• Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất 3.2-1 sẽ có nghiệm không tầm thường nếu: det
ĐẠI HỌC KIẾN TRÚC TPHCM KHOA XÂY DỰNG Chương 3: HỆ NHIỀU BẬC TỰ DO Bạch Vũ Hoàng Lan 1 3.1 Thiết lập hệ phương trình vi phân chủ đạo Xét hệ khung phẳng 2 tầng như hình vẽ 𝑝2(𝑡) 𝑚2 𝑢2 𝑝2(𝑡) 𝑚2 𝑢2 𝑘2 𝑐2 𝑢2 𝑓𝐼 2 𝑘2 𝑐2 𝑝1(𝑡) 𝑚1 𝑢1 𝑓𝑆2 𝑠 𝑓𝐶2 𝑠 𝑝1(𝑡) 𝑓𝑆1 𝑠 𝑘1 𝑢1 𝑓𝐼1 𝑓𝐶1 𝑠 𝑘2 𝑐2 𝑢1 𝑐1 𝑐1 𝑚1 𝑘1 𝑓𝑆1𝐼 𝑓𝐶1𝐼 Pt cân bằng của khối lượng m1: 𝑚1𝑢1 + 𝑐1𝑢1 + 𝑐2 𝑢1 − 𝑢2 + 𝑘1𝑢1 + 𝑘2 𝑢1 − 𝑢2 = 𝑝1(𝑡) Khối lượng m2: 𝑚2𝑢2 + 𝑐2 𝑢2 − 𝑢1 + 𝑘2 𝑢2 − 𝑢1 = 𝑝2(𝑡) 2 3.1 Thiết lập hệ phương trình vi phân chủ đạo Viết dưới dạng ma trận: 0 𝑚2 𝑢2 𝑚1 0 𝑢1 + −𝑐2 𝑐2 𝑢2 (𝑐1 + 𝑐2) −𝑐2 𝑢1 + −𝑘2 𝑘2 𝑢2 (𝑘1+𝑘2) −𝑘2 𝑢1 = 𝑝2 𝑝1 Hoặc: 𝑚11 𝑚12 𝑢 𝑚 1 21 𝑚22 𝑢2 + 𝑐11 𝑐12 𝑢 𝑐 1 21 𝑐22 𝑢2 + 𝑘11 𝑘12 𝑢1 𝑘21 𝑘22 𝑢2 = 𝑝1 𝑝2 Tổng quát: Gọi: 𝑚𝑖𝑗 = lực quán tính tương ứng với 𝑢𝑖 do 𝑢𝑗 = 1 gây ra 𝑐𝑖𝑗 = lực cản tương ứng với 𝑢𝑖 do 𝑢𝑗 = 1 gây ra 𝑘𝑖𝑗 = lực đàn hồi tương ứng với 𝑢𝑖 do 𝑢𝑗 = 1 gây ra 3 3.1 Thiết lập hệ phương trình vi phân chủ đạo Theo phương bậc tự do 𝑢𝑖: Với: 𝑑𝑜𝑓 - Degree of Freedom Lực quán tính = 𝑗=1 𝑛𝑑𝑜𝑓 𝑚𝑖𝑗 × 𝑢𝑗 Lực cản = 𝑗=1 𝑛𝑑𝑜𝑓 𝑐𝑖𝑗 × 𝑢𝑗 Lực đàn hồi = 𝑗=1 𝑛𝑑𝑜𝑓 𝑘𝑖𝑗 × 𝑢𝑗 Pt cân bằng lực theo nguyên lý D’Alembert: 𝑛𝑑𝑜𝑓 𝑛𝑑𝑜𝑓 𝑛𝑑𝑜𝑓 𝑚𝑖𝑗 × 𝑢𝑗 + 𝑐𝑖𝑗 × 𝑢𝑗 + 𝑘𝑖𝑗 × 𝑢𝑗 = pi 𝑗=1 𝑗=1 𝑗=1 Xét tất cả các bậc tự do và viết dưới dạng ma trận: 𝑚𝑖𝑗 𝑢𝑖 + 𝑐𝑖𝑗 𝑢𝑖 + 𝑘𝑖𝑗 𝑢𝑖 = 𝑝𝑖 4 3.1 Thiết lập hệ phương trình vi phân chủ đạo Hay: 𝐌𝒖 + 𝐂𝒖 + 𝐊𝒖 = 𝒑 Trong đó: 𝐌 = Ma trận khối lượng 𝐂 = Ma trận cản 𝐊 = Ma trận độ cứng Nếu khối lượng của hệ được thu gọn về các bậc tự do là các chuyển vị thẳng thì 𝑚𝑖𝑗 = 0 (𝑘ℎ𝑖 𝑖 𝑗) và ma