Luận văn thạc sỹ bất đẳng thức mới dạng hermite – hadamard cho hàm log lồi

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC  - HOÀNG THỊ NGỌC ÁNH BẤT ĐẲNG THỨC MỚI DẠNG HERMITE – HADAMARD CHO HÀM LOG-LỒI Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp Mã số: 46 01 13 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS Nguyễn Thị Thu Thủy THÁI NGUYÊN - 2022 Mục lục Mục lục Lời cảm ơn Bảng ký hiệu Chương Hàm lồi hàm LOG-lồi 1.1 Hàm lồi Hàm LOG-lồi 1.1.1 Hàm lồi 1.1.2 Hàm LOG-lồi 12 1.2 Bất đẳng thức Hermite – Hadamard 12 1.2.1 Bất đẳng thức Hermite – Hadamard cho hàm lồi hàm LOG-lồi 12 1.2.2 Một vài áp dụng 13 Chương Bất đẳng thức cho hàm LOG-lồi liên quan đến bất đẳng thức Hermite – Hadamard 16 2.1 Bất đẳng thức khơng có trọng số 16 2.1.1 Bất đẳng thức 16 2.1.2 Áp dụng 20 2.2 Bất đẳng thức có trọng số 22 2.2.1 Bất đẳng thức 22 2.2.2 Trọng đối xứng 27 2.2.3 Áp dụng 31 Kết luận 34 Tài liệu tham khảo 35 Lời cảm ơn Lời đầu tiên, xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến PGS.TS Nguyễn Thị Thu Thủy Cơ tận tình bảo hướng dẫn tơi suốt q trình học tập, nghiên cứu hồn thành luận văn Thạc sĩ Tơi xin chân thành cảm ơn thầy, giáo Khoa Tốn – Tin, Trường Đại học Khoa học – Đại học Thái Nguyên; Phòng Đào tạo Trường Đại học Khoa học, người trực tiếp giảng dạy giúp đỡ suốt q trình học tập Trường Tơi xin cảm ơn Ban giám hiệu, thầy cô giáo Trường Trung học phổ thơng Bình Gia tồn thể bạn bè, người thân tạo điều kiện thuận lợi cơng tác để tơi hồn thành khóa học luận văn thời hạn Tôi xin cảm ơn bạn bè, người thân, anh chị lớp cao học động viên, quan tâm giúp đỡ em trình học tập thực luận văn Xin chân thành cảm ơn! Thái Nguyên, tháng năm 2022 Hoàng Thị Ngọc Ánh Bảng ký hiệu R tập số thực R+ tập số thực không âm Rn không gian Euclid n chiều exp(x) ex Mở đầu Cho C tập số thực R, f : C → R hàm lồi xác định C a, b ∈ C với a < b Bất đẳng thức Hermite – Hadamard hàm lồi f bất đẳng thức f a + b ≤ b−a Z b a f (x)dx ≤ f (a) + f (b) (HH) Rất nhiều bất đẳng thức quen thuộc liên quan đến giá trị trung bình tích phân hàm lồi f dạng bất đẳng thức Hermite – Hadamard số biến thể bất đẳng thức Luận văn trình bày nghiên cứu [4] số tài liệu liên quan dạng bất đẳng thức Hermite – Hadamard hàm LOG-lồi Hàm LOG-lồi định nghĩa sau: Cho I ⊂ R Hàm f : I → (0, ∞) gọi hàm LOG-lồi log f hàm