Luận văn thạc sỹ một số bất đẳng thức mới dạng hermite hadamard cho hàm ga lồi

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC  - NGUYỄN BÍCH HUỆ MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC MỚI DẠNG HERMITE - HADAMARD CHO HÀM GA-LỒI Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp Mã số: 46 01 13 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS Nguyễn Thị Thu Thủy THÁI NGUYÊN - 2022 Mục lục Mục lục Lời cảm ơn Bảng ký hiệu Chương Hàm lồi hàm GA-lồi 1.1 Hàm lồi Hàm GA-lồi 1.1.1 Hàm lồi 1.1.2 Hàm GA-lồi 12 1.2 Bất đẳng thức Hermite – Hadamard 14 1.2.1 Bất đẳng thức Hermite – Hadamard cho hàm lồi 14 1.2.2 Bất đẳng thức Hermite – Hadamard cho hàm GA-lồi 16 Chương Bất đẳng thức Hermite – Hadamard có trọng cho hàm GA-lồi 18 2.1 Bất đẳng thức khơng có trọng số 18 2.2 Bất đẳng thức có trọng số 23 2.3 Áp dụng 28 Kết luận 31 Tài liệu tham khảo 32 Lời cảm ơn Luận văn hoàn thành Trường Đại học Khoa học – Đại học Thái Nguyên Tôi xin bày tỏ biết ơn chân thành sâu sắc tới Ban giám hiệu; Phòng đào tạo; Ban chủ nhiệm khoa Toán – Tin tất thầy giáo Khoa Tốn - Tin Trường Đại học Khoa học – Đại học Thái Nguyên giảng dạy, giúp đỡ, tạo điều kiện cho suốt q trình học tập, nghiên cứu hồn thành khóa học chương trình đào tạo Thạc sĩ, chuyên ngành Phương pháp Tốn sơ cấp Trường Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc kính trọng cô giáo, PGS.TS Nguyễn Thị Thu Thủy, người trực tiếp hướng dẫn tận tình, tâm huyết, giúp tơi hồn thành luận văn Tơi xin gửi lời cảm ơn chân thành đến Sở Giáo dục Đào tạo tỉnh Lạng Sơn; Ban giám đốc Trung tâm thầy cô giáo Trung tâm Giáo dục thường xuyên Tin học Ngoại ngữ tỉnh Lạng Sơn tạo điều kiện giúp đỡ tơi q trình học tập, nghiên cứu thực luận văn Thái Nguyên, tháng năm 2022 Nguyễn Bích Huệ Bảng ký hiệu R tập số thực R+ tập số thực không âm Rn không gian Euclid n-chiều [y, z] đoạn thẳng đóng nối hai điểm y, z ∈ R kxk chuẩn véc-tơ x = (x1 , x2 , , xn ) ∈ Rn ∇f gradient hàm f J◦ phần tập J exp(x) ex Mở đầu Hàm lồi đóng vai trị quan trọng tất lĩnh vực toán học túy ứng dụng Nhiều bất đẳng thức đáng ý thu cách sử dụng hàm lồi Trong số bất đẳng thức đó, bất đẳng thức sử dụng rộng rãi thập kỷ qua bất đẳng thức Hermite – Hadamard Kết thú vị Hermite Hadamard đưa cách độc lập cung cấp tương đương với tính chất lồi Bất đẳng thức cho sau: cho J tập số thực R, f : J → R hàm lồi xác định J a, b ∈ J với a < b, bất đẳng thức Z b a + b f (a) + f (b) f f (x)dx ≤ ≤ b−a a (HH1) gọi bất đẳng thức Hermite – Hadamard cho hàm lồi f Hầu hết bất đẳng thức tiếng liên quan đến giá trị trung bình tích phân hàm lồi f dạng bất đẳng thức Hermite – Hadamard số biến thể bất đẳng thức Dạng tương đương bất đẳng thức (HH1) (b − a)f  a+b  ≤ Zb a f (x)dx ≤ (b − a) f (a) + f (b) (HH2) Nếu f hàm lõm, bất đẳng thức (HH1) hay (HH2) đảo chiều Bất đẳng thức Hermite – Hadamard đưa ước lượng ước lượng cho giá trị trung bình tích phân hàm lồi xác định khoảng đóng Một số hàm lồi đặc biệt sử dụng bất đẳng thức (HH1) để thu bất đẳng thức cổ điển giá trị trung bình Do tầm quan trọng bất đẳng thức này, năm gần nhiều phiên khác bất đẳng thức Hermite – Hadamard mở rộng cho lớp hàm lồi khác Mục tiêu đề tài luận văn trình bày nghiên cứu [4] số tài liệu liên quan dạng bất đẳng thức Hermite – Hadamard cho lớp hàm GA-lồi Lớp hàm định nghĩa sau: cho J ⊂ (0; +∞) Hàm số thực f : J → R thỏa mãn
