức Ostrowski cho hàm s-lồi 31 Áp dụng 36 Kết luận 42 Tài liệu tham khảo 43 Bảng ký hiệu R tập số thực R+ tập số thực không âm Rn không gian Euclid n chiều Lp [a, b] khơng gian hàm khả tích bậc p [a, b] Ks1 lớp hàm s-lồi loại Ks2 lớp hàm s-lồi loại hai Io phần tập I Mở đầu Hàm lồi tập lồi nghiờn cu t lõu bi Hăolder, Jensen, Minkowski c bit với cơng trình Fenchel, Moreau, Rockafellar vào thập niên 1960 1970 đưa giải tích lồi trở thành lĩnh vực phát triển tốn học Hai tính chất hàm lồi tính chất đạt giá trị lớn biên cực tiểu địa phương cực tiểu tập xác định giúp cho hàm lồi sử dụng rộng dãi toán học lý thuyết ứng dụng Bên cạnh đó, số hàm không lồi theo nghĩa đầy đủ chia sẻ vài tính chất hàm lồi Chúng gọi hàm lồi suy rộng (generalized convex function) Một bất đẳng thức tiếng cho hàm f lồi [a, b] ⊂ R bất đẳng thức Hermite–Hadamard: a+b f ≤ b−a b a f (x)dx ≤ f (a) + f (b) (1) hay dạng tương đương: (b − a)f a+b b ≤ a f (x)dx ≤ (b − a) f (a) + f (b) (2) Năm 1938, Ostrowski thu đánh giá cho giá trị tuyệt đối hiệu số hàm f khả vi với giá trị trung bình tích phân đoạn [a, b] hữu hạn (xem tài liệu trích dẫn [4]): f (x) − b−a b a f (u)du ≤ (b − a)M + x− a+b (b − a)2 , (3) hay dạng tương đương: f (x) − b−a b a M (x − a)2 + (b − x)2 f (u)du ≤ b−a (4) Có nhiều nhà toán học nghiên cứu mở rộng bất đẳng thức Hermite–Hadamard (1) Ostrowski (4) cho lớp hàm lồi khác đưa nhiều ứng dụng chứng minh bất đẳng thức đại số, hình học, lượng giác khác Đây đề tài nhiều nhà tốn học quan tâm Do đó, chọn đề tài "Một số bất đẳng thức hàm s-lồi áp dụng" để nghiên cứu cho luận văn thạc sĩ chuyên ngành Phương pháp toán sơ cấp tác giả Mục tiêu đề tài luận văn trình bày kiến thức hàm s-lồi, số tính chất hàm s-lồi; trình bày số mở rộng bất đẳng thức dạng Hermite–Hadamard, Ostrowski cho hàm lồi, hàm s-lồi áp dụng đánh giá số giá trị trung bình đặc biệt Nội dung luận văn viết sở báo [3], [4], [7] [8] Nội dung luận văn trình bày hai chương Chương "Một số tính chất hàm s-lồi" trình bày số kiến thức hàm lồi, hàm s-lồi, mối liên hệ hàm lồi, hàm s-lồi, đưa ví dụ hàm slồi số tính chất hàm s-lồi Chương "Một số bất đẳng thức hàm s-lồi áp dụng" trình bày số mở rộng bất đẳng thức Hermite–Hadamard, Ostrowski cho hàm lồi, hàm s-lồi áp dụng Luận văn hoàn thành Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên Trong trình học tập thực luận văn