lồi, tức với x, y ∈ I t ∈ [0; 1] bất đẳng thức sau thỏa mãn f (tx + (1 − t)y) ≤ [f (x)]t [f (y)]1−t Nội dung luận văn trình bày hai chương Trong chương đầu tiên, giới thiệu hàm lồi, hàm LOG-lồi, bất đẳng thức Hermite – Hadamard cho hàm lồi hàm LOG-lồi Chương trình bày số bất đẳng thức dạng Hermite – Hadamard cho hàm LOG-lồi Phần cuối chương vài áp dụng đánh giá số giá trị trung bình đặc biệt Kết Chương viết sở tài liệu [4] công bố năm 2019 số tài liệu trích dẫn Chương Hàm lồi hàm LOG-lồi Chương giới thiệu hàm lồi, hàm LOG-lồi, bất đẳng thức Hermite – Hadamard cho hàm lồi hàm LOG-lồi Nội dung chương viết sở tổng hợp kiến thức từ [1, 2, 4, 7] 1.1 1.1.1 Hàm lồi Hàm LOG-lồi Hàm lồi Trong mục ta xem xét hàm lồi biến Định nghĩa 1.1 Cho C tập R hàm f : C → R ∪ {+∞} (a) Hàm f gọi lồi C f (λx + (1 − λ)y) ≤ λf (x) + (1 − λ)f (y) ∀x, y ∈ C, ∀λ ∈ [0; 1] (b) Hàm f gọi lồi chặt C f (λx + (1 − λ)y) < λf (x) + (1 − λ)f (y) ∀x 6= y ∈ C, ∀λ ∈ (0; 1) Hàm f gọi lõm (lõm chặt) hàm −f lồi (lồi chặt) 10 Định nghĩa 1.2 Cho tập C ⊂ R hàm f : C → R ∪ {+∞} (a) Tập dom f := {x ∈ C | f (x) < +∞} gọi miền hữu hiệu hàm f (b) Tập epi f := {(x, y) ∈ C × R | f (x) ≤ y} gọi đồ thị hàm f Bằng cách định nghĩa f (x) = +∞ x ∈ / C, ta biểu diễn dom f epi f sau: dom f := {x ∈ R | f (x) < +∞}; epi f := {(x, y) ∈ R × R | f (x) ≤ y} Hiển nhiên, hàm f lồi đồ thị tập lồi R2 Hơn nữa, tập hữu dụng hàm lồi tập lồi, domf hình chiếu epif R Ví dụ 1.1 Hàm f : R → R xác định f (x) = ax + b, a, b ∈ R, hàm lồi Mệnh đề 1.1 (xem [1]) Cho A, B ⊂ R, hàm f : A → R ∪ {+∞} g : B → R ∪ {+∞} hàm lồi Khi đó, (a) (f + g)(x) := f (x) + g(x) (b) max{f, g}(x) := max{f (x), g(x)} hàm lồi A ∩ B Mệnh đề cho ta cách nhận biết hàm lồi Rn Trường hợp đặc biệt n = ta có hàm lồi biến 11 Mệnh đề 1.2 (xem [8]) Cho C tập lồi mở Rn hàm f : C → R khả vi C Điều kiện cần đủ để f lồi C f (x) + h∇f (x), y − xi ≤ f (y) ∀x, y ∈ C Trong trường hợp f khả vi hai lần C, điều kiện cần đủ để f lồi C ma trận Hessian H(x) xác định không âm với x ∈ C, tức hH(x)y, yi ≥ ∀y ∈ Rn , x ∈ C Bằng quy nạp, ta mở rộng bất đẳng thức nêu Định nghĩa 1.1(b) thành bất đẳng thức f m X i=1 λi x i ! ≤ m X (1.1) λi f (xi ) i=1 với xi ∈ C, λi ∈ [0; 1], i = 1, , m thỏa mãn thức (1.1) gọi bất đẳng thức Jensen Pm i=1 λi = Bất đẳng Ví dụ 1.2 Xét hàm số f : (0, 1) → R xác định f (x) = Suy ra, √x 1−x