Hàm biến phức nguyễn văn khuê,lê mậu hải

, 273 Trang 9 LÒI NÓI Đ Ầ U Giáo trình "Hàm biên phúc" dược biên soạn chủ yêu dành cho sinh viên khoa Toán các trường Đại học Sư phạm.. Năm chương dầu của giáo trinh, như thông lệ dành

NGUYỄN V Ă N KHUÊ - LÊ MẬU HẢI

HÀM BIÊN PHỨC

Chịu trách nhiệm xuất bản :

Giám đốc NGUYỄN VĂN THỎA

Tổng biên tập NGUYỄN THIỆN GIÁP

Người nhận xét: PGS T S K H Đ ỗ ĐỨC T H Á I

PGS TS NGUYỄN T H Ủ Y THANH

TS BÙI ĐẮC TẮC

Biên tập và sửa bài: ĐO PH U

Trình bày bìa: NGỌC ANH

§ 3 Thăng dư của hàm chỉnh hình và áp dụng của nó 150

§ 4 Thặng dư logarit và áp dụng của nó 154

§ 1 Không gian Euclide phức 232

Bài 2 H À M C H Ỉ N H H Ì N H N H I Ề U B I Ế N 241

§ 1 Khái niệm chỉnh hỉnh 241

§ 2 Các tính chất đơn giản của hàm chỉnh hỉnh 243

§ 3 Miễn hội tụ của chuỗi lũy thừa 247

Bài 3 Đ Ị N H LÝ H A R T O G S 251

Bài 4 P H Ư Ớ N G T R Ì N H C A U C H Y - RI E M A N N VÀ

M Ò RỘNG C H Ỉ N H H Ì N H 256

§ 1 Sơ lược vé dạng vi phân trên c 256

§ 2 Dạng tích phân Cauchy suy rộng 258

§ 3 Phương trình Cauchy-Riemann không thuồn nhất 260

§ 1 H à m đa điểu hoa dưới 273

§ 2 Bao đa điều hòa dưới 274

LÒI NÓI Đ Ầ U

Giáo trình "Hàm biên phúc" dược biên soạn chủ yêu dành cho

sinh viên khoa Toán các trường Đại học Sư phạm

Năm chương dầu của giáo trinh, như thông lệ dành cho việc trình bày những kiên thức cơ bàn của lý thuyết hàm chinh hình

một biến phức: khái niệm và các tính chất sa cáp cùa hàm chỉnh hình, lý thuyết tích phán Cauchy, lý thuyết chuỗi và thặng dư Khác với một số giáo trình hàm biến ohức trước dây, do có tính đến sỏ phát triển sau này của chuyên ngành Lý thuyết hàm,

chúng tôi trinh bày thêm một phần lý thuyết hình học mà sẽ

dược tiếp tục ỏ phần hai của giáo trinh "Hàm chình hình một biên

phức" Đó là nguyên lý Argument và định lý Rouché, nguyên lý

bảo tôn miên, định lý lỉu nait, V.U

Phàn thú hai của giáo trinh là một số ván dè dược lỏa chọn dóng vai trò quan trọng trong việc nghiên cứu sâu vè hàm chỉnh hình Nó bao gồm: định lý Montel, dinh lý Riemann, dinh

lý Weiestrass vẽ sỏ tồn tại hàm nguyên với dãy không điểm cho trước cũng như định lý Mittag - Leffler vè sỏ tòn tại cùa hàm phân hình với phàn chính đã cho Người học còn âm tháy ở đây các kết quà vè đánh giá môdun trên và dưới dối với các

hàm chỉnh hình bời dinh lý Carathéodory, Schottky, Landau,

phragmen - Lindelof và Carton Các kết quả vẽ khảo sát độ tăng của hàm nguyên, công thức Jensen và định lý cơ bản thứ nhốt cùa Nevanlina về đảnh giá tổng số không điềm và cỏc điềm của hàm phân hình cũng được dưa ra trong phân này Phần này

dược dùng như một tài liệu hữu ích cho việc dạy chuyên dê ỏ năm thứ ba Tuy vậy nó là tài liệu tham khảo và nâng cao thật bồ ích cho những ai muốn đi sâu tìm hiểu môn học này

Phàn cuối của giáo trình là các kiến thức nhập môn về hàm nhiều biến phức Bao gôm trong đó, ngoài các kiến thức ban dầu

về hàm nhiều biến phức, còn phải kề đến định lý cơ bản Hartogs

về tính chờnh hình của hàm chờnh hình theo từng biến, về việc giải phương trình 9 và sự thiết lập mối liên hệ giữa miền chinh hình, miên lòi chờnh hình và miền giả lồi

Thiết nghờ ràng, nội dung của cuốn sách không chi cho các sinh viên năm thứ hai, thứ ba của khoa Toán các trường Dại học Sư phạm và Dại học Khoa học Tự nhiên mà còn là tài liệu thiết thực đối với các học viên cao học chuyên ngành Lý thuyết hàm Các nghiên cứu sinh chuyên ngành Lý thuyết hàm có thề tìm thấy ỏ dãy những kiến thức cần thiết cho sự học tập và nghiên cứu của mình