này, Trường Đại học Khoa học tạo điều kiện tốt để tác giả học tập, nghiên cứu Tác giả xin bày tỏ lịng biết ơn chân thành đến thầy, khoa Toán - Tin, Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên Đặc biệt, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới PGS.TS Nguyễn Thị Thu Thủy - người trực tiếp giúp đỡ, hướng dẫn kiến thức, tài liệu phương pháp để tác giả hoàn thành đề tài nghiên cứu khoa học Tác giả xin gửi lời cảm ơn tới gia đình, bạn bè, đồng nghiệp động viên, cổ vũ, khích lệ giúp đỡ thời gian qua Thái Nguyên, tháng năm 2019 Tác giả luận văn Phạm Thị Thúy Quỳnh Chương Một số tính chất hàm s-lồi Chương giới thiệu số kiến thức hàm lồi, hàm s-lồi số tính chất hàm s-lồi Nội dung chương tổng hợp từ tài liệu [1], [2] [7] 1.1 1.1.1 Hàm lồi Định nghĩa Cho hai điểm a, b ∈ Rn Tập tất điểm x = (1 − λ)a + λb với ≤ λ ≤ gọi đoạn thẳng (đóng) nối a b, ký hiệu [a, b] Định nghĩa 1.1.1 (xem [1]) Tập C ⊆ Rn gọi lồi với λ ∈ [0, 1] x1 , x2 ∈ C xλ := λx1 + (1 − λ)x2 ∈ C Như vậy, tập lồi C chứa đoạn thẳng nối hai điểm Hình 1.1: Tập lồi Hình 1.2: Tập khơng lồi Định nghĩa 1.1.2 (xem [1]) Cho C tập lồi khác rỗng không gian Rn , f : C → [−∞, +∞] hàm số thực xác định tập lồi C Hàm f gọi (i) hàm lồi C với x, y thuộc C số thực λ thuộc [0, 1] ta có f (λx + (1 − λ)y) ≤ λf (x) + (1 − λ)f (y) (1.1) (ii) lồi chặt C bất đẳng thức (1.1) chặt với x khác y Nếu n = 1, Định nghĩa 1.1.2 cho ta định nghĩa hàm lồi biến R Định nghĩa 1.1.3 (xem [1]) Hàm f : [a, b] ⊂ R → R gọi hàm lồi với x, y ∈ [a, b] λ ∈ [0, 1] f (λx + (1 − λ)y) ≤ λf (x) + (1 − λ)f (y) Hàm f gọi hàm lõm hàm (−f ) lồi Hình 1.3: Hàm lồi 1.1.2 Tính chất Sau mối liên hệ hàm lồi tập lồi (1.2) Định lý 1.1.4 (xem [1]) Giả sử hàm f : Rn → [−∞; +∞] hàm lồi Rn λ ∈ [−∞; +∞] Khi tập Cλ = x : f (x) < λ , C λ = x : f (x) ≤ λ tập lồi Tập Cλ , C λ Định lý 1.1.4 gọi tập mức Định lý 1.1.5 (xem [1]) Cho C tập lồi, khác rỗng Rn f : Rn → R hàm lồi Mọi điểm cực tiểu địa phương f C cực tiểu toàn cục Chứng minh Giả sử x0 ∈ C điểm cực tiểu địa phương hàm f C U (x0 ) lân cận x0 cho f (x0 ) ≤ f (x) với x ∈ C ∩ U (x0 ) Với x ∈ C ta có xλ = λx + (1 − λ)x0 ∈ C ∩ U (x0 ) với λ > đủ bé Khi đó, f (x0 ) ≤ f (xλ ) ≤ λf (x) + (1 − λ)f (x0 ) hay f (x0 ) ≤ λf (x) Do λ > nên f (x0 ) ≤ f (x) Vì x ∈ C chọn tùy ý nên x0 điểm cực tiểu toàn cục f C Định lý 1.1.6 (xem [1]) Một hàm lồi chặt f tập