Đang tải... (xem toàn văn)
Trang 1 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOTRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠNBÙI VĂN HỒIMỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH DIOPHANTINE CỔ ĐIỂNVÀ ỨNG DỤNG Trang 2 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOTRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠNBÙI VĂN HOÀI Tra
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN BÙI VĂN HOÀI MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH DIOPHANTINE CỔ ĐIỂN VÀ ỨNG DỤNG ĐỀ ÁN THẠC SĨ TOÁN HỌC Bình Định - Năm 2023 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN BÙI VĂN HOÀI MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH DIOPHANTINE CỔ ĐIỂN VÀ ỨNG DỤNG NGÀNH: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP MÃ SỐ: 8460113 Người hướng dẫn: TS Trương Thị Thanh Phượng Lời cam đoan Tôi xin cam đoan đề án về đề tài “Một số phương trình Diophantine cổ điển và ứng dụng” là công trình nghiên cứu cá nhân của tôi dưới sự hướng dẫn của thầy TS Trương Thị Thanh Phượng Mọi số liệu sử dụng phân tích trong đề án và kết quả nghiên cứu là do tôi tự tìm hiểu, phân tích một cách khách quan, trung thực, có nguồn gốc rõ ràng Tôi xin hoàn toàn chịu trách nhiệm về lời cam đoan này i Lời cảm ơn Để hoàn thành được đề án này, tôi xin gửi lời cảm ơn đến Ban giám hiệu Trường Đại học Quy Nhơn, Phòng Đào tạo Sau Đại học, Khoa Toán và Thống kê trường Đại học Quy Nhơn, cùng quý thầy cô giáo giảng dạy lớp cao học Phương pháp Toán sơ cấp khóa 24 đã dày công giảng dạy trong suốt khóa học, tạo điều kiện thuận lợi cho tôi trong quá trình học tập và thực hiện đề án Tôi xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới TS Trương Thị Thanh Phượng đã dành thời gian hướng dẫn, đánh giá, chỉ bảo, tận tình giúp đỡ trong quá trình xây dựng đề tài cũng như hoàn thiện đề án Nhân đây tôi cũng xin chân thành cảm ơn sự hỗ trợ về mặt tinh thần của gia đình, bạn bè đã luôn tạo mọi điều kiện giúp đỡ để tôi hoàn thành tốt khóa học và đề án Mặc dù đề án được thực hiện với sự nỗ lực cố gắng hết sức của bản thân, nhưng do điều kiện thời gian có hạn, trình độ kiến thức và kinh nghiệm nghiên cứu còn hạn chế nên đề án khó tránh khỏi những thiếu sót Tôi rất mong nhận được những góp ý của quý thầy cô giáo để đề án được hoàn thiện hơn Bình Định, ngày tháng năm 2023 Học viên Bùi Văn Hoài ii Mục lục Mục lục ii 1 Kiến thức chuẩn bị 3 1.1 Quan hệ chia hết trên tập hợp các số nguyên 3 1.2 Quan hệ đồng dư trên tập hợp các số nguyên 5 1.3 Liên phân số 6 1.4 Dạng toàn phương 8 1.4.1 Các khái niệm liên quan 8 1.4.2 Biểu diễn số nguyên theo dạng toàn phương 9 2 Một số phương trình Diophantine cổ điển 11 2.1 Phương trình Diophantine tuyến tính 11 2.2 Phương trình Pythagore 17 2.3 Một số phương trình đặc biệt 25 2.3.1 Một số phương trình Diophantine bậc hai và liên quan 25 2.3.2 Một số phương trình Diophantine bậc cao 34 3 Một số phương pháp giải phương trình Diophantine 40 3.1 Phương pháp phân tích thành nhân tử 40 3.2 Phương pháp bất đẳng thức 45 3.3 Phương pháp tham số hoá 49 3.4 Phương pháp mô đun số học 54 iii 3.5 