Bất đẳng thức trong lớp các hàm phân thức

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƢƠNG THỊ KIM NGỌC BẤT ĐẲNG THỨC TRONG LỚP CÁC HÀM PHÂN THỨC Chuyên ngành : Phƣơng pháp Toán sơ cấp Mã số: 60.46.40 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Người hướng dẫn khoa học: GS.TSKH NGUYỄN VĂN MẬU Đà Nẵng - Năm 2013 LỜI CAM ĐOAN Tôi cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng tơi Các số liệu, kết nêu luận văn trung thực chưa công bố cơng trình khác Tác giả luận văn Trương Thị Kim Ngọc MỤC LỤC MỞ ĐẦU…………………….………………………………… ………….1 Lý chọn đề tài……………………… …… ………………………1 Mục đích nghiên cứu……….………………… …………………… Đối tượng nghiên cứu…………….…………… …………………… Phương pháp nghiên cứu……….……………………… …………….2 Ý nghĩa khoa học thực tiễn đề tài…… ……………………… Cấu trúc luận văn………… …………………………………… CHƯƠNG MỘT SỐ TÍNH CHẤT CƠ BẢN CỦA PHÂN THỨC … 1.1 CÁC TÍNH CHẤT CƠ BẢN CỦA PHÂN THỨC………… ……… 1.1.1 Sự phân thức tính chất nghiệm phân thức………………………… ……………………………………………….5 1.1.2 Phân thức tối giản Rút gọn phân thức………………… ……… 1.1.3 Phân tích phân thức hữu tỉ biến thành tổng phân thức tối giản ………………………………………………………………………… 1.2 HÀM PHÂN THỨC CHÍNH QUY………………………………………8 1.2.1 Hàm phân thức quy hữu tỉ biến………………….………8 1.2.2 Hàm phân thức quy hữu tỉ nhiều biến………………… ….10 1.2.3 Các toán liên quan……………………… ………………… 11 1.3 CÁC HÀM DẠNG PHÂN TUYẾN TÍNH, DẠNG PHÂN THỨC BẬC HAI ………………………………………………………………………….14 1.3.1 Các hàm dạng phân tuyến tính ………………………… ……….14 1.3.2 Các hàm dạng phân thức bậc hai……………….…………… … 16 1.4 PHÂN THỨC NHẬN GIÁ TRỊ NGUYÊN PHÂN THỨC NHẬN GIÁ TRỊ HỮU TỈ…………………………………………………………………19 1.4.1 Phân thức nhận giá trị nguyên… ………………………… …… 19 1.4.2 Phân thức nhận giá trị hữu tỉ……………… ………………… 23 CHƯƠNG MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC CỦA HÀM PHÂN THỨC 28 2.1 SỬ DỤNG TÍNH CHẤT PHÂN SỐ ĐỂ CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC PHÂN THỨC………………… ………………………………… 28 2.1.1 Dùng tính chất tỉ số chứng minh bất đẳng thức……………………28 2.1.2 Dùng kỹ thuật đánh giá mẫu số chứng minh bắt đẳng thức …… 29 2.1.3 Dùng kỹ thuật ghép cặp nghịch đảo chứng minh bất đẳng thức 31 2.2 MỘT SỐ DẠNG TỐN VỀ BẤT ĐẲNG THỨC VỚI TÍCH CÁC BIẾN KHƠNG ĐỔI…………………… ……………………………………… 32 2.3 CÁC BÀI TỐN CỰ TRỊ HÀM PHÂN THỨC……………… …… 34 2.3.1 Sử dụng bất đẳng thức trung bình cộng trung bình nhân để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ ……………………………………… 34 2.3.2 Sử dụng tính đơn điệu hàm số để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất…………………………………………… ………………………… 37 2.3.3 Một số phương pháp khác…………………………………… ….40 2.3.4 Bài tập tổng hợp ……………………………………………… 43 CHƯƠNG MỘT SỐ DẠNG BẤT ĐẲNG THỨC PHÂN THỨC CỦA ĐA THỨC ĐỐI XỨNG……………………………………………………49 3.1 ĐA THỨC ĐỐI XỨNG……………… ……………………………….49 3.1.1 Đa thức đối xứng hai biến ……………………… ………………49 3.1.2 Đa thức đối xứng ba biến ………………………………… …….53 3.1.3 Đa thức đối xứng nhiều biến……………………………… …… 56 3.2 CÁC BẤT ĐẲNG THỨC CƠ BẢN VÀ ÁP DỤNG GIẢI BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC PHÂN THỨC…………………………………… … 59 3.2.1 Bất đẳng thức AM-GM…………………… …………………… 59 3.2.1 Bất đẳng thức Cauchy Schwarz… …………………… ……… 60 3.2.3 Bất đẳng thức Schurs hệ quả… ………………………… … 62 3.2.4 Kỹ thuât cộng mẫu số Engel bất đẳng thức