Nói cách khác, các mode là độc lập tuyến tính.. Giải phương trình này để tìmL.. Đây là sự thamgia của mode thứ n vào tổng phản ứng của hệ.. Tổng phản ứngcủa hệ được tính bởi:.
Trang 1BÀI GIẢNG ĐỘNG LỰC HỌC KẾT CẤU
(hệ đại học tín chỉ)
BÀI GIẢNG ĐỘNG LỰC HỌC KẾT CẤU
(hệ đại học tín chỉ)
Đào Đình Nhân
ĐẠI HỌC KIẾN TRÚC TPHCM
KHOA XÂY DỰNG
Chương 3: HỆ NHIỀU BẬC TỰ DO
1
3.1 Thiết lập phương trình vi phân chủ đạo
2
Xét khung phẳng 2 tầng như hình vẽ
Khối lượng m1:
+ + − − = ()
Khối lượng m2:
+ − − = ()
Viết dưới dạng ma trận:
0
0
+ −+ −
=
+
=
Hoặc:
()
()
Trang 2
3.1 Thiết lập phương trình vi phân chủ đạo
3
Tổng quát:
Theo phương bậc tự do :
Lực quán tính = ∑×
Lực cản = ∑×
Lực đàn hồi = ∑ ×
Gọi: = lực quán tính tương ứng với do = 1 gây ra
= lực cản tương ứng với do = 1 gây ra
= lực đàn hồi tương ứng với do = 1 gây ra
Theo nguyên lý D’Alembert:
×
+ ×
×
= p
Xét tất cả các bậc tự do và viết dưới dạng ma trận:
+ =
3.1 Thiết lập phương trình vi phân chủ đạo
Hay:
+ + ! = "
Trong đó: = Ma trận khối lượng
= Ma trận cản
! = Ma trận độ cứng Nếu khối lượng của hệ được thu gọn về các bậc tự do là các chuyển
vị thẳng thì
trận đường chéo với các khối lượng tương ứng với các bậc tự do là
các chuyển vị thẳng
Trang 33.1 Thiết lập phương trình vi phân chủ đạo
5
Ví dụ: Thiết lập phương trình vi phân chủ đạo cho kết cấu như hình vẽ
Biết rằng các thanh dầm là tuyệt đối cứng và bỏ qua tính cản
)*
)*
+ /2 +
)*
)*
)*
)* $
$
$
= 00 00
0 0 /2
! =)*$+ −24 48 −2448 −24 0
0 −24 24
" =
+
=
+
+ ! = "
3.2 Dao động tự do và mode dao động
6
DAO ĐỘNG TỰ DO CỦA HỆ 3 BTD
Trang 43.2 Dao động tự do và mode dao động
7
TẦN SỐ VÀ HÌNH DẠNG CỦA CÁC MODE DAO ĐỘNG
Phương trình vi phân chủ đạo của dao động tự do không cản:
+ ! = 0
Khi hệ dao động đều hòa với hình dạng không đổi, có thể biểu diễn
nghiệm dưới dạng:
⋮
2 = 3⋮
32 sin (7 + 8) hay: = 9sin (7 + 8) Thay nghiệm này vào phương trình vi phân chủ đạo:
! − 7: 9sin(7+ 8) = 0 Phương trình này phải thỏa mãn tại mọi thời điểm, do đó:
! − 7: 9 = 0 (3.2-1)
3.2 Dao động tự do và mode dao động
Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất (3.2-1) có ít nhất là một
nghiệm tầm thường9 = 0, ứng với trạng thái cân bằng tĩnh
Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất (3.2-1) sẽ có nghiệm không
tầm thường nếu:
det ! − 7: = 0 : Phương trình đặc trưng
Giải phương trình bậc> theo 7trên ta sẽ tìm được> giá trị
(dương) của7 Từ đó sẽ tìm được> tần số vòng tự nhiên 7của
> mode dao động
Thay các giá trị của7vào phương trình thuần nhất (3.2-1) ta sẽ tìm
được> họ nghiệm 9? Mỗi họ nghiệm9?= 3 … 32, Bbiểu
diễn hình dạng của một mode dao động tương ứng với tần số vòng7
Trang 53.2 Dao động tự do và mode dao động
9
Ví dụ: Xác định tần số vòng tự nhiên và hình dạng các mode của kết cấu
như hình vẽ
)*
)*
+
/2
)*
)*
)*
)* $
$
$
48)*$+− 7 −24)*$+ 0
−24)*$+ 48)*$+− 7 −24)*$+
0 −24)*$+ 24)*$+−2 7
= 0
Phương trình đặc trưng:
det ! − 7: = 0
3.2 Dao động tự do và mode dao động
10