lồi C có nhiều điểm cực tiểu C Chứng minh Nếu f có hai điểm cực tiểu khác x1 , x2 ∈ C tính lồi chặt f , f 1 x1 + x2 < f (x1 ) = f (x2 ), 2 điều vơ lý Ví dụ 1.1.7 Hàm lồi chặt biến f (x) = x2 có điểm cực tiểu x0 = Hàm lồi chặt f (x) = ex , x ∈ R khơng có điểm cực tiểu Sau mối liên hệ hàm lồi n biến hàm lồi biến 31 Hệ 2.2.11 (xem [3]) Trong Định lý 2.2.10, chọn x = b a+b − f (u)du f b−a a a + 3b (b − a) f′ ≤ p+1 1/p (2 (p + 1)) + f ′ 3a + b a+b ta có (2.28) , với x ∈ [a, b] p > Định lý 2.2.12 (xem [3]) Cho f : I ⊂ [0, ∞] → R ánh xạ khả vi I cho f ′ ∈ L[a, b], a, b ∈ I a < b Nếu |f ′ |p/(p−1) hàm lõm [a, b] bất đẳng thức sau f (x) − b−a b f (u)du ≤ a với x ∈ [a, b], p > 2.2.2 (b − x)2 ′ b+x f (b − a)(p + 1)1/p (x − a) ′ a+x f + (b − a)(p + 1)1/p (2.29) , Bất đẳng thức Ostrowski cho hàm s-lồi Tiểu mục trình bày số bất đẳng thức dạng Ostrowski cho hàm s-lồi [4] Định lý 2.2.13 (xem [4]) Giả sử f : [0, ∞) → [0, ∞) hàm s-lồi loại hai, s ∈ (0, 1) a, b ∈ [0, ∞) với a < b Nếu f ∈ L1 [a, b] bất đẳng thức thỏa mãn 2s−1 f a+b ≤ b−a b a f (x)dx ≤ f (a) + f (b) s+1 (2.30) Bổ đề 2.2.14 (xem [4]) Cho f : I ⊂ R → R ánh xạ khả vi I , a, b ∈ I với a < b Nếu f ′ ∈ L[a, b] đẳng thức sau thỏa mãn: f (x) − b−a với x ∈ [a, b] b (x − a)2 b−a (b − x)2 − b−a f (u)du = a tf ′ (tx + (1 − t)a)dt tf ′ (tx + (1 − t)b)dt, 32 Một chứng minh đơn giản đẳng thức thực cách tích phân phần bên vế phải đổi biến Định lý 2.2.15 (xem [4]) Cho f : I ⊂ [0, ∞) → R ánh xạ khả vi I cho f ′ ∈ L[a, b], a, b ∈ I với a < b Nếu |f ′ | hàm s-lồi loại hai [a, b] với s ∈ (0, 1) cố định |f ′ (x)| ≤ M , x ∈ [a, b] bất đẳng thức sau thỏa mãn f (x) − b−a b a f (u)du ≤ (x − a)2 + (b − x)2 M , b−a s+1 (2.31) với x ∈ [a, b] Chứng minh.Theo Bổ đề 2.2.14 từ |f ′ | hàm s-lồi loại hai nên ta có b f (u)du f (x) − b−a a (b − x)2 ′ (x − a)2 ′ t|f (tx + (1 − t)a)|dt + t|f (tx + (1 − t)b)|dt ≤ b−a b−a (x − a)2 s ′ ≤ t[t |f (x)| + (1 − t)s |f ′ (a)|]dt b−a (b − x)2 (1 − t)t[ts |f ′ (x)| + (1 − t)s |f ′ (b)|]dt + b−a 1 M (x − a)2 + ≤ b−a s + (s + 1)(s + 3) M (b − x)2 1 + + b−a s + (s + 1)(s + 2) (x − a)2 + (b − x)2 M , = b−a s+1 đó, ta sử dụng khẳng định t s+1 , dt = s+2 t(1 − t)s dt = (s + 1)(s + 2) Chứng minh kết thúc Các đánh giá khác ứng với lũy thừa khác giá trị tuyệt đối đạo hàm cấp trình bày kết sau 33 Định lý 2.2.16 (xem [4]) Cho f : I ⊂ [0, ∞) → R ánh xạ khả