Bất đẳng thức hàm s lồi

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ——————————— LÊ CAO ĐỒNG BẤT ĐẲNG THỨC HÀM S - LỒI LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Đà Nẵng - Năm 2020 ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ——————————– LÊ CAO ĐỒNG BẤT ĐẲNG THỨC HÀM S - LỒI Ngành: Phương pháp toán sơ cấp Mã số: 46 01 13 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS Phan Đức Tuấn Đà Nẵng - Năm 2020 iii MỤC LỤC Mở đầu Chương Bất đẳng thức hàm lồi 1.1 Hàm lồi 1.1.1 Khái niệm hàm lồi 1.1.2 Một số tính chất hàm lồi 2 1.2 Một số bất đẳng thức hàm lồi 1.2.1 Bất đẳng thức Jensen 1.2.2 Bất đẳng thức Hermite-Hadamard 1.2.3 Bất đẳng thức Ostrowski 1.2.4 Bất đẳng thức Simpson 1.2.5 Bất đẳng thức Holder 11 11 12 13 14 16 Chương Bất đẳng thức hàm s-lồi 18 2.1 Hàm s-lồi 2.1.1 Khái niệm hàm s-lồi 2.1.2 Một số tính chất hàm s-lồi 18 18 19 2.2 Một số bất đẳng thức hàm s-lồi 2.2.1 Bất đẳng thức Hermite-Hadamard cho hàm s-lồi 2.2.2 Bất đẳng thức Ostrowski cho hàm s-lồi 2.2.3 Bất đẳng thức Simpson cho hàm s-lồi 22 22 33 38 Chương Ứng dụng 44 3.1 Ứng dụng bất đẳng thức hàm lồi 44 3.2 Ứng dụng bất đẳng thức hàm s-lồi 47 Kết luận 54 Tài liệu tham khảo 55 MỞ ĐẦU Hàm lồi loại hàm quan trọng có áp dụng rộng rãi tốn học túy toán học ứng dụng tối ưu hóa Từ giải tích lồi đời vào năm 1960 quan tâm lớn đến việc tổng quát khái niệm hàm lồi Những năm gần đây, dạng tổng quát hàm lồi ứng dụng chúng thu hút nhiều quan tâm Một số kết kinh điển giải tích lồi Bất đẳng thức Jensen, Hermite-Hadamard, Ostrowski, Simpson Việc mở rộng khái niệm hàm lồi nhu cầu tự nhiên, thực tế có nhiều toán gắn với hàm số khả vi bậc hai khơng áp dụng phương pháp hàm lồi đạo hàm bậc hai đổi dấu khoảng xét Giả sử hàm f (x) có đạo hàm cấp hai khoảng (a, b), điều kiện cần đủ để hàm số f (x) lồi (a, b) ′′ f (x) ≥ 0, ∀x ∈ (a, b) Do đó, có địi hỏi hàm cho có tính chất yếu tính lồi gọi hàm tựa lồi f (x)+f (y) Chẳng hạn, bất đẳng thức f ( x+y , ∀x, y > mà x+y ≤ )≤ khơng thiết f (x) phải hàm lồi (a, b) Một số dạng mở rộng hàm lồi h-lồi, s-lồi Hàm h-lồi: Cho f hàm không âm xác định khoảng I, với x, y ∈ I; α ∈ (0, 1) ta có f (αx + (1 − α)y) ≤ h(α)f (x) + h(1 − α)f (y) Hàm s-lồi: Cho f hàm không âm xác định khoảng I, với x, y ∈ I; α, β ∈ [0, 1] cho α + β = giá trị s cố định thuộc (0, 1] ta có f (αx + βy) ≤ αs f (x) + β s f (y) gọi hàm s-lồi Trên sở kết đạt hàm lồi hướng dẫn TS Phan Đức Tuấn, nghiên cứu số kết cho hàm s-lồi ứng dụng giải bất đẳng thức Tôi chọn đề tài “Bất đẳng thức hàm s-lồi” Nội dung đề tài: Được chia thành chương