Bài tập hình học oxyz

Hơn 50 bài tập vận dụng cao về hình học không gian Oxyz là một tài liệu phục vụ nhu cầu của học sinh muốn đạt điểm cao trong kì thi trung học phổ thông quốc gia. Có đáp án chi tiết, mọi người muốn file word có thể liên hệ qua zalo 0338901607

1

BÀI TẬP HÌNH HỌC OXYZ

2

3

Câu 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , xét đường thẳng  đi qua điểm A0;0;1 và vuông góc với mặt phẳng Ozx Tính khoảng cách nhỏ nhất giữa điểm B0; 4;0 tới điểm C trong đó C là điểm cách đều đường thẳng  và trục Ox

A 1

65

2 Lời giải: Chọn A

x

y

zA

BO

Vì đường thẳng  đi qua điểm A0;0;1 và vuông góc với mặt phẳng Ozx thì  song song với trục Oy và nằm trong mặt phẳng Oyz Dễ thấy OA là đường vuông góc chung của  và Ox

2

z   suy ra

10

12

Do đó maxd O P ;  OM khi và chỉ khi  P qua M1;2;3 nhận OM  1; 2; 3

làm VTPT Do đó  P có phương trình:

A m 12 B m   12 C m   10 D m  5

Lời giải: Chọn B

Phương trình  S x: 2y2z24x6y m  là phương trình mặt cầu 0  m 13

Khi đó  S có tọa độ tâm I  2; 3;0 bán kính R 13 m

Gọi M x y z là điểm bất kỳ thuộc   ; ; 

Vậy mặt cầu  S cắt  tại hai điểm phân biệt A B sao cho, AB 8     m 3 9 m  12

Câu 5: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho , A1; 2; 3 ,  3 3; ; 1

2 2 2

 , C1;1; 4, D5;3;0 Gọi  S là 1

mặt cầu tâm A bán kính bằng 3 ,  S là mặt cầu tâm B bán kính bằng 2 3

2 Có bao nhiêu mặt phẳng tiếp xúc với

2 mặt cầu  S , 1  S2 đồng thời song song với đường thẳng đi qua 2 điểm C , D

cc

Với c ta có ptmp2  P : x2y2z  : T/m vì song song với CD 8 0

B

A C

I

R R    nên hai mặt cầu cắt nhau theo một đường tròn giao tuyến

Gọi I AB  với   là mặt phẳng thỏa mãn bài toán Hạ BH AK vuông góc với mặt phẳng ,  

Khi đó ta có I nằm ngoài AB và B là trung điểm AI vì 2 3 1 1 1

R   R BH AK Suy ra I2;1; 2

Gọi    :a x 2 b y 1 c z2 0

Vì   //CD mà CD4; 2; 4 

nên ta có 2a b 2c0  b 2c2aKhi đó d A ;   3

53

có đúng một mặt cầu  S thỏa yêu cầu

Gọi I m ;0;0 là tâm mặt cầu có bán kính R , d , 1 d là các khoảng cách từ I đến 2  P và  Q Ta có 1 1

A , B1; 2; 2 Gọi  P là mặt phẳng đi qua hai điểm A , B sao cho thiết diện của  P với mặt cầu  S

có diện tích nhỏ nhất Khi viết phương trình  P dưới dạng  P ax by cz:     Tính T a b c3 0   

Lời giải: Chọn B

Mặt cầu có tâm I1; 2;3 bán kính là R 4

Ta có A , B nằm trong mặt cầu Gọi K là hình chiếu của I trên AB và H là hình chiếu của I lên thiết diện

Ta có diện tích thiết diện bằng S r2R2IH2 Do đó diện tích thiết diện nhỏ nhất khi IH lớn nhất Mà

IHIK suy ra  P qua ,A B và vuông góc với IK

Ta có IA IB  5 suy ra K là trung điểm của AB Vậy K0;1; 2 và KI1;1;1

Vậy   P : x   1 y z 20       x y z 3 0

B K

Vậy Pmax 18 2 khi b c d  3

Câu 9: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm A1;0; 1  và mặt phẳng  P x y z:    3 0 Gọi  S

là mặt cầu có tâm I nằm trên mặt phẳng  P , đi qua điểm A và gốc tọa độ O sao cho diện tích tam giác OIAbằng 17

OIA

OI IAS

Từ  1 và  3 ta có 1

2

a cb

II



 

