Luận văn thạc sỹ bất đẳng thức hermite hadamard cơ bản và áp dụng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN LÊ HUỲNH HIỆP BẤT ĐẲNG THỨC HERMITE – HADAMARD CƠ BẢN VÀ ÁP DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Bình Định - Năm 2021 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN LÊ HUỲNH HIỆP BẤT ĐẲNG THỨC HERMITE – HADAMARD CƠ BẢN VÀ ÁP DỤNG Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp Mã số: 8460113 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn: PGS.TS ĐINH THANH ĐỨC Bình Định - Năm 2021 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan nội dung luận văn " Bất đẳng thức HermiteHadamard áp dụng" thân thực theo logic riêng hướng dẫn PSG.TS Đinh Thanh Đức Các nội dung kết sử dụng luận văn có trích dẫn thích nguồn gốc rõ ràng Bình Định, tháng năm 2021 Tác giả Lê Huỳnh Hiệp i Mục lục MỞ ĐẦU 1 Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 Một số bất đẳng thức 1.2 Hàm lồi 4 Một số dạng bất đẳng thức Hermite-Hadamard 2.1 Bất đẳng thức Hermite - Hadamard 2.2 Một số dạng mở rộng bất đẳng thức Hermite-Hadamard 2.3 Bất đẳng thức Hermite-Hadamard hàm lồi khả vi bậc 12 12 17 Một số áp dụng bất đẳng thức Hermite-Hadamard 3.1 Áp dụng bất đẳng thức Hermite-Hadamard vào trung bình 3.2 Áp dụng bất đẳng thức Hermite-Hadamard hàm lồi khả vi bậc vào đánh giá trung bình 3.3 Áp dụng bất đẳng thức Hermite-Hadamard toán sơ cấp Kết luận Tài liệu tham khảo 41 26 41 57 63 74 75 MỞ ĐẦU Bất đẳng thức đóng vai trị quan trọng tốn học nhiều nhà tốn học nghiên cứu, có nhiều áp dụng thực tiễn đời sống giải toán Nhiều loại bất đẳng thức công bố áp dụng giảng dạy toán sơ cấp Trong đề tài nghiên cứu tổng hợp số dạng bất đẳng thức Hermite-Hadamard áp dụng toán phổ thông Mở đầu bất đẳng thức Hermite-Hadamard, [8] vào ngày 22-11-1881, Hermite (1822-1901) gửi thư đến tạp chí Mathesis Một đoạn trích thư có đề cập bất đẳng thức sau   Zb a+b f (a) + f (b) (b − a)f < f (x)dx < (b − a) (1) 2 a Điều thú vị bất đẳng thức quan trọng (của Hermite) đến rộng rãi kết mở rộng Beckenbach cơng ty hàng đầu chuyên gia lịch sử lý thuyết hàm phức, viết bất đẳng thức bên trái (1) Hadamard chứng minh năm 1893 dường khơng biết kết trước Hermite Năm 1906, Fejér (1880-1959) lúc học lượng giác đa thức, thu bất đẳng thức tổng quát hóa Hermite Bất đẳng thức phát biểu sau (Bất đẳng thức Fejér), f : R → R hàm lồi đoạn [a, b] g : [a, b] → R  khơng âm, khả tích đối xứng qua đường thẳng chứa điểm  hàm a+b , ,  f a+b  Zb a g(x)dx ≤ Zb a f (a) + f (b) f (x)g(x)dx ≤ Zb g(x)dx a (2) Khi g(x) ≡ bất đẳng thức Fejér trở thành bất đẳng thức HermiteHadamard  f a+b  ≤ b−a Zb f (x)dx ≤ f (a) + f (b) a Sau đó, nhiều tác giả mở rộng bất đẳng