(LUẬN văn THẠC sĩ) một số bất đẳng thức cho p chuẩn và ứng dụng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN NGUYỄN THỊ ÁNH NGỌC MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC CHO p-CHUẨN VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Bình Định - Năm 2021 download by : skknchat@gmail.com BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN NGUYỄN THỊ ÁNH NGỌC MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC CHO p-CHUẨN VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành: PP Toán sơ câp Mã số: 8460113 Người hướng dẫn: TS Lâm Thị Thanh Tâm Bình Định - Năm 2021 download by : skknchat@gmail.com LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan nội dung trình bày trung thực khơng trùng lặp với đề tài khác Tôi xin cam đoan kết nêu luận văn tài liệu tham khảo nội dung trích dẫn đảm bảo tính trung thực, xác Bình Định, tháng 07 năm 2021 Tác giả Nguyễn Thị Ánh Ngọc download by : skknchat@gmail.com LỜI CẢM ƠN Luận văn thực hoàn thành Trường Đại học Quy Nhơn hướng dẫn TS.Lâm Thị Thanh Tâm Qua muốn dành lời cảm ơn chân thành sâu sắc đến Cô người giúp đỡ hướng dẫn suốt q trình thực đề tài luận văn Cơ người định hướng, tạo điều kiện thuận lợi cho nhận xét quý báu để tơi hồn thành luận văn với hiệu cao Tôi xin phép gửi lời cảm ơn chân thành đến quý thầy cô giảng dạy lớp Cao học Phương pháp tốn sơ cấp khóa 22 trường Đại học Quy Nhơn toàn thể q thầy Khoa Tốn - Thống kê trường Đại học Quy Nhơn, người cho kiến thức, quan tâm, động viên, nhiệt tình giúp đỡ tơi suốt trình học tập thời gian thực đề tài Cuối xin phép gửi lời cảm ơn đến gia đình người bạn quan tâm, giúp đỡ động viên suốt quãng đường học tập vừa qua Mặc dù chúng tơi cố gắng học hỏi, tìm tịi nghiên cứu q trình hồn thành luận văn, hạn chế thời gian trình độ nên luận văn khơng tránh khỏi thiếu sót Rất mong nhận góp ý quý thầy bạn đọc để luận văn hồn thiện download by : skknchat@gmail.com Mục lục MỞ ĐẦU 1 Kiến thức chuẩn bị 1.1 Hàm lồi 1.2 Một số bất đẳng thức Bất đẳng thức cho p-chuẩn áp dụng 2.1 2.2 Khái niệm chuẩn 10 10 Các bổ đề định lý liên quan 11 Một số dạng mở rộng bất đẳng thức liên quan đến p-chuẩn ứng dụng 3.1 28 Một số dạng mở rộng bất đẳng thức liên quan đến p-chuẩn 28 3.2 Một số ứng dụng 42 Kết luận 48 Tài liệu tham khảo 49 download by : skknchat@gmail.com MỞ ĐẦU Từ xưa đến nay, bất đẳng thức vấn đề khó, đa dạng, hấp dẫn thu hút quan tâm đông đảo người giảng dạy Tốn từ bậc phổ thơng đến đại học nhà nghiên cứu Toán Hiện nay, lý thuyết bất đẳng thức lý thuyết toán học đồ sộ, phát triển rộng vÉ� (ax + by + cz) + (ay + bz + cx) + (az + bx + cy) − (a + b + c)(x + y + z) = (3.32) Nếu ≥ (a + b + c)(x + y + z) − 3(ax + by + cz) bất đẳng thức (3.31) hiển nhiên đúng, ta xét trường hợp: (a + b + c)(x + y + z) − 3(ax + by + cz) ≥ Bình phương hai vế (3.31) áp dụng bất đẳng thức Aczél-Bjeclica λ = 2 (V T ) = 3(a2 + b2 + c2 ) 3(x2 + y2 + z2) − (a + b + c)(x + y + z) ≥ 3(a2 + b2 + c2 ) − (a + b + c)2 3(x2 + y + z ) − (x + y + z)2 = (a − b)2 + (b − c)2 + (c − a)2 (x − y)2 + (y − z)2 + (z − x)2 ≥ (a − b)(x − y) + (b − c)(y − z) + (c − a)(z − x) = (a + b + c)(x + y + z) − 3(ax + by + cz) 2 = (V P )2 Vậy bất đẳng thức đề cho chứng minh hồn tồn Bài tốn 3.2.2 Cho hai tam giác ABC XY Z với a, b, c x, y, z lần download by : skknchat@gmail.com 44 lượt độ dài ba cạnh tam giác ABC XY Z Chứng minh (z + y − x2 )a2 + (x2 + z − y )b2 + (x2 + y − z )c2 ≥ 16SABC