 OI R 3 Câu 10: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A0; 2; 2, B2; 2;0  Gọi I11;1; 1 và  I23;1;1

là tâm của hai đường tròn nằm trên hai mặt phẳng khác nhau và có chung một dây cung AB Biết rằng luôn có một mặt cầu  S đi qua cả hai đường tròn ấy Tính bán kính R của  S

9

Gọi d là đường thẳng đi qua 1 I và vuông góc với mặt phẳng 1 I AB , khi đó 1  d chứa tâm các mặt cầu đi qua 1đường tròn tâm I ; 1 d là đường thẳng đi qua 2 I và vuông góc với mặt phẳng 2 I AB , khi đó 2  d chứa tâm các mặt 2cầu đi qua đường tròn tâm I Do đó, mặt cầu 2  S đi qua cả hai đường tròn tâm  I và 1  I có tâm I là giao 2

ts

IMIHIK

Tính T m2 n2

Lời giải: Chọn D

Mặt phẳng  P có vec tơ pháp tuyến n2; 1; 2  và đường thẳng d có vec tơ chỉ phương v4; 4;3 

Vì  song song với mặt phẳng  P nên u  n 2m n    2 0 n 2m2

Mặt khác ta có cos ; .

u vd

d

KH

I

NM

11

Dựa vào bảng biến thiên ta có max f t  f 0  suy ra 5 ; d bé nhất khi m   Do đó 0 n 2

T m n  

Làm theo cách này thì không cần đến dữ kiện: đường thẳng  đi qua E2; 1; 2 

Câu 13: Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng   : 2x y 2z  , đường thẳng 2 0 : 1 2 3

Câu 14: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A3;0;1 , B1; 1;3  và mặt phẳng

 P x: 2y2z  Viết phương trình chính tắc của đường thẳng d đi qua A , song song với mặt phẳng 5 0  P sao cho khoảng cách từ B đến d nhỏ nhất

Gọi K là hình chiếu của B lên đường thẳng d , khi đó

Ta có d B d ; BKBH nên khoảng cách từ B đến d nhỏ nhất khi BK BH, do đó đường thẳng d đi qua A

và có vectơ chỉ phương u26;11; 2  có phương trình chính tắc: : 3 1

 Câu 15: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho hai điểm A2;1;3, B6;5;5 Gọi  S là mặt cầu có đường kính AB Mặt phẳng  P vuông góc với đoạn AB tại H sao cho khối nón đỉnh A và đáy là hình tròn tâm

H (giao của mặt cầu  S và mặt phẳng  P ) có thể tích lớn nhất, biết rằng  P : 2x by cz d    với b , c , 0

d Tính S b c d  

  suy ra mặt cầu  S có tâm I4;3; 4 và bán kính R 3Đặt IH x 0  x 3

Gọi r là bán kính đường tròn tâm H suy ra r R2x2  9x2

là một vectơ chỉ phương của d thì tổng S 2a3b bằng bao nhiêu?

Vậy S 2

   , do c là số nguyên tố nên chọn a  , 14 c , 2 b10 (loại)



  là một phương trình ẩn c ta được 5mc22 4 m1 c 8m  , 3 0Phương trình có nghiệm c    24m223m 1 0 1 1

Gọi R là bán kính của mặt cầu, H là trung điểm của AB

Gọi mặt phẳng đi qua M nhận AM 1; 2; 1

làm vectơ pháp tuyến nên:

  R : 1 x 1 2 y2 1 z30  x 2y z   8 0

Gọi d là giao tuyến của mặt phẳng  R và  P

Vectơ pháp tuyến của mp  P là: n 1; 1; 2 

xyz

Phương trình đường thẳng d :

0 5

3 32

17

Mặt khác M là trung điểm của đoạn BC nên

2.1 52.2 3 3t

z 2.3 2

C C C

Gọi M là trung điểm AB, và N là trung điểm của BC ta có 2d M ;  d1d2 và 2d N ;  d2 d3

Gọi G là trọng tâm tam giác MNC Khi đó ta có T 2d M ;   2d N ;   2d36d G ;   

2 2

  suy ra G2;3; 2  Gọi H1 ;1 2 ;1t  t t là hình chiếu của G lên đường thẳng  d , ta có GH   t 1; 2t 2;3t

Gọi T là tập tất cả các giá trị của m để d cắt  S tại hai điểm phân biệt A , B sao cho các tiếp

diện của  S tại A và B tạo với nhau góc lớn nhất có thể Tính tổng các phần tử của tập hợp T