Chương 1: Bất đẳng thức hàm lồi Trong chương trình bày khái niệm tính chất hàm lồi, số bất đẳng thức Jensen, HermiteHadamard, Ostrowski, Simpson Chương 2: Bất đẳng thức hàm s-lồi Trong chương hai, trình bày khái niệm tính chất hàm s-lồi, số bất đẳng hàm s-lồi Chương 3: Ứng dựng Ứng dựng tính chất hàm lồi, hàm s-lồi để giải số toán bất đẳng thức Chương BẤT ĐẲNG THỨC HÀM LỒI 1.1 Hàm lồi 1.1.1 Khái niệm hàm lồi Định nghĩa 1.1.1 (Tập lồi, [1, 4]) Tập I gọi tập lồi R với a, b ∈ I, λ ∈ R, ≤ λ ≤ λa + (1 − λ)b ∈ I Định nghĩa 1.1.2 (Hàm lồi,[1, 4]) Hàm f : I → R gọi hàm lồi I với x, y ∈ I, λ ∈ R, ≤ λ ≤ f ((1 − λ)x + λy) ≤ (1 − λ)f (x) + λf (y) (1.1) Ví dụ 1.1.1 Chứng minh hàm số f (x) = x2 lồi (−∞, +∞), với x1 , x2 ∈ (−∞, +∞) x1 = x2 Ta có: f (λx1 + (1 − λx2 )) = (λx1 + (1 − λ)x2 )2 = λ2 x21 + (1 − λ)2 x22 + 2λ(1 − λ)x1 x2 Lại có: λf (x1 ) + (1 − λ)f (x2 ) = λx21 + (1 − λ)x22 Ta biến đổi tương đương λ2 x21 + (1 − λ)2 x22 + 2λ(1 − λ)x1 x2 < λx21 + (1 − λ)x22 ⇔ λ(1 − λ)x21 + (1 − λ)(x22 − 2λx1 x2 − (1 − λ)x22 ) > ⇔ λ(1 − λ)(x21 − 2x1 x2 + x22 ) > ⇔ λ(1 − λ)(x1 − x2 )2 > Luôn với λ ∈ (0, 1) x1 = x2 , ta suy f (λx1 + (1 − λ)x2 ) < λf (x1 ) + (1 − λ)f (x2 )) Vậy f (x) hàm lồi (−∞, +∞) Định nghĩa 1.1.3 Một hàm f : [a, b] → R0 gọi hàm lồi mạnh với mô đun c > 0, f (λx + (1 − λ)y) ≤ λf (x) + (1 − λ)f (y) − cλ(1 − λ)(x − y)2 xác định với tất x, y ∈ [a, b], λ ∈ [0, 1] Định nghĩa 1.1.4 Nếu hàm −f hàm lồi, nói f hàm lõm Nếu f hàm vừa lồi vừa lõm, f gọi hàm affine Định nghĩa 1.1.5 Hàm f : I → R gọi hàm lồi chặt với điều kiện bất đẳng thức (1.1) x = y hay f (λx + (1 − λ)y) < λf (x) + (1 − λ)f (y), (1.2) với < λ < Giả sử x1 , x2 ∈ I, M1 M2 hai điểm đường cong y = f (x) Khi tọa độ M1 M2 tương ứng M1 (x1 , f (x1 )) M2 (x2 , f (x2 )), phương trình tham số M1 M2 với tham số λ thỏa (0 < λ < 1) x = x1 + (x1 − x2 )λ y = f (x1 ) + (f (x1 ) − f (x2 ))λ Ý nghĩa hình học: Hàm f (u) lồi I với u < v ∈ I hai điểm (u, f (u)) (v, f (v)) đường cong y = f (u), cung ((u, f (u); (v, f (v)) nằm bên đoạn thẳng nối (u, f (u)) (v, f (v)) (Xem hình 1.1) Hình 1.1: Hàm lồi 1.1.2 Một số tính chất hàm lồi Một hàm lồi khoảng [a, b] bị chặn M = max{f (a), f (b)} với x ∈ (a, b) tồn λ ∈ (0, 1) f (x) ≤ λf (a) + (1 − λ)f (b) ≤ λM + (1 − λ)M = M 50 1 bs+1 − as+1 − As (a, b) b− as+1 a + b s−1 (b − a) s−1 s−1 |a| + 2(s + 1) ( ) + |b| ≤s 4(s + 1)(s + 2) (22−s + 1)(b − a) s−1 s−1 + |b| ) |a| ≤s 4(s + 1)(s + 2) Vậy, s−1 |Lss (a, b) a+b b − a) s−1 s−1 +|b| ) − A (a, b)| ≤ s( )(|a| +2(s+1) 4(s + 1)(s + 2) (22−s + 1)(b − a) s−1 s−1 ≤s (3.3) ) |a| + |b| 4(s + 