vi I cho f ′ ∈ L[a, b], a, b ∈ I a < b Nếu |f ′ |q s-lồi loại 1 hai [a, b] với s ∈ (0, 1) cố định, p, q > 1, + = |f ′ (x)| ≤ M , p q x ∈ [a, b] bất đẳng thức sau thỏa mãn 1 f (x) − b−a f (u)du ≤ M (1 + p) p s+1 q (x − a)2 + (b − x)2 b−a (2.32) với x ∈ [a, b] Chứng minh Giả sử p > Từ Bổ đề 2.2.14 sử dụng bất ng thc Hăolder, ta cú b f (x) f (u)du ≤ b−a a (b − x)2 (x − a)2 ′ t|f (tx + (1 − t)a)|dt + ≤ b−a b−a (x − a)2 ≤ b−a dt p 1 (b − x)2 + b−a dt |f ′ (tx + (1 − t)a)|q dt q 0 t|f ′ (tx + (1 − t)b)|dt q |f ′ (tx + (1 − t)b)|dt q Vì |f ′ |q s-lồi loại hai |f ′ (x)| ≤ M nên ta có ′ q |f (tx + (1 − t)a)| dt ≤ 0 ′ [ts |f ′ (x)|q + (1 − t)s |f ′ (a)|]dt 2M q |f (x)|q + |f ′ (a)|q ≤ = s+1 s+1 ′ q |f (tx + (1 − t)b)| dt ≤ = ′ [ts |f ′ (x)|q + (1 − t)s |f ′ (b)|q ]dt |f (x)|q + |f ′ (b)|q 2M q ≤ s+1 s+1 Do đó, f (x) − b−a f (u)du ≤ M (1 + p) p s+1 q (x − a)2 + (b − x)2 b−a 34 Một cách tiếp cận khác dẫn đến kết sau Định lý 2.2.17 (xem [4]) Cho f : I ⊂ [0, ∞) → R ánh xạ khả vi I cho f ′ ∈ L[a, b], a, b ∈ I a < b Nếu |f ′ |q s-lồi loại hai [a, b] với s ∈ (0, 1] cố định q ≥ 1, |f ′ (x)| ≤ M , x ∈ [a, b] bất đẳng thức sau thỏa mãn b f (x) − b−a a s+1 f (u)du ≤ M với x ∈ [a, b] q (x − a)2 + (b − x)2 2(b − a) (2.33) Chứng minh Giả sử q ≥ Từ Bổ đề 2.2.14 sử dụng bất đẳng thức số mũ trung bình, ta có b f (x) − f (u)du b−a a (b − x)2 (x − a)2 ′ t|f (tx + (1 − t)a)|dt + ≤ b−a b−a (x − a)2 ≤ b−a 1− 1q 1 tdt 1− 1q (b − x)2 + b−a t|f ′ (tx + (1 − t)b)|dt |f ′ (tx + (1 − t)a)|q dt tdt 0 Vì |f | s-lồi loại hai nên q |f ′ (tx + (1 − t)b)|q dt q ′ q ′ q t|f (tx + (1 − t)a)| dt ≤ = [ts+1 |f ′ (x)|q + t(1 − t)s |f ′ (a)|q ]dt Mq (s + 1)|f ′ (x)|q + |f ′ (a)|q ≤ (s + 1)(s + 2) s+1 ′ q t|f (tx + (1 − t)b)| dt ≤ = [ts+1 |f ′ (x)|q + t(1 − t)s |f ′ (b)|q ]dt (s + 1)|f ′ (x)|q + |f ′ (b)|q Mq ≤ (s + 1)(s + 2) s+1 Do đó, f (x) − b−a f (u)du ≤ M 1− 1q s+1 q (x − a)2 + (b − x)2 b−a 35 điều cần chứng minh Chú ý 2.2.18 Vì (1 + p) p < với p > nên ta quan sát thấy bất đẳng thức (2.33) tốt bất đẳng thức (2.32) theo nghĩa tiếp cận theo bất đẳng thức số mũ trung bỡnh tt hn bt ng thc Hăolder Chỳ ý 2.2.19 (a) Trong bất đẳng thức trình bày, ta thu a+b bất đẳng thức dạng trung điểm cách đặt x = (b) Tất bất đẳng thức với hàm lồi Và trường hợp đơn giản ta chọn s = Kết sau với hàm s-lõm Định lý 2.2.20 (xem [4]) Cho f : I ⊂ [0, ∞) → R ánh xạ khả