Về nghiệm của một số phương trình diophante khi p,p + a là một số nguyên tố và a= 8,9,10

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC  - VŨ THẾ HẬU LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2023 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC  - VŨ THẾ HẬU Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp Mã số: 8 46 01 13 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC CÁN BỘ HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS Phạm Hồng Nam TS Trần Đức Dũng THÁI NGUYÊN - 2023 i Mục lục Lời cảm ơn 1 Mở đầu 2 1 Một số kiến thức chuẩn bị 4 1.1 Vành các số nguyên 4 1.1.1 Phép chia với dư 4 1.1.2 Iđêan và vành thương 5 1.1.3 Iđêan nguyên tố trong vành giao hoán 7 1.2 Miền nhân tử hóa 9 1.2.1 Phần tử nguyên tố 10 1.2.2 Miền nhân tử hóa 12 1.2.3 Vành đa thức nhiều biến 15 1.3 Phương trình đồng dư 17 1.3.1 Đồng dư thức 17 1.3.2 Một số đồng dư đặc biệt 18 2 Về nghiệm của một số phương trình Diophantine px + (p + A)y = z2 khi p, p + A là các số nguyên tố và A = 9, 10, 18 21 2.1 Phương trình Diophantine 2x + 11y = z2 21 2.2 Phương trình Diophantine 19x + 29y = z2 và 31x + 41y = z2 26 2.3 Phương trình Diophantine 439x + 457y = z2 31 Kết luận 33 Tài liệu tham khảo 34 1 Lời cảm ơn Trước hết, tôi xin gửi lời biết ơn chân thành đến TS Phạm Hồng Nam đã hướng dẫn tôi hoàn thành bản luận văn này Khi bắt đầu nhận đề tài thực sự tôi cảm nhận đề tài mang nhiều nội dung mới mẻ Hơn nữa với vốn kiến thức ít ỏi cùng với kinh nghiệm làm đề tài không nhiều nên tôi chưa thực sự tự tin để tiếp cận đề tài Mặc dù rất bận rộn trong công việc nhưng Thầy vẫn dành nhiều thời gian và tâm huyết trong việc hướng dẫn, động viên khuyến khích tôi trong suốt thời gian tôi thực hiện đề tài Trong quá trình tiếp cận đề tài đến quá trình hoàn thiện luận văn Thầy luôn tận tình chỉ bảo và tạo điều kiện tốt nhất cho tôi hoàn thành luận văn Cho đến bây giờ luận văn thạc sĩ của tôi đã được hoàn thành, xin cảm ơn Thầy đã đôn đốc nhắc nhở tôi Tôi xin trân trọng cảm ơn Ban Giám hiệu, Khoa Toán - Tin và Phòng Đào tạo của trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên Tôi xin trân trọng cảm ơn các Thầy, Cô đã tận tình truyền đạt những kiến thức quý báu cũng như tạo mọi điều kiện thuận lợi nhất để tôi hoàn thành luận văn này Cuối cùng, tôi xin chân thành bày tỏ lòng biết ơn đến gia đình, bạn bè, những người không ngừng động viên, hỗ trợ tạo mọi điều kiện tốt nhất cho tôi trong suốt quá trình học tập và thực hiện luận văn Thái Nguyên, tháng 5 năm 2023 Tác giả Vũ Thế Hậu 2 Mở đầu Khoảng trống nguyên tố là hiệu giữa hai số nguyên tố liên tiếp Nhiều kết quả nghiên cứu về phương trình Diophantine được viết dựa trên những khoảng trống nguyên tố, một phần trong số đó được nghiên cứu trong các tài liệu Năm 1849, A de Polignac phỏng đoán rằng với mọi số nguyên dương k, có vô hạn số nguyên tố p sao cho p + 2k cũng là số nguyên tố Nhiều câu hỏi và giả thiết về vấn đề trên vẫn chưa được giải đáp Khoảng trống nguyên tố đã được sử dụng để nghiên cứu các phương trình Diophantine có dạng px + qy = z2 với p, q là các số nguyên tố