Bài giảng động lực học kết cấu chương 2

Hiện tượng cộng hưởng Cộng hưởng xảy ra khi tần số của lực kích thích tác dụng bằng với tần số dao động của hệ, dẫn đến hệ số động

2.1 Thiết lập phương trình vi phân chủ đạo

2.1.1 Hệ 1 bậc tự do

2.1.3 Ảnh hưởng của sự rung động của gối tựa

𝑢𝑔:

Chuyển vị ngang của khối lượng do chuyển vị uốn gây ra Chuyển vị ngang của nền đất hay gối tựa

L = 4 (m)

E = 2. 108 ( 𝑘𝑁/𝑚2)

I = 2500 ( 𝑐𝑚4)

Ý nghĩa vật lý của độ cứng: chính là độ lớn của lực gây

ra chuyển vị của hệ bằng 1 đơn vị theo phương của chuyển vị cần xét

Phương trình vi phân của hệ có dạng:

mu + cu + ku = p(t) → 10u + 50u + 3750u = 20sin10t

Xác định chuyển vị tại tiết diện giữa dầm bằng phương pháp nhân biểu đồ

P

y

Bài tập: Hãy thiết lập phương trình vi phân chủ đao của

2.2.1 Dao động tự do không cản

11

u = −ωnAsin ωnt + ωnBcos(ωnt)

u = −ωn2Acos ωnt − ωn2Bsin(ωnt) Nghiệm: u = Acos ωnt + Bsin(ωnt)

Điều kiện biên: u 0 = A; u 0 = ωnB → 𝐵 = u 0

ωnPhương trình chuyển động:

Lưu ý khi ∶ 𝑐 < 𝑐𝑐𝑟 ℎ𝑎𝑦 𝜉 < 1 → Hệ có dao động (cản nhỏ)

Khi ∶ 𝑐 > 𝑐𝑐𝑟 → Hệ chuyển động tiệm cận đến vị trí cân bằng

2.2.2 Dao động tự do có cản nhớt (tt)

Không cản

Có cản

𝒖𝟎𝒆−𝝃𝝎𝒏 𝒕

Biên độ dao động (𝒖𝟎) giảm dần theo quy luật số mũ âm (−𝜉𝜔𝑛𝑡)

Biên độ dao động sau n chu kỳ : 𝑢(𝑛+1) = 𝑢0 𝑢1

𝑢0

𝑛

Tỷ số :

2.2.2 Dao động tự do có cản nhớt

Xác định chu kỳ và tỉ số cản dựa vào kết quả của thí

nghiệm dao động tự do

)Tu(t

u(t)ln

2.2.3 Ví dụ

Xác định các đặc trưng động học và biên độ dao động sau

4 chu kỳ của hệ như hình vẽ Biết khối lượng m, chịu tác dụng lực kích thích tức thời P=100kN, ứng với chuyển vị của khối lượng là 0,4cm Sau khi lực P không tác dụng chuyển vị đầu tiên hệ đạt được là 0,35cm, thời gian giữa 2 chuyển vị là chu kỳ T=1,5s

2

∗ 𝑘 = 1425 𝑘𝑁 𝑠2 𝑚

Tần số dao động riêng của hệ:

Độ giảm loga của hệ:

19

ωn = 2π

𝑇 =

2𝜋1.5 = 4.18 𝑟𝑎𝑑 𝑠

𝛿 = ln u t

u t + T = ln

0.40.35 ≈ 0.134

2.3 PHẢN ỨNG VỚI TẢI TRỌNG ĐIỀU HÒA

21

𝑢 = e−ξωn t Acos ωDt + Bsin ωDt + Ccos ωt + Dsin ωt

Dao động chuyển tiếp

Có cản  Tắt nhanh

Dao động bình ổn

Nghiệm của pt dao động: u t = uc t + up(t)

2.3.1 Nghiệm của phương trình dao động

2.3.1 Nghiệm của phương trình dao động

𝐾ℎ𝑖: 𝜔 𝜔𝑛 → 0 → 𝑅𝑑 ≈ 1 :

Hệ không có dao động

𝐾ℎ𝑖: 𝜔 𝜔𝑛 → ∞ → 𝑅𝑑 ≈ 0

2.3.2 Hiện tượng cộng hưởng

Cộng hưởng xảy ra khi tần số của lực kích thích tác dụng bằng với tần số dao động của hệ, dẫn đến hệ số động 𝑅𝑑 đạt giá trị cực đại

24

Khi tỷ số: 𝜔 𝜔𝑛 ≈ 1: Hệ xảy ra hiện tượng cộng hưởng

 Với hệ không cản cộng hưởng xảy ra khi :

𝜔 𝜔𝑛 = 1 → 𝑅𝑑 → ∞

 Với hệ có cản khi cộng hưởng xảy ra khi tần số dao

động của lực kích thích :