Ta có 2−x f ′ (x) = p (1 − x)3 4−x ≥ ∀x ∈ (0; 1) f ′′ (x) = p (1 − x)5 Theo Mệnh đề 1.2, f hàm lồi (0; 1) Áp dụng bất đẳng thức (1.1) cho hàm lồi (0; 1) ta nhận   a+b+c f ≤ (f (a) + f (b) + f (c)) , 3 đây, a, b, c ∈ (0; 1) thỏa mãn a + b + c = Hay ta nhận bất đẳng thức r a b c √ +√ ≥ +√ 1−a 1−c 1−b 22 2.2 Bất đẳng thức có trọng số 2.2.1 Bất đẳng thức Ta có phiên có trọng số tổng quát bất đẳng thức (1.7) nêu định lý Định lý 2.2 (xem [4]) Cho f : [a, b] → (0, ∞) hàm LOG-lồi Nếu hàm Rb w : [a, b] → [0, ∞) hàm khả tích a w(x)dx > 0, f  a+b  ≤ với p > Rb a w(x)f p (x)f p (a + b − x)dx Rb a w(x)dx ! 2p1 ≤ p f (a)f (b) (2.11) Đặc biệt, f  a+b  ≤ Rb a w(x)f (x)f (a + b − x)dx Rb a w(x)dx ! 21 ≤ p f (a)f (b) Chứng minh Trong [5] g hàm LOG-lồi,   p p a+b ≤ g(x)g(a + b − x) ≤ g(a)g(b) g (2.12) (2.13) với x ∈ [a, b] Với p > hàm f 2p hàm LOG-lồi từ (2.13) ta nhận   2p a + b ≤ f p (x)f p (a + b − x) ≤ f p (a)f p (b) (2.14) f với x ∈ [a, b] Nếu nhân vế (2.14) với w(x) ≥ tích phân theo x đoạn [a, b], ta f 2p a+b
Rb a Rb w(x)f p (x)f p (a + b − x)dx Rb ≤ f p (a)f p (b) a w(x)dx w(x)dx ≤ a 23 suy f 2p Lũy thừa  a+b 2p  ≤ Rb a w(x)f p (x)f p (a + b − x)dx ≤ f p (a)f p (b) Rb a w(x)dx (2.15) (2.15) ta nhận (2.11) Nhận xét 2.3 (a) Ta có phiên có trọng khác bất đẳng thức (1.7) sau: p   Rb f (x)f (a + b − x)dx p w(x) a+b f ≤ f (a)f (b) ≤ a Rb w(x)dx a (b) Nếu lấy p = f  a+b  ≤ (2.16) (2.11), Rb a !2 p p w(x) f (x)f (a + b − x)dx ≤ f (a)f (b) (2.17) Rb w(x)dx a Sử dụng bất đẳng thức Jensen với trọng số p ≥ !p R b Rb p a w(x)g (x)dx a w(x)g(x)dx , ≤ Rb Rb w(x)dx w(x)dx a a p ∈ (0, 1) Rb a w(x)g(x)dx Rb a w(x)dx ta nhận hệ sau !p ≥ Rb a w(x)g p (x)dx , Rb w(x)dx a Hệ 2.3 (xem [4]) Cho hàm f : [a, b] → (0, ∞) hàm LOG-lồi, hàm Rb w : [a, b] → [0, ∞) hàm khả tích a w(x)dx > (a) Nếu p ≥ 1, ! 12 w(x)f (x)f (a + b − x)dx a f ≤ Rb a w(x)dx ! 2p1 Rb p p p w(x)f (x)f (a + b − x)dx a ≤ ≤ f (a)f (b) Rb a w(x)dx  a+b  Rb (2.18) 24 (b) Nếu p ∈ (0, 1), ! 2p1 p p w(x)f (x)f (a + b − x)dx a+b a f ≤ Rb a w(x)dx ! 21 Rb p w(x)f (x)f (a + b − x)dx a ≤ ≤ f (a)f (b) Rb a w(x)dx Rb   (2.19) Nhận xét 2.4 Cho f : [a, b] → (0, ∞) hàm LOG-lồi Trong (2.11) chọn w(x) = f −p (a + b − x), p > 0, f  a+b  ≤ với p > Rb p a f (x)dx Rb −p (x)dx a f ! 