trận khối lượng trở thành ma trận đường chéo với các khối lượng tương ứng với các bậc tự do là các chuyển vị thẳng 5 3.1 Thiết lập hệ phương trình vi phân chủ đạo ĐỘ CỨNG CỦA KẾT CẤU Theo định nghĩa: 𝑘𝑖𝑗 = lực đàn hồi tương ứng với 𝑢𝑖 do 𝑢𝑗 = 1 gây ra Chú ý: Lực đàn hồi cân bằng với lực nút nhằm duy trì đường đàn hồi, tức là ngược chiều với lực nút Hệ số độ cứng 𝑘𝑖𝑗 được minh họa là các lực nút do chuyển vị 𝑢𝑗 = 1 gây ra (các chuyển vị khác 𝑢𝑖 = 0 𝑣ớ𝑖 𝑖 𝑗) 𝑃1 = 𝑘1𝑗 𝑃𝑖 = 𝑘𝑖𝑗 𝑃𝑗 = 𝑘𝑗𝑗 𝑃𝑁 = 𝑘𝑁𝑗 𝑢𝑗 = 1 1 i j N 6 𝑃1 = 𝑘1𝑗 𝑃𝑖 = 𝑘𝑖𝑗 𝑃𝑗 = 𝑘𝑗𝑗 𝑃𝑁 = 𝑘𝑁𝑗 𝑢𝑗 = 1 1 i j N 1 i j N 𝑢𝑗 = 1 𝑘1𝑗 𝑘𝑖𝑗 𝑘𝑗𝑗 𝑘𝑁𝑗 Hệ số độ cứng 𝑘𝑖𝑗 cũng chính là phản lực tại nút nếu đặt vào đó các liên kết ngăn cản chuyển vị Do vậy có thể dùng phương pháp chuyển vị để xác định hệ số độ cứng 7 3.1 Thiết lập hệ phương trình vi phân chủ đạo Ví dụ 3.1: Thiết lập phương trình vi phân chủ đạo cho kết cấu như hình vẽ Biết rằng các thanh dầm là tuyệt đối cứng và bỏ qua 𝑝3 cản 𝑚/2 𝑢3 Dạng pt vi phân chủ đạo không cản: 𝐌𝒖 + 𝐊𝒖 = 𝒑 𝐸𝐼 𝐸𝐼 ℎ Ma trận khối lượng: 𝑝2 𝑚 𝑢2 𝑚0 0 𝐌= 0 𝑚 0 𝐸𝐼 𝐸𝐼 ℎ 0 0 𝑚/2 𝑝1 𝑚 𝑢1 𝑢1 𝒖 = 𝑢2 𝑢3 𝐸𝐼 𝐸𝐼 ℎ 𝑝1 𝒑 = 𝑝2 𝑝3 8 Sử dụng pp chuyển vị để tính độ cứng đơn vị: 24𝐸𝐼 𝑘32 = − ℎ3 𝑘31 = 0 6𝐸𝐼 ℎ2 𝑢2 = 1 6𝐸𝐼 ℎ2 6𝐸𝐼 ℎ2 𝑢1 = 1 6𝐸𝐼 ℎ2 48𝐸𝐼 6𝐸𝐼 ℎ2 6𝐸𝐼 ℎ2 𝑘22 = ℎ3 6𝐸𝐼 ℎ2 24𝐸𝐼 𝑘12 = − ℎ3 24𝐸𝐼 Khi cho 𝑢3 = 1 tương tự ta có: 𝑘21 = − ℎ3 24𝐸𝐼 12𝐸𝐼 ℎ3 12𝐸𝐼 ℎ3 𝑘33 = ℎ3 12𝐸𝐼 ℎ3 12𝐸𝐼 ℎ3 24𝐸𝐼 12𝐸𝐼 ℎ3 𝑘23 = − ℎ3 12𝐸𝐼 ℎ3 48𝐸𝐼 𝑘13 = 0 𝑘11 = ℎ3 9 𝑝3 𝑚/2 𝑢3 Thiết lập ma trận độ cứng 𝐸𝐼 𝐸𝐼 ℎ 𝑘11 𝑘12 𝑘13 𝑝2 𝐊 = 𝑘21 𝑘22 𝑘23 𝑚 𝑢2 𝑘31 𝑘32 𝑘33 𝐸𝐼 𝐸𝐼 ℎ 𝐸𝐼 48 −24 0 𝑝1 → 𝐊 = ℎ3 −24 48 −24 0 −24 24 𝑚 𝑢1 𝐸𝐼 𝐸𝐼 ℎ 10