Chebyshew………68 3.3 BẤT ĐẲNG THỨC DẠNG PHÂN THỨC GIỮA CÁC HÀM ĐỐI XỨNG SƠ CẤP VIÈTE…………………………………………………….76 3.3.1 Các định nghĩa Định lý ………………………………………….76 3.3.2 Các toán liên quan………… …………………………………77 KẾT LUẬN…………………………………………………………………83 TÀI LIỆU THAM KHẢO…………………………………………………84 QUYẾT ĐỊNH GIAO ĐỀ TÀI LUẬN VĂN THẠC SĨ (BẢN SAO) MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Trong tốn học, bất đẳng thức có vị trí đặc biệt, không đối tượng để nghiên cứu mà cịn đóng vai trị cơng cụ đắc lực ứng dụng vào nhiều lĩnh vực khác Đối với chương trình tốn phổ thơng, bất đẳng thức chuyên đề khó, khó với học sinh đội tuyển học sinh giỏi Việc giải tốn bất đẳng thức địi hỏi phải vận dụng kiến thức cách hợp lý, có tính sáng tạo, người học cần linh hoạt sử dụng kỹ thuật để đưa toán đến kết nhanh Học sinh thường gặp khó khăn việc định hướng cách giải toán bất đẳng thức Do đó, việc phân loại đưa phương pháp giải cụ thể cho dạng vấn đề cần quan tâm Với ý tưởng này, chọn cho đề tài " Bất đẳng thức lớp hàm phân thức" Đề tài đưa hệ thống lý thuyết, tập, phương pháp giải toán bất đẳng thức lớp hàm phân thức cách rõ ràng, cụ thể Mục đích nghiên cứu Hệ thống toán bất đẳng thức lớp hàm phân thức, phân dạng nêu ứng dụng chúng Nắm số kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức, tạo bất đẳng thức từ bất đẳng thức biết Đối tượng nghiên cứu − Đối tượng nghiên cứu Nghiên cứu bất đẳng thức dạng phân tuyến tính, dạng phân thức bậc hai số dạng tổng quát, bất đẳng thức phân thức đa thức đối xứng, số dạng bất đẳng thức hàm thường gặp hàm phân thức, ứng dụng liên quan − Phạm vi nghiên cứu Nghiên cứu từ tài tiệu, giáo trình GS.TSKH Nguyễn Văn Mậu , tạp chí Tốn học , số trang web Toán học Phương pháp nghiên cứu Phương pháp tự nghiên cứu tư liệu gồm: sách giáo khoa phổ thông trung học, tài liệu tham khảo bất đẳng thức, tạp chí tốn học tuổi trẻ, đề tài nghiên cứu có liên quan Phương pháp tiếp cận lịch sử, sưu tầm, phân tích, tổng hợp tư liệu tiếp cận hệ thống Ý nghĩa khoa học thực tiễn đề tài Đề tài đưa hệ thống lý thuyết, tập, phương pháp giải bất đẳng thức lớp hàm phân thức Giải hàng loạt toán chứng minh bất đẳng thức khó trung học phổ thông Cấu trúc luận văn Mở đầu Chương Một số tính chất hàm phân thức 1.1 Các tính chất phân số 1.2 Các hàm dạng phân tuyến tính, dạng phân thức bậc hai 1.3 Phân thức nhận giá trị nguyên phân thức nhận giá trị hữu tỷ Chương Một số lớp bất đẳng thức hàm hàm phân thức 2.1 Sử dụng tính chất phân số để chứng minh bất đẳng thức phân thức 2.2 Một số dạng toán phân thức ba biến với tích biến khơng đổi 2.3 Các toán cực trị hàm phân thức Chương Bất đẳng thức dạng phân thức đa thức đối xứng 3.1 Đa thức đối xứng 3.2 Các bất đẳng thức áp dụng giải toán bất đẳng thức phân thức đa thức đối xứng 3.3 Bất đẳng thức dạng phân thức hàm đối xứng sơ cấp Viète Kết luận CHƯƠNG MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA HÀM PHÂN THỨC 1.1 CÁC TÍNH CHẤT CỦA HÀM PHÂN THỨC Định nghĩa 1.1 ([2]) Cho vành A vành giao hốn có đơn vị Ta gọi đa thức (trên A) bậc n biến x biểu thức có dạng Pn (x) = an xn + an−1 xn−1 + + a1 x + a0 , (an = 0) ∈ A gọi hệ số, an hệ số bậc cao a0 hệ số tự đa thức Nếu = 0, i = 1, 2, , n − a0 = ta có bậc đa thức Nếu = 0, ∀i = 0, 1, , n ta gọi bậc đa thức −∞ gọi đa thức khơng (nói chung người ta không định nghĩa bậc đa thức không) Tập hợp tất đa thức với hệ số lấy vành A ký hiệu A[x] Khi A = K một trường K[x] vành giao hốn có đơn vị Ta thường xét A = Z, A = Q, A = R, A = C Khi ta có vành đa thức tương ứng Z[x], Q[x], R[x], C[x] Trong luận văn ta tập trung khảo sát đa thức A[x] với A = R P (x) , P (x), Q(x) Q(x) đa thức biến x trường số K (Q(x) = 0) gọi phân thức hữu tỉ (gọi tắc phân thức) biến x (hay đối số x) trường số K Giá trị f (x) xác định với x thuộc K trừ giá trị f (x) mà mẫu thức Q(x) triệt tiêu Nói cách khác gọi S tập nghiệm Q(x) K miền xác định phân thức f (x) K \ S Mở rộng: Ta định nghĩa phân thức hữu tỉ trường K biến x1 , x2 , , xn biểu thức Định nghĩa 1.2 ([2]) Biểu thức f (x) = f (x1 , x2 , , xn ) = P (x1 , x2 , , xn ) Q(x1 , x2 , , xn ) Trong P (x1 , x2 , , xn ), Q(x1 , x2 , , xn ) đa thức n biến x1 , x2 , , xn trường K , với Q(x1 , x2 , , xn ) = Nếu gọi S tập số x1 , x2 , , xn thuộc K n mà Q(x1 , x2 , , xn ) triệt tiêu miền xác định phân thức f (x1 , x2 , , xn ) K n \ S Tập đa thức tập phân thức hữu tỉ trường số, đa thức xem phân thức hữu tỉ với mẫu thức 1.1.1 Sự phân thức tính chất nghiệm phân thức Định nghĩa 1.3 Hai phân thức hữu tỉ số biến (x1 , x2 , , xn ) P (x1 , x2 , , xn ) f (x1 , x2 , , xn ) := Q(x1 , x2 , , xn ) f (x1 , x2 , , xn ) := M (x1 , x2 , , xn ) N (x1 , x2 , , xn ) gọi trường số K, tức P (x1 , x2 , , xn ) M (x1 , x2 , , xn ) = Q(x1 , x2 , , xn ) N (x1 , x2 , , xn ) P (x1 , x2 , , xn )N (x1 , x2 , , xn ) = Q(x1 , x2 , , xn )M (x1 , x2 , , xn ) Quan hệ phân thức hữu tỉ quan hệ tương đương (có tính phản xạ, đối xứng, bắc cầu), ta hiểu phân thức lớp tương đương phân thức Vì vậy, viết phân thức hữu tỉ ta viết phần tử đại diện lớp tương đương Điều giống phân thức hữu tỉ, ta viết số hữu tỉ viết phần tử đại diện lớp tương đương chứa số Định lý 1.1 (Định lý Bezont) Nếu α nghiệm đa thức f ∈ R[x] f (x) chia hết cho (x − α) R[x] Chứng minh Với f ∈ R[x] α ∈ R tồn g ∈ R cho f (x) = (x − α)g(x) + f (α), ∀x ∈ R 70 Dấu đẳng thức xảy a1 = a2 = = an , b1 = b2 = = an Bất đẳng thức Chebyshew suy rộng Nếu  a1 + a2 + + an a + a2  a1 ≥ ≥ ≥ n b + b b + b + + bn 2  b1 ≤ ≤ ≤ n  a + a2 a1 + a2 + + an  a1 ≤ ≤ ≤ , n b1 + b2 + + bn b + b2  b1 ≥ ≥ ≥ n n(a1 b1 + a2 b2 + + an bn ) ≤ (a1 + a2 + + an )(b1 + b2 + + bn ) Bây ta quay trở lại vấn đề chính, tức thay dãy b1 , b2 , , bn dãy 1 , , , (xi > 0), x1 x2 xn 2a Nếu có a1 ≥ a2 ≥ ≥ an , x1 ≤ x2 ≤ ≤ xn a1 ≤ a2 ≤ ≤ an , x1 ≥ x2 ≥ ≥ xn ta có an a1 a2 + + + n x1 x2 xn 2b Nếu có ≥ (a1 + a2 + + an )( 1 + + + ) x1 x2 xn a1 ≥ a2 ≥ ≥ ... toán bất đẳng thức lớp hàm phân thức cách rõ ràng, cụ thể Mục đích nghiên cứu Hệ thống toán bất đẳng thức lớp hàm phân thức, phân dạng nêu ứng dụng chúng Nắm số kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức, ... 3.2 Các bất đẳng thức áp dụng giải toán bất đẳng thức phân thức đa thức đối xứng 3.3 Bất đẳng thức dạng phân thức hàm đối xứng sơ cấp Viète Kết luận 4 CHƯƠNG MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA HÀM PHÂN THỨC... minh bất đẳng thức phân thức 2.2 Một số dạng tốn phân thức ba biến với tích biến khơng đổi 2.3 Các tốn cực trị hàm phân thức Chương Bất đẳng thức dạng phân thức đa thức đối xứng 3.1 Đa thức đối