thức Hermite - Hadamard bất đẳng thức Fejér Các bất đẳng thức dạng Hermite-Hadamard có nhiều ứng dụng thực tế toán: đặc trưng hàm lồi, quan hệ đại lượng trung bình, lý thuyết xấp xỉ, Cho đến nay, số dạng bất đẳng thức Hermite-Hadamard quan tâm đặc biệt cho bất đẳng thức liên quan nhiều hàm sơ cấp bản, hàm siêu việt, hàm lồi Trong luận văn này, tổng kết số kết mới, đáng lưu ý bất đẳng thức số dạng bất đẳng thức Hermite-Hadamard, đặc biệt áp dụng tốn phổ thơng dành cho học sinh chun Luận văn "Bất đẳng thức Hermite-Hadamard áp dụng " gồm chương Chương Một số kiến thức chuẩn bị Trong chương này, chúng tơi trình bày định lý, hệ bất đẳng thức: bất đẳng thức trung bình cộng trung bình nhân (AM-GM), Hăolder, Cauchy - Schwarz, Minkowski, Jensen, bt ng thc Gră uss’ tích phân, với số kết hàm lồi tính chất chúng Các kết sử dụng Chương 2, Chương Chương Một số dạng bất đẳng thức Hermite-Hadamard Trong chương chúng tơi trình bày chi tiết cách chứng minh bất đẳng thức Hermite-Hadamard hệ bất đẳng thức Cùng với số dạng mở rộng quan trọng bất đẳng bên trái bất đẳng thức bên phải bất đẳng thức kép trên, giới thiệu bất đẳng thức dạng Hermite-Hadamard cho hàm lồi khả vi bậc Các mở rộng có nhiều áp dụng trình bày Chương Chương Áp dụng bất đẳng thức Hermite -Hadamard Trong phần chúng tơi trình bày áp dụng bất đẳng thức Hermite- Hadamard vào trung bình, áp dụng xây dựng từ mở rộng bất đẳng thức Hermite-Hadamard trung bình quen thuộc Đặc biệt cuối chương áp dụng bất dụng bất đẳng HermiteHadamad vào hàm sơ cấp để giải số tốn phổ thơng Luận văn thực hoàn thành Trường Đại học Quy Nhơn hướng dẫn PGS.TS Đinh Thanh Đức Qua muốn dành lời cảm ơn chân thành sâu sắc đến PSG.TS Đinh Thanh Đức – giảng viên hướng dẫn thực đề tài luận văn Thầy người định hướng, tạo điều kiện thuận lợi cho nhận xét q báu để tơi hồn thành luận văn với hiệu cao Tôi xin phép gửi lời cảm ơn chân thành đến quý thầy cô giảng dạy lớp Phương pháp toán sơ cấp trường Đại học Quy Nhơn tồn thể q thầy Khoa Toán - Thống kê trường Đại học Quy Nhơn, người cho kiến thức, quan tâm, động viên, nhiệt tình giúp đỡ tơi suốt q trình học tập thời gian thực đề tài Cuối xin phép gửi lời cảm ơn đến gia đình người bạn ln quan tâm, giúp đỡ động viên suốt quãng đường học tập vừa qua Mặc dù cố gắng học hỏi, tìm tịi nghiên cứu q trình hồn thành luận văn, hạn chế thời gian trình độ nên luận văn khơng tránh khỏi thiếu sót Rất mong nhận góp ý q thầy bạn đọc để luận văn hồn thiện Bình Định, ngày tháng năm 2021 Học viên thực Lê Huỳnh Hiệp Chương Một số kiến thức chuẩn bị Trong chương này, chúng tơi trình bày số định lý, hệ bất đẳng thức: bất đẳng thức trung bình cộng trung bình nhân (AM-GM), Hăolder, Cauchy - Schwarz, Minkowski, Jensen, bt ng thc Gră uss tớch phõn, cựng vi mt s kt qu hàm lồi tính chất chúng ([1], [2], [3], [4]) 1.1 Một số bất đẳng thức Đầu tiên giới thiệu định lý, hệ số bất đẳng thức quen thuộc, kết áp dụng Chương 2, Chương Định lý 1.1.1 [1] (Bất đẳng thức trung bình cộng trung bình nhân) Giả sử x1 , x2 , , xn số không âm Khi √ x1 + x2 + + xn ≥ n x1 x2 xn (1.1) n Dấu đẳng thức xảy x1 = x2 = = xn Bất đẳng thức gọi tắc là: bất đẳng thức AM-GM ngắn gọn bất đẳng thức AG Định lý 1.1.2 [3] (Bt ng thc Hă older) Vi mi b s khụng âm (ai ) 1 (bi ), (i = 1, 2, , n) cặp số dương p, q mà + = Khi ta có p q bất đẳng thức sau   p1   1q n n n X X X bi ≤  api   bqi  (1.2) i=1 i=1 i=1 Nếu p < 1, p 6= dấu bất đẳng thức (1.2) đảo chiều Dấu xảy hai số (api ) (bqi ) tỷ lệ với nhau, tức tồn hai cặp số thực λ, µ, khơng đồng thời 0, cho λapi + µbqi = 0, ∀i = 1, 2, , n Nếu wi > 0, i = 1, 2, , n thỡ bt ng thc Hăolder (1.2) viết dạng sau   p1   1q n n n X X X p   wi bi ≤ wi (1.3) wi bqi  i=1 i=1 i=1 Hệ 1.1.3 [3] Nếu p=q=2 thỡ bt ng thc Hă older tr thnh  12   12 n n n X X X 2   bi ≤ b2i  i=1 i=1 (1.4) i=1 Dấu đẳng thức xảy hai số (ai ) (bi ) tỷ lệ với nhau, tức tồn cặp số thực λ, µ, khơng đồng thời 0, cho λai + µbi = 0, ∀i = 1, 2, , n Bất đẳng thức (1.4) thường gọi bất đẳng thức Cauchy (đơi cịn gọi bất đẳng thức Bunyakovskii, Cauchy-Schwarz CauchyBunyakovskii) Định lý 1.1.4 [4] (Bt ng thc Hă older dng gii tớch) Gi s (p,q) 1 cặp số mũ liên hợp, tức thỏa mãn điều kiện p,q > với + = 1, f p q g hai hàm số liên tục đoạn [a, b],   p1   1q b b b Z Z Z     p |f (x)g(x)|dx ≤  |f (x)| dx  |g(x)|q dx (1.5) a a a Dấu "=" xảy tồn hai số thực A B không đồng thời không cho A|f (x)|p = B|g(x)|q , ∀x ∈ [a, b] Định lý 1.1.5 [3] (Bất đẳng thức Minkowski) Với số không âm (ai ), (bi ), (i = 1, 2, , n) số dương p > 1, ta có   p1   p1   p1 n n n X X p X p  (ai + bi )p  ≤   +  bi  (1.6) i=1 i=1 i=1 Dấu đẳng thức xảy hai số (ai ) (bi ) tỷ lệ với nhau, tức tồn cặp số thực λ, µ, khơng đồng thời 0, cho λai + µbi = 0, ∀i = 1, 2, , n Định lý 1.1.6 [1] (Bất đẳng thức Jensen) Cho hàm số y = f (x) lồi [a, b] (f (x) liên tục [a, b]; f 00 (x) ≥ với x ∈ (a, b)), số k1 , k2 , , kn ∈ R+ , k1 + k2 + + kn = Khi đó, với xi ∈ [a, b], i = 1, , n, ta ln có   n n X X ki f (xi ) ≥ f  ki xi  (1.7) i=1 i=1 Cho hàm số y = f (x) lõm [a, b] (f (x) liên tục [a, b]; f 00 (x) ≤ với x ∈ (a, b)), bất đẳng thức đổi chiều, tức   n n X X ki f (xi ) ≤ f  ki xi  (1.8) i=1 i=1 nh lý 1.1.7 [4] (Bt ng thc Gră uss tích phân) Giả sử f, g : [a, b] → R hai hàm khả tích cho ϕ ≤ f (x) ≤ φ, γ ≤ g(x) ≤ Γ, ∀x ∈ [a, b] Thì ta có bất đẳng thức a + b a + b |f (x)|dx − x − dx |f (x)|dx, A¯ := (b − a) x − 2 a Zb