vi I cho f ′ ∈ L[a, b] a, b ∈ I a < b Nếu |f ′ |q s-lõm loại 1 hai [a, b], q > 1, + = bất đẳng thức sau thỏa mãn p q b f (x) − f (u)du b−a a 2(s−1)/q ≤ (x − a)2 f ′ 1/p (1 + p) (b − a) x+a + (b − x)2 f ′ b+x (2.34) với x ∈ [a, b] Chứng minh Giả sử q > Từ Bổ đề 2.2.14 v bt ng thc Hăolder ta cú b f (x) − f (x)dx ≤ b−a a (b − x)2 (x − a)2 ′ t|f (tx + (1 − t)a)|dt + ≤ b−a b−a (x − a)2 ≤ b−a 1/p p t dt (b − x)2 + b−a 1/p ′ t|f ′ (tx + (1 − t)b)|dt 1/q q |f (tx + (1 − t)a)| dt p t dt 1/q ′ q |f (tx + (1 − t)b)| dt (2.35) 36 Nhưng |f ′ |q s-lõm loại hai nên sử dụng bất đẳng thức (2.30) ta có s−1 f ′ x+a q s−1 ′ b+x |f (tx + (1 − t)a)| dt ≤ q ′ ′ |f (tx + (1 − t)b| dt ≤ f q (2.36) , q (2.37) Kết hợp bất đẳng thức bên trên, ta nhận b f (u)du f (x) − b−a a 2(s−1)/q ≤ (x − a)2 f ′ 1/p (1 + p) (b − a) x+a + (b − x)2 f ′ b+x Chứng minh kết thúc Hệ 2.2.21 (xem [4]) Nếu (2.34) cho x = có bất đẳng thức a+b f − b−a 2.3 b a a+b s = ta b−a × 4(1 + p)1/p a + 3b 3a + b + f′ × f′ 4 f (u)du ≤ (2.38) Áp dụng Tiểu mục trình bày vài áp dụng bất đẳng thức dạng Ostrowski cho hàm lồi hàm s-lồi để đánh giá số đại lượng trung bình đặc biệt sau đây: (a) Trung bình cộng: A = A(a, b) := a+b , a, b ≥ (b) Trung bình nhân: G = G(a, b) := √ ab, a, b ≥ (2.39) 37 (c) Trung bình điều hịa: H = H(a, b) := 1 + a b , a, b > (d) Trung bình lơgarit: b−a , a = b; ln b − ln a L = L(a, b) :=  a, a = b,   a, b > (2.40) a = b; (2.41) a, b > (2.42) (e) Trung bình p-lơgarit:    bp+1 − ap+1 Lp = Lp (a, b) := (p + 1) (b − a)   a, a = b, p , với p ∈ R\ {−1, 0} a, b > (f) Trung bình I:  a  1 a I(a, b) := e bb  a, b−a , a=b a = b, Áp dụng bất đẳng thức dạng Ostrowski cho hàm lồi Trường hợp hàm f (x) = xr Ta xét hàm f : [a, b] → R, < a < b, f (x) = xr , r ∈ R\{−1, 0} Khi b−a b a f (x)dx = Lrr (a, b) (a) Sử dụng bất đẳng thức (2.18) ta nhận r x − Lrr (b − x)3 + (x − a)3 , ≤ (b − a)µr (a, b) + 3(b − a)3 µr (a, b) =  rbr−1 , r ≥ 1, |p|ar−1 , r ∈ (−∞, 0) ∪ (0, 1) − {−1} 38 • Nếu chọn x = A 5(b − a) µr (a, b) 12 |Ar − Lrr | ≤ • Nếu chọn x = G r G − Lrr (b − G)3 + (G − a)3 ≤ (b − a)µr (a, b) + 3(b − a)3 • Nếu chọn x = H r H − Lrr (b − H)3 + (H − a)3 ≤ (b − a)µr (a, b) + 3(b − a)3 • Nếu chọn x = I r I − Lrr (b − I)3 + (I − a)3 ≤ (b − a)µr (a, b) + 3(b − a)3 • Nếu chọn x = L r L − Lrr (b − L)3 + (L − a)3 ≤ (b − a)µr (a, b) + 3(b − a)3 (b) Sử dụng bất đẳng