2p1 ≤ p f (a)f (b) (2.20) Đặc biệt, ta có f  a+b  f  a+b ≤  1 R b f (x)dx a  Rb a f (x) dx ≤ p f (a)f (b) Rbp f (x)dx p ≤ f (a)f (b) ≤ Ra b √ dx a (2.21) (2.22) f (x) Sau phiên có trọng cho bất đẳng thức (1.6) Định lý 2.3 (xem [4]) Cho hàm f : [a, b] → (0, ∞) hàm LOG-lồi Nếu Rb w : [a, b] → [0, ∞) hàm khả tích a w(x)dx > 0, ! Rb w(x)xdx f Ra b a w(x)dx ! Rb w(x) ln f (x)dx a ≤ exp Rb a w(x)dx ! ! Rb Rb xw(x)dx xw(x)dx 1 − a [f (a)] b−a b − Ra b ≤ [f (b)] b−a Ra b a w(x)dx a w(x)dx 25 ≤ b−a " Rb a xw(x)dx Rb a w(x)dx Rb ! xw(x)dx b − Ra b − a f (b) + a w(x)dx ! # f (a) (2.23) Chứng minh Vì ln f hàm lồi, nên sử dụng bất đẳng thức Jensen ta nhận ln f Rb a w(x)xdx Rb a w(x)dx ! ≤ Rb a w(x) ln f (x)dx Rb w(x)dx a (2.24) Lấy e mũ hai vế (2.24) ta nhận bất đẳng thức thứ (2.23) Vì ln f hàm lồi, nên   x−a b−x x−a b−x ln f (x) = ln f b+ a ≤ ln f (b) + ln f (a) b−a b−a b−a b−a (2.25) với x ∈ [a, b] Bằng cách lấy trung bình tích phân có trọng số (2.25) ta Rb a w(x) ln f (x)dx Rb a w(x)dx ! ! # " Rb Rb xw(x)dx xw(x)dx a ≤ − a ln f (b) + b − Ra b ln f (a) Rb b−a w(x)dx w(x)dx a a  R  ! Rb b = ln [f (b)] b−a xw(x)dx −a Rab a w(x)dx [f (a)] b−a b− xw(x)dx Rab a w(x)dx (2.26) Lấy e mũ hai vế (2.26), ta nhận bất đẳng thức thứ hai (2.23) Phần cuối (2.23) suy từ bất đẳng thức trung bình cộng, trung bình hình học có trọng Nhận xét 2.5 Nếu ta chọn w(x) = 1, x ∈ [a, b] hai bất đẳng thức (2.23), ta nhận bất đẳng thức (1.6) Định lý 2.4 (xem [4]) Cho hàm f : [a, b] → (0, ∞) hàm LOG-lồi Nếu Rb hàm w : [a, b] → [0, ∞) hàm khả tích a w(x)dx > 0, ! Rb w(x)xdx f Ra b a w(x)dx 26 ≤ exp Rb a w(x) ln f (x)dx Rb a w(x)dx !  x  Rb f (b) b−a  dx w(x)f (x)dx [f (a)]b b−a a w(x) f (a) ≤ aR b ≤ Rb [f (b)]a a w(x)dx a w(x)dx " Rb ! # ! Rb xw(x)dx a xw(x)dx − a f (b) + b − Ra b f (a) ≤ Rb b−a w(x)dx w(x)dx Rb  a (2.27) a Chứng minh Sử dụng bất đẳng thức Jensen cho hàm lũy thừa ta nhận ! Rb Rb w(x) exp(ln f (x))dx w(x) ln f (x)dx a ≤ a exp Rb Rb w(x)dx a a w(x)dx Rb w(x)f (x)dx = aR b a w(x)dx bất đẳng thức thứ hai (2.27) chứng minh Bây từ (2.25) bất đẳng thức trung bình cộng - trung bình hình học ta có f (x) ≤ [f (b)] x−a b−a [f (a)] b−x b−a    x [f (a)]b b−a f (b) b−a = [f (b)]a f (a) b−x x−a f (b) + f (a) ≤ b−a b−a  với x ∈ [a, b] Bằng cách lấy trung bình tích phân có trọng số (2.28) ta có Rb a w(x)f (x)dx Rb a w(x)dx  x  Rb f (b) b−a   dx [f (a)]b b−a a w(x) f (a) ≤ Rb [f (b)]a a w(x)dx " Rb ! ! # Rb xw(x)dx xw(x)dx a − a f (b) + b − Ra b f (a) ≤ Rb b−a w(x)dx w(x)dx a phần lại (2.27) chứng minh a (2.28) 27 2.2.2 Trọng đối xứng Định nghĩa 2.1 (xem [4]) Hàm trọng w : [a, b] → [0, ∞) đối xứng đoạn [a, b] w(a + b − x) = w(x) với x ∈ [a, b] Chú ý 2.1 (a) Nếu hàm f : [a, b] → R hàm lồi hàm w : [a, b] → [0, ∞) hàm khả tích đối xứng đoạn [a, b], bất đẳng thức Fejér   Rb w(x)f (x)dx f (a) + f (b) a+b ≤ f ≤ aR b (2.29) 2 w(x)dx a thỏa mãn (b) Nếu hàm f : [a, b] → (0, ∞) hàm LOG-lồi đoạn [a, b] hàm w : [a, b] → [0, ∞) hàm khả tích đối xứng đoạn [a, b], từ (2.29) ta có ln f  a+b  ≤ Rb a w(x) ln f (x)dx ln f (a) + ln f (b) ≤ Rb w(x)dx a Bất đẳng thức tương đương với ! Rb   p w(x) ln f (x)dx a+b a ≤ f (a)f (b) f ≤ exp Rb w(x)dx (2.30) a Định lý 2.5 (xem [4]) Cho f : [a, b] → (0, ∞) hàm LOG-lồi đoạn [a, b] w : [a, b] → [0, ∞) hàm khả tích đối xứng đoạn [a, b] Khi đó, f  a+b  Rb ! w(x) ln f (x)dx a ≤ exp Rb w(x)dx pa Rb Rb f (x)f (a + b − x)dx w(x)f (x)dx w(x) ≤ aR b ≤ a Rb w(x)dx w(x)dx a a (2.31) 28 Chứng minh Sử dụng bất đẳng thức Jensen cho hàm lũy thừa ta ! p Rb f (x)f (a + b − x)dx w(x) ln a exp Rb w(x)dx p a Rb w(x) exp(ln f (x)f (a + b − x))dx ≤ a Rb a w(x)dx p Rb w(x) f (x)f (a + b − x)dx = a (2.32) Rb w(x)dx a Từ tính đối xứng hàm w, suy Z b p w(x) ln f (x)f (a + b − x)dx a # "Z Z b b w(x) ln f (a + b − x)dx w(x) ln f (x)dx + = a a "Z # Z b b = w(x) ln f (x)dx + w(a + b − x) ln f (a + b − x)dx a a Z b = w(x) ln f (x)dx a Từ đó, Z b a w(a + b − x) ln f (a + b − x)dx = Z b w(x) ln f (x)dx a Kết hợp với (2.32) ta nhận bất đẳng thức thứ hai (2.31) Sử dụng bất đẳng thức Cauchy – Buniakovski – Schwarz ta có Z b p w(x) f (x)f (a + b − x)dx a s s Z b Z b w(x)f (x)dx w(x)f ((a + b − x))dx ≤ a a s s Z b Z b = w(x)f (x)dx w(x)f (x)dx a = Z a b w(x)f (x)dx a Từ ta nhận bất đẳng thức thứ ba (2.31) 29 Hệ 2.4 (xem [4]) Cho f : [a, b] → (0, ∞) hàm LOG-lồi đoạn [a, b] w : [a, b] → [0, ∞) hàm khả tích đối xứng đoạn [a, b] Khi với p > ta có   a+b f ≤ exp ≤ ≤ Rb ≤ Rb ≤ Rb a ≤ ≤ p ! p Rb a w(x) ln f (x)dx Rb a w(x)dx a w(x) ln f (x)dx Rb a w(x)dx ! 2p1 (2.34) ! ! 2p1 p p w(x)f (x)f (a + b − x)dx a Rb a w(x)dx ! 21 Rb w(x)f (x)f (a + b − x)dx a Rb a w(x)dx ! 12 Rb w(x)f (x)dx a Rb w(x)dx a Rb (2.33) ! 21 p p a w(x)f (x)f (a + b − x)dx Rb a w(x)dx ! 2p1 Rb 2p w(x)f (x)dx a Rb a w(x)dx Rb ! 