Bài tập nguyên hàm tích phân

Bài tập vận dụng cao nguyên hàm tích phân có lời giải chi tiết là tài liệu bổ tích cho học sinh ôn thi đại học đạt kết quả cao. Tài liệu mong sẽ góp một phần nào đó vào điểm số của học sinh. Với hơn 100 bài tập trắc nghiệm về nguyên hàm, tích phân và ứng dụng tích phân.

BÀI TẬP NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN

Câu 1: Cho a là số thực dương Biết rằng F x  là một nguyên hàm của hàm số f x  e lnx  ax 1

x

  thỏa mãn 1

a

;12018

Lại có: F 0 0  C 0, do đó: F x xf x xtanxln cosx

10a

3 2

A m  1;1 B m 3;5 C m 2;3 D m5; 

Lời giải: Chọn C

Phương trình hoành độ giao điểm của  Cm với trục hoành là x44x2m0  1

Đặt tx2 t0, phương trình  1 trở thành t24t m 0  2

Để  1 có bốn nghiệm phân biệt thì  2 phải có hai nghiệm dương phân biệt Điều này xảy ra khi và chỉ khi

209

xm

Câu 9: Cho hàm số y f x  liên tục trên  có đồ thị y f x  cho như hình dưới đây Đặt

Câu 10: Cho hai đường tròn O1;5 và O2;3 cắt nhau tại hai điểm A, B sao cho AB là một đường kính của đường tròn O2;3 Gọi  D là hình phẳng được giới hạn bởi hai đường tròn (ở ngoài đường tròn lớn, phần được gạch chéo như hình vẽ) Quay  D quanh trục O O1 2 ta được một khối tròn xoay Tính thể tích V của khối tròn xoay được tạo thành

Chọn hệ tọa độ Oxy với O2O, O C Ox2  , O A Oy2 

Kí hiệu  H2 là hình phẳng giới hạn bởi các đường y 9x2, trục Ox, x0, x3

Khi đó thể tích V cần tính chính bằng thể tích V2 của khối tròn xoay thu được khi quay hình  H2 xung quanh trục

Ox trừ đi thể tích V1 của khối tròn xoay thu được khi quay hình  H1 xung quanh trục Ox

3

xx

Câu 12: Cho hàm số f x  xác định trên 0;

Lời giải: Chọn A

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ

y B

A

x O

A

B

Theo đề bài ta có phương trình của Elip là

Gọi M , N lần lượt là giao điểm của dầu với elip

Gọi S1 là diện tích của Elip ta có 1 1 2

Gọi S2 là diện tích của hình phẳng giới hạn bởi Elip và đường thẳng MN

Theo đề bài chiều cao của dầu hiện có trong thùng (tính từ đáy thùng đến mặt dầu) là 0,6m nên ta có phương trình của đường thẳng MN là 1

5

y Mặt khác từ phương trình

4

1

d4

2 6

Câu 17: Cho hàm số f x  nhận giá trị dương, có đạo hàm liên tục trên đoạn  0; 2 Biết f 0 1 và

   2  e2 x 2 4 x

 

3 2 2

Câu 20: Cho hàm số f x  có đạo hàm liên tục trên đoạn  0;1 thỏa mãn f 1 0, 1   2

Xét 2  2 

2

ln

dln

Câu 26: Cho hàm số y ax 4bx2c có đồ thị  C , biết rằng  C đi qua điểm A1; 0, tiếp tuyến d tại A của

 C cắt  C tại hai điểm có hoành độ lần lượt là 0 và 2, diện tích hình phẳng giới hạn bởi d, đồ thị  C và hai đường thẳng x0;x2 có diện tích bằng 28

5 (phần tô đậm trong hình vẽ) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi d,

đồ thị  C và hai đường thẳng x 1;x0 có diện tích bằng :

Phương trình tiếp tuyến của  C tại A1; 0 là  d :y y 1 x   1  4a 2b x 1

Phương trình hoành độ giao điểm của  C và  d là :  4a 2b x  1 ax4bx2c (*)