thức (2.23) ta nhận xr − Lrr ≤ µr (a, b) (b − x) p+1 p p (p + 1) (b − a) với p > • Nếu chọn x = A r |A − Lrr | p+1 p (b − A) ≤ µr (a, b) p+1 p p + (A − a) p+1 p (p + 1) p (b − a) p • Nếu chọn x = G |G r − Lrr | ≤ µr (a, b) (b − G) p+1 p + (G − a) p (p + 1) (b − a) • Nếu chọn x = H |Hr − Lrr | ≤ µr (a, b) + (x − a) (b − H) p+1 p p+1 p p + (H − a) 1 (p + 1) p (b − a) p p+1 p 39 • Nếu chọn x = I |I r − Lrr | ≤ µr (a, b) (b − I) |L − Lrr | ≤ µr (a, b) + (I − a) p (p + 1) (b − a) • Nếu chọn x = L r p+1 p (b − L) p+1 p p+1 p + (L − a) p (p + 1) p (b − a) p p+1 p Trường hợp hàm f (x) = ln x Ta xét hàm f : [a, b] ⊆ (0, ∞) → R, < a < b, f (x) = ln x Khi b−a b a f (x)dx = ln I(a, b) := ln I (a) Sử dụng bất đẳng thức (2.25) ta nhận (b − x)(p+1)/p (x − a)(p+1)/p + , | ln x − ln I| ≤ b+x x+a (b − a)1/p (p + 1)1/p x = I p > • Nếu chọn x = A (b − A)(p+1)/p (A − a)(p+1)/p | ln A − ln I| ≤ + b+A A+a (b − a)1/p (p + 1)1/p • Nếu chọn x = G | ln G − ln I| ≤ (b − G)(p+1)/p (G − a)(p+1)/p + b+G G+a (b − a)1/p (p + 1)1/p • Nếu chọn x = H | ln H − ln I| ≤ (b − H)(p+1)/p (H − a)(p+1)/p + b+H H+a (b − a)1/p (p + 1)1/p • Nếu chọn x = L | ln L − ln I| ≤ (b − L)(p+1)/p (L − a)(p+1)/p + b+L L+a (b − a)1/p (p + 1)1/p 40 (b) Sử dụng bất đẳng thức (2.29) ta nhận × 2−1/q (b − x)2 (x − a)2 | ln x − ln I| ≤ , + (b − a) b + 2x 2x + a x = I q ≥ • Nếu chọn x = A × 2−1/q (b − A)2 (A − a)2 | ln A − ln I| ≤ + (b − a) b + 2A 2A + a • Nếu chọn x = G | ln G − ln I| ≤ × 2−1/q (b − G)2 (G − a)2 + (b − a) b + 2G 2G + a • Nếu chọn x = H × 2−1/q (b − H)2 (H − a)2 + | ln A − ln I| ≤ (b − a) b + 2H 2H + a • Nếu chọn x = L × 2−1/q (b − L)2 (L − a)2 | ln A − ln I| ≤ + (b − a) b + 2L 2L + a Áp dụng bất đẳng thức dạng Ostrowski cho hàm s-lồi Ta xét Ví dụ 1.2.3 Như biết b ≥ 0, ≤ c ≤ a f ∈ Ks2 Do với a = c = 0, b = ta hàm f : [0, 1] → [0, 1] xác định f (x) = xs hàm f ∈ Ks2 Mệnh đề 2.3.1 (xem [4]) Nếu < a < b < s < ta có đánh giá s |A (a, b) − Lss (a, b)| M (b − a) ≤ s+1 q , q ≥ Chứng minh Bất đẳng thức suy từ (2.33) với x = cho hàm s-lồi loại hai f : [0, 1] → [0, 1], f (x) = xs a+b áp dụng 41 Mệnh đề 2.3.2 (xem [4]) Nếu < a < b p > | ln A(a, b) − ln I(a, b)| ≤ 1 (b − a) , + (1 + p)1/p 3a + b a + 3b p > Chứng minh Bất đẳng thức suy từ (2.38) với áp dụng cho hàm s-lõm loại hai f : [a, b] → R, f (x) = ln x 42 Kết luận Đề tài luận văn trình bày số bất đẳng