Bài giảng động lực học kết cấu chương 3

• Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất 3.2-1 sẽ có nghiệm không tầm thường nếu: det

Bạch Vũ Hoàng Lan

ĐẠI HỌC KIẾN TRÚC TPHCM

KHOA XÂY DỰNG

Chương 3: HỆ NHIỀU BẬC TỰ DO

3.1 Thiết lập hệ phương trình vi phân chủ đạo

Gọi: 𝑚𝑖𝑗 = lực quán tính tương ứng với 𝑢𝑖 do 𝑢 𝑗 = 1 gây ra

𝑐𝑖𝑗 = lực cản tương ứng với 𝑢𝑖 do 𝑢 𝑗 = 1 gây ra

𝑘𝑖𝑗 = lực đàn hồi tương ứng với 𝑢𝑖 do 𝑢𝑗 = 1 gây ra

3.1 Thiết lập hệ phương trình vi phân chủ đạo

3.1 Thiết lập hệ phương trình vi phân chủ đạo

ma trận khối lượng trở thành ma trận đường chéo

với các khối lượng tương ứng với các bậc tự do là

các chuyển vị thẳng

3.1 Thiết lập hệ phương trình vi phân chủ đạo

ĐỘ CỨNG CỦA KẾT CẤU

Theo định nghĩa:

𝑘𝑖𝑗 = lực đàn hồi tương ứng với 𝑢𝑖 do 𝑢𝑗 = 1 gây ra

Chú ý: Lực đàn hồi cân bằng với lực nút nhằm duy trì đường đàn hồi, tức là ngược chiều với lực nút

Hệ số độ cứng 𝑘𝑖𝑗 được minh họa là các lực nút do chuyển vị

𝑢𝑗 = 1 gây ra (các chuyển vị khác 𝑢𝑖 = 0 𝑣ớ𝑖 𝑖 <> 𝑗)

𝑃1 = 𝑘1𝑗 𝑃𝑖 = 𝑘𝑖𝑗 𝑃𝑗 = 𝑘𝑗𝑗 𝑃𝑁 = 𝑘𝑁𝑗

𝑢𝑗 = 1

Hệ số độ cứng 𝑘𝑖𝑗 cũng chính là phản lực tại nút nếu đặt vào

đó các liên kết ngăn cản chuyển vị Do vậy có thể dùng phương pháp chuyển vị để xác định hệ số độ cứng

3.1 Thiết lập hệ phương trình vi phân chủ đạo

Ví dụ 3.1: Thiết lập phương trình vi phân chủ đạo cho kết cấu

như hình vẽ Biết rằng các thanh dầm là tuyệt đối cứng và bỏ qua cản

ℎ 4

ℎ 4

ℎ 4

3.2 Dao động tự do và mode dao động

A. TẦN SỐ VÀ HÌNH DẠNG CỦA CÁC MODE DAO ĐỘNG

Phương trình vi phân chủ đạo của dao động tự do không cản:

𝜙𝑁 sin (𝜔𝑛𝑡 + 𝜃) hay: 𝒖 = 𝝓sin (𝜔𝑛𝑡 + 𝜃)

Đạo hàm bậc 2 của phương trình dao động 𝒖 𝑡 :

𝒖 = −𝜔𝑛2𝝓sin (𝜔𝑛𝑡 + 𝜃)

3.2 Dao động tự do và mode dao động

Phương trình này phải thỏa mãn tại mọi thời điểm, do đó:

𝐊 − 𝜔n2𝐌 𝝓 = 𝟎 (3.2-1)

• Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất (3.2-1) có ít nhất là một nghiệm tầm thường 𝝓 = 𝟎, ứng với trạng thái cân bằng tĩnh

• Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất (3.2-1) sẽ có

nghiệm không tầm thường nếu:

det 𝐊 − 𝜔n2𝐌 = 𝟎 : Phương trình đặc trưng của hệ Thay chuyển vị và gia tốc vào phương trình vi phân chủ đạo:

𝐊 − 𝜔n2𝐌 𝝓sin(𝜔𝑛𝑡 + 𝜃) = 𝟎

3.2 Dao động tự do và mode dao động

Giải phương trình bậc 𝑁 theo 𝜔𝑛2 trên ta sẽ tìm được 𝑁 giá trị (dương) của 𝜔𝑛2 Từ đó sẽ tìm được 𝑁 tần số vòng

tự nhiên 𝜔𝑛 của 𝑁 mode dao động

Thay các giá trị của 𝜔𝑛 vào phương trình thuần nhất (3.2-1) ta sẽ tìm được 𝑁 họ nghiệm 𝝓𝒏

Do: det 𝐊 − 𝜔n2𝐌 = 𝟎, ta không thể xác định các phần

tử 𝝓𝒊 Tuy nhiên ta có thể xác định bằng cách biểu thị các chuyển vị theo một chuyển vị được chọn làm chuẩn (thường lấy bằng 1 đơn vị)

3.2 Dao động tự do và mode dao động

Mỗi họ nghiệm 𝝓𝒋 = 𝜙1𝑗 … 𝜙𝑁𝑗 𝑇 biểu diễn hình dạng của một mode dao động tương ứng với tần số vòng 𝜔𝑗

Các phần tử 𝜙𝑖𝑗 tương ứng với chuyển vị chuyển vị thứ 𝑖 của n bậc tự do của dạng dao động thứ 𝑗

Ví dụ 3.2: Xác định các tần số vòng tự nhiên và dạng

dao động của kết cấu như hình vẽ Biết khối lượng

𝑚 = 20000 𝑘𝑔 ; độ cứng theo phương ngang của mỗi tầng 𝑘 = 18 106 𝑁 𝑚

Các tần số dao động riêng xác định từ pt đặc trưng:

Thay tần số dao động riêng 𝜔1 = 18.54 𝑟𝑎𝑑 𝑠 vào pt (3.2-1):

Các dạng dao động (mode shape) của hệ kết cấu:

Xét hai mode n và r:

𝐊 − 𝜔n2𝐌 𝝓𝒏 = 𝟎 (3.2-2)

𝐊 − 𝜔𝑟2𝐌 𝝓𝒓 = 𝟎 (3.2-3) Lần lượt nhân trước (3.2-2) và (3.2-3) cho 𝝓𝒓𝑻 và 𝝓𝒏𝑻:

𝝓𝒓𝑻𝐊𝝓𝒏 = 𝜔n2𝝓𝒓𝑻𝐌𝝓𝒏 (3.2-4)

𝝓𝒏𝑻𝐊𝝓𝒓 = 𝜔r2𝝓𝒏𝑻𝐌𝝓𝒓 (3.2-5)

B TÍNH TRỰC GIAO CỦA CÁC MODE

Chuyển trí các vector và các ma trận trong pt (3.2-5):

𝝓𝒏𝐊𝐓𝝓𝒓𝑻 = 𝜔r2𝝓𝒓𝑻𝐌𝐓𝝓𝒏 (3.2-6) Với 𝝓𝒓𝑻 và 𝝓𝒏𝑻 là các ma trận chuyển trí của 𝝓𝒓 và 𝝓𝒏

So sánh (3.2-6) với (3.2-4), ta có:

𝜔n2 − 𝜔𝑟2 𝝓𝒓𝑻𝐌𝝓𝒏 = 𝟎 → 𝝓𝒓𝑻𝐌𝝓𝒏 = 𝟎

Hay 𝝓𝒓𝑻𝐌𝝓𝒏 = 𝝓𝒓𝑻𝐊𝝓𝒏 = 𝟎 nếu n<> r

Thay vào (3.2-6), suy ra: 𝝓𝒓𝑻𝐊𝝓𝒏 = 𝟎

Ý nghĩa của tính chất trực giao: Công của các lực

quán tính và lực đàn hồi của dạng dao động thứ 𝑗 trên

những chuyển vị theo dạng thứ 𝑖 bằng không

Do các ma trận 𝐊 và 𝐌 đối xứng, nên: 𝐊 = 𝐊𝐓; 𝐌 = 𝐌𝐓

C CHUẨN HÓA THEO MA TRẬN KHỐI LƯỢNG

Nếu vector 𝝓 là dạng dao động riêng của hệ, thì các vector tỷ lệ với 𝝓 cũng là dạng dao động riêng vì thỏa mãn phương trình (3.2-1)

