ĐỊNH LÍ ROLL VÀ BẤT ĐẲNG THỨC HÀM LỒI

ĐỊNH LÍ ROLL VÀ BẤT ĐẲNG THỨC HÀM LỒI

ĐỊNH LÍ ROLL VÀ BẤT ĐẲNG THỨC HÀM LỒI

A Lý thuyết

1 Bất đẳng thức hàm lồi

 Định lí 1: Cho hàm số xác định trên khoảng

1) Hàm số được gọi là lồi trên khoảng đó

ta có

Dấu “=” xảy ra khi

2) Hàm số được gọi là lõm trên khoảng đó

ta có

Dấu “=” xảy ra khi

 Định lí 2: Giả sử hàm số gọi là lồi trên khoảng Với n giá trị tùy

ý của biến số x thuộc khoảng đó, với n số hữu tỉ thỏa mãn điều kiện

Ta đều có:

Dấu “=” xảy ra khi

- Ta có cách chứng minh cho định lí trên như sau:

Viết các số hữu tỉ dưới dạng n phân số cùng mẫu chung M như sau:

với

Ta có:

Áp dụng định lí 1 cho số

số …

số

số Ta có: là hàm lồi

 Ta có thể nói định lí 2 là hệ quả của định lí 1

2 Định lí Roll:

- Nếu hàm số lồi hoặc lõm trên miền D thì phương trình sẽ không có quá 2 nghiệm thực thuộc D

B Các ví dụ áp dụng:

I Sử dụng tính lồi lõm của hàm số để chứng minh bất đẳng thức giả sử:

Ta thực hiện các bước sau

+ Bước 1: Biến đổi bất đẳng thức về dạng:

+ Bước 2: Xét jhamf số , dùng đạo hàm khẳng định hàm số là lồi hoặc lõm

+ Bước 3: Kết luận

 Ta có thể đến với các ví dụ sau để hiểu rõ hơn vấn đề trên

Ví dụ 1: Chứng minh rằng:

Giải: Xét hàm số:

Ta có:

hàm số lõm trên R

Do vậy là hàm lõm trên khoảng đó và ta có kết quả:

Dấu “=” xảy ra

Ví dụ 2: Chứng minh rằng x, y > 0 ta có:

Giải: Xét hàm số:

Ta có:

Hàm lồi trên

Hàm số lồi trên

 Chú ý: Từ bài toán trên ta thấy: Trong thì luôn có:

Dấu “=” xảy ra đều

Ví dụ 4: Chứng minh rằng trong ta có:

Giải: Xét hàm số:

Ta có:

hàm số lõm trên

Ví dụ 5: Chứng minh trong mọi ta có

 Bài toán này cần sử dụng nhiều hàm lồi để chứng minh bất đẳng thức

Giải: Xét

 Xét

Hàm số lõm trên

 Tổng quát: ta luôn có

Thật vậy:

II Sử dụng định lí Roll để giải phương trình

Giả sử cần giải phương trình

- Ta có thể lựa chọn kết quả của định lí Roll bằng việc thực hiện theo các bước: + Bước 1: Tìm tập xác định D của phương trình

+ Bước 2: Xét hàm số trên D

Sử dụng đạo hàm khẳng định lồi hoặc lõm trên D

+ Bước 3: Vậy phương trình (1) nếu có nghiệm sẽ không có quá hai nghiệm Ta chỉ

+ Bước 4: Kết luận

 Ví dụ 1: Giải phương trình

Giải

ĐKXĐ:

 Ví dụ 2: Giải phương trình

Giải: phương trình

hàm số lõm

Vây phương trình không có quá 2 nghiệm

Mà

Do đó phương trình có 2 nghiệm

 Ví dụ 3: Giải phương trình:

Giải: ĐK

Phương trình

Xét là hàm lồi đồng biến với t > 0

Khi đó:

là hàm lõm trên D phương trình có không quá 2 nghiệm

Mà

Do đó phương trình có 2 nghiệm x = 0 và x = 1

 Trên đây là ý kiến của em về việc sử dụng bất đẳng thức hàm lồi và định lí Roll trong việc giải phương trình và chứng minh bất đẳng thức Từ đó chúng ta có thêm công cụ hữu hiệu để giải các bài toán về bất phương trình và phương trình Tuy đơn giản nhưng bất đẳng thức hàm lồi và định lí Roll được ứng dụng rất rộng rãi Nhưng

ý kiến của em còn sơ sài vì vậy rất mong được bổ sung thêm Em xin chân thành cảm ơn