Lời giải: Chọn B

Câu 25: Trong không gian Oxyz , cho ba điểm A1;2;1, B3; 1;1  và C   1; 1;1 Gọi  S là mặt cầu có 1

tâm A , bán kính bằng 2 ;  S và 2  S là hai mặt cầu có tâm lần lượt là B , C và bán kính bằng 3 1 Hỏi có bao nhiêu mặt phẳng tiếp xúc với cả ba mặt cầu  S , 1  S , 2  S 3

MI

Do đó có 4 mặt phẳng thỏa mãn bài toán

Vậy có 7 mặt phẳng thỏa mãn bài toán

Câu 26: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm A1;2; 3 và mặt phẳng   P : 2x2y z   9 0Đường thẳng d đi qua A và có vectơ chỉ phương u  3; 4; 4  cắt  P tại B Điểm M thay đổi trong  P sao cho M luôn nhìn đoạn AB dưới góc 90 Khi độ dài MB lớn nhất, đường thẳng MB đi qua điểm nào trong các o

+ Ta có: MB2 AB2MA2 Do đó MBmax khi và chỉ khi MAmin

+ Gọi E là hình chiếu của A lên  P Ta có: AM AE

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi M E

Khi đó AMmin AE và MB qua B nhận BE

20

Câu 27: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A5;0;0và B3; 4;0 Với C là điểm nằm trên trục Oz , gọi H là trực tâm của tam giác ABC Khi C di động trên trục Oz thì H luôn thuộc một đường tròn cố định Bán kính của đường tròn đó bằng

Ta có C0;0;c Dễ thấy tam giác  ABC cân tại C Gọi E 4;2;0 là trung điểm của AB Ta có mặt phẳng

OCE vuông góc với AB (do  AB OC

xy

y

x    z

 , đường thẳng AC nằm trên mặt phẳng   :x z   Biết 1 0

B là điểm có hoành độ dương, gọi a b c là tọa độ điểm ; ;  C , giá trị của a b c  bằng

xyz

Điểm B nằm trên đường thẳng AB nên điểm B có tọa độ B3t; 4  t; 8 4t

Theo giả thiết thì t   3 0    t 3

K

21

Do AB 3 2, ta có   2 2  2

t  t  t     nên t 1 B2; 3; 4  Theo giả thiết thì sin 60 3 6

cos

a bA



A

Mặt cầu  S có tâm I4;3; 2 và bán kính  R  5

Gọi H là trung điểm của AB thì IH AB và IH  nên H thuộc mặt cầu 3  S tâm I bán kính R  3

Gọi M là trung điểm của A B  thì AA BB 2HM, M nằm trên mặt phẳng  P

23

Câu 31: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho ba mặt phẳng:  P x: 2y z  1 0 ,

 Q x: 2y z   , 8 0  R x: 2y z   Một đường thẳng d thay đổi cắt ba mặt phẳng 4 0  P ,  Q ,  R lần lượt tại A , B , C Tìm giá trị nhỏ nhất của T AB2 144

AC

Lời giải: Chọn C

Ta có M1;0;0   P và ba mặt phẳng  P ,  Q ,  R đôi một song song với nhau

Gọi B, C lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên các mặt phẳng  Q ,  R , ta có:

Câu 32: Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu  S có tâm 1 I2 ;1 ;1 có bán kính bằng 4 và mặt cầu  S có 2

tâm J2 ;1 ; 5 có bán kính bằng 2  P là mặt phẳng thay đổi tiếp xúc với hai mặt cầu  S , 1  S Đặt 2 M , m lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của khoảng cách từ điểm O đến  P Giá trị M m bằng

C'

Giả sử IJ cắt  P tại M ta có 2

1

2RMJ

Câu 34: Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A10;6; 2  , B5;10; 9  và mặt phẳng

  : 2x2y z 12 0 Điểm M di động trên   sao cho MA , MB luôn tạo với   các góc bằng nhau Biết rằng M luôn thuộc một đường tròn   cố định Hoành độ của tâm đường tròn   bằng

34 23343

26

Tọa độ điểm J là nghiệm x y z của hệ phương trình:; ; 

10 23

34 23343

xyzt

, với a BC , b CA , c AB ” Sau khi tìm được D , ta tìm được

A với chú ý rằng A DH và OA DA

 Ta cũng có thể tìm ngay tọa độ điểm A bằng cách chứng minh A là tâm đường tròn bàng tiếp góc H của tam giác OHK Khi đó, ta tìm tọa độ điểm D dựa vào tính chất quen thuộc sau: “Cho tam giác ABC với J là tâm đường tròn bàng tiếp góc A , ta có a JA b JB c JC.   0