Ta dùng hệ số tỷ lệ trong các dạng dao động riêng để chuẩn hóa các biên độ dao động của các bậc tự do Trong tính toán để thuận tiện người ta thường chuẩn hóa các dạng dao động sao cho khối lượng tổng quát bằng một đơn vị

C CHUẨN HÓA THEO MA TRẬN KHỐI LƯỢNG

Vector chuyển vị 𝒖 được chuẩn hóa theo ma trận khối lượng thành Φ𝑛 thỏa mãn điều kiện:

Ví dụ 3.3: Cho hệ 2 BTD có ma trận khối lượng M và

ma trân độ mềm F, như sau:

𝐌 = 10 0

1 20

1 1

1 2 Biết các vector các hàm dạng có dạng:

1

theo ma trận khối lượng

Phương trình đặc trưng của hệ có thể viết dưới dạng:

𝑘11 = −1 22 = 2; 𝑘12= −1; 𝑘21 = −1; 𝑘22 =1

Ma trận độ cứng của hệ từ ma trận độ mềm:

→ 𝑲 = 𝑭−𝟏 = 20 2 −1

−1 1 ;

Phương trình đặc trưng của hệ có dạng:

Thay tần số dao động riêng 𝜔2 = 2.61 𝑟𝑎𝑑 𝑠 vào pt :

Khối lượng suy rộng của hệ:

Ví dụ 3.4: Xác định tần số dao động riêng và dạng dao

động riêng của hệ như hình vẽ Biết độ cứng chống uốn

của các thanh là EI, giả thiết bỏ qua biến dạng dọc trục

1 𝐸𝐼

1 𝐸𝐼

1

𝐿3

6𝐸𝐼7𝐿3 8 −3

−3 2

Phương trình đặc trưng của hệ có dạng:

Thay tần số dao động riêng 𝜔1 vào pt và chọn Φ11 = 1 :

1

1.413 2𝑚

𝑚

Để phân tích phản ứng động ta sử dụng phương pháp chồng chất mode

 Biến hệ có 𝑛 phương trình vi phân dao động thành dạng hệ động có 𝑛 phương trình vi phân tách rời

 Sử dụng hệ tọa độ chuẩn để thiết lập các phương trình

vi phân tách rời của hệ không cản và có cản

Vector chuyển vị 𝒖 của hệ 𝑁 bậc tự do có thể tạo ra bằng các tổ hợp tuyến tính của 𝑁 vector cơ sở nào đó

Sử dụng các vector cơ sở là các dạng chính (mode shape) của dao động tự do có ưu điểm do tính trực giao của chúng

D BIỂU DIỄN PHẢN ỨNG CHUYỂN VỊ TRONG HỆ TỌA

ĐỘ MODE

D BIỂU DIỄN PHẢN ỨNG CHUYỂN VỊ TRONG HỆ

Các dạng chính đóng vai trò như các hàm lượng giác

của chuỗi Fourier và vì thế chuyển vị của hệ có thể xấp

xỉ khá tốt với một số số hạng của chuỗi

D BIỂU DIỄN PHẢN ỨNG CHUYỂN VỊ TRONG HỆ TỌA

ĐỘ MODE

Khai triển dạng dao động của vector chuyển vị 𝒖 theo dạng:

𝒖 = 𝑞1𝝓𝟏 + ⋯ + 𝑞𝑁𝝓𝑵 = 𝝓𝒏𝑞𝑛 = 𝚽𝒒 (3.2-7)

Với: 𝑞𝑖 là các tọa độ chuẩn ứng với hàm dạng 𝛷𝑖

Do tính chất trực giao nên các số hạng ở vế phải bằng

không (0) ngoại trừ số hạng 𝑖 = 𝑗:

𝝓𝒋𝑻𝐌𝒖 = 𝜙𝑗𝑇M𝛷𝑗𝑞𝑗

Nhân 2 vế của phương trình trên với 𝝓𝒋𝑻𝐌:

𝝓𝒋𝑻𝐌𝒖 = 𝑛𝑖=1 𝜙𝑗𝑇M𝛷𝑖 𝑞𝑖

D BIỂU DIỄN PHẢN ỨNG CHUYỂN VỊ TRONG HỆ

D BIỂU DIỄN PHẢN ỨNG CHUYỂN VỊ TRONG HỆ

TỌA ĐỘ MODE

1 1

1 1

D BIỂU DIỄN PHẢN ỨNG CHUYỂN VỊ TRONG HỆ

Phương trình vi phân chủ đạo của dao động tự do

3.3 PHƯƠNG TRÌNH CHUYỂN ĐỘNG CỦA DAO ĐỘNG

TỰ DO KHÔNG CẢN

Theo tính chất trực giao của các mode, phương trình (3.3-3) tương đương với hệ 𝑁 phương trình có nghiệm tách rời như sau:

3.3 PHƯƠNG TRÌNH CHUYỂN ĐỘNG CỦA DAO ĐỘNG

3.3 PHƯƠNG TRÌNH CHUYỂN ĐỘNG CỦA DAO ĐỘNG

TỰ DO KHÔNG CẢN

Nhân 2 vế của phương trình (3.3-8) với 𝝓𝒏𝑻𝐌:

𝝓𝒏𝑻𝐌𝒖 𝟎 = 𝝓𝒏𝑻𝐌𝝓𝒏𝐴𝑛 = 𝑀𝑛𝐴𝑛 (3.3-9a)

𝝓𝒏𝑻𝐌𝒖 𝟎 = 𝝓𝒏𝑻𝐌𝝓𝒏𝜔𝑛𝐵𝑛 = 𝑀𝑛𝜔𝑛𝐵𝑛 (3.3-9b)

Như vậy nghiệm của pt (3.2-7) là (3.3-7) với 𝜔𝑛 và 𝝓𝒏

là tần số vòng và dạng của mode dao động thứ 𝑛

Hay: 𝐴𝑛 = 𝝓𝒏𝑻𝐌𝒖 𝟎𝑀

𝑛 và 𝐵𝑛 = 𝝓𝒏𝑻𝐌𝒖 𝟎

Hệ phương trình vi phân chủ đạo của hệ có N bậc tự do:

Thì theo tính chất trực giao hệ phương trình (3.4-3) có

dạng 𝑛 phương trình tách rời

Phương trình thứ n trong hệ phương trình vi phân tách rời:

𝝓𝒏𝑻𝐌𝝓𝒏𝑞 𝑛 + 𝝓𝒏𝑻𝐂𝝓𝒏𝑞 𝑛 + 𝝓𝒏𝑻𝐊𝝓𝒏𝑞𝑛 = 𝝓𝒏𝑻𝒑(𝒕) (3.4-5)

Hay: 𝑀𝑛𝑞 𝑛 + 𝐶𝑛𝑞 𝑛 + 𝐾𝑛𝑞𝑛 = 𝑝𝑛(𝑡) (3.4-6)

Nếu ma trận cản tỉ lệ với ma trận khối lượng và ma trận

độ cứng (chứng minh của Rayleigh) theo:

𝐂 = 𝑎𝑀𝐌 + 𝑎𝐾𝐊 (3.4-4)