Một mở rộng của phương trình này có dạng px + (p + A)y = z2 với A là một số nguyên, ở đây p + A có thể không cần là số nguyên tố Đã có nhiều kết quả nghiên cứu về phương trình này được công bố Gần đây, các tác giả Nechemia Burshtein, Satish Kumar và các cộng sự đã đưa ra một số kết quả thú vị về nghiệm của các phương trình Diophantine px + (p + A)y = z2 khi p, p + A là các số nguyên tố Luận văn tập trung trình bày một số kết quả về nghiệm của các phương trình Diophante px + (p + A)y = z2 khi p là số nguyên tố và A = 9, 10, 18 trong các tài liệu [4, 5, 6] Luận văn gồm có 2 chương gồm những nội dung sau Trong Chương 1, chúng tôi trình bày một số kiến thức chuẩn bị dùng để chứng minh cho các kết quả ở Chương 2 Các kết quả trong chương này được viết theo tài liệu [1, 2, 3] Trong Chương 2 của luận văn, chúng tôi trình bày một số kết quả về nghiệm của các phương trình Diophantine px + (p + a)y = z2 khi p là các 3 số nguyên tố và A = 9, 10, 18 Nội dung chính của chương này được tham khảo chủ yếu từ các tài liệu [4, 5, 6] 4 Chương 1 Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 Vành các số nguyên 1.1.1 Phép chia với dư Trước tiên ta nhắc lại khái niệm vành giao hoán Định nghĩa 1.1.1 Một tập hợp R cùng với hai phép toán hai ngôi, một là phép cộng và một là phép nhân được gọi là vành nếu các điều kiện sau được thỏa mãn: (i) Tập hợp R là một nhóm Abel đối với phép cộng (ii) Phép nhân trên R là kết hợp, nghĩa là (xy)z = x(yz) với mọi x, y, z ∈ R (iii) Phép nhân là phân phối đối với phép cộng, nghĩa là với mọi x, y, z ∈ R, ta luôn có (x + y)z = xz + yz và z(x + y) = zx + zy (iv) Tồn tại phần tử 1R sao cho 1Rx = x1R = x, với mọi x ∈ R Thông thường ta luôn kí hiệu 1 cho phần tử đơn vị và 0 cho phần tử không của R Định nghĩa 1.1.2 Một vành R được gọi là vành giao hoán nếu xy = yx, với mọi x, y ∈ R 5 Mệnh đề 1.1.3 Z là vành giao hoán với phép cộng và nhân các số nguyên và được gọi là vành các số nguyên Một trong những tính chất quan trọng và có nhiều ứng dụng của vành các số nguyên là định lý phép chia với dư Định lý 1.1.4 Cho a, b là các số nguyên tùy ý sao cho b = 0 Khi đó tồn tại duy nhất các số nguyên q, r sao cho a = bq + r, với 0 ≤ r < |b| 1.1.2 Iđêan và vành thương Trước tiên ta nhắc lại các khái niệm iđêan trái, iđêan phải và iđêan Định nghĩa 1.1.5 Cho R là một vành và I là một nhóm con của R đối với phép cộng (i) I được gọi là một iđêan trái của R nếu RI ⊆ I, nghĩa là xa ∈ I với mọi x ∈ R và a ∈ I (ii) I được gọi là một iđêan phải của R nếu IR ⊆ I, nghĩa là ax ∈ I với mọi x ∈ R và a ∈ I (iii) I được gọi là một iđêan của R nếu I vừa là iđêan trái vừa là iđêan phải Ví dụ 1.1.6 Cho R là một vành và a là một phần tử của R Khi đó các phát biểu sau là đúng (i) {0} và R luôn là iđêan của R (ii) Tập hợp aR = {ax | x ∈ R} là một iđêan phải của R (iii) Tập hợp Ra = {xa | x ∈ R} là một iđêan trái của R Chú ý 1.1.7 Nếu R là một vành giao hoán thì ta có ax = xa với mọi a, x ∈ R Do đó khái niệm iđêan trái và iđêan phải là trùng nhau Mệnh đề 1.1.8 Tất cả các iđêan của vành các số nguyên Z có dạng I = {mx | x ∈ Z} với m là một