TÍNH TRỰC GIAO CỦA CÁC MODE
Xét hai mode n và r:
! − 7: 9?= 0 (3.2-2)
! − 7F 9G= 0 (3.2-3) Lần lượt nhân trước (3.2-2) và (3.2-3) cho9GHvà9?:
9GH!9?= 7:9GH 9? (3.2-4)
9?!9G= 7I9? 9G (3.2-5)
So sánh (3.2-4) và (3.2-5):
7:− 7F 9GH 9?= 0 Hay 9GH 9?= 9GH!9?= 0 nếu n<> r
Trang 63.2 Dao động tự do và mode dao động
11
BIỂU DIỄN PHẢN ỨNG CHUYỂN VỊ TRONG HỆ TỌA ĐỘ MODE
Giả sử:
9D+ 9J+ ⋯ + 29E= 0 (3.2-6)
Nhân trước phương trình trên với9? :
9? 9?= 0
Vì9? 9?nên= 0
Nghĩa là phương trình (3.2-6) thỏa mãn nếu = = ⋯ = 2 = 0
Nói cách khác, các mode là độc lập tuyến tính
Vì các mode là độc lập tuyến tính nên bất kỳ một vector
= … 2 nào cũng có thể biểu diễn dưới dạng tổ hợp
tuyến tính của các vector 3, … , 32:
= L9D+ ⋯ + L29E= ∑ 9?L= CM (3.2-7)
3.2 Dao động tự do và mode dao động
DAO ĐỘNG TỰ DO KHÔNG CẢN
Phương trình vi phân chủ đạo của dao động tự do không cản:
+ ! = 0 (3.2-8)
Thay (3.2-7) vào (3.2-8):
CM + !CM = 0 (3.2-9)
Nhân trước (3.2-9) vớiCH:
CH CM + CH!CM = 0 (3.2-10)
Theo tính trực giao của các mode, phương trình (3.2-10) tương
đương với hệ> phương trình có nghiệm tách rời sau:
Trang 73.2 Dao động tự do và mode dao động
13
Phương trình thứ n của hệ phương trình (3.2-11) là phương trình
dao động tự do không cản của hệ 1BTD:
PL+ QL= 0 (3.2-12)
Nghiệm của phương trình (3.2-12) là:
L= Rcos (7) + Usin (7) (3.2-13)
Theo (3.2-7) và (3.2-13), nghiệm của (3.2-8) là:
= ∑ 9? Rcos 7 + Usin 7 (3.2-14)
= ∑ 9? −7Rsin 7 + 7Ucos 7
Trong đó:
P= 9? 9?; Q = 9?!9?
3.2 Dao động tự do và mode dao động
14
Tại thời điểm ban đầu:
(0) = ∑ 9?R (3.2-15a)
(0) = ∑ 9?7U (3.2-15b)
Nhân 2 vế của phương trình (3.2-15) với9? :
9? 0 = 9? 9?R= PR (3.2-16a)
9? 0 = 9? 9?7U= P7U (3.2-16b)
Như vậy nghiệm của (3.2-8) là (3.2-14) với7và9?là tần số vòng
và dạng của mode dao động thứW, RvàUđược xác định theo
điều kiện ban đầu theo phương trình (3.2-16)
Trang 83.3 Phương pháp chồng chất mode
15
Hệ phương trình vi phân chủ đạo của hệ có N bậc tự do:
+ + ! = "(X) (3.3-1)
Biểu diễn theo tọa độ mode như (3.2-7) và thay vào (3.3-1):
CM + CM + !CM = "(X) (3.3-2)
Nhân trước (3.3-2) vớiCH:
CH CM + CH CM + CH!CM = CH"(X) (3.3-3)
Nếu ma trận cản tỉ lệ với ma trận khối lượng và ma trận độ cứng
(cản Rayleigh) theo:
= YZ + Y[! (3.3-4)
thì hệ phương trình (3.3-3) có dạng tách rời
3.3 Phương pháp chồng chất mode
Phương trình thứ n trong hệ phương trình vi phân tách rời:
9? 9?L+ 9? 9?L+ 9?!9?L = 9H"(X) (3.3-5)
Hay:
PL+ \L+ QL= () (3.3-6)
Phương trình (3.3-6) là phương trình vi phân chuyển động của hệ
1BTD Giải phương trình này để tìmL Nghiệm của hệ phương
trình (3.3-1) được xác định theo:
Trang 93.3 Phương pháp chồng chất mode
17
LỰC TĨNH NGANG TƯƠNG ĐƯƠNG VÀ SỰ THAM GIA CỦA CÁC MODE
Lực tĩnh ngang tương đương do mode thứ n gây ra:
]?= ! ?= !9?L (3.3-8) Theo (3.2-1)
!9?= 7 9?
Do đó:
]?= 7 9?L Phân tích hệ chịu]?đểtính phản ứngG?của hệ Đây là sự tham
gia của mode thứ n vào tổng phản ứng của hệ Tổng phản ứng
của hệ được tính bởi:
G = ∑ G?