Bởi vậy EM EN đạt giá trị lớn nhất khi và chỉ khi EM EN và EK lớn nhất

Vì IKMN nên EM EN thì E thuộc đường thẳng

Câu 37: Trong không gian Oxyz , cho bốn điểm A   4; 1;3, B    ,  1; 2; 1 C3;2; 3 và  D0; 3; 5  Gọi 

  là mặt phẳng đi qua D và tổng khoảng cách từ A , B , C đến   lớn nhất, đồng thời ba điểm A , B , C nằm về cùng phía so với   Trong các điểm sau, điểm nào thuộc mặt phẳng  

A E17; 3; 4   B E22;0; 7  C E    3 1; 1; 6 D E436;1; 1 

Lời giải: Chọn A

M

AH

B

là trung điểm của đoạn II (do R R  ) 3

Vậy bán kính của đường tròn  C : r R2IH2  6

Câu 40: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng  P x y:  4z , đường thẳng 0

R'=3 R=3

H M

I' I

30

Gọi  Q là mặt phẳng chứa d và song song với  Khi đó d,dd, Q d A Q ,  

Gọi H , K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên  Q và d Ta có AH AK

Do đó, d,d lớn nhất  d A Q lớn nhất  ,   AHmax H K Suy ra AH chính là đoạn vuông góc chung của d và 

Mặt phẳng  R chứa A và d có véc tơ pháp tuyến là n R  AM u , 1

 2; 4; 8

Mặt phẳng  Q chứa d và vuông góc với  R nên có véc tơ pháp tuyến là n Q  n  R ,u1 12; 18; 6 

Đường thẳng  chứa trong mặt phẳng  P và song song với mặt phẳng  Q nên có véc tơ chỉ phương là

 P ,  R

u n n  66; 42; 6 6 11; 7; 1  

Suy ra, a11;b  Vậy 7 a2b  3

Câu 41: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm , A1;2; 3 và mặt phẳng   P : 2x2y z   9 0Đường thẳng d đi qua A và vuông góc với mặt phẳng  Q : 3x4y4z  cắt mặt phẳng 5 0  P tại B Điểm

M nằm trong mặt phẳng  P sao cho M luôn nhìn AB dưới góc vuông và độ dài MB lớn nhất Tính độ dài MBđó

+ Ta có: MB2 AB2MA2 Do đó MBmax khi và chỉ khi MA min

+ Gọi E là hình chiếu của A lên  P Ta có: AM AE

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi M E

Khi đó MAmin AE và MB qua B nhận BE

Ta có một véctơ chỉ phương của đường thẳng d là u  2; 1; 1  

Suy ra u OA 

Gọi H là hình chiếu của O trên đường thẳng d

I

(ABC)

32

Câu 43: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A3;1; 2 và B5;7;0 Có tất cả bao nhiêu giá trị thực của tham số m để phương trình x2y2z24x2my2m1z m 22m  là phương trình của 8 0một mặt cầu  S sao cho qua hai điểm A , B có duy nhất một mặt phẳng cắt mặt cầu  S đó theo giao tuyến là một đường tròn có bán kính bằng 1

 



  

 m  2Trường hợp 2:  P cách I một khoảng lớn nhất, đồng thời d I P2 ,  R2 1

Gọi H , K là hình chiếu của I lên  P và AB , ta có d I P ,  IH IK

Vậy có hai giá trị của m thỏa yêu cầu bài toán

Câu 44: Trong không gian Oxyz , cho điểm I1;0;0, mặt phẳng  P x: 2y2z 1 0  và đường thẳng

Gọi d là đường thẳng đi qua điểm I và vuông góc với mặt phẳng  P , M là hình chiếu vuông

góc của I trên mặt phẳng  P , N là điểm thuộc đường thẳng d sao cho diện tích tam giác IMN nhỏ nhất Tọa

Do đó, diện tích tam giác IMN nhỏ nhất khi và chỉ khi độ dài NH nhỏ nhất

Ta có N là điểm thuộc đường thẳng d nên N2; ;1n nIN1; ;1n n

Câu 45: Trong không gian Oxyz , cho hai mặt phẳng   :x my z  6m 3 0 và

  :mx y mz  3m  (với 8 0 m là tham số thực); hai mặt phẳng này cắt nhau theo giao tuyến là đường thẳng  Gọi  là hình chiếu của  lên mặt phẳng Oxy Biết rằng khi m thay đổi thì đường thẳng  luôn tiếp xúc với một mặt cầu cố định có tâm I a b c thuộc mặt phẳng Oxy Tính giá trị biểu thức  ; ;  P10a2b23c2

Rm

680

a

b R

Ra

d      Có bao nhiêu điểm M thuộc tia Oy , với tung độ là số nguyên, mà từ M kẻ được đến

 S hai tiếp tuyến cùng vuông góc với d ?

