Bài tập Hình hoc Oxyz

5 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng: Lop12.net... Tìm tọa độ các điểm E và F thuộc đường thẳng  để tam giác AEF là tam giác đều.[r]

1)Trong không gian Oxyz , cho A(1,2,4) , (P) x+y-z+1=0 và đường thẳng (d) x=2+t,y=1-t,z=1-3t , Lập phương trình đường thẳng nằm (P) , vuông góc với (d) và khoảng cách từ A đến đường thẳng đó Giải : Gọi (D) là đường thẳng cần tìm , theo gt ta có aD=[ad,nP]=(-4,2,-2)//(2,-1,1) Gọi H là hình chiếu A lên (D) => d(A,(D))=AH= Khi đó H thuộc giao tuyến (P) và (Q) , Q là mặt phẳng qua A và vuông góc với (D) (Q) : 2(x-1)-(y-2)+(z-4)=0  2x-y+z-4=0 => H(1,t,2+t) => (t-2)2+(t-2)2=18  t=5 , t=-1 => H(1,5,7) , H(1,-1,1) Có hai đường thẳng : (D1) x=1+2t,y=5-t, z=7+t , (D2): x=1+2t,y=-1-t,z=1+t x y  z  Viết 2) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho: (P): 2x  y  2z  = 0; (d):   1 phương trình mặt phẳng (Q) chứa đường thẳng (d) và tạo với mặt phẳng (P) góc nhỏ Giải : Gọi n(a,b,c) là VTPT (Q) , -a+2b+c=0 =>c=a-2b | 2a  b  2c | Gọi x là góc hai mặt phẳng (P) (Q) , cosx = a  b2  c2 | 2a  2c | b=0=> c=a => cosx = =0 a2  c2 b=1 => c=a-2 => cosx= >0 2a  4a+5 x nhỏ  a=1 , b=1,c=-2 => (Q) x+y-2z-5=0 x 1 y z    Viết phương trình mặt phẳng   chứa 3) Cho điểm A  2;5;3 và đường thẳng d : 2 d cho khoảng cách từ A đến   lớn Giải : Gọi K là hình chiếu A trên d  K cố định; Gọi   là mặt phẳng chứa d và H là hình chiếu A trên   Trong tam giác vuông AHK ta có AH  AK Vậy AH max  AK    là mặt phẳng qua K và vuông góc với AK   là mặt phẳng qua K và vuông góc với AK    : x  y  z   4) Cho mặt phẳng  P  : x  y  2z 1  và các đường thẳng d1 : x 1 y  z   , 3 x 5 y z 5   Tìm điểm M thuộc d1, N thuộc d2 cho MN song song với (P) và đường thẳng 5 MN cách (P) khoảng d2 : Giải : Gọi M 1  2t ;3  3t ; 2t  , N   6t '; 4t '; 5  5t ' d  M ;  P     2t    t  0; t   Trường hợp 1: t   M 1;3;0  , MN   6t ' 4; 4t ' 3; 5t '      MN  nP  MN nP   t '   N  5;0; 5  Trường hợp 2: t   M  3;0;  , N  1; 4;0  5) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng: Lop12.net d1 : x  y 1 z  x2 y3 z   d2 :   1 2 Viết phương trình mặt cầu có bán kính nhỏ tiếp xúc với hai đường thẳng d1 và d2 Giải Giả sử mặt cầu S(I, R) tiếp xúc với hai đương thẳng d1, d2 hai điểm A và B đó ta luôn có IA + IB ≥ AB và AB ≥ d  d1 , d  dấu xảy I là trung điểm AB và AB là đoạn vuông góc chung hai đường thẳng d1, d2     AB  u Ta tìm A, B :    Ad1, Bd2 nên: A(3 + 4t; 1- t; -5-2t), B(2 + t’; -3 + 3t’; t’)  AB (….)…  AB  u '  A(1; 2; -3) và B(3; 0; 1)  I(2; 1; -1) Mặt cầu (S) có tâm I(2; 1; -1) và bán kính R= Nên có phương trình là:  x    ( y  1)  ( z  1)  6)Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai đường thẳng d và d’ có phương trình : d : y2 x2 z5 x  z vµ d’ :  y 3 Viết phương trình mặt phẳng ( ) qua d và tạo với d’ 1 1 mét gãc 300 Giải : Đường thẳng d qua điểm M (0;2;0) và có vectơ phương u (1;1;1) Đường thẳng d’ qua điểm M ' (2;3;5) và có vectơ phương u '(2; 1;1) Mp ( ) ph¶i ®i qua ®iÓm M vµ cã vect¬ ph¸p tuyÕn n vu«ng gãc víi u vµ cos(n; u ' )  cos 600  Bëi vËy nÕu đặt n  ( A; B; C ) thì ta phải có : A  B  C   B  A  C B  A  C       2A  B  C 2 2  A  A  ( A  C )  C  2 A  AC  C    2 2  A  B C Ta cã A2  AC  C   ( A  C )(2 A  C )  VËy A  C hoÆc A  C Nếu A  C ,ta có thể chọn A=C=1, đó B  , tức là n  (1;2;1) và mp ( ) có phương trình x  2( y  2)  z  hay x  y  z   Nếu A  C ta có thể chọn A  1, C  2 , đó B  1 , tức là n  (1;1;2) và mp ( ) có phương trình x  ( y  2)  z  hay x  y  z   7) Trong không gian với hệ tọa độ Đêcác vuông góc Oxyz cho mp(P) : x – 2y + z – = và hai  x   2t x 1  y z     đường thẳng : (d) và (d’)  y   t 1 z   t  Viết phương trình tham số đường thẳng (  ) nằm mặt phẳng (P) và