Luận văn thạc sỹ bất đẳng thức tích phân dạng hermite–hadamard cho một lớp hàm đơn điệu

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC  - ĐỒN NGỌC HÀ BẤT ĐẲNG THỨC TÍCH PHÂN DẠNG HERMITE–HADAMARD CHO MỘT LỚP HÀM ĐƠN ĐIỆU Chuyên ngành: Phƣơng pháp Toán sơ cấp Mã số: 46 01 13 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS NGUYỄN THỊ THU THỦY THÁI NGUYÊN - 2022 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ĐỒN NGỌC HÀ BẤT ĐẲNG THỨC TÍCH PHÂN DẠNG HERMITE–HADAMARD CHO MỘT LỚP HÀM ĐƠN ĐIỆU LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Chun ngành: Phương pháp tốn sơ cấp Mã số: 46 01 13 NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS NGUYỄN THỊ THU THỦY THÁI NGUYÊN – 2022 Mục lục Bảng ký hiệu Mở đầu Chương Bất đẳng thức tích phân dạng Hermite – Hadamard cho vài lớp hàm lồi 1.1 Hàm lồi hàm s-lồi 1.1.1 Hàm lồi 1.1.2 Hàm s-lồi 1.2 Bất đẳng thức tích phân dạng Hermite – Hadamard cho hàm lồi hàm s-lồi 1.2.1 Bất đẳng thức tích phân dạng Hermite – Hadamard cho hàm lồi 1.2.2 Bất đẳng thức tích phân dạng Hermite – Hadamard cho hàm s-lồi 12 Chương Bất đẳng thức tích phân dạng Hermite – Hadamard cho lớp hàm đơn điệu 2.1 2.2 16 Bất đẳng thức Hermite – Hadamard cho tích phân bậc phân số 16 2.1.1 Tích phân bậc phân số Riemann – Liouville 16 2.1.2 Hàm Green 17 Bất đẳng thức tích phân dạng Hermite–Hadamard cho lớp hàm đơn điệu 22 2.2.1 22 Xây dựng bất đẳng thức 2.2.2 Áp dụng cho số trường hợp đặc biệt 2.2.3 Áp dụng xây dựng số bất đẳng thức chương trình tốn phổ thơng 32 35 Kết luận 36 Tài liệu tham khảo 37 Bảng ký hiệu R tập số thực R+ tập số thực khơng âm Rn khơng gian thực n chiều Rm×n khơng gian ma trận cấp m × n R C [a, b] tập hàm liên tục có đạo hàm đến cấp hai liên tục đoạn [a, b] L[a, b] Lp [a, b] không gian hàm khả tích đoạn [a, b] khơng gian hàm khả tích bậc p đoạn [a, b] Mở đầu Hàm lồi tập lồi nghiên cu t lõu bi Hăolder, Jensen, Minkowski c bit vi cơng trình Fenchel, Moreau, Rockafellar vào thập niên 1960 1970 đưa giải tích lồi trở thành lĩnh vực phát triển tốn học Hàm lồi đóng vai trị quan trọng tất lĩnh vực toán học túy ứng dụng Nhiều bất đẳng thức đáng ý thu cách sử dụng hàm lồi Trong số bất đẳng thức đó, bất đẳng thức có sức hấp dẫn mạnh mẽ rộng rãi thập kỷ qua bất đẳng thức Hermite – Hadamard tiếng Kết thú vị Hermite Hadamard đưa cách độc lập cung cấp tương đương với tính chất lồi Bất đẳng thức xây dựng sau Cho ψ : C ⊂ R → R hàm lồi xác định tập C tập số thực R b1 , b2 ∈ C với b1 6= b2 Bất đẳng thức Z b2 b + b  ψ(b1 ) + ψ(b2 ) 1 ψ(x)dx ≤ ≤ ψ b − b b1 (HH1) biết đến tên gọi bất đẳng thức Hermite – Hadamard [4] Hầu hết bất đẳng thức tiếng liên quan đến giá trị trung bình tích phân hàm lồi f dạng bất đẳng thức Hermite – Hadamard số biến thể bất đẳng thức Dạng tương đương bất đẳng thức (HH1) (b2 − b1 )ψ  b1 + b2  ≤ Zb2 b1 ψ(x)dx ≤ (b2 − b1 ) ψ(b1 ) + ψ(b2 ) (HH2) Nếu f hàm lõm, bất đẳng thức (HH1) hay (HH2) đảo chiều Bất đẳng thức Hermite – Hadamard đưa ước lượng cho giá trị trung bình tích phân hàm lồi xác định khoảng đóng Ngồi ra, (HH1) cung cấp điều kiện cần thiết điều kiện đủ để hàm hàm lồi Một số hàm lồi đặc biệt sử dụng bất đẳng thức (HH1) để thu bất đẳng thức cổ điển giá trị trung bình Do tầm quan trọng bất đẳng thức này, năm gần nhiều dạng tổng quát hóa, mở rộng đáng ý phiên khác bất đẳng thức Hermite – Hadamard cho lớp hàm lồi khác nhau, chẳng hạn hàm tiền lồi, hàm s-lồi, hàm lồi điều hòa nhiều tác giả quan tâm nghiên cứu đưa nhiều ứng dụng chứng minh bất đẳng thức đại số, hình học, lượng giác khác Trong [6] [7], tác giả xây