Bài giảng động lực học kết cấu chương 2 đào đình nhân

ĐẠI HỌC KIẾN TRÚC TPHCM KHOA XÂY DỰNG BÀI GIẢNG ĐỘNG LỰC HỌC KẾT CẤU (hệ đại học tín chỉ) Chương 2: HỆ MỘT BẬC TỰ DO Đào Đình Nhân 1 2.1 Thiết lập phương trình vi phân chủ đạo Mô hình hệ 1BTD m p(t) u k c m p(t) k c m: đặc trưng quán tính k: đặc trưng đàn hồi c: đặc trưng tiêu tán năng lượng 2 1 2.1 Thiết lập phương trình vi phân chủ đạo Thiết lập phương trình vi phân chủ đạo u k p(t) m c muሷ ku m p(t) cuሶ muሷ + cuሶ + ku = p(t) 3 2.1 Thiết lập phương trình vi phân chủ đạo Ảnh hưởng của sự rung động của gối tựa u m m uሷ ୥ + uሷ + cuሶ + ku = 0 c k muሷ + cuሶ + ku = −muሷ ୥ ug 4 2 2.2.1 Dao động tự do không cản muሷ + ku = 0 k uሷ + m u = 0 Nghiệm: u = Acos ω୬t + Bsin(ω୬t) ω୬ = k/m uሶ = −ω୬Asin ω୬t + ω୬Bcos(ω୬t) uሷ = −ω୬ଶAcos ω୬t − ω୬ଶBsin(ω୬t) Điều kiện ban đầu: u 0 = A, uሶ 0 = ω୬B Phương trình chuyển động: uሶ 0 u = u 0 cos ω୬t + ω୬ sin ω୬t = u଴sin(ω୬t − θ) ‫ݑ‬ሶ 0 ଶ u0 u଴ = ‫ ݑ‬0 ଶ + ߱௡ θ = atan − uሶ 0 /ω୬ 5 2.2.1 Dao động tự do không cản uሶ (0) u(0) u଴ T୬ 1 2π T୬ = f୬ = ω୬ 3 2.2.2 Dao động tự do có cản nhớt muሷ + c‫ݑ‬ሶ + ku = 0 ck uሷ + m uሶ + m u = 0 Đặt: ‫ ܿ = ܿ = ܿ = ߦ‬Tỉ số cản Thép: 1.5%-2.5% ܿ௖௥ 2 ݇݉ 2݉߱௡ Bê tông: 3%-5% Phi tuyến: 5% uሷ + 2‫߱ߦ‬௡uሶ + ߱௡ଶu = 0 Nghiệm: ‫ି݁ = ݑ‬కఠ೙௧ ‫߱ ݏ݋ܿܣ‬஽‫߱ ݊݅ݏܤ + ݐ‬஽‫߱ ݐ‬஽ = ߱௡ 1 − ‫ߦ‬ଶ Phương trình chuyển động: u = eିஞன౤୲ u(0)cos ωୈt + uሶ 0 + ξω୬u 0 sin ωୈt = u଴eିஞன౤୲sin(ωୈt − θ) ωୈ u଴ = ‫ ݑ‬0 ଶ + ‫ݑ‬ሶ 0 + ‫߱ߦ‬௡‫ݑ‬(0) ଶ θ = atan − ߱஽u 0 ߱஽ uሶ 0 + ‫߱ߦ‬௡‫ݑ‬(0) 7 2.2.2 Dao động tự do có cản nhớt ‫ݑ‬଴݁ିకఠ೙௧ Có cản Không cản 4 2.2.2 Dao động tự do có cản nhớt Độ giảm loga u(t) = u଴eିஞன౤୲sin(ωୈt − θ) u(t + Tୈ) = u଴eିஞன౤ ୲ା୘ీ sin[ωୈ t + Tୈ − θ] ut ଶగక u t + Tୈ = eஞன౤୘ీ = e ଵିకమ ut 2‫ߦߨ‬ ‫ = ߜ‬ln u t + Tୈ = 1 − ‫ߦ‬ଶ ≈ 2‫ߦߨ‬ Độ giảm loga Thép: 0.09-0.16 Bê tông: 0.19-0.31 Phi tuyến: 0.31 2.2.2 Dao động tự do có cản nhớt Xác định chu kỳ và tỉ số cản dựa vào thí nghiệm dao động tự do ܶ஽ 5 2.3.1 Phản ứng với tải trọng điều hòa u muሷ + cuሶ + ku = P଴sinωt k Nghiệm: u t = uୡ t + u୮(t) m P଴ sin ωt c Nghiệm thuần nhất uୡ(t) = eିஞன౤୲ Acos ωୈt + Bsin ωୈt Nghiệm đặc biệt u୮ t = Ccos ωt + Dsin ωt P଴ −2ξω/ω୬ C = k 1 − ω/ω୬ ଶ ଶ + 2ξ ω/ω୬ ଶ P଴ 1 − ω/ω୬ ଶ D = k 1 − ω/ω୬ ଶ ଶ + 2ξ ω/ω୬ ଶ 11 2.3.1 Phản ứng với tải trọng điều hòa ‫ = ݑ‬eିஞன౤୲ Acos ωୈt + Bsin ωୈt + Ccos ωt + Dsin ωt Dao động chuyển tiếp Dao động bình ổn 12 6 2.3.1 Phản ứng với tải trọng điều hòa Dao động bình ổn: u t = u୮ t = Ccos ωt + Dsin ωt = u଴ sin ωt − θ u଴ = Cଶ + Dଶ = P଴ 1 k 1 − ω/ω୬ ଶ ଶ + 2ξ ω/ω୬ ଶ u଴ = uୱ୲Rୢ Rୢ = 1 1 − ߱/߱௡ ଶ ଶ + 2ξ ߱/߱௡ ଶ θ = atan 1 − ω/ω୬ ଶ 2ξ ω/ω୬ 13 2.3.1 Phản ứng với tải trọng điều hòa Dao động bình ổn: ‫ = ߦ‬1% ‫ ߦ‬ൌ 5% ‫ ߦ‬ൌ 10% ‫ ߦ‬ൌ 20% ‫ ߦ‬ൌ 70% ‫ ߦ‬ൌ 100% ߱/߱௡ ߱/߱௡ 14 7 2.3.1 Phản ứng với tải trọng điều hòa Cộng hưởng 15 2.3.2 Phản ứng với tải trọng có chu kỳ Phân tích Fourier tải trọng có chu kỳ: ஶ ஶ p t = ܽ଴ + ෍ ܽ௞ cos ݇߱଴‫ + ݐ‬෍ ܾ௞ sin ݇߱଴‫ݐ‬ ௞ୀଵ ௞ୀଵ ߱଴ Tần số vòng của tải trọng 1 ்బ ܽ଴ = ܶ଴ ଴ න ‫ݐ݀ ݐ ݌‬ 2 ்బ ܽ௞ = ܶ଴ ଴ න ‫ ݐ ݌‬cos(݇߱଴‫ݐ݀(ݐ‬ 2 ்బ ܾ௞ = ܶ଴ ଴ න ‫ ݐ ݌‬sin(݇߱଴‫ݐ݀(ݐ‬ Phân tích phản ứng với từng thành phần riêng lẽ, sau đó sử dụng nguyên lý cộng tác dụng để tính phản ứng tổng 8 2.4 Phản ứng với tải trọng bất kỳ - PP số p(t) t Số hóa p(t) t 17 2.4 Phản ứng với tải trọng bất kỳ - PP số Phản ứng thực m Tải trọng thực Phân tích số Phản ứng số Tải trọng số m 18 9 2.4 Phản ứng với tải trọng bất kỳ - PP số Phương pháp Newmark cho hệ ứng xử tuyến tính muሷ + cuሶ + ku = p(t) Tại thời điểm ti và ti+1: muሷ ୧ + cuሶ ୧ + ku୧ = p୧ muሷ ୧ାଵ + cuሶ ୧ାଵ + ku୧ାଵ = p୧ାଵ Phương trình biến thiên chuyển động: mΔuሷ ୧ + cΔuሶ ୧ + kΔu୧ = Δp୧ 19 2.4 Phản ứng với tải trọng bất kỳ - PP số Khai triển Taylor của gia tốc và chuyển vị: uሷ ୧ uഺ୧ ଶ uሶ ୧ାଵ = uሶ ୧ + Δt୧ + Δt୧ + ⋯ 1! 2! ‫ݑ‬ሶ ௜ uሷ ୧ ଶ uഺ୧ ଷ u୧ାଵ = u୧ + Δ‫ + ݐ‬Δt୧ + Δt୧ + ⋯ 1! 2! 3! Newmark hiệu chỉnh khai triển này: uሷ ୧ ଶ uሶ ୧ାଵ = uሶ ୧ + Δt୧ + ‫ߛ‬uഺ୧Δt୧ 1! ‫ݑ‬ሶ ௜ uሷ ୧ ଶ ଷ u୧ାଵ = u୧ + Δ‫ + ݐ‬Δt୧ + ‫ߚ‬uഺ୧Δt୧ 1! 2! 20 10 2.4 Phản ứng với tải trọng bất kỳ - PP số Giả sử trong khoảng thời gian ∆ti, gia tốc tuyến tính: uഺ୧ = uሷ ୧ାଵ − uሷ ୧ Δt௜ Khai triển Newmark trở thành uሶ ୧ାଵ = uሶ ୧ + 1 − γ Δt୧uሷ ୧ + γΔt୧uሷ ୧ାଵ 1 ଶ ଶ u୧ାଵ = u୧ + uሶ ୧Δt୧ + − β Δt୧ uሷ ୧ + βΔt୧ uሷ ୧ାଵ 2 Hay: Δuሶ ୧ = uሶ ୧ାଵ − uሶ ୧ = 1 − γ Δt୧uሷ ୧ + γΔt୧uሷ ୧ାଵ = Δt୧uሷ ୧ + Δuሷ ୧γΔt୧ (1) 1 ଶ ଶ Δu୧ = u୧ାଵ − u୧ = uሶ ୧Δt୧ + − β Δt୧ uሷ ୧ + βΔt୧ uሷ ୧ାଵ 2 ଵଶ ଶ = uሶ ୧Δt୧ + ଶ Δt୧ uሷ ୧ + Δuሷ ୧βΔt୧ (2) 21 2.4 Phản ứng với tải trọng bất kỳ - PP số (2) Δuሷ ୧ = మ ଵ Δu୧ − ଵ uሶ ୧ − ଵ uሷ ୧ (3) ஒ୼୲౟ ஒ୼୲౟ ଶஒ Thay (3) vào (1) γ γ γ Δuሶ ୧ = Δt୧uሷ ୧ + βΔt୧ Δu୧ − β uሶ ୧ − 2β Δtuሷ ୧ Thay Δ‫ݑ‬ሶ ௜, Δ‫ݑ‬ሷ ௜ vào phương trình biến thiên chuyển động: m cγ m cγ cγ m ଶ + + ݇ Δu୧ = Δp୧ + + uሶ ୧ + Δ‫ݐ‬௜ + − cΔt୧ uሷ ୧ βΔt୧ βΔt୧ βΔt୧ β 2β 2β Hay: k෠Δu୧ = Δpො୧ Với điều kiện ban đầu u଴, uሶ ଴ và uሷ ଴ tính từ phương trình: muሷ ଴ + cuሶ ଴ + ku଴ = p଴ 22 11 2.4 Phản ứng với tải trọng bất kỳ - PP số Thuật toán pp Newmark với Δ‫ݐ‬௜ = ܿ‫ݐݏ݊݋‬ uሷ ଴ = p଴ − (cuሶ ଴ + ku଴) m cγ m a = βΔt୧ + β ݇෠ = ଶ m + cγ + ݇ cγ m βΔt୧ βΔt୧ b = 2β Δt୧ + 2β − cΔt୧ i=0 Δpො୧ = Δp୧ + auሶ ୧ + buሷ ୧ Δpො ୧ u୧ାଵ = u୧ + ෠ k uሶ ୧ାଵ = uሶ ୧ + Δt୧uሷ ୧ + γ Δ‫̂݌‬௜ − γ uሶ ୧ − γ Δtuሷ ୧ βΔt୧ ݇෠ β 2β uሷ ୧ାଵ = ‫ݑ‬ሷ ௜ + ଶ 1 Δ‫̂݌‬௜ − 1 uሶ ୧ − 1 uሷ ୧ βΔt୧ ݇෠ βΔt୧ 2β i = i+1 23 2.5 Phản ứng của hệ 1BTD với chuyển động nền u muሷ + cuሶ + ku = −muሷ ୥ m c k uሷ + 2ξω୬uሶ + ω୬ଶu = −uሷ ୥ ug Phản ứng chỉ phụ thuộc vào tỉ số cản và tần số góc Phương pháp phân tích: tích phân trực tiếp (pp số) 24 12 2.5 Phản ứng của hệ 1BTD với chuyển động nền Các đại lượng phản ứng: ut u Chuyển vị tương đối, u m Chuyển vị tuyệt đối, ut = u + ug Gia tốc tương đối uሷ c Gia tốc tuyệt đối uሷ ୲ = uሷ + uሷ ୥ k ug 25 2.5 Phản ứng của hệ 1BTD với chuyển động nền Xác định nội lực 1 Xác định trực tiếp nội lực từ chuyển vị 2 Sử dụng lực tĩnh tương đương fs Tác dụng lên khối lượng m một lực tĩnh tương đương fୱ sao cho gây ra chuyển vị bằng u Phân tích kết cấu chịu lực fୱ này fୱ = ku = mω௡ଶ u = mA ଶ ସగమ A = ω௡u = మ ‫ ,ݑ‬được gọi là gia tốc giả ்೙ 26 13 2.5 Phản ứng của hệ 1BTD với chuyển động nền Băng gia tốc El Centro 27 2.5 Phản ứng của hệ 1BTD với chuyển động nền Phản ứng của hệ 1 BTD với El Centro, tỉ số cản 5% 28 14 2.5 Phản ứng của hệ 1BTD với chuyển động nền Phản ứng của hệ 1 BTD với El Centro, chu kỳ 0.5 s 29 2.5 Phản ứng của hệ 1BTD với chuyển động nền Phổ phản ứng 30 15 2.5 Phản ứng của hệ 1BTD với chuyển động nền Phổ phản ứng 31 2.5 Phản ứng của hệ 1BTD với chuyển động nền Phổ phản ứng thiết kế Spectral response, Sa Sas ܶ଴ ൌ 0.2ܶ௦ Sa1 0.4Sas T0 0.2 Ts 1.0 Period, T (s) 32 16