Lời giải: Chọn D

Khi đó  P chứa hai tiếp tuyến với mặt cầu kẻ từ M và cùng vuông góc với d

Để tồn tại các tiếp tuyến thỏa mãn bài toán điều kiện là:

mm

Vì m nguyên dương nên m7;8; ;52

Vậy có 46 giá trị nguyên của m thỏa mãn bài toán

Câu 47: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho hai đường thẳng : 2 5 2

Tính T a b  ?

Lời giải: Chọn D

Nhận xét rằng A a ;0;0Ox và A0;0;bOz

Gọi   là mặt phẳng chứa d và AB và   là mặt phẳng chứa d và A B 

Ta có M thuộc đường thẳng  là giao tuyến của hai mặt phẳng   và  

Theo giả thiết,  có một véctơ chỉ phương là u  15; 10; 1  

Mặt phẳng   đi qua M12; 5;2 và có cặp véctơ chỉ phương là u 1 1;2;1

Mặt cầu  S có tâm 1 O0;0;0 bán kính bằng 1, mặt cầu  S có tâm 2 I0; 4;0 bán kính bằng 2 Ta có bốn điểmO , A , D , I là bốn đỉnh của hình vuông cạnh bằng 4 , và 1

2 , dấu “” xảy ra khi M , N là giao điểm của BC với các mặt cầu

Câu 49: Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu  S x: 2y2z22x4y6z13 0 và đường thẳng

M trên đường thẳng d sao cho từ M kẻ được 3 tiếp tuyến MA , MB,

MC đến mặt cầu  S ( A , B ,C là các tiếp điểm) thỏa mãn AMB 60 ,  90BMC   ,  120CMA   có dạng

Vì MA , MB và MC là các tiếp tuyến của  S nên MA MB MC  nên MI là trục của tam giác ABC Đặt

MA x Khi đó AB x BC x 2 và CA x 3 Như vậy AB2BC2 AC2  tam giác ABC vuông tại B

Gọi J là trung điểm AC ta có J là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC  J MI và 1 3

x

BJ AC Trong tam giác vuông MBI ta có:

C B M

I

22

37

Lời giải: Chọn B

Gọi K là hình chiếu vuông góc của O lên   , N OxyCK

Ta có ON5 2, suy ra N thuộc đường tròn  T có tâm O , bán kính r5 2 nằm trong mặt phẳng Oxy (

  chứa một đường sinh duy nhất của hình nón đỉnh C , trục CO và góc ở đỉnh là 2)

Gọi ,H E lần lượt là hình chiếu của M trên   và CN

Suy ra: d M ,  MH ME CN .sinMCN

 2;0; 2 2

A   , B 4; 4;0 Biết rằng tập hợp các điểm M thuộc  S và thỏa mãn MA2OA2MO MB  4

là đường tròn  C Chu vi của  C bằng:

2  Lời giải: Chọn B

Suy ra, minMB 13 3,6

Câu 54: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng  P : 2x2y z   và các điểm 4 0 A2;1; 2,

Gọi ,H K lần lượt là hình chiếu vuông góc của ,A B trên  P

Khi đó ta có:  AMH BMK Suy ra AMH BMK

Câu 55: Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A1; 0;0, B1;0;1 và mặt phẳng  P x y z:     Gọi M2 0

là điểm di động trên mặt phẳng  P sao cho các đường thẳng MA , MB luôn tạo với mặt phẳng  P các góc bằng nhau Biết độ dài lớn nhất của OM2 có dạng a 24 b

Nhận thấy đường thẳng AB không vuông góc với mặt phẳng  P

Gọi M x y z ; ;  và ', 'A B lần lượt là hình chiếu vuông góc của ,A B lên mặt phẳng  P

Vì các đường thẳng MA , MB cùng tạo với phẳng  P các góc bằng nhau nên  AMA'BMB'