Lý thuyết mẫu và ước lượng tham số của biến ngẫu nhiên

Trang 1 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOTRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHIỆP HÀ NỘI---o0o---BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN MÔN XÁC SUẤT THỐNG KÊ Trang 2 MỤC LỤCMỤC LỤCCHƯƠNG 1: BIẾN CỐ VÀ XÁC SUẤT1.1 Giải tích tổ hợp

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHIỆP HÀ NỘI

-o0o -BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN MÔN XÁC SUẤT THỐNG KÊ

Giáo viên hướng dẫn: Trần Thị Hằng

Lớp: 20221BS6008005 Nhóm thực hiện: Nhóm 02

2 Nguyễn Hữu Dũng

3 Nguyễn Thanh Hà

4 Đào Minh Hiếu

MỤC LỤC MỤC LỤC

CHƯƠNG 1: BIẾN CỐ VÀ XÁC SUẤT

1.1 Giải tích tổ hợp và đại cương về xác suất

1.2 Công thức cộng, công thức nhân xác suất

1.3 Công thức xác suất đầy đủ và công thức BAYES

1.4 Dãy thử Bernoulli, số lần xuất hiện có khả năng nhất:

CHƯƠNG 2: ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN VÀ QUY LUẬT PHÂN BỐ XÁC SUẤT

2.1 Đại lượng ngẫu nhiên

2.2 Hàm phân phối xác suất

2.3 Các đặc trưng của đại lượng ngẫu nhiên

2.4 Một số phân phối xác suất thường gặp

CHƯƠNG 3 + 4 : LÝ THUYẾT MẪU VÀ ƯỚC LƯỢNG THAM SỐ CỦA BIẾN NGẪU NHIÊN

CHƯƠNG 5: KIỂM ĐỊNH GIẢ THIẾT THỐNG KÊ

CHƯƠNG 1: BIẾN CỐ VÀ XÁC SUẤT1.1 Giải tích tổ hợp và đại cương về xác suất

Bài 1 (Trịnh Huy Khôi)

Số điện thoại ở Hà Nội có 8 chữ số Một người chọn một số điện thoại một cách ngẫu nhiên Tìm xác suất để người ấy chọn được số điện thoại có chữ số đầu tiên là 7 và 8 chữ số là khác nhau

Bài giải:

- Số các số điện thoại khóa 8 chữ số được thành lập từ 10 chữ số là : = 108

- Gọi A là biến cố chọn được số điện thoại gồm 1 chữ số 7 là chữ số đầu tiên và 8 chữ

số là khác nhau chữ số 7 đầu tiên có một cách chọn, 7 chữ số còn lại khác nhau khác chữ số 7 có vậy:

P(A) =

Bài 2: (Nguyễn Thanh Hà)

Một hộp có 100 tấm thẻ như nhau được ghi các số từ 1 đến 100, Rút ngẫu nhiên hai thẻ rồi đặt theo thứ tự từ trái qua phải Tính xác suất để

a/ Rút được hai thẻ lập nên một số có hai chữ số

b/ Rút được hai thẻ lập nên một số chia hết cho 5

Bài giải

a/ Gọi A là biến cố rút được hai thẻ lập nên một số có hai chữ số

P(A) = 0,0073

b/ Gọi A là biến cố rút được hai thẻ lập nên một số chia hết cho 5

Số chia hết cho 5 tận cùng phải là 0 hoặc 5 Để có biến cố A thích hợp với ta rút thẻ thứ hai một cách tùy ý trong 20 thẻ mang các số 5;10;15;20;…;95;100, và rút 1 trong 99 thẻcòn lại đặt vào vị trí đầu Do đó số trường hợp thuận lợi cho A là 99.20

P(A) = = 0,2

Bài 3:(Nguyễn Thanh Hà)

Một hộp có chứa 7 quả cầu trắng và 3 quả cầu đen cùng kích thước Rút ngẫu nhiên cùng một lúc 4 quả cầu Tính xác suất để trong 4 quả cầu rút được có

a/ Hai quả cầu đen

P(B) = = c/ Gọi C là biến cố có toàn cầu trắng

P(C) = =

Bài 4: (Nguyễn Thanh Hà)

Từ một lớp có 8 nữ sinh viên và 12 nam sinh viên, người ta chọn ngẫu nhiên 5 sinh viên

P(B) = 1 - = c/ Gọi C là biến cố BCB có ít nhất 2 nam và hai nữ

P(C) = + =

Bài 5:(Hoàng Văn Ái)

Có bao nhiêu cách bố trí 9 khách lên một đoàn tàu có 3 toa để toa I có 2 người, toa II

có 3 người, toa III có 4 người

Bài giải:

Số cách để 2 người khách trong số 9 người khách lên toa I là:

Số cách để 3 người khách trong số 7 người còn lại lên toa II là

Số cách để 4 người còn lại lên toa III là:

Vậy ta có = 1260 (cách)

Bài 6:(Đào Minh Hiếu) Một hộp thuốc có 5 ống thuốc tốtt và 3 ống kém chất lượng Ch

ọn ngẫu nhiên lần lượt không trả lại 2 ống Tính xác suất để:

a/ Có hai ống được chọn đều tốt

b/ Chỉ ống được chọn ra đầu tiên là tốt

c/ Trong hai ống ít nhất một ống thuốc tốt

Bài giải:

Chọn ngẫu nhiên lần lượt không trả lại 2 trong 8 ống nên các trường hợp đồng kh

ả năng là

a/ A: “cả hai ống được chọn đều tốt” P(A) = = 0,357

b/ B: “chỉ ống được chọn ra đầu tiên là tốt” P(B) = = 0,268

c/ C: “trong hai ống ít nhất một ống thuốc tốt” P(A) = = 0,893

1.2 Công thức cộng, công thức nhân xác suất

Bài 7: (Trịnh Huy Khôi)

Hai công ty A và B cùng kinh doanh một loại mặt hàng Xác suất để công ty A kinh doanh thua lỗ là 0,3; xác suất để công ty B kinh doanh thua lỗ là 0,2 Trên thực tế xác suất để cả hai công ty kinh doanh cùng thua lỗ là 0,01 Tìm xác suất để có ít nhất một công ty kinh doanh thua lỗ

Bài giải:

Gọi :

A1 là “ biến cố công ty A kinh doanh thua lỗ”

A2 là “ biến cố công ty B kinh doanh thua lỗ”

A là “ biến cố có ít nhất một công ty kinh doanh thua lỗ”

Ta có : A = A1 + A2

 P(A) = P(A1 + A2) = P(A1) + P(A2) – P(A1A2)

= 0,2 + 0,3 – 0,01 = 0,49

Bài 8: (Trịnh Huy Khôi)

Một thiết bị gồm 4 bộ phận hoạt động độc lập với nhau Biết rằng xác suất để cường độ cạnh đó hoạt động tốt theo thứ tự lần lượt là 0,65; 0,7; 0,89; 0,8 Tìm xác suất để máy hoạt động tốt biết rằng khi máy hoạt động

- Gọi A là biến cố “ thiết bị hoạt động tốt “

- Gọi Ai là biến cố “ Bộ phận thứ i hoạt động tốt “ (i = 1, 2, 3, 4) khi đó {Ai } i = 1,4

độc lập với nhau

- Máy hoạt động tốt khi cả 4 bộ phận hoạt động tốt, khi đó

A = A1.A2.A3.A4

Ta có: P(A) = P(A1.A2.A3.A4) = P(A1).P(A2).P(A3).P(A4)

(do các bộ phận hoạt động độc lập với nhau)

P(A) = 0.65 0.7 0,89 0,8 = 0,32396

Bài 9: (Nguyễn Hữu Dũng)

Vụ hợp tác quốc tế của bộ có 25 nhân viên, trong đó có 16 người biết tiếng Anh, 14 người biết tiếng Pháp, 10 người biết tiếng Nga, có 10 người biết được cả Anh và Pháp,

5 người biết được cả Anh và Nga, 3 người biết Nga và Pháp và biết rằng không có ai biết được cả 3 thứ tiếng Cử 1 người đi công tác Tìm xác suất để người đó:

a Biết tiếng Anh hoặc Pháp

b Biết ít nhất một ngoại ngữ

c Chỉ biết được một ngoại ngữ.