thức dạng Hermite– Hadamard Ostrowski cho hàm lồi hàm s-lồi Cụ thể: (1) Giới thiệu hàm lồi, hàm s-lồi; trình bày mối liên hệ hàm lồi hàm s lồi số tính chất hàm lồi hàm s-lồi (2) Trình bày số bất đẳng xây dựng từ bất đẳng thức Hermite–Hadamard cho hàm lồi, hàm s-lồi (3) Trình bày số bất đẳng thức dạng Ostrowski cho hàm lồi, hàm s-lồi áp dụng đánh giá số giá trị trung bình đặc biệt 43 Tài liệu tham khảo Tiếng Việt [1] Trần Vũ Thiệu, Nguyễn Thị Thu Thủy (2011), Giáo trình Tối ưu phi tuyến, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội Tiếng Anh [2] M Alomari, M Darus (2008), "The Hadamard’s inequality for sconvex function", International Journal of of Mathematics Analysis, 13(2), 639–646 [3] M Alomari, M Darus (2010), "Some Ostrowski type inequalities for convex functions with applications", RGMIA, 13(1) article No Preprint [4] M Alomari, M Darusa, S.S Dragomir, P Cerone (2010), "Ostrowski type inequalities for functions whose derivatives are s-convex in the second sense", Applied Mathematics Letters, 23, 1071–1076 [5] P Cerone, S.S Dragomir (2011), Mathematical Inequalities: A perspective, CRS Press, Taylor and Francis Group, LLC, USA [6] S.S Dragomir, E.M.P Charles (2000), Selected Topics on HermiteHadamard Inequalities and Applications, RGMIA Monographs, Victoria University [7] H Hudzik, L Maligranda (1994), "Some remarks on s-convex functions", Aequationes Mathematicae, 48, 100111 44 ă [8] M.E Ozdemir, C Yıldız, A.O Akdemir and E Set (2013), "On some inequalities for s-convex functions and applications", Journal of Inequalities and Applications, 2013:333 45 Thái Nguyên, ngày 12 tháng năm 2019 Người hướng dẫn khoa học PGS.TS Nguyễn Thị Thu Thủy Học viên Phạm Thị Thúy Quỳnh ... Chương "Một s? ?? tính chất hàm s- lồi" trình bày s? ?? kiến thức hàm lồi, hàm s- lồi, mối liên hệ hàm lồi, hàm s- lồi, đưa ví dụ hàm slồi s? ?? tính chất hàm s- lồi Chương "Một s? ?? bất đẳng thức hàm s- lồi áp dụng" ... cho hàm lồi hàm s- lồi Cụ thể: (1) Giới thiệu hàm lồi, hàm s- lồi; trình bày mối liên hệ hàm lồi hàm s lồi s? ?? tính chất hàm lồi hàm s- lồi (2) Trình bày s? ?? bất đẳng xây dựng từ bất đẳng thức Hermite–Hadamard... 1.2.2 Một s? ?? tính chất hàm s- lồi Một s? ?? bất đẳng thức hàm s- lồi áp dụng 2.1 2.2 2.3 19 Bất đẳng thức Hermite–Hadamard 19 2.1.1 Bất đẳng thức Hermite–Hadamard cho hàm lồi