Mà x0;x2 là nghiệm của (*) suy ra 4 2

Thay vào giả thiết ta được :

Do F x G x   , là hai nguyên hàm của hàm số f x  trên  nên G x F x C

Theo giả thiết :

Xét    

 

2 4

2d1

     

 

2 3

2 3

22

Câu 34: Cho hàm số f x x3ax2bx c với a b c, , là các số thực Biết hàm số g x  f x  f x  f x

có hai giá trị cực trị là 3 và 6 Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường  

  6

f xy

Câu 36: Cho hàm số f x  có đạo hàm liên tục trên  , f 0 0 , f  0 0 và thỏa mãn hệ thức

 Như vậy f x  f4x 4 f x  f4x 0 f x  f4x, x 

Câu 38: Cho hàm số f x  liên tục trên 1; và thỏa mãn hệ thức điều kiện

Câu 39: Một biển quảng cáo có dạng hình elip với bốn đỉnh A A B B1, 2, ,1 2 như

hình vẽ Người ta chia elip bởi parabol có đỉnh B1, trục đối xứng B B1 2 và đi qua

các điểm M N, Sau đó sơn phần tô đạm với giá 200.000 đồng/m2 và trang trí

đèn led phần còn lại với giá 500.000 đồng/m2 Hỏi kinh phí sử dụng gần nhất

với giá trị nào dưới đây? Biết rằng A A1 2 4m, B B1 22m, MN 2m

Đạo hàm 2 vế của (1) ta được: 2f1x f  1x2xf x  1 x23f x 1 (2)

Từ (2) cho x 1;x1 ta được hệ sau        

0 0

2

Chọn hệ trục tọa độ với gốc tọa độ là trung điểm của EF (xem hình vẽ)

Khi đó  E có độ dài trục lớn AB2a  8 a 4, độ dài trục bé CD2b  6 b 3

3 32

y

x  , parabol có phương trình 4 2

127

2 1

thức T   a b cthuộc khoảng nào sau đây?

xu

t





Gọi hình chiếu của ,P Q trên AF và BE là R và S Vật thể được chia thành hình lập phương ABCD PQRS có cạnh 2,5 cm, thể tích 1 125

8

V  cm3 và phần còn lại có thể tích V Khi đó thể tích của vật là 2 1 2 125 2

8

Đặt hệ trục tọa độ Oxyz sao cho O trùng với F , Ox trùng với FA , Oy trùng với tia Fy song song với AD Khi

đó Parabol  P có phương trình dạng y ax 2, đi qua điểm 1;5

Trên đoạn  0;1 , phương trình đã cho tương đương với : 4 1    35

Câu 52: Cho hàm số y f x  liên tục trên khoảng 0; và thỏa mãn  2 1   2 1ln 1

24

Vậy a b 2c 7

Câu 53: Cho hàm số bậc ba f x  có đồ thị hàm số như hình vẽ bên

Biết hàm số f x  đạt cực trị tại hai điểm x x1, 2 thỏa mãn x2  x1 2

và f x 1  f x 2  Gọi 1 S S1, 2là diện tích của hai hình phẳng được

cho trong hình vẽ bên Tính tỉ số 1

d1

11

94;

1 1

0

2 1

x x

Diện tích hình phẳng: 2  

1

6

2 1 2

Câu 56: Cho f x ax3bx2cx d a0 là hàm số nhận giá trị không âm trên đoạn  2;3 , có đồ thị f x 

như hình vẽ dưới Biết diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số g x xf2 x , h x  x f x f x2    

a a

  5 3

1 5

      

2

2 2

2

x x

x x

Đặt f x ax3bx2cx d a , 0 f x 3ax22bx c  f x 6ax2b

f x  f x  f x  Gọi S S S S1, , ,2 3 4 là diện tích các hình phẳng trong hình vẽ

xx

Xét   4 2

123

Tịnh tiến đồ thị hàm số y f x  sang trái x4 đơn vị, ta được đồ thị hàm số y g x  

Ta thấy x , 1 x , 2 x , 3 x4 là cực trị của hàm số y f x  mà x , 1 x , 2 x , 3 x4 lập thành cấp số cộng có công sai d  1