Bài giải:

- Gọi:

A1 là biến cố “ Chọn được nv biết tiếng Anh ”

A2 là biến cố “ Chọn được nv biết tiếng Pháp ”

A3 là biến cố “ Chọn được nv biết tiếng Nga ”

Tổng: 25: Anh: 16; Pháp: 14; Nga: 10; A-P: 10; A-N: 5; N-P: 3

a/ Gọi A là biến cố: “ Chọn được sv biết tiếng Anh hoặc Pháp ”:

b/ Gọi B là b/c: Chọn được sv biết ít nhất 1 ngoại ngữ:

c/ Gọi là b/c: Chọn được sv chỉ biết 1 ngoại ngữ

Gọi là b/c: Chọn được sv biết 2 ngoại ngữ

Vì không ai biết 3 ngoại ngữ nên:

Bài 10:(Nguyễn Hữu Dũng)

Một hộp có 3 bi trắng, 7 bi đỏ và 15 bi xanh Một hộp khác có 10 bi trắng, 6 bi đỏ và 9

bi xanh Lấy ngẫu nhiên từ mỗi hộp ra 1 bi Tìm xác suất để được 2 bi cùng màu

Bài giải

Gọi Ai: Lấy được bi trắng ở hộp thứ i; i=1,2

Bi : Lấy được bi đỏ ở hộp thứ i; i=1,2

Ci : Lấy được bi xanh ở hộp thứ i; i=1,2

D : Lấy được 2 bi cùng màu

Bài 11:(Nguyễn Hữu Dũng)

Một người dự thi hai trường đại học, khả năng thi đỗ trường thứ nhất là 0,8; khả năng thi đỗ trường thứ 2 là 0,6; khả năng thi đỗ cả 2 trường là 0,5

a xác suất để người đó chỉ đỗ một trường

b.Tính xác suất để người đó đỗ vào trường thứ hai biết rằng đã trượt ở trường thứ nhất

Bài giải

a

Gọi A là biến cố : Học sinh thi đỗ trường thứ nhất

Gọi B là biến cố : Học sinh thi đỗ trường thứ hai

Gọi C là b/c: Học sinh chỉ đỗ một trường

A, B không độc lập vì

b Xác suất để người đó đỗ vào trường thứ hai biết rằng đã trượt ở trường thứ nhất:

Trong đó:

Bài 12 (Nguyễn Hữu Dũng):

Một người mua một tấm vé số gồm 3 chữ số Tìm xác suất để tấm vé số này có chữ số 1

và chữ số 2

Bài giảiĐặt:

A = “Có chữ số 1 và chữ số 2”

” Không có chữ số 1 hoặc không có chữ số 2”,

Đặt Ai = “ Biến cố không có chữ số i”,

Theo công thức cộng thì:

Bài 13(Nguyễn Hữu Dũng)

A, B tham gia một trò chơi mà ai tháng 6 ván thì sẽ là người thắng cuộc Cơ hội chiến thắng mỗi ván của hai người là như nhau

Giả sử trò chơi bắt buộc phải tạm dừng, khi đó A thắng 5 ván và B thắng 3 van

Hỏi phải chia tỉ lệ giải thưởng như thế nào cho hợp lý ?

Theo công thức nhân:

suy ra xác suất để người A thắng =

Suy ra tỉ lệ giải thưởng:

Bài 14: (Hoàng Văn Ái)

Một nhà máy gầm 3 bộ phần hoạt động độc lập với nhau Biết rằng xác suất để 3 bộ phận đó hoạt động tốt theo thứ tự lần lượt là 0,6; 0,7; 0,8 Tìm xác suất để máy hoạt động tốt, biết rằng mỗi bộ phận hỏng thì máy ngừng hoạt động

Bài giải:

Gọi A là biến cố “ máy hoạt động tốt”

Gọi Ai là biến cố “bộ phận thứ i hoạt động tốt”,(i=1,2,3) Khi đó,

{Ai}i=1,2,3 độc lập với nhau

Máy hoạt động tốt thì cả 3 bộ phận đều hoạt động tốt, khi đó:

A=A1.A2.A3

Ta có : P(A)=P(A1.A2.A3)= P(A1).P(A2).P(A3)=0,6.0,7.0,8=0.336

Bài 15: (Hoàng Văn Ái)

Có ba xạ thủ cùng bắn vào một đích, mỗi xạ thủ bắn một viên với xác suất trúng đích của mỗi xạ thủ lần lượt là 0,8; 0,7; 0,6 Tìm xác suất để đích bị bắn trúng (coi việc bắn trúng đích của các xạ thủ là độc lập)

Bài giải:

Gọi A là biến cố “đích bị bắn trúng”

Gọi Ai là biến cố “xạ thủ thứ i bắn trúng đích” (i=1,2,3)

Do việc bắn trúng đích của các xạ thủ là độc lập nhau nên {Ai}i=1,2,3 độc lập với nhau.Đích bị bắn trúng khi có ít nhất 1 xạ thủ bắn trúng nên ta có:

A=A1 + A2 + A3

P(A) = P(A1 + A2 + A3) = P(A1) + P(A2) + P(A3) – P(A1A2)- P(A1A3)-P(A2A3) + P(A1A2A3)

= P(A1) + P(A2) + P(A3) – P(A1).P(A2)- P(A1).P(A3)-P(A2).P(A3) +

P(A1).P(A2).P(A3)

=0,8+0,7+0,6-0,8.0,7-0,8.0,6-0,7.0,6+0,8.0,7.0,6

=0,976

Bài 16 (Hoàng Văn Ái):

Một hộp chứa 12 sản phẩm trong đó có 5 phế phẩm

a Lấy lần lượt 2 sản phẩm (không hoàn lại)

b Lấy lần lượt 2 sản phẩm (có hoàn lại)

Tìm xác suất lấy được 2 phế phẩm

Bài g iải

Gọi là biến cố “lấy được 2 phế phẩm”

là biến cố “lấy được phế phẩm ở lần lấy thứ ”(i=1;2)

Ta có: A = A1A2

a Lấy không hoàn lại:

P(A) = P(A1A2) = P(A1).P(A2/A1) = = 0,1516

b Lấy có hoàn lại:

Bài 17: (Nguyễn Thanh Hà)

Từ một hộp chứa 8 viên bi đỏ và 5 viên bi trắng người ta lấy ngẫu nhiên 2 lần, mỗi lần 1viên bi, không hoàn lại Tính xác suất để lấy được

a/ 2 viên bi đỏ;

b/ viên bi thứ hai là bi trắng

Bài giải

a/ Gọi A là biến cố lấy được 2 viên bi đỏ

Gọi là biến cố lấy được viên thứ i màu đỏ ( i = 1,2)

A =

P(A) = P() = P(.P() = = b/ Gọi B là biến cố lấy được viên thứ 2 là bi trắng

Gọi là biến cố lấy được viên thứ i màu trắng ( i = 1,2)

P(B) = P() + P() = P(.P() + P(.P() = + =

Bài 18: (Nguyễn Thanh Hà)

Một cuộc điều tra cho thấy, ở một thành phố, có 20,7% dân số dùng loại sản phẩm X , 50% dùng loại sản phẩm Y và trong số những người dùng Y , có 36,5% dùng X Phỏng vấn ngẫu nhiên một người dân trong thành phố đó, tính xác suất để người ấy Dùng cả X

và Y

Bài giải

Gọi A là biến cố người dân dùng sản phẩm X

B là biến cố người dân dùng sản phẩm Y

Xác suất người dân đó dùng cả X và Y là

P(AB) = P(B).P(A/B) = 0,5.0,365 = 0,1825

Bài 19: (Nguyễn Thanh Hà)

Trong một đội tuyển có hai vận động viên A và B thi đấu A thi đấu trước và có hy vọng 80% thắng trận Do ảnh hưởng tinh thần, nếu A thắng trận thì có 60% khả năng B thắng trận, còn nếu A thua thì khả năng này của B chỉ còn 30% Tính xác suất của biến cố đội tuyển thắng ít nhất một trận

Bài giải

Gọi là biến cố vận động viên thứ i thắng ( i = 1,2)

A là biến cố đội tuyển thắng ít nhất một trận

P(A) = P( = P() + P( – P( = 0,54 + 0,8 – 0,8.0,6= 0,86

Bài 20: (Đào Minh Hiếu)

Một bình đựng 7 viên bi trắng và 5 viên bi đen Lần lượt lấy ngẫu nhiên ra 2 bi Tính xác suất để lấy được bi thứ 1 màu trắng và bi thứ 2 màu đen?

Bài giải

Gọi A là biến cố lần thứ nhất lấy được bi màu trắng

Xác suất để lần thứ nhất lấy được bi màu trắng là: P(A) = 7/12.

Xác suất để lần thứ hai lấy được bi màu đen (trong 11 viên bi còn lại) là P(B)= 5/11

Áp dụng quy tắc nhân xác suất; xác suất cần tìm là:

P(AB) = P(A).P(B)= 7/12.5/11 = 35/132

Bài 21: (Đào Minh Hiếu)

Trường THPT A có 270 học sinh khối 10; 300 học sinh khối 11 và 280 học sinh khối

12 Nhà trường chọn 1 học sinh bất kì Tính xác suất để học sinh đó không phải là họcsinh khối 12

Bài Giải

+ Trường THPT A có tất cả: 270+ 300+ 280= 850 học sinh

+ Gọi A là biến cố chọn được 1 học sinh khối 10

B là biến cố chọn được 1 học sinh khối 11

⇒ A∪B là học sinh được chọn không phải là khối 12

Ta có: P(A)= 270/(850)= 27/85 và P(B)= 300/850= 30/85

Do hai biến cố A và B xung khắc nên ta có:

P(A∪B) = P(A) + P(B)= 27/85+ 30/85= 57/85

1.3 Công thức xác suất đầy đủ và công thức BAYES

Bài 22: (Trịnh Huy Khôi)

Hộp có 8 bi đỏ và 2 bi trắng Lấy 1 viên, nếu là đỏ thì bỏ lại hộp và thêm vào 1 viên đỏ,

nếu bi trắng

thì bỏ lại hộp và thêm vào 1 viên trắng Sau đó lắc đều và lại lấy ngẫu nhiên 1 viên từ hộp đó

a Tính xác suất để bi lấy ra sau cùng là bi đỏ

b Biết bi lấy ra sau cùng là đỏ, tìm xác suất để bi lấy ra sau cùng đó là

Lời giải:

Gọi:

- A1 là “ biến cố lấy ngẫu nhiên lần 1 lấy được viên bi đỏ”

- A2 là “ biến cố lấy ngẫu nhiên lần 1 lấy được viên bi trắng”

- A là “ biến cố viên bi lấy được sau cùng là viên bi đỏ”

Ta có A1, A2 là hệ nhóm biến cố đầy đủ và xung khắc với nhau, biến cố A xảy ra khi

và chỉ khi A1, A2 xảy ra

a) Xác suất để viên bi lấy ra sau cùng là viên bi đỏ là:

Bài 23: (Đào Minh Hiếu)

Có 3 hộp giống nhau Hộp thứ nhất đựng 10 sản phẩm, trong đó có 6 chính phẩm, hộpthứ hai đựng 15 sản phẩm, trong đó có 10 chính phẩm, hộp thứ ba đựng 20 sản phẩm,trong đó có 15 chính phẩm Lấy ngẫu nhiên một hộp và từ đó lấy ngẫu nhiên một sảnphẩm Tìm xác suất để lấy được chính phẩm

Lời giải:

Ký hiệu Bk là biến cố: “Sản phẩm lấy ra thuộc hộp thứ k“, (k=1, 2, 3) và là biến cố:

“Lấy được chính phẩm”

Khi đó B1 B2 B3 là hệ đầy đủ các biến cố và:

P(B1) = P(B2) = P(B3) =

P(A|B1) =

P(A|B2) =

P(A|B3) =

Theo công thức xác suất đầy đủ:

P(A) = P(B1) P(A|B1) + P(B2) P(A|B2) + P(B3) P(A|B3)

Thay vào ta thu được:

=

=

Vậy xác suất để lấy được chính phẩm là

Bài 24: (Đào Minh Hiếu)

Dây chuyền lắp ráp nhận được các chi tiết do hai máy sản xuất Trung bình máy thứnhất cung cấp 60% chi tiết, máy thứ hai cung cấp 40% chi tiết Khoảng 90% chi tiết domáy thứ nhất sản xuất là đạt tiêu chuẩn, còn 85% chi tiết do máy thứ hai sản xuất là đạttiêu chuẩn Lấy ngẫu nhiên từ dây chuyền một sản phẩm, thấy nó đạt tiêu chuẩn Tìmxác suất để sản phẩm đó do máy thứ nhất sản xuất

Lời giải:

Gọi là biến cố: “Chi tiết lấy từ dây chuyền đạt tiêu chuẩn”, B1 là biến cố: “Chi tiết domáy thứ nhất sản xuất” và B2 là biến cố: “Chi tiết do máy thứ hai sản xuất” Ta cần tínhxác suất P(B1|A).