𝜔 = 𝜔𝑛 1 − 2𝜉2 → Rd = 1 2𝜉

hệ số cản 𝜉

𝑓𝑠 = 𝑃0 ∗ 𝑅𝑑

𝑓𝑠 − được gọi là tải trọng tĩnh tương đương

2.3.4 Ví dụ

Ví dụ 1: Xác định biên độ dao động lớn nhất của hệ, tại vị

trí đặt động cơ Bỏ qua trọng lượng bản thân dầm Động

cơ có khối lượng m=200(kg); số vòng quay n=8.34(vòng/s)

Tần số dao động riêng của hệ:

Hệ số động của hệ, khi hệ dđ không cản:

2.3.4 Ví dụ :

Ví dụ 2: Hệ 1BTD chịu tác dụng của tải trọng điều hòa

𝑝 𝑡 = 𝑃0sin𝜔𝑡, như hình vẽ Hãy vẽ biểu đồ mô men uốn động của khung Biết

31

Độ cứng k của hệ: 𝑦 = 23𝑃

24𝐸𝐼 = 1 → 𝑘 =

24𝐸𝐼 23

Tần số dao động riêng của hệ:

𝜔𝑛 = 𝑘

𝑚 =

24𝐸𝐼 23𝑚 =

2.4 PHẢN ỨNG VỚI TẢI TRỌNG CÓ CHU KỲ

Tải trọng p(t) có chu kỳ T p được khai triển chuỗi Fourier:

32

T p T p T p

t p(t)

p t = 𝑎0 + 𝑎𝑘 cos 𝑘𝜔0𝑡

∞ 𝑘=1

+ 𝑏𝑘 sin 𝑘𝜔0𝑡

∞

𝑘=1

𝜔0: Tần số vòng của tải trọng Với

2.4 PHẢN ỨNG VỚI TẢI TRỌNG CÓ CHU KỲ

𝑎0 = 1

𝑇0 𝑝 𝑡 𝑑𝑡

𝑇00

𝑎𝑘 = 2

𝑇0 𝑝 𝑡 cos (𝑘𝜔0𝑡)𝑑𝑡

𝑇00

𝑏𝑘 = 2

𝑇0 𝑝 𝑡 sin (𝑘𝜔0𝑡)𝑑𝑡

𝑇00

Phân tích phản ứng của hệ với từng thành phần riêng lẻ của tác động Sau đó sử dụng nguyên lý cộng tác dụng để tính phản ứng tổng của dao động

Các hệ số được xác định:

2.5 PHẢN ỨNG VỚI XUNG LỰC VÀ XUNG

 Xung lực là lực tác dụng trong khoảng thời

gian rất ngắn (~0) và tích phân của lực theo

thời gian trong khoảng thời gian tác dụng

của lực là một số hữu hạn Tích phân I này

được gọi là cường độ của xung lực

 Xung lực đơn vị là xung lực có khoảng thời

gian tác dụng tiến đến 0 và cường độ xung

lực bằng 1

 Xung (pulse) là lực tác dụng trong khoảng

thời gian ngắn (nhưng hữu hạn)

hệ đạt được trong thời gian rất ngắn

 Lực cản có vai trò nhỏ, hấp thụ ít năng lượng của kết cấu

2.5.1 Phản ứng với xung lực và xung

Theo định luật III Newton về lực và phản lực:

Δ𝑢 = 𝐼

𝑚 Với : 𝑚𝑢 - động lượng của hệ

2.5.1 Phản ứng với xung lực và xung

Một hệ 1 BTD đang đứng yên, chịu tác dụng của một xung lực tại thời điểm 𝜏 thì phương trình chuyển động của hệ sau thời điểm 𝜏 là:

2.5.2 Tính gần đúng phản ứng của hệ với xung lực

37

Một hệ 1 BTD đang đứng yên, chịu

tác dụng của một xung có thời gian

tác dụng nhỏ hơn một nửa chu kỳ

tự nhiên của hệ thì chuyển động

2.5.3 Ví dụ Hãy xác định chuyển vị lớn

nhất của hệ 1BTD không có cản, chịu tác động dạng xung

p(t) như hình vẽ Biết:

38

p

t 0.1s 0.1s

Chu kỳ dao động tư do của hệ:

2.5.4 Phản ứng với tải trọng bất kỳ - tích phân Duhamel

a Phản ứng với hai xung tách rời

2.5.4 Phản ứng với tải trọng bất kỳ - tích phân Duhamel

b Đối với tải trọng bất kỳ: phân tích thành một chuỗi

liên tục các xung Phản ứng toàn bộ là do phản ứng chồng chất của từng xung tao nên:

2.6 Phản ứng với tải trọng bất kỳ - Phương pháp số

2.6 Phản ứng với tải trọng bất kỳ - Phương Pháp số

43

m

Phản ứng thực Tải trọng thực

u(t)

p(t)

m

Phản ứng số Tải trọng số

u(t)

p(t)

Phân tích số