Phương pháp quy nạp toán học 57 3.6 Phương pháp suy giảm vô hạn của Fermat (FMID) 64 4 Một số ứng dụng giải phương trình Diophantine 71 4.1 Ứng dụng phương trình Diophantine để giải các bài toán hoá học 71 4.1.1 Cân bằng phương trình hoá học 71 4.1.2 Tìm công thức phân tử 76 4.2 Ứng dụng phương trình Diophantine để giải các bài toán trong lĩnh vực giao thông 77 iv Danh sách kí hiệu Tronng luận văn này, chúng tôi sử dụng một số kí hiệu sau đây a| b a là ước của b pa, bq Ước chung lớn nhất của a và b gcdpa, bq Ước chung lớn nhất của a và b v Danh sách hình 4.1 Hình 1 77 4.2 Hình 2 78 vi Mở đầu Từ "Diophantine" trong phương trình Diophantine xuất phát từ tên của nhà toán học người Hy Lạp trong thế kỷ thứ 3 sau Công nguyên là Diophantus Những nghiên cứu hiện nay về các bài toán Diophantine mà nhà toán học Diophantus đã khởi xướng được gọi là phân tích Diophantine Phương trình Diophantine là phương trình đại số với hệ số nguyên và số ẩn thường nhiều hơn số phương trình Liên quan đến phương trình Diophantine, có ba câu hỏi cơ bản được đặt ra Một là, phương trình có giải được hay không, có nghĩa là phương trình có một nghiệm hay nhiều hơn một nghiệm hay không Hai là, nếu phương trình giải được thì số nghiệm của phương trình là hữu hạn hay vô hạn Ba là, nếu phương trình giải được thì hãy xác định tập tất cả các nghiệm của phương trình Phương trình Diophantine được tiếp tục nghiên cứu bởi các nhà toán học Trung Quốc vào thế kỷ thứ 3, các nhà toán học Ả Rập trong khoảng thế kỷ thứ 8 và thế kỷ thứ 12, và sau đó được nghiên cứu bởi các nhà toán học Fermat, Euler, Lagrange, Gauss và các nhà khoa học khác Chủ đề này hiện nay vẫn được các nhà khoa học nghiên cứu bởi tầm quan trọng của nó trong toán học đương đại Nhằm hiểu sâu hơn và hệ thống những kiến thức cơ bản về phương trình Diophantine cũng như những ứng dụng của chúng trong các vấn đề thực tiễn, phù hợp với mục tiêu của chương trình phổ thông 2018 hiện hành, tôi chọn đề tài “Một số phương trình Diophantine cổ điển và ứng dụng” cho luận văn thạc sĩ của mình Ngoài các phần Mở đầu, Kết luận và Tài liệu tham khảo thì nội dung chính của đề án được trình bày trong 4 chương Chương 1: Kiến thức chuẩn bị Chương này trình bày một số kiến thức cơ bản được sử dụng trong các chương sau của luận văn, bao gồm: Quan hệ chia hết trên tập các số nguyên; Quan hệ đồng dư trên tập hợp các số nguyên; Liên phân số, dạng toàn phương Chương 2: Một số phương trình Diophantine cổ điển 1 Trong chương này tôi trình bày một số phương trình Diophantine cổ điển bao gồm: phương trình Diophantine tuyến tính; phương trình Pythagore và một số phương trình đặc biệt Chương 3: Một số phương pháp giải phương trình Diophantine Trong chương này tôi trình bày một số phương pháp giải phương trình Diophantine và một số ví dụ áp dụng bao gồm:phương pháp phân tích thành nhân tử; phương pháp bất đẳng thức; phương pháp tham số hoá; phương pháp mô đun số học; phương pháp quy nạp toán học; phương pháp FMIDY Chương 4: Một số ứng dụng trong thực tiễn Chương này dành cho việc trình bày một số ứng dụng trong thực tiễn như: hoá học, giao thông 2