Theo công thức Bayes:

Gọi là biến cố hai lọ thuốc lấy từ hộp B bỏ vào hộp C có i lọ hỏng ( i=0,1,2)

Gọi A là biến cố lọ thuốc lấy từ hộp C bị hỏng

Áp dụng công thức đầy đủ ta có:

P(A) = = + )+ ) =

Áp dụng công thức Bayes ta có

) = =

Bài 26: (Hoàng văn Ái)

Trong một cửa hàng bán trái cây có 3 thùng mận Thùng I có 10 quả đỏ và 5 quả xanh,thùng II có 6 quả đỏ và 4 quả xanh, thùng III có 5 quả đỏ và 5 quả xanh

a) Lấy ngẫu nhiên từ mỗi thùng ra một quả, tính xác suất để được 3 quả cùng màu.b) Lấy ngẫu nhiên 1 thùng rồi từ thùng đó lấy ra 3 quả táo thì được 1 quả táo đỏ và 2quả xanh Tính xác suất để thùng được chọn là thùng I

Lời giải:

a) Gọi A là biến cố “3 quả mận lấy được cùng màu”

là biến cố “Quả mận được lấy ra từ thùng thứ i là màu đỏ” (i=1, 2, 3)

Xác suất để lấy được 3 quả táo cùng màu là:

P(A)=P(.)=P(.P()

= = b) Gọi là biến cố “Lấy được thùng thứ i” (i=1, 2, 3)

B là biến cố “Lấy được 2 quả mận đỏ và 1 quả mận xanh”

, , là hệ biến cố đầy đủ và B xảy ra khi hoặc xảy ra hoặc xảy ra hoặc xảy ra

Bài 27 (Nguyễn Hữu Dũng):Một nhà máy sản xuất bóng đèn gồm 3 máy Máy A sản

xuất 25%, máy B: 35%, máy C: 40% số bóng đèn Tỉ lệ sản phẩm hỏng của mỗi máy trên số sản phẩm do máy đó sản xuất lần lượt là 3%, 2%, 1% Một người mua bóng đèn

do nhà máy đó sản xuất

a Tính xác suất để sản phẩm này tốt

b Biết sản phẩm này là xấu Tính xác xuất để sản phẩm do máy C sản xuất

Bài g iải

a Gọi H1 là biến cố “sản phẩm được mua do máy A sản suất”

H2 là biến cố “sản phẩm được mua do máy B sản suất”

H3 là biến cố “sản phẩm được mua do máy C sản suất”

B là biến cố “sản phẩm được mua là sản phẩm xấu”

Ta có:

= 0,25.0,03 + 0,35.0,02 + 0,4.0,01

= 0,0185

b Xác suất của biến cố cần tính là:

Bài 28: (Hoàng Văn Ái)

Có hai hộp sản phẩm, hộp I đựng 10 sản phẩm tốt và 5 sản phẩm xấu, hộp II đựng 8 sản phẩm tốt và 1 sản phẩm xấu Lấy ngẫn nhiên một sản phẩm ở hộp I bỏ sang hộp

II, sau đó lấy ra ngẫu nhiên 1 sản phẩm ở hộp II

a, Tìm xác suất để sản phẩm lấy ra sau cùng là sản phẩm tốt

b, Biết sản phẩm lấy ra sau cùng là tốt, tìm xác suất để sản phẩm lấy

ra đó là của hộp I chuyển sang

Bài giải:

a, Gọi A1 là biến cố “lấy được sản phẩm tốt ở hộp I bỏ sang hộp II”

Gọi A2 là biến cố “lấy được sản phẩm xấu ở hộp I bỏ sang hộp II”

Gọi A là biến cố “sản phẩm lấy ra sau cùng là sản phẩm tốt”

Khi đó A1 , A2 là nhóm biến cố đầy đủ và A xảy ra chỉ khi A1 xảy ra hoặc A2 xảy ra

Áp dụng công thức xác suất đầy đủ ta có:

P(A)=P(A1).P(A/A1)+P(A2).P(A/A2)

Trong đó:

P(A1)= / P(A2)= /

P(A/A1)= / P(A/A2)= /

Vậy P(A)= =

b, Gọi B1 là biến cố “sản phẩm lấy ra sau cùng của hộp một chuyển sang”

Gọi B2 là biến cố “sản phẩm lấy ra sau cùng của hộp hai ngay từ đầu”

P(B1/A)=P(B1).P(A/B1)/P(A);P(B1)=1/10;

P(A/B1)=

 P(B1/A)=1/13

Bài 29: (Nguyễn Hữu Dũng)

Có 10 hộp đựng bi, trong đó có 4 hộp loại 1, mỗi hộp có 3 bi trắng và 5 bi đỏ, 3 hộp loại