dựng bất đẳng thức dạng Hermite – Hadamard cho lớp hàm đơn điệu thu kết thú vị Tôi chọn đề tài “Bất đẳng thức tích phân dạng Hermite – Hadamard cho lớp hàm đơn điệu” để nghiên cứu cho luận văn thạc sĩ chuyên ngành Phương pháp toán sơ cấp Mục tiêu đề tài luận văn tìm hiểu trình bày lại số bất đẳng thức xây dựng từ bất đẳng thức Hermite – Hadamard (HH1) cho lớp hàm đơn điệu báo [6] [7] công bố năm 2018 2020 Nội dung luận văn trình bày hai chương Chương Bất đẳng thức tích phân dạng Hermite – Hadamard cho vài lớp hàm lồi Chương giới thiệu số lớp hàm lồi suy rộng trình bày bất đẳng thức tích phân dạng Hermite – Hadamard cho lớp hàm lồi Nội dung chương viết dựa việc tổng hợp kết [1, 2, 3, 4, 5] Chương Bất đẳng thức tích phân dạng Hermite – Hadamard cho lớp hàm đơn điệu Chương trình bày phân tích số bất đẳng thức tích phân dạng Hermite – Hadamard cho lớp hàm lồi hàm đơn điệu tăng v số áp dụng giải bất đẳng thức chương trình tốn phổ thơng trường hợp đặc biệt đánh giá số giá trị trung bình Nội dung chương viết dựa kết báo [6] [7] công bố năm 2018 2020 số tài liệu trích dẫn Luận văn hoàn thành Trường Đại học Khoa học – Đại học Thái Nguyên Tôi xin bày tỏ biết ơn chân thành sâu sắc tới Ban giám hiệu; Phòng Đào tạo; Ban chủ nhiệm Khoa Tốn-Tin tất thầy giáo Khoa Tốn-Tin Trường Đại học Khoa học Thái Nguyên tham gia giảng dạy, giúp đỡ, tạo điều kiện cho suốt q trình học tập nghiên cứu hồn thành chuyên đề thạc sĩ khóa 13, chuyên ngành Phương pháp tốn sơ cấp Trường Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc kính trọng cô giáo, PGS.TS Nguyễn Thị Thu Thủy, người trực tiếp hướng dẫn tận tình, tâm huyết giúp tơi hồn thành luận văn Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành đến Sở GD&ĐT tỉnh Lạng Sơn, Ban Giám đốc Trung tâm thầy cô giáo Trung tâm GDTX1 tỉnh Lạng Sơn tạo điều kiện giúp đỡ tơi q trình học làm luận văn thạc sĩ Thái Nguyên, tháng năm 2022 Đoàn Ngọc H Chương Bất đẳng thức tích phân dạng Hermite – Hadamard cho vài lớp hàm lồi Chương trình bày số kiến thức hàm lồi, hàm s-lồi bất đẳng thức tích phân dạng Hermite – Hadamard cho lớp hàm lồi s-lồi Nội dung chương viết sở kết [1, 2, 3, 5] số tài liệu trích dẫn 1.1 1.1.1 Hàm lồi hàm s-lồi Hàm lồi Cho hai điểm x1 , x2 ∈ Rn Tập tất điểm x = (1 − λ)ax1 + λx2 với ≤ λ ≤ gọi đoạn thẳng (đóng) nối x1 x2 , ký hiệu [x1 , x2 ] Định nghĩa 1.1.1 (xem [1]) Tập C ⊆ Rn gọi tập lồi với λ ∈ [0, 1] x1 , x2 ∈ C xλ := λx1 + (1 − λ)x2 ∈ C Như vậy, tập lồi C chứa đoạn thẳng nối hai điểm Định nghĩa 1.1.2 (xem [1]) Cho C tập lồi khác rỗng không gian Rn , ψ : C → R hàm số thực xác định tập lồi C Hàm ψ gọi (i) hàm lồi C với x, y ∈ C số thực λ ∈ [0, 1], ta có ψ[λx + (1 − λ)y] ≤ λψ(x) + (1 − λ)ψ(y); (1.1) (ii) hàm lồi chặt C bất đẳng thức (1.1) chặt với x khác y Hàm ψ gọi hàm lõm hàm (−ψ) lồi Nếu n = 1, Định nghĩa 1.1.2 cho ta định nghĩa hàm lồi biến R Định lý sau cho ta mối liên hệ hàm lồi tập lồi Định lý 1.1.3 (xem [1]) Giả sử hàm ψ : Rn → R hàm lồi Rn λ ∈ R Khi tập lồi  Cλ := x | ψ(x) < λ ,  C λ := x | ψ(x) ≤ λ Tập Cλ , C λ Định lý 1.1.3 gọi tập mức Sau mối liên hệ hàm lồi n biến hàm lồi biến Định lý 1.1.4 (xem [1]) Hàm ψ(x), x ∈ Rn hàm lồi hàm biến ϕ(λ) := ψ(x + λd) hàm lồi theo λ với x, d ∈ Rn Chứng minh Điều kiện cần rõ ràng Ta chứng minh điều kiện đủ Giả sử ϕ hàm lồi với x, d ∈ Rn Lấy x, y thuộc Rn đặt d = x − y Khi với λ ∈ [0, 1] ta có     ψ (1 − λ)x + λy = ψ(x + λd) = ϕ(λ) = ϕ (1 − λ).0 + λ.1 ≤ (1 − λ)ϕ(0) + λϕ(1) = (1 − λ)ψ(x) + λψ(y)   Z b a + b ′ x − ψ (x)dx b − a a p  p1   1q  Z b Z b a + b 1 x − dx × | ψ ′ (x) |q dx , ≤