Với: 𝑎𝑀 và 𝑎𝐾 là các hằng số

Phương trình (3.4-6) là phương trình vi phân chuyển động của hệ 1BTD Giải phương trình này để tìm 𝑞𝑛 Nghiệm của hệ phương trình (3.4-1) được xác định theo:

Lực tĩnh ngang tương đương do mode thứ 𝑛 gây ra:

𝒇𝒏 = 𝐊𝒖𝒏 = 𝐊𝝓𝒏𝑞𝑛 (3.4-8)

Theo (3.2-1): 𝐊𝝓𝒏 = 𝜔𝑛2𝐌𝝓𝒏

Do đó: 𝒇𝒏 = 𝜔𝑛2𝐌𝝓𝒏𝑞𝑛

Phân tích hệ chịu 𝒇𝒏 để tính phản ứng 𝒓𝒏 của hệ Đây

là sự tham gia của mode thứ n vào tổng phản ứng của

hệ Tổng phản ứng của hệ được tính bởi:

𝒓 = 𝒓𝒏

 LỰC TĨNH NGANG TƯƠNG ĐƯƠNG VÀ SỰ THAM

GIA CỦA CÁC MODE

Ví dụ 3.6: Cho hệ 2BTD

chịu tác dụng của tải trọng

điều hòa 𝑝 𝑡 = 𝑝0𝑠𝑖𝑛𝜔𝑡

đặt vào khối lượng 𝑚1

Bằng cách khai triển theo

Nghiệm của phương trình: 𝑥1 = 𝑘 2 và 𝑥2= 2𝑘

Đổi biến: 2𝑥2 − 5𝑘𝑥 + 2𝑘2 = 0 − Với: 𝑥 = 𝑚𝜔2

Khối lượng suy rộng của hệ:

𝑀𝑛𝑞 𝑛 + 𝐾𝑛𝑞𝑛 = 𝑝𝑛(𝑡)

Thay các giá trị vừa xác định vào phương trình vi phân

tổng quát (3.4-6) của hệ khi hệ dao động không cản:

1.5𝑚𝑞 1 + 0.75𝑘𝑞1 = 0.5𝑞0𝑠𝑖𝑛𝜔𝑡

3𝑚𝑞 2 + 6𝑘𝑞2 = −𝑞0𝑠𝑖𝑛𝜔𝑡

Ta thu được 2 phương trình:

Tương tự như trong bài toán dao động của hệ 1BTD chịu tác dụng của tải trọng điều hòa, nghiệm của phương trình

vi phân khi hệ dao động bình ổn có dạng:

𝑞𝑛 𝑡 = 𝑄0𝑛𝑠𝑖𝑛𝜔𝑡 Với Q0n = pn 𝑡

𝐾𝑛

1 1− ω/ωn 2 2

Do vậy:

𝑞1 𝑡 = 𝑝1 𝑡

𝐾1

1 1− 𝜔/𝜔1 2 2 𝑠𝑖𝑛𝜔𝑡 = 0.5𝑝0

0.75𝑘

1 1− 𝜔/𝜔1 2 2 𝑠𝑖𝑛𝜔𝑡

Thay các biểu thức của 𝑞1, 𝑞2 và các dạng dao động

riêng vào, ta có:

𝑢1 𝑡

𝑢2 𝑡 = 0.51

2𝑝0𝑠𝑖𝑛𝜔𝑡3𝑘 1 − 𝜔/𝜔1 2 − −1

1

𝑝0𝑠𝑖𝑛𝜔𝑡6𝑘 1 − 𝜔/𝜔2 2

→ 𝑢1 𝑡

𝑢2 𝑡 =

𝑝0𝑠𝑖𝑛𝜔𝑡6𝑘

2𝑅𝑑1 + 𝑅𝑑24𝑅𝑑1 − 𝑅𝑑2

Đặt: 𝑅𝑑1 = 1

1 − 𝜔/𝜔1 2 ; 𝑅𝑑2 = 1

1 − 𝜔/𝜔2 2