2 mỗi hộp có 4 bi trắng và 6 bi đỏ, 3 hộp loại 3 mỗi hộp có 2 bi trắng và 5 bi đỏ

a Rút ngẫu nhiên một hộp và từ đó lấy ngẫu nhiên một bi Tìm xác suất để được bi đỏ

b Rút ngẫu nhiên một hộp và từ hộp đó rút ngẫu nhiên một bi thì được bi trắng Tìm xác suất để viên bi đó là của hộp loại 2

Bài 30: (Nguyễn Hữu Dũng)

Có 3 hộp đựng phiếu thi, mỗi phiếu một câu hỏi Hộp một có 10 phiếu, hộp hai có 8 phiếu và hộp ba có 7 phiếu Một học sinh đi thi thuộc 8 câu ở hộp 1, 6 câu ở hộp hai, 5 câu ở hộp ba Thầy giáo lấy ngẫu nhiên 2 câu ở hộp một, 1 câu ở hộp hai chuyển sang hộp ba sau đó cho học sinh lấy ngẫu nhiên 1 câu ở hộp ba

a Tìm xác suất để học sinh trả lời được câu hỏi thi

b Biết học sinh trả lời được câu hỏi thi Tìm xác suất để câu hỏi thi đó là của hộp một chuyển sang

Bài giải:

a Tìm xác suất để học sinh trả lời được câu hỏi thi

- A : Hs chọn được câu thuộc

- Ai: Lấy i câu thuộc trong 2 câu ở H1 chuyển sang H3.(i=0,1,2)

-Bj: Lấy j câu thuộc ở H2 chuyển sang H3 (j=0,1)

- {Ai Bj } là nhóm b/c đầy đủ

b Biết học sinh trả lời được câu hỏi thi Tìm xác suất để câu hỏi thi đó là của hộp một chuyển sang.

B Biết học sinh trả lời được câu hỏi thi Tìm xác suất để câu hỏi thi đó là của hộp một chuyển sang

Gọi B: Câu bốc sau cùng là câu của H1 chuyển sang

Bài 31:(Nguyễn Hữu Dũng)

Có một bệnh nhân mà bác sĩ chẩn đoán mắc bệnh A với xác suất là 70%, mắc bệnh B là 30% Để có thêm thông tin chẩn đoán bác sỹ đã cho xét nghiệm sinh hoá sau 3 lần thử

thì thấy có một lần dương tính Biết rằng khả năng dương tính của mỗi lần xét nghiệm đối với bệnh A và B tương ứng là 10% và 30% Hãy cho biết nên chuẩn đoán bệnh nhânmắc bệnh nào.

Bài 32: (Trịnh Huy Khôi)

Ví dụ Một công tỉ một ngày sản xuất được 850 sản phẩm trong đó có 50 sản phẩm không đạt chất lượng Lần lượt lấy ra ngẫu nhiên không hoàn lại 2 sản phẩm để kiểm tra

a ) Tính xác suất để sản phẩm thứ hai không đạt chất lượng biết sản phẩm thứ nhất đạt chất lượng

b ) Tính xác suất để sản phẩm thứ hai không đạt chất lượng

a ) Gọi A , là biến cố sản phẩm thứ k không đạt chất lượng ( k = 1,2 ) Do sản phẩm thứnhất không đạt chất lượng nên còn 49 sản phẩm không đạt chất lượng trong tổng số 849

P( A | A ) = 49/849 ₂ ₁

b ) Do A1 và A1¯ là hệ biến có đầy đủ nên theo công thức xác suất toàn phần ta có Lời giải P ( A ) = P ( A ) P ( A | A ) + P ( A ) P ( A [ A ) = 50/850 x 49/849 + ₂ ₁ ₂ ₁ ₁ ₂ ₁

800/850 849 x 50/849= 1/17

1.4 Dãy thử Bernoulli, số lần xuất hiện có khả năng nhất:

Bài 33: (Đào Minh Hiếu)

Một lô hàng có tỷ lệ phế phẩm là 5% Lấy ngẫu nhiên từ lô hàng đó ra 5 sản phẩm đểkiểm tra (lấy có hoàn lại) Tìm xác suất để có 2 phế phẩm trong 5 sản phẩm lấy ra kiểmtra?