cắt hai đường thẳng (d) và (d’) Giải Mặt phẳng (P) cắt (d) điểm A(10 ; 14 ; 20) và cắt (d’) điểm B(9 ; ; 5) Đường thẳng ∆ cần tìm qua A, B nên có phương trình : x   t   y   8t z   15t  Lop12.net x   t  d :  y   2t z  1 t  x2 z 3  y 1  Cho hai đường thẳng có phương trình: d1 : 8) Viết phương trình đường thẳng cắt d1 và d2 đồng thời qua điểm M(3;10;1) Giải : Gọi đường thẳng cần tìm là d và đường thẳng d cắt hai đường thẳng d1 và d2 điểm A(2+3a;-1+a;-3+2a) và B(3+b;7-2b;1-b)   MA  k MB Do đường thẳng d qua M(3;10;1)=>   MA   3a  1; a  11; 4  2a  , MB   b; 2b  3; b  3a   kb 3a  kb  a      a  11  2kb  3k  a  3k  2kb  11  k  4  2a  kb 2a  kb  b      => MA   2; 10; 2   x   2t  Phương trình đường thẳng AB là:  y  10  10t  z   2t  x  t 9) Trong Không gian với hệ tọa độ Oxyz.Cho đường thẳng  :  y  2t z   và điểm A(1, ,  1) Tìm tọa độ các điểm E và F thuộc đường thẳng  để tam giác AEF là tam giác       Gải + Đường thẳng  qua M (0 , ,1) và có vtcp u (1, , 0) ; M A  (1,0 ,2) ;  M A , u   ( ,  , 2)    M A , u     + Khoảng cách từ A đến  là AH = d ( A , )     u  4  Vậy E , F thuộc mặt cầu tâm A , BK R = 5 x  t  y  2t  và đường thẳng  , nên tọa độ E , F là nghiệm hệ :  z   ( x  1)  y  ( z  1)  32  + Tam giác AEF  AE  AF  AH  1 2 x   1 2 24  t = suy tọa độ E và F là :  y  5  z      1 2 x   24  y   z    10, Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M(1;-1;1) x y 1 z x y 1 z    và hai đường thẳng (d ) :  và (d ') :  2 3 Chứng minh: điểm M, (d), (d’) cùng nằm trên mặt phẳng Viết phương trình mặt phẳng đó Giải : Lop12.net  *(d) qua M1 (0; 1;0) và có vtcp u1  (1; 2; 3)  (d’) qua M (0;1; 4) và có vtcp u  (1; 2;5)     *Ta có u1 ; u   (4; 8; 4)  O , M1M  (0; 2; 4)    Xét u1 ; u  M1M  16  14   (d) và (d’) đồng phẳng  *Gọi (P) là mặt phẳng chứa (d) và (d’) => (P) có vtpt n  (1; 2; 1) và qua M1 nên có phương trình x  2y  z   *Dễ thấy điểm M(1;-1;1) thuộc mf(P) , từ đó ta có đpcm 11 Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz cho P  : x  y  z   và đường thẳng x3  y   z  , điểm A( -2; 3; 4) Gọi  là đường thẳng nằm trên (P) qua giao điểm ( d) và (P) đồng thời vuông góc với d Tìm trên  điểm M cho khoảng cách AM ngắn (d ) :  x  2t   Giải : Chuyển phương trình d dạng tham số ta được:  y  t  z  t   Gọi I là giao điểm (d) và (P)  I 2t  3; t  1; t  3 Do I  P   2t   2(t  1)  (t  3)    t   I  1;0;4  * (d) có vectơ phương là a (2;1;1) , mp( P) có vectơ pháp tuyến là n1;2;1    a, n   3;3;3 Gọi u là vectơ phương   u 1;1;1 M    M   u; u;4  u  ,  AM1  u; u  3; u  x   u  Vì   : y  u z   u  AM ngắn  AM    AM  u  AM.u   1(1  u)  1(u  3)  1.u    16  ; ;   u  Vậy M  3 3 12) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm A(1;2; -1), B(7; -2; 3) và đường thẳng d có phương trình  x   3t   y  2t (t  R)  z   2t  Tìm trên d điểm M cho tổng khoảng cách từ M đến A và B là nhỏ Giải M(2+ 3t; - 2t; 4+ 2t)  d , AB//d Gọi A’ đối xứng với A qua d => MA’= MA => MA+ MB = MA’ + MB  A’B (MA+ MB)min = A’B, A’, M, B thẳng hàng => MA = MA’ = MB MA=MB <=> M(2 ; ; 4) 13) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm A(10; 2; -1) và đường thẳng d có phương trình x 1 y z 1   Lập phương trình mặt phẳng (P) qua A, song song với d và khoảng cách từ d tới (P) lµ lín nhÊt Giải : Gọi H là hình chiếu A trên d, mặt phẳng (P) qua A và (P)//d, đó khoảng cách d và (P) là khoảng cách từ H đến (P) Gi¶ sö ®iÓm I lµ h×nh chiÕu cña H lªn (P), ta cã AH  HI => HI lín nhÊt A  I VËy (P) cÇn t×m lµ mÆt ph¼ng ®i qua A vµ nhËn AH lµm vÐc t¬ ph¸p tuyÕn H  d  H (1  2t ; t ;1  3t ) v× H lµ h×nh chiÕu cña A trªn d nªn AH  d  AH u  (u  (2;1;3) lµ vÐc tơ phương d)  H (3;1;4)  AH (7;1;5) Vậy (P): 7(x – 10) + (y – 2) – 5(z + 1) = Lop12.net  7x + y -5z -77 = Lop12.net