f x1−λ y λ ≤ (1 − λ)f (x) + λf (y) (GA) với x, y ∈ J λ ∈ [0; 1] gọi hàm GA-lồi J Nội dung luận văn trình bày hai chương Chương giới thiệu hàm lồi, hàm GA-lồi, bất đẳng thức Hermite – Hadamard cho hàm lồi hàm GA-lồi Chương trình bày số bất đẳng thức dạng Hermite – Hadamard cho hàm GA-lồi Phần cuối chương vài áp dụng đánh giá số giá trị trung bình đặc biệt Chương Hàm lồi hàm GA-lồi Chương giới thiệu hàm lồi, hàm GA-lồi, bất đẳng thức Hermite – Hadamard cho hàm lồi hàm GA-lồi Nội dung chương viết sở tổng hợp kiến thức từ [1, 2, 4, 6] 1.1 1.1.1 Hàm lồi Hàm GA-lồi Hàm lồi Mục trình bày số kiến thức hàm lồi không gian Rn Khi n = ta có hàm lồi biến Cho hai điểm y, z ∈ Rn Tập tất điểm x = (1 − λ)y + λz với ≤ λ ≤ gọi đoạn thẳng (đóng) nối y z, ký hiệu [y, z] Định nghĩa 1.1 (xem [1]) Tập J ⊆ Rn gọi tập lồi với λ ∈ [0; 1] y, z ∈ J xλ := λy + (1 − λ)z ∈ J Như vậy, tập lồi J chứa đoạn thẳng nối hai điểm 10 Định nghĩa 1.2 (xem [1]) Cho J tập lồi, khác rỗng không gian Rn , f : J → R hàm số thực xác định tập lồi J Hàm f gọi hàm lồi J với x, y ∈ J số thực λ ∈ [0; 1], ta có f [λx + (1 − λ)y] ≤ λf (x) + (1 − λ)f (y) (1.1) Hàm f gọi hàm lõm J hàm (−f ) hàm lồi J Định nghĩa 1.3 Cho tập J ⊂ Rn hàm f : J → R (a) Tập domf := {x ∈ J | f (x) < +∞} gọi miền hữu hiệu hàm f (b) Tập epif := {(x, y) ∈ J × R | f (x) ≤ y} gọi đồ thị hàm f Hiển nhiên, hàm f lồi đồ thị tập lồi Rn+1 Ví dụ 1.1 Các hàm sau hàm lồi: (a) Hàm f : R → R xác định f (x) := ax + b với a, b ∈ R (b) Hàm g : R → R+ xác định g(x) := eax với a ∈ R (c) Hàm chuẩn k.k : Rn → R+ xác định kxk = n X i=1 |xi |2 ! 21 với x = (x1 , , x2 ) ∈ Rn 11 Mệnh đề cho ta cách nhận biết hàm lồi Rn Mệnh đề 1.1 (xem [2]) Cho J tập lồi, mở Rn hàm f : J → R khả vi J Điều kiện cần đủ để f lồi J f (x) + h∇f (x), y − xi ≤ f (y) ∀x, y ∈ J Trong trường hợp hàm f khả vi hai lần J, điều kiện cần đủ để f lồi J ma trận Hessian xác định không âm với x = (x1 , x2 , , xn ) ∈ J Ta mở rộng bất đẳng thức nêu Định nghĩa 1.2 thành ! m m X X λi x i ≤ λi f (xi ) f i=1 (1.2) i=1 với xi ∈ J, λi ∈ [0; 1], i = 1, , m thỏa mãn (1.2) gọi bất đẳng thức Jensen Pm i=1 λi = Bất đẳng thức Ví dụ 1.2 Xét hàm số f : (0; 1) → R xác định f (x) = √ x 1−x Dễ thấy f ′′ (x) ≥ với x ∈ (0; 1), nên theo Mệnh đề 1.1, hàm f hàm lồi (0; 1) Áp dụng bất đẳng thức (1.2) cho hàm lồi (0; 1) ta nhận f  a+b+c+d+e  ≤ [f (a) + f (b) + f (c) + f (d) + f (e)] , đây, a, b, c, d, e ∈ (0; 1) thỏa mãn a + b + c + d + e = Khi đó, nhận bất đẳng thức chương trình tốn phổ thơng √ c e b d a √ +√ +√ +√ +√ ≥ 1−a 1−c 1−e 1−b 1−d f (a) + f (b) f (x)dx ≤ − (1.10) b−a a 16 Định lý 1.4 (xem [7]) Cho f : I ◦ ⊂ R → R ánh xạ khả vi I ◦ a, b ∈ I ◦ với a < b p > Nếu hàm |f ′ |q lồi [a, b] bất đẳng thức sau thỏa mãn Z b f (a) + f (b) (b − a) h |f ′ (a)|q + |f ′ (b)|q i1/q f (x)dx ≤ − ,