Nói cách khác, các mode là độc lập tuyến tính.. Giải phương trình này để tìmL.. Đây là sự thamgia của mode thứ n vào tổng phản ứng của hệ.. Tổng phản ứngcủa hệ được tính bởi:.
ĐẠI HỌC KIẾN TRÚC TPHCM KHOA XÂY DỰNG BÀI GIẢNG ĐỘNG LỰC HỌC KẾT CẤU (hệ đại học tín chỉ) Chương 3: HỆ NHIỀU BẬC TỰ DO Đào Đình Nhân 1 3.1 Thiết lập phương trình vi phân chủ đạo Xét khung phẳng 2 tầng như hình vẽ = ଵ(ݐ) Khối lượng m1: ݉ଵݑሷ ଵ + ܿଵݑሶ ଵ + ܿଶ ݑሶ ଵ − ݑሶ ଶ + ݇ଵݑଵ + ݇ଶ ݑଵ − ݑଶ Khối lượng m2: ݉ଶݑሷ ଶ + ܿଶ ݑሶ ଶ − ݑሶ ଵ + ݇ଶ ݑଶ − ݑଵ = ଶ(ݐ) Viết dưới dạng ma trận: ଶ(ݐ) ݉ଶ ݑଶ ݉ଵ 0 ݑሷ ଵ 0 ݉ଶ ݑሷ ଶ + ܿଵ + ܿଶ −ܿଶ ݑሶ ଵ −ܿଶ ܿଶ ݑሶ ଶ + −݇ଶ ݇ଶ ݑଶ ݇ଵ + ݇ଶ −݇ଶ ݑଵ = ଶ ଵ ݇ଶ ܿଶ ଵ(ݐ) ݉ଵ ݑଵ ݇ଵ ܿଵ Hoặc: ݉ଵଵ ݉ଵଶ ݑሷ ݉ ଵ ଶଵ ݉ଶ ݑሷ ଶ + ܿଵଵ ܿଵଶ ݑሶ ܿ ଵ ଶଵ ܿଶଶ ݑሶ ଶ + ݇ଵଵ ݇ଵଶ ݑଵ = ଵ ݇ଶଵ ݇ଶଶ ݑଶ ଶ 2 1 3.1 Thiết lập phương trình vi phân chủ đạo Tổng quát: Gọi: ݉ = lực quán tính tương ứng với ݑ do ݑሷ = 1 gây ra ܿ = lực cản tương ứng với ݑ do ݑሶ = 1 gây ra ݇ = lực đàn hồi tương ứng với ݑ do ݑ = 1 gây ra Theo phương bậc tự do ݑ: ∑ୀଵ ݉ × ݑሷ Lực quán tính = ∑ୀଵ ܿ × ݑሶ Lực cản = ∑ୀଵ ݇ × ݑ Lực đàn hồi = Theo nguyên lý D’Alembert: ݉ × ݑሷ + ܿ × ݑሶ + ݇ × ݑ = p୧ ୀଵ ୀଵ ୀଵ Xét tất cả các bậc tự do và viết dưới dạng ma trận: ݉ ݑሷ + ܿ ݑሶ + ݇ ݑ = 3 3.1 Thiết lập phương trình vi phân chủ đạo Hay: ࢛ۻሷ + ۱࢛ሶ + ۹࢛ = Trong đó: = ۻMa trận khối lượng ۱ = Ma trận cản ۹ = Ma trận độ cứng Nếu khối lượng của hệ được thu gọn về các bậc tự do là các chuyển vị thẳng thì ݉ = 0 (݄݇݅ ݅ ݆) và ma trận khối lượng trở thành ma trận đường chéo với các khối lượng tương ứng với các bậc tự do là các chuyển vị thẳng 4 2 3.1 Thiết lập phương trình vi phân chủ đạo Ví dụ: Thiết lập phương trình vi phân chủ đạo cho kết cấu như hình vẽ Biết rằng các thanh dầm là tuyệt đối cứng và bỏ qua tính cản ଷ ݉/2 ݑଷ ࢛ۻሷ + ۹࢛ = ܫܧ ܫܧ ݄ ݑଵ ଶ ࢛ = ݑଶ ݉ ݑଶ ݑଷ ܫܧ ܫܧ ݄ ଵ ݉0 0 ݉ ݑଵ =ۻ0 ݉ 0 ܫܧ ݄ ܫܧ 0 0 ݉/2 ܫܧ48 −24 0 ۹ = ݄ଷ −24 48 −24 0 −24 24 ଵ = ଶ ଷ 5 3.2 Dao động tự do và mode dao động DAO ĐỘNG TỰ DO CỦA HỆ 3 BTD 6 3 3.2 Dao động tự do và mode dao động TẦN SỐ VÀ HÌNH DẠNG CỦA CÁC MODE DAO ĐỘNG Phương trình vi phân chủ đạo của dao động tự do không cản: ࢛ۻሷ + ۹࢛ = Khi hệ dao động đều hòa với hình dạng không đổi, có thể biểu diễn nghiệm dưới dạng: ݑଵ ߶ଵ ⋮ = ⋮ sin(߱ (ߠ + ݐhay: ࢛ = ࣘsin(߱(ߠ + ݐ ݑே ߶ே Thay nghiệm này vào phương trình vi phân chủ đạo: ۹ − ߱୬ଶࣘ ۻsin(߱ + = (ߠ Phương trình này phải thỏa mãn tại mọi thời điểm, do đó: ۹ − ߱୬ଶ = ࣘ ۻ (3.2-1) 7 3.2 Dao động tự do và mode dao động Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất (3.2-1) có ít nhất là một nghiệm tầm thường ࣘ = , ứng với trạng thái cân bằng tĩnh Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất (3.2-1) sẽ có nghiệm không tầm thường nếu: det ۹ − ߱୬ଶ = ۻ : Phương trình đặc trưng Giải phương trình bậc ܰ theo ߱ଶ trên ta sẽ tìm được ܰ giá trị (dương) của ߱ଶ Từ đó sẽ tìm được ܰ tần số vòng tự nhiên ߱ của ܰ mode dao động Thay các giá trị của ߱ vào phương trình thuần nhất (3.2-1) ta sẽ tìm được ܰ họ nghiệm ࣘ Mỗi họ nghiệm ࣘ = ߶ଵ … ߶ே, ் biểu diễn hình dạng của một mode dao động tương ứng với tần số vòng ߱ ߶ଵଵ ⋮ ߶ଵே = ࣘ … ࣘ ⋮ ⋮ ⋮ = ࡺgọi là ma trận các hàm dạng ߶ேଵ ⋮ ߶ேே 8 4 3.2 Dao động tự do và mode dao động Ví dụ: Xác định tần số vòng tự nhiên và hình dạng các mode của kết cấu như hình vẽ Phương trình đặc trưng: ݉/2 ݑଷ det ۹ − ߱୬ଶ = ۻ ܫܧ ܫܧ ݄ 48 ݄ଷ ߱݉ − ܫܧଶ ܫܧ 0 ܫܧ −24 ݄ଷ ܫܧ ݉ ݑଶ 48 ݄ଷ ߱݉ − ܫܧଶ −24 ݄ଷ −24 ଷ = 0 0 ܫܧ ݄ −24 ݄ଷ 24 ݄ଷ ݉ − ܫܧ2 ߱ଶ ܫܧ ܫܧ ݄ ݉ ݑଵ ݄ ܫܧ ܫܧ 9 3.2 Dao động tự do và mode dao động TÍNH TRỰC GIAO CỦA CÁC MODE Xét hai mode n và r: ۹ − ߱୬ଶ = ࣘ ۻ (3.2-2) ۹ − ߱ଶ = ࢘ࣘ ۻ (3.2-3) Lần lượt nhân trước (3.2-2) và (3.2-3) cho ࣘ࢘ ࢀvà ࣘ:ࢀ ࣘ࢘ࢀ۹ࣘ = ߱୬ଶࣘ࢘ ࣘۻࢀ(3.2-4) ࣘࢀ۹ࣘ࢘ = ߱୰ଶࣘ࢘ࣘۻࢀ (3.2-5) So sánh (3.2-4) và (3.2-5): ߱୬ଶ − ߱ଶ ࣘ࢘ = ࣘۻࢀ Hay ࣘ࢘ࢀ࢘ࣘ = ࣘۻࢀ۹ࣘ = nếu n r 10 5 3.2 Dao động tự do và mode dao động BIỂU DIỄN PHẢN ỨNG CHUYỂN VỊ TRONG HỆ TỌA ĐỘ MODE Giả sử: ܿଵࣘ + ܿଶࣘ + ⋯ + ܿேࣘ = ࡺ (3.2-6) Nhân trước phương trình trên với ࣘ:ۻࢀ ܿࣘ = ࣘۻࢀ0 Vì ࣘ ࣘۻࢀnên ܿ = 0 Nghĩa là phương trình (3.2-6) thỏa mãn nếu ܿଵ = ܿଶ = ⋯ = ܿே = 0 Nói cách khác, các mode là độc lập tuyến tính Vì các mode là độc lập tuyến tính nên bất kỳ một vector ࢛ = ݑଵ … ݑே nào cũng có thể biểu diễn dưới dạng tổ hợp tuyến tính của các vector ߶ଵ, … , ߶ே: ࢛ = ݍଵࣘ + ⋯ + ݍேࣘݍࣘ ∑ = ࡺ = (3.2-7) 11 3.2 Dao động tự do và mode dao động DAO ĐỘNG TỰ DO KHÔNG CẢN Phương trình vi phân chủ đạo của dao động tự do không cản: ࢛ۻሷ + ۹࢛ = (3.2-8) Thay (3.2-7) vào (3.2-8): ۻሷ + ۹ = (3.2-9) Nhân trước (3.2-9) với :ࢀ ۻࢀሷ + ࢀ۹ = (3.2-10) Theo tính trực giao của các mode, phương trình (3.2-10) tương đương với hệ ܰ phương trình có nghiệm tách rời sau: ቐ Φଵ்ۻΦଵݍሷଵ + Φଵ்۹Φଵݍଵ = 0 (3.2-11) … 12 Φே் ۻΦேݍሷே + Φே் ۹Φேݍே = 0 6 3.2 Dao động tự do và mode dao động Phương trình thứ n của hệ phương trình (3.2-11) là phương trình dao động tự do không cản của hệ 1BTD: ܯݍሷ + ܭݍ = 0 (3.2-12) Trong đó: ܯ = ࣘܭ ;ࣘۻࢀ = ࣘࢀ۹ࣘ Nghiệm của phương trình (3.2-12) là: ݍ = ܣcos(߱ܤ + (ݐsin(߱(ݐ (3.2-13) Theo (3.2-7) và (3.2-13), nghiệm của (3.2-8) là: ࢛ = ∑ ࣘ ܣ cos ߱ܤ + ݐ sin ߱ݐ (3.2-14) ࢛ሶ = ∑ ࣘ −߱ܣ sin ߱߱ + ݐܤ cos ߱ݐ 13 3.2 Dao động tự do và mode dao động Tại thời điểm ban đầu: (3.2-15a) ࢛() = ∑ ࣘܣ ࢛ሶ () = ∑ ࣘ߱ܤ (3.2-15b) Nhân 2 vế của phương trình (3.2-15) với ࣘ:ۻࢀ (3.2-16a) ࣘ ࢛ۻࢀ = ࣘܣࣘۻࢀ = ܯܣ ࢛ࣘۻࢀሶ = ࣘ߱ࣘۻࢀܤ = ܯ߱ܤ (3.2-16b) Như vậy nghiệm của (3.2-8) là (3.2-14) với ߱ và ࣘ là tần số vòng và dạng của mode dao động thứ ݊, ܣvà ܤ được xác định theo điều kiện ban đầu theo phương trình (3.2-16) 14 7 3.3 Phương pháp chồng chất mode Hệ phương trình vi phân chủ đạo của hệ có N bậc tự do: ࢛ۻሷ + ۱࢛ሶ + ۹࢛ = (࢚) (3.3-1) Biểu diễn ࢛ theo tọa độ mode như (3.2-7) và thay vào (3.3-1): ۻሷ + ۱ሶ + ۹ = (࢚) (3.3-2) Nhân trước (3.3-2) với :ࢀ ۻࢀሷ + ࢀ۱ሶ + ࢀ۹ = (࢚)ࢀ (3.3-3) Nếu ma trận cản tỉ lệ với ma trận khối lượng và ma trận độ cứng (cản Rayleigh) theo: ۱ = ܽெܽ + ۻ۹ (3.3-4) thì hệ phương trình (3.3-3) có dạng tách rời 15 3.3 Phương pháp chồng chất mode Phương trình thứ n trong hệ phương trình vi phân tách rời: ࣘݍࣘۻࢀሷ + ࣘࢀ۱ࣘݍሶ + ࣘࢀ۹ࣘ(࢚)ࢀࣘ = ݍ (3.3-5) Hay: ܯݍሷ + ܥݍሶ + ܭݍ = (ݐ) (3.3-6) Phương trình (3.3-6) là phương trình vi phân chuyển động của hệ 1BTD Giải phương trình này để tìm ݍ Nghiệm của hệ phương trình (3.3-1) được xác định theo: ࢛ = ∑ ࣘݍ (3.2-7) Sự tham gia của mode n vào chuyển vị của hệ: ࢛ = ࣘݍ (3.3-7) 16 8 3.3 Phương pháp chồng chất mode LỰC TĨNH NGANG TƯƠNG ĐƯƠNG VÀ SỰ THAM GIA CỦA CÁC MODE Lực tĩnh ngang tương đương do mode thứ n gây ra: = ࢌ۹࢛ = ۹ࣘݍ (3.3-8) Theo (3.2-1) ۹ࣘ = ߱ଶࣘۻ Do đó: ߱ = ࢌଶݍࣘۻ Phân tích hệ chịu ࢌđể tính phản ứng ࢘ của hệ Đây là sự tham gia của mode thứ n vào tổng phản ứng của hệ Tổng phản ứng của hệ được tính bởi: ࢘ = ∑ ࢘ 17 9