2 phế phẩm trong 5 sản phẩm lấy ra kiểm tra là:

Gọi A là “ biến cố xạ thủ bắn 25 phát đạn thì trúng 16 viên”

a) Áp dụng công thức Bernoulli với n = 25, m = 16, p = 0,7 Ta có:

 mo = 18

Bài 35: (Hoàng Văn Ái)

Một lô hàng có tỷ lệ phế phẩm là 5% Lấy ngẫu nhiên từ lô hàng đó ra 5 sản phẩm đểkiểm tra (lấy có hoàn lại) Tìm xác suất để có 2 phế phẩm trong 5 sản phẩm lấy ra kiểmtra?

2 phế phẩm trong 5 sản phẩm lấy ra kiểm tra là:

P2(A) =(0,05)2(0,95)3 = 0,0214

Bài 36: (Nguyễn Thanh Hà)

Tỉ lệ sản xuất ra phế phẩm của một máy là 8% Khảo sát một lô hàng gồm 75 sản phẩm

do máy đó sản xuất ra

a/ Tính xác suất để trong lô hàng, có 10 phế phẩm

b/ Trong lô hàng, nhiều khả năng nhất là có bao nhiêu phế phẩm?

Trong một cuộc thi bắn súng, xác suất bắn trúng đích của một xạ thủ là 0,5 Tìm xácsuất để xạ thủ này bắn 10 viên đạn thì có 7 viên trúng đích.

Bài giải

Gọi A là biến cố “Xạ thủ bắn 10 viên đạn thì 7 viên trúng đích”

Áp dụng công thức Bernoulli với n=10, k=7, p=0,5 Ta có:

Bài 38 (Hoàng Văn Ái)

Tại một nhà hộ sinh, trong một ngày có 8 đứa trẻ ra đời Biết rằng xác suất sinh con trai

và con gái là bằng nhau Tính xác suất để số con trai không quá 6 và không ít hơn 2

Bài giải

Gọi A là biến cố “số con trai không quá 6 và không ít hơn 2”

Gọi xác suất sinh con gái và con trai là P(A) và P(B)

Do xác suất sinh con trai và con gái là bằng nhau nên ta có: p=P(A)=P(B)=0,5.Việc một ngày có 8 đứa trẻ ra đời là phép thử Bernoulli Áp dụng công thứcBernoulli với n=8, , p=0,5 Ta có:

Bài 39:(Nguyễn Hữu Dũng)

Biết xác suất sinh con trai và sinh con gái là bằng nhau Tính xác suất để trong 10 đứa trẻ ra đời thì:

a Có 4 đứa là con trai

b.Có ít nhất 6 đứa là con trai

c Số con trai không quá 5 và không ít hơn 3

Bài giải :

- Gọi A là biến cố: Có 4 con trai

B là biến cố: Có ít nhất 6 đứa là con trai

C là biến cố: Số con trai không quá 5 và không ít hơn 3

Sinh 10 đứa trẻ là thực hiện 10 phép thử Becnulli

Bài 40:(Nguyễn Hữu Dũng)

Vậy phải bắn ít nhất 2 viên đạn.

CHƯƠNG 2: ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN VÀ QUY LUẬT PHÂN BỐ XÁC SUẤT2.1 Đại lượng ngẫu nhiên

Bài 41: (Trịnh Huy Khôi)

Một hộp gồm 6 khối bi có kích thước giống nhau và được đánh số từ 1 đến 6, lấy ngẫu nhiên 1 khối bi trong hộp Gọi X là đại lượng ngẫu nhiên chỉ số ở trên khối bi lấy được Hãy lập bảng phân phối xác suất của X

Ta có xác suất xuất hiện của các số trên khối bi là như nhau và bằng ;

P

Bài 42 (Trịnh Huy Khôi)

Cho biến ngẫu nhiên liên tục X có hàm mật độ xác suất

Bài 43: (Đào Minh Hiếu)

Cho X là biến ngẫu nhiên liên tục có hàm mật độ xác suất:

Bài 44: (Đào Minh Hiếu)

Một thùng phiếu có 30 phiếu trong đó có 3 phiếu trúng thưởng Một người bốc ngẫu

nhiên 3 phiếu Gọi X là số phiếu trúng thưởng mà người đó bốc được Hãy lập bảngphân bố xác suất cho biến ngẫu nhiên X

Bài giải:

Gọi X là số phiếu trúng thưởng => X = {0, 1, 2, 3}

Biến cố X = 0 có nghĩa là trong 3 cả 3 vé đều không trúng Vậy

P(X = 0) =

Biến cố X = 1 có nghĩa là trong 3 vé có 1 vé trúng và 2 vé không trúng Vậy P(X

a/Lập bảng phân phối xác suất cho X