SXY Z (3.33) Chứng minh Ta có đẳng thức 4SABC = (a + b + c)(a + b − c)(a + c − b)(b + c − a) = 2a2 b2 + 2b2 c2 + 2c2 a2 − a4 − b4 − c4 = (a2 + b2 + c2 )2 − 2(a4 + b4 + c4 ); 4SXY Z = (x + y + z)(x + y − z)(x + z − y)(y + z − x) = 2x2 y + 2y z + 2z x2 − x4 − y − z = (x2 + y + z )2 − 2(x4 + y + z ) Khi bất đẳng thức cần chứng minh (3.33) trở thành (a2 + b2 + c2 )2 − 2(a4 + b4 + c4 ) (x2 + y + z )2 − 2(x4 + y + z ) ≤ (z + y − x2 )a2 + (x2 + z − y )b2 + (x2 + y − z )c2 (3.34) Theo bất đẳng thức Aczél-Bjeclica λ = (V T )3.34 ≤ (a2 + b2 + c2 )(x2 + y + z ) − (x4 + y + z )(a4 + b4 + c4 ) Ta cần chứng minh (a2 + b2 + c2 )(x2 + y + z ) − (x4 + y + z )(a4 + b4 + c4 ) ≤ (z + y − x2 )a2 + (x2 + z − y )b2 + (x2 + y − z )c2 ⇔ 2(a2 x2 + b2 y + c2 z ) ≤ (x4 + y + z )(a4 + b4 + c4 ) Tuy nhiên bất đẳng thức với bất đẳng tức Cauchy-Schwarz Vậy ta có điều phải chứng minh download by : skknchat@gmail.com 45 Bài toán 3.2.3 Cho a, b số thực thỏa mãn < (a + 1)(b − 1) ≤ Tìm giá trị nhỏ biểu thức (3ab + a − b − 3)2 P = (a − 1)(b − 1) − 22 2 Chứng minh Ta có (a2 − 1)(b2 − 1) = (ab − 1)2 − (a − b)2 Áp dụng bất đẳng thức Aczél-Bjeclica λ = (ab − 1)2 − (a − b)2 (62 − 22 ) ≤ (6ab − − 2a + 2b)2 (6ab − − 2a + 2b)2 ⇔(ab − 1) − (a − b) ≤ 32 (3ab + a − b − 3)2 (6ab − − 2a + 2b) − P ≤ 32 22 6ab − − 2a + 2b 3ab + a − b − √ √ ⇔10P ≤ 32 22 2 √ 32 √ − 22 Tiếp tục áp dụng bất đẳng thức Aczél-Bjeclica λ = ta có 6ab − − 2a + 2b √ 32 3ab + a − b − √ 22 √ 32 − √ 22 ≤ (6ab − − 2a + 2b − 3ab − a + b + 3)2 = 3(a + 1)(b − 1) = 18 a = 1, b = a = −1, b = −2 a = 0, b = a = 3, b = Vậy GT LN = Bài toán 3.2.4 Cho a, b, c, d số thực dương cho a > b, c > d Chứng minh √ √ √ √ 3 2[( a − b)( c − d)]3 ≤ a2 + c2 − 2bd Chứng minh Ta có √ √ √ √ a2 + c2 3 3 (3.35) ⇔ [( a − b)( c − d)] ≤ − bd download by : skknchat@gmail.com (3.35) 46 Với a, b, c, d số thực dương theo bất đẳng thức AM-GM, ta có a2 + c2 − bd ≥ ac − bd Khi ta cần chứng minh √ √ √ √ 3 [( a − b)( c − d)]3 ≤ ac − bd ⇔ a −b 3 c −d 3 ≤ ac − bd 1 1 Thật vậy, với < λ = ≤ a − b > 0, c − d > (vì a > b, c > d > 0) Như vậy, áp dụng bất đẳng thức Aczél-Bjeclica λ = , ta có 1 a3 − b3 1 c3 − d3 ≤ ab − cd Suy điều phải chứng minh Bài toán 3.2.5 Cho a, b, c, d số thực dương cho a < b, c < d Chứng minh abcd ≥ ac − bd (b2 − a2 )(d2 − c2 ) Chứng minh Ta có abcd ab cd √ =√ = b2 − a2 d2 − c2 (b2 − a2 )(d2 − c2 ) = b − a2 a2 b2 − 12 d2 − c2 c2 d2 − 21 = 1 − a2 b2 − 12 a2 b2 b − a2 1 − c2 d2 c2 d2 d2 − a2 − 21 = (a−2 − b−2 )− (c−2 − d−2 )− Thật vậy, với λ = −2 < a−2 − b−2 > 0, c−2 − d−2 > (vì a < b, c < d −2 < 0) download by : skknchat@gmail.com 47 Như vậy, áp dụng bất đẳng thức Aczél-Bjeclica đảo ngược λ = −2, ta có 1 (a−2 − b−2 )− (c−2 − d−2 )− ≥ ac − db Vậy suy abcd ≥ ac − bd (b2 − a2 )(d2 − c2 ) download by : skknchat@gmail.com ...h bày số định lý bổ đề để bổ trợ cho chứng minh Trình bày chi tiết kết số bất đẳng thức cho p- chuẩn ? ?p dụng Trình bày chi tiết số kết dạng mở rộng liên quan đến bất đẳng cho p- chuẩn ứng dụng liê...BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN NGUYỄN THỊ ÁNH NGỌC MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC CHO p- CHUẨN VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành: PP Toán sơ c? ?p Mã số: 8460113 Người hướng dẫn: TS... p- chuẩn ? ?p dụng 2.1 2.2 Khái niệm chuẩn 10 10 Các bổ đề định lý liên quan 11 Một số dạng mở rộng bất đẳng thức liên quan đến p- chuẩn ứng dụng 3.1 28 Một số dạng