2p1 ! w(x)f (x)f (a + b − x)dx Rb a w(x)dx với p ∈ (0; 1) ta có   a+b f ≤ exp ≤ a w(x) ln f (x)dx Rb a w(x)dx w(x)f (x)f (a + b − x)dx Rb a w(x)dx ! 2p1 Rb 2p a w(x)f (x)dx Rb w(x)dx a a Nhận xét 2.6 Với p ≥ ta có   a+b ≤ exp f ≤ Rb (2.35) 30 Định lý 2.6 (xem [4]) Cho f : [a, b] → (0, ∞) hàm LOG-lồi đoạn [a, b] w : [a, b] → [0, ∞) hàm khả tích đối xứng đoạn [a, b] Khi với p > ta có f  a+b  R ≤ Chứng minh Từ (2.14) ta có f 2p  a+b  1 2p b p a f (x)w(x)dx  R b w(x)dx a f p (x) ≤ p f (a)f (b) 1 p p p ≤ f (x) ≤ f (a)f (b) f p (a + b − x) f p (a + b − x) với x ∈ [a, b] Nếu ta nhân với w(x) ≥ tích phân hai vế đoạn [a, b],  Z b w(x)dx 2p a + b f p a f (a + b − x) Z b f p (x)w(x)dx ≤ a Z b w(x)dx p p ≤ f (a)f (b) p a f (a + b − x) Từ tính đối xứng w ta Z b a w(x)dx = f p (a + b − x) Z b a w(a + b − x)dx = f p (a + b − x) điều tương đương với f 2p  Z a+b b Z b a w(x)dx f p (x) f p (x)w(x)dx a Z b w(x)dx p p ≤ f (a)f (b) f p (x) a ≤ bất đẳng thức (2.36) chứng minh Z b a w(x)dx f p (x) (2.36) (2.37) 31 2.2.3 Áp dụng Ta ký hiệu G(a, b) trung bình nhân hai số thực dương a, b, tức G(a, b) := √ ab Ta nhận số đánh giá giá trị trung bình đặc biệt sau Ví dụ 2.4 Trong (2.20) chọn f (x) = x−1 , x ∈ [a, b] ⊂ (0, ∞), hàm LOG-lồi,  Từ a+b −1 Rb a ≤ Rb a x dx Rb a xp dx x−p dx Rb a −p xp dx = = ! 2p1 ≤( p f (a)f (b))−1 (2.38) R b −p b−a a x dx Rb p b−a a x dx p [L−p (a, b)] p [Lp (a, b)] (2.38) ta có  −1   12 p a+b ≤ ≤ ( f (a)f (b))−1 [Lp (a, b)] [L−p (a, b)] Bất đẳng thức tương đương với G(a, b) ≤ q [Lp (a, b)] [L−p (a, b)] ≤ A(a, b) hay G(a, b) ≤ G (Lp (a, b), L−p (a, b)) ≤ A(a, b) (2.39) Ví dụ 2.5 Trong bất đẳng thức thứ (2.39), chọn p = 1, ta nhận G2 (a, b) ≤ A(a, b)L(a, b) (2.40) 32 Ví dụ 2.6 Nếu ta chọn w(x) = x1 , x ∈ [a, b] ⊂ (0, ∞) (2.23), ! Z b ln f (x) f (L(a, b)) ≤ exp dx ln b − ln a a x ≤ [f (b)] ≤ L(a,b)−a b−a [f (a)] b−L(a,b) b−a (L(a, b) − a)f (b) + (b − L(a, b))f (a) b−a (2.41) L(a, b) trung bình lơ-ga-rít Ví dụ 2.7 Nếu chọn w(x) = x2 , x ∈ [a, b] ⊂ (0, ∞) (2.23), !   Z b G (a, b) ab ln f (x) f ≤ exp dx L(a, b) b−a a x2     1 G (a, b) G (a, b) ≤[f (b)] b−a − a [f (a)] b−a b − L(a, b) L(a, b)      G2 (a, b) G (a, b) ≤ f (a) (2.42) − a f (b) + b − b−a L(a, b) L(a, b) Nhận xét 2.7 (a) Nếu chọn w(x) = 1, x ∈ [a, b] (2.27), !   