1)(s + 2) s Bài tập 3.2.4 Cho s ∈ (0, 1) a, b, c ∈ R Xét hàm f : [0, ∞) → R xác định công thức sau f (t) = a, t = bts +c, t > Nếu b ≥ ≤ c ≤ a, f ∈ Ks2 Khi với a = c = 0, b = 1, ta có f : [0, 1] → [0, 1], f (t) = ts , f ∈ Ks2 Chứng minh với a, b ∈ I o ; a < b ; < s < q > |Lss (a, b) − As (a, b)| b−a 1/q 2/q (1−s)/q 1/q s−1 s−1 ≤ s( (|a| +|b| ) + (21−s + s + 1) )( ) ( ) p+1 s+1 Chứng minh Ta xét hàm f : [0, 1] → [0, 1], f (x) = xs , ta có b |f ( a+b ) − b−a a f (x)dx| ≤( b−a 1 2/q (1−s)/q 1/q + (21−s + s + 1) )(|f ′ (a)| + |f ′ (b)|) )( )( ) p+1 s+1 Khi đó, |Lss (a, b) − As (a, b)| b − a 1/q 2/q (1−s)/q 1/q + (21−s + s + 1) ( ) ( ) p+1 s+1 Hay, |Lss (a, b) − As (a, b)| ≤ s|a| s−1 + s|b| s−1 51 ≤s b − a 1/q 2/q (1−s)/q 1/q + (21−s + s + 1) ( ) ( ) p+1 s+1 s|a| s−1 + s|b| s−1 Bài toán chứng minh Bài tập 3.2.5 Cho s ∈ (0, 1) a, b, c ∈ R Xét hàm f : [0, ∞) → R xác định công thức sau f (t) = a, t = bts +c, t > Nếu b ≥ ≤ c ≤ a, f ∈ Ks2 Khi với a = c = 0, b = 1, ta có f : [0, 1] → [0, 1], f (t) = ts , f ∈ Ks2 Chứng minh với a, b ∈ I o ; a < b ; < s < q > |Lss (a, b) − As (a, b)| s b−a 1/q s−1 s−1 (|a| +|b| ) )( )1/q 2(1−s)/q + (21−s + 1) ≤ 1/q ( (s + 1)(s + 2) Chứng minh Ta xét hàm f : [0, 1] → [0, 1], f (x) = xs , ta có b a+b )− f( b−a b−a ≤ f (x)dx a (s + 1)(s + 2) 1/q 2(1−s)/q + (21−s + 1) 1/q [|f ′ (a)| + |f ′ (b)|] , s|a| s−1 |Lss (a, b) − As (a, b)| b−a 1/q ≤ 2(1−s)/q + (21−s + 1) 1/q [(s + 1)(s + 2)] |Lss (a, b) − As (a, b)| s b−a ≤ 1− (s + 1)(s + 2) q Vì p + q 1/q 2(1−s)/q + (2s−1 + 1) 1/q + s|b| |a| s−1 s−1 + |b| , s−1 = ⇒ 21− q = 21/p nên ta có kết |Lss (a, b) − As (a, b)| s b−a 1/q s−1 s−1 (|a| +|b| ) )( )1/q 2(1−s)/q + (21−s + 1) ≤ 1/q ( (s + 1)(s + 2) Bài toán chứng minh 52 Bài tập 3.2.6 Cho f : I ⊆ [0, ∞) → R hàm xác định I o với a, b ∈ I o cho a < b s ∈ (0, 1] gọi d phép chia a = xo < x1 < x2 < < xn−1 < xn = b đoạn [a, b] Chứng minh với f ′′ ∈ L[a, b] |f ′′ | s-lồi [a, b] ta có |E(f, d)| ≤ (s + 1)(s + 3) (s + 2)(s + 3) − + s (s + 1)(s + 2)(s + 3) n−1 i=0 (xi+1 − xi ) [|f ′′ (xi )| + |f ′′ (xi+1 )|] Chứng minh Cho i ∈ {0, 1, 2, , n − 1}, ta có f (xi ) + f (xi+1 ) − xi+1 − xi xi+1 f (x)dx xi (xi+1 − xi ) ≤ (s + 1)(s + 3) (s + 2)(s + 3) − [|f ′′ (xi )| + |f ′′ (xi+1 )|] + s (s + 1)(s + 2)(s + 3) Vì vậy, b |E(f, d)| = n−1 = i=0 n−1 ≤ ≤ i=0  xi+1  xi  xi+1a  xi f (x)dx − f (x)dx − (s + 1)(s + 3) f (x)dx − T (f, d) f (xi ) + f (xi+1 ) (xi+1 − xi )  f (xi ) + f (xi+1 ) (xi+1 − xi ) (s + 2)(s + 3) − + s (s + 1)(s + 2)(s + 3) Vậy, |E(f, d)| ≤  (s + 1)(s + 3) n−1 i=0 (xi+1 − xi ) [|f ′′ (xi )| + |f ′′ (xi+1 )|] 53 (s + 2)(s + 3) − + s (s + 1)(s + 2)(s + 3) n−1 i=0 (xi+1 − xi ) [|f ′′ (xi )| + |f ′′ (xi+1 )|] 54 KẾT LUẬN Sau thời gian tìm hiểu, học hỏi từ tài liệu Thầy TS Phan Đức Tuấn cung cấp, em hồn thành luận văn Những kết trình bày luận văn gồm: Trong chương Giới thiệu số khái niệm tính chất hàm lồi, gồm: Các định nghĩa định lý hàm lồi, số bất đẳng thức như: Jensen, Hermite-Hadamard, Ostrowski, Simpson Trong chương Trình bày số khái niệm tính chất hàm s-lồi, số bất đẳng thức hàm s-lồi Trong chương Ứng dụng tính chất hàm lồi, hàm s-lồi để giải số toán bất đẳng thức Tuy nhiên, với lượng kiến thức cần tìm hiểu lớn chuyên sâu, khn khổ thời gian khả cịn hạn chế nên luận văn cịn khiếm khuyết khó tránh khỏi Trong thời gian tới, hy vọng phát triển sâu theo hướng gợi mở để luận văn hoàn thiện Rất mong nhận quan tâm, góp ý xây dựng từ quý thầy cô giáo đồng nghiệp 55 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt [1] Đỗ Văn Lưu, Phan Huy Khải 2012, Giải Tích lồi, NXB Khoa học Kỹ thuật [2] Phạm Kim Hùng 2000, Sáng tạo bất đẳng thức, NXB Hà Nội [3] Trần Nam Dũng, Võ Quốc Bá Cẩn, Trần Quang Hùng, Nguyễn Văn Huyện Lê Phúc Lữ 2017, Các Kỳ Thi Toán VMO Lời Giải Bình Luận, NXB Thế Giới Tiếng Anh [4] Constantin P.Niculescu Lars-Erik Person 2010, Conver Function and Their Applications, Mathematics Subject Classification [5] Yixuan Sun, Hongping Yin, 2016, 6, 745-753 Some Intergral Inequatities of Simpson Type for Strongly Extended s-Convex Functions, Advances in Pure Mathematics [6] Muhammad Adil Khan, Yuming Chu, Tahir Khan and Jamroz Khan, 2017, 11, 1414-1430 Some new Inequatities of Hermite-Hadamard Type for s-Convex Functions with application, Advances in Pure Mathematics [7] M.Alomari, M.Darus, S.S Dragomir, P Cerone, 2010, 1071-1076 Ostrowski type inequalities for functions whose derivativers are s-Convex in the second sense, Advances in Pure Mathematics ... HermiteHadamard, Ostrowski, Simpson Chương 2: Bất đẳng thức hàm s- lồi Trong chương hai, trình bày khái niệm tính chất hàm s- lồi, s? ?? bất đẳng hàm s- lồi Chương 3: Ứng dựng Ứng dựng tính chất hàm lồi, hàm s- lồi. .. 2 2s+ 1 s + 2 2s+ 1 + ′ |f (a)| 2 2s+ 3 (s + 1) (s + 2) 3s+ 2 + 2 2s+ 3 − 2 2s+ 2 + 2s+ 2 + 2 2s+ 1 s ′ 2a + b f + 2 2s+ 3 (s + 1) (s + 2) 3s+ 2 + 2 2s+ 3 − 2 2s+ 2 + 2s+ 2 + 2 2s+ 1 s ′ a + 2b f + 2 2s+ 3 (s + 1) (s. .. Chương BẤT ĐẲNG THỨC HÀM S- LỒI 2.1 Hàm s- lồi 2.1.1 Khái niệm hàm s- lồi Định nghĩa 2.1.1 (Hàm s- lồi, [5]) Một hàm f : I ⊆ R → R gọi hàm s- lồi f (λx + (1 − λ)y) ≤ ? ?s f (x) + (1 − λ )s f (y) với s ∈