số nguyên dương nào đó 6 Chứng minh Cho I là một iđêan tùy ý của Z Nếu I = {0} thì I iđêan sinh bởi phần tử 0 Nếu I = {0} thì tồn tại 0 = a ∈ I Vì I là iđêan nên −a ∈ I Do a = 0 nên hoặc a là số nguyên dương hoặc −a là số nguyên dương Gọi b là số nguyên dương nhỏ nhất sao cho b ∈ I Khi đó ta có bZ ⊆ I Ta sẽ chỉ ra I = bZ Thật vậy, cho x là phần tử tùy ý của I Theo Định lý phép chia với dư, tồn tại duy nhất các số nguyên q, r sao cho x = bq + r, với 0 ≤ r < b Suy ra r = x − bq ∈ I Do tính nhỏ nhất của b ta suy ra r = 0 hay x = bq Do đó I = bZ Cho I là một iđêan của một vành R Vì I là nhóm con chuẩn tắc của nhóm của R đối với phép cộng, nên R/I = {x+I | x ∈ R} là nhóm thương với phép cộng các lớp ghép cho bởi (x + I) + (y + I) = (x + y) + I Trên R/I ta xét một quy tắc nhân như sau: với mỗi x + I, y + I ∈ R/I đặt (x + I)(y + I) := xy + I Khi đó ta có định lý sau Định lý 1.1.9 Cho I là một iđêan thực sự của một vành R, nghĩa là I = R Khi đó R/I là một vành với phép nhân được định nghĩa như sau: (x + I)(y + I) = xy + I, ∀x, y ∈ R Chứng minh Trước hết ta chứng minh phép nhân được xác định như trên là có nghĩa, tức là nó không phụ thuộc vào cách chọn đại diện của lớp ghép Cụ thể, cho a + I = x + I và b + I = y + I, ta cần chỉ ra ab + I = xy + I Thật vậy, theo giả thiết ta có a − x, b − y ∈ I Do đó tồn tại c, d ∈ I sao cho a = x + c và b = y + d Do tính chất phân phối của phép nhân trong R, ta có ab = (x + c)(y + d) = xy + xd + cy + cd, hay ab − xy = xd + cy + cd Rõ ràng xd + cy + cd ∈ I vì I là một iđêan Từ đây suy ra ab − xy ∈ I 7 Dễ thấy lớp ghép 1 + I là phần tử đơn vị đối với phép nhân Việc chứng minh phép nhân định nghĩa như trên có tính chất kết hợp và phân phối với phép cộng các lớp ghép của R/I là dễ dàng dựa vào định nghĩa của các phép toán và tính chất kết hợp, tính phân phối của phép nhân đối với phép cộng trong vành R Vậy R/I là một vành Định nghĩa 1.1.10 Vành R/I xác định như trên được gọi là vành thương của R đối với iđêan I 1.1.3 Iđêan nguyên tố trong vành giao hoán Từ bây giờ ta luôn xét vành R là giao hoán Định nghĩa 1.1.11 Cho I là một iđêan của một vành giao hoán R (i) I được gọi là iđêan nguyên tố nếu I = R và xy ∈ I thì hoặc x ∈ I hoặc y ∈ I (ii) I được gọi là iđêan tối đại nếu tồn tại iđêan J = I chứa I thì J = R Định nghĩa 1.1.12 (i) Một vành giao hoán R được gọi là một miền nguyên nếu ab = 0 thì kéo theo hoặc a = 0 hoặc b = 0 (ii) Một vành giao hoán R được gọi là một trường nếu mọi phần tử khác khôn đều có nghịch đảo, nghĩa là nếu a = 0 thì tồn tại b ∈ R sao cho ab = 1 Chú ý 1.1.13 Một trường thì luôn là một miền nguyên Điều ngược lại là không đúng Tuy nhiên nếu R là một miền nguyên hữu hạn thì R là một trường Thật vậy, giả sử D = {x1, , xn} là một miền nguyên hữu hạn Với mỗi 0 = xi ∈ D ta sẽ chỉ ra xiD = {xixj| xj ∈ D} = D Giả sử xixj = xixt, nghĩa là xi(xj − xt) = 0 Do D là miền nguyên và xi = 0 nên xj − xt = 0 hay xt = xj Do đó xiD có n phần tử phân biệt, hay xiD = D Suy ra 1 ∈ xiD, nghĩa là tồn tại xj ∈ D sao cho 1 = xixj Vậy D là một trường Ví dụ 1.1.14 (i) Z, Q, R, C đều là các miền nguyên