Dựa vào bảng biến thiên g 1 nhỏ nhất trong các giá trị g     3 ,g 1 ,g 3

 Để phương trình đã cho có nghiệm 3 1g  m 3g 3

Câu 70: Cho hàm số f x  có đạo hàm liên tục trên  0;1 đồng thời thỏa mãn các điều kiện  1 3

Câu 71: Cho hàm số bậc bốn y f x  Biết rằng hàm số g x ln f x  có bảng biến thiên như sau:

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y f x  và y g x   thuộc khoảng nào dưới đây?

(Đây là một phương trình bậc hai với ex nên có tối đa 2 nghiệm, suy ra g x  có tối đa 2 cực trị)

Theo giả thiết ta có phương trình g x  có 2 nghiệm ,0 m n và  

 

25

Khi đó: lim   lim  3 x 2 x x 0

x

x

xx

2 1 4

 Để ý, hàm số f x và   g x có đồ thị đối xứng qua trục tung Do đó diện tích   1 4

 Vì vậy, yêu cầu bài toán trở thành tìm m để 0 S1S3 (1)

 Gọi a là hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số y f x  và y g x  , với điều kiện: 0  a m 2

Câu 79: Cho hàm số bậc ba y f x  có đồ thị là đường cong hình bên

Biết f x đạt cực tiểu tại   x1 và f x  và 1 f x  lần lượt chia hết cho 1  2

1

1

x Gọi S S là 1, 2diện tích hai hình phẳng được gạch trong hình bên Tính S1 S2

Câu 81: Cho hàm số y x 2có đồ thị  C , biết rằng tồn tại hai điểm A , B thuộc đồ thị  C sao cho tiếp tuyến tại

A , B và đường thẳng pháp tuyến của hai tiếp tuyến đó tạo thành một hình chữ nhật có chiều dài gấp đôi chiều rộng Gọi S là diện tích giới hạn bởi đồ thị 1  C và hai tiếp tuyến, S là diện tích hình chữ nhật giới hạn bởi các tiếp 2tuyến và pháp tuyến tại ,A B Tính tỉ số 1

2 2

a





1:

2 2

1d

0 1 2

Câu 84: Cho hàm số f x ax3bx2cx ; 1 g x mx2nx1có đồ thị như hình vẽ

Biết rằng f  2  và hai đồ thị hàm số đã cho cắt nhau tại ba điểm phân biệt có hoành độ 0 x x x1, ,2 3 thoả mãn

Câu 85: Cho hàm số f x ax42x2 ; 2 g x bx3cx22x có đồ thị như hình vẽ

Gọi S S1, 2 là diện tích các hình phẳng gạch sọc trong hình vẽ, khi 1 557

Lại có: h x  0 f x  , do đó 0 x x x1, ,2 3 là ba nghiệm của phương trình h x  0

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y h x   và trục Ox bằng:

Câu 87: Cho hàm số bậc ba y f x  có đồ thị  C như hình vẽ

Biết rằng đồ thị hàm số đã cho cắt trục Ox tại ba điểm có hoành độ x , 1 x , 2 x3 theo thứ tự lập thành cấp số cộng và

Ta có: “Gọi diện tích hình phẳng giới hạn bởi  C và trục Ox là S ”

x x

3 1

x

x x x

d4

xI

1

27d4

f xx

P y   cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt ,x A B và đường thẳng :d y a

0 a 6 Xét parabol  P2 đi qua ,A B và có đỉnh thuộc đường thẳng y a Gọi S1là diện tích hình phẳng giới hạn bởi  P1 và d ; S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi 2  P2 và trục hoành (tham khảo hình vẽ)

Câu 91: Cho hai hàm số f x ax32x2bx ; 1 g x cx24x d có bảng biến thiên như sau:

Biết rằng đồ thị của hai hàm số đã cho cắt nhau tại ba điểm phân biệt có hoành độ x , 1 x , 2 x thỏa mãn 3

Tại các điểm cực trị  , của f x  thì g  g  0 , do đó g x  c xx ;

Lấy nguyên hàm hai vế, ta được 2

1

eC

Câu 94: Cho hàm số bậc ba y f x  có đồ thị là đường cong  C như hình vẽ Hàm số f x  đạt cực trị tại hai điểm x , 1 x thỏa 2 f x 1  f x 2  Gọi A , B là hai điểm cực trị của đồ thị 0  C ; M , N , K là giao điểm của

 C với trục hoành; S là diện tích hình phẳng được gạch trong hình, 1 S là diện tích tam giác NBK Biết tứ giác 2MAKB nội tiếp đường tròn, khi đó tỉ số 1

2

S

3m

Kết quả bài toán không thay đổi khi ta tịnh tiến đồ thị  C sang trái sao cho điểm uốn trùng với gốc tọa độ O (như hình dưới)

Do f x  là hàm số bậc ba, nhận gốc tọa độ là tâm đối xứng O N 

Câu 95: Hai vật chuyển động ngược chiều nhau trên một quãng đường AB dài 30 km Vật M chuyển động từ Atới B trong 3 giờ với vận tốc v (km/h) phụ thuộc vào thời gian t (h), trong khoảng thời gian 1 giờ kể từ khi bắt đầu 1chuyển động có đồ thị là một phần của parabol có đỉnh I1 2;5 và trục đối xứng song song với trục tung, khoảng thời gian còn lại đồ thị là một đoạn thẳng song song với trục hoành Vật N chuyển động trong 3 giờ từ B đến Avới vận tốc v (km/h) phụ thuộc vào thời gian t (h) với đồ thị là một phần của đường parabol có đỉnh 2 2 3 13;

Xét chiều di chuyển của vật M

Gọi phương trình của parabol  P là y at 2  bt c

Vì  P có đỉnh I1 2;5 và đi qua M 0;1 nên suy ra

Xét chiều di chuyển của vật N

Gọi phương trình của parabol  P là y at 2  bt c

ba

Câu 96: Cho hàm số f x ax4bx2 , 1 a0; ,a b mà đồ thị hàm số  f x và đồ thị hàm số f x  có một điểm chung duy nhất và nằm trên trục Oy (hình vẽ), trong đó x1 là nghiệm của f x  và x2là nghiệm của f x ,

x x1, 20 Biết x13x2 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số f x ,   f x và trục Ox

Ta có f x ax4bx2 1 f x 12ax22 ,b a 0; ,a b 

Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị f x và   f x là ax4bx2 1 12ax22b

Giả sử x1x2 , suy ra x3 x2 xI  , kéo theo 1 x x1 3   6

Vì hàm số y g x   có hai điểm cực trị là 0 và 2, suy ra g x k x 22x k 0

   



  

Đầu tiên ta gọi phương trình đường thẳng cần tìm là  d :y ax b a  , 0

Câu 101: Cho hàm số f x x4ax3bx2cx d , a b c d, , ,  thỏa mãn  min   1

Ta có: f x 4x33ax22bx c , f x 12x26ax2b,        

2 2 2

Câu 102: Cho hai hàm số f x ax4bx3cx2dx e và g x qx3 px2  , các hàm số rx t f x , g x 

có đồ thị như hình vẽ và chúng cắt nhau tại 3 điểm có hoành độ 3, , 2x0  3 x0 2 Biết rằng S1S2 và

 0  0

f g Tính tổng tất cả các nghiệm của phương trình f x g x 

3 4

31

xx

2 1

2 1

Câu 104: Cho hàm số f x ax4bx3cx2dx e và đường thẳng g x mx n tiếp xúc nhau tại hai điểm có hoành độ 1; 2 Trong hình vẽ bên dưới có 1 6

10

f x x