Z b a+b ≤ exp ln f (x)dx f b−a a Z b f (a) + f (b) ≤ f (x)dx ≤ L(f (a), f (b)) ≤ b−a a (2.43) (b) Nếu chọn w(x) = x1 , x ∈ [a, b] ⊂ (0, ∞) (3.22), f (L(a, b)) ≤ exp ≤ ln b − ln a Z b a ln b − ln a Z b a ln f (x) dx x f (x) dx x x R b  f (b)  b−a  dx [f (a)]b b−a a x f (a) ≤ [f (b)]a ln b − ln a (L(a, b) − a)f (b) + (b − L(a, b))f (a) ≤ b−a  ! (2.44) 33 Nhận xét 2.8 Nếu ta viết bất đẳng thức (2.36) cho hàm LOG-lồi f : [a, b] ⊂ (0, ∞) → (0, ∞), xác định f (x) = x1 , với p > 0,  a+b −1 ≤ Rb a tương đương với G(a, b) ≤ x w(x)dx Rb a Rb a Rb a −p xp w(x)dx p x w(x)dx x−p w(x)dx ! 2p1 ! 2p1 √ ≤ ( ab)−1 ≤ A(a, b), với trọng khả tích đối xứng w : [a, b] → [0, ∞) (2.45) Kết luận Trong luận văn này, đề cập vấn đề sau ❼ Giới thiệu hàm lồi, hàm LOG-lồi, mối liên hệ hàm lồi, hàm LOG-lồi ❼ Trình bày bất đẳng thức dạng Hermite – Hadamard cho lớp hàm lồi, từ phát triển cho lớp hàm LOG-lồi ❼ Xây dựng số bất đẳng thức khơng có trọng số có trọng số cho lớp hàm LOG-lồi ❼ Áp dụng bất đẳng thức dạng Hermite – Hadamard cho lớp hàm LOG-lồi để đánh giá số giá trị trung bình đặc biệt 34 Tài liệu tham khảo Tiếng Việt [1] Trần Vũ Thiệu, Nguyễn Thị Thu Thủy, Tối ưu phi tuyến – Lý thuyết phương pháp giải, NXB Bách Khoa Hà Nội, 2021 [2] Lê Dũng Mưu, Nguyễn Văn Hiền, Nhập mơn giải tích lồi ứng dụng, NXB Khoa học tự nhiên Công nghệ Hà Nội, 2009 Tiếng Anh [3] S.S Dragomir (2015), New inequalities of Hermite-Hadamard type for logconvex functions, Preprint RGMIA Res Rep Coll 18, (2015), Art 42 [http://rgmia.org/papers/v18/v18a42.pdf] [4] S.S Dragomir (2019), Further inequalities for log-convex functions related to Hermite – Hadamard result, Proyecciones Journal of Mathematics, 38(2), pp 267–293 [5] S.S Dragomir, B Mond (1998), Integral inequalities of Hadamard’s type for log-convex functions, Demonstratio Math., 31(2), pp 354–364 35 36 [6] P.M Gill, C.E.M Pearce and J Peˇcari´c (1997), Hadamard’s inequality for rconvex functions, Journal of Mathematical Analysis and Applications, 215(2), pp 461–470 [7] J Hadamard (1893), “Étude sur les propriétés des fonctions enti‘eres et en particulier d’une fonction considérée par Riemann”, J Math Pures Appl., 58, pp 171–215 [8] R.T Rockafellar (1970), Convex Analysis, Princeton University Press, Princeton [9] W.T Sulaiman (2011), Refinements to Hadamard’s inequality for logconvex functions Applied Mathematics, 2, pp 899–903