Cuốn sách lăn dầu tiên xuất bản nên không tránh khỏi những thiếu sót, chúng tôi mong nhận được sự góp ý của bạn dọc

C á c t á c g i ả

Ta biết rằng trường số thực R nhận được bàng cách làm

"đấy" trường số hữu tỷ Q, mà nó được xâ\ dựng từ vành số

nguyên z Việc làm đấy xuất phát từ sự nghiên cứu các phương

trình đ ạ i số với hệ số hữu tỷ và giới hạn của dãy các số hữu

tỷ Tuy nhiên trường R vẫn không đấy đủ, bểi vì ngay cả phương

trình đơn giản

cũng không có nghiệm trong R Còn trong giải tích nếu chỉ giới

hạn trong R người ta không t h ể giải thích được vì sao hàm

Với lý do trên buộc ta phải đi tỉm kiếm trường K nào đ ó

chứa R như một trường con sao cho tối thiểu phương trình (1)

có nghiệm, ớ đây, ta nói R là t r ư ờ n g con của K n ế u c á c p h é p

t o á n t r ê n R được cảm sinh bởi các p h é p t o á n t r ê n K

- tea - fib, ah + /3a) + (ác - / x ỉ , rtd + /Se)

= (a, /3)(a, b ) + (a, /3)(c, d )

H i ể n n h i ê n q u a đ ồ n g n h ấ t a = (a, 0 ) , a G R , R đ ư ợ c c h ứ a

t r o n g c n h ư m ộ t t r ư ờ n g con

2) Bởi vì (0 Ì ) = ( - 1 0) = - ] nên i = (0, 1) là n g h i ệ m

c ủ a p h ư ơ n g t r ì n h X + Ì = 0

Định nghĩa 1 T r ư ờ n g c được xây d ự n g n h ư t r ê n được gọi là

trường các số phức còn m ọ i p h ầ n tử của c được gọi là số phức

Số i É c gọi là dơn vị ảo cùa c

được gọi là số phức liên hợp của số phức z

Các đ ả n g thức sau được suy ra t ừ đ ậ n h nghĩa

1.2 Mặt phăng phức

Giả sử t r ẽ n mặt phảng Í t cho một hệ tọa độ v u ô n g góc

xOy N h ư v ậ y , m ỗ i đ i ể m M e K 2 được xác định b ờ i h o à n h đ ộ

X v à t u n g độ V của nó Điều n à y cho p h é p ta lập được t ư ơ n g

ứ n g Ì - Ì giữa các đ i ể m của m ặ t p h a n g R " với các sò phức

z G C:

M(x, VI G R2 H - > X f iy = z G c Mặt phảng R c ù n g với một t ư ơ n g ứ n g n h ư vậy được gọi là

mặt phàng phức N h ư vậy m ộ t đ i ể m M(x, y) G K" có t h ể được

coi là một sự phức nếu đồng nhất nó v ớ i z = X + iv

1.3 M ô đ u n và Argument của sô p h ứ c

Ta đ ã biết m ỗ i sự thực X G R t ư ơ n g ứ n g v ớ i m ộ t sô thực

k h ô n g â m | x j được g ọ i là giá trị tuyệt dối của x:

Ị X n ế u X S i 0

ỉ —X n ế u X < 0 Giá trị t u y ệ t đ ự i này có các tính chất h i ể n n h i ê n sau (liên

m ộ t h à m m à sẽ gọi là hàm môdun từ c tói R m à các t í n h c h ấ t

t ư ơ n g tự n h ư t r ê n còn được giữ n g u y ê n đ ự i với các sự phức

M u ự n v ậ y , v ớ i m ỗ i sự z = X + i y e c t a đ ặ t

I z I = v~x" + y" = if7, Z

v à gọi là môdun của z

Rõ r à n g đ ố i với m ọ i argument Ý cùa z t ổ n t ạ i số n g u y ê n k

sao cho <p = argz + 2kjr

Sau này n ế u viết Argz ta hiểu đó là t ậ p t ấ t cả các a r g u m e n t

z = I z I (cosy + isiny?), <p SE Argz (1)

D ạ n g (1) được gọi là dạng lượng giác của z

V ớ i /> = Ì ta được c ô n g thức Moivre sau

{camp + i s i n y ) " = cosnf + isirmyj, Vn 5 Ì (M)

C ô n g t h ứ c M o i v r e còn đ ú n g với ri = 0 và n là số n g u y ê n

â m V ớ i n = 0 (M) l à h i ể n nhiên vì

í cosy? + isiny>)° = Ì = cosO + isinO

(cosny + isinny?) (cosny — i s i n n y )

cosny - isinny? = cosky + isinky?

Số liên hợp cư đó là (đối xứng với OI qua trục thực)

1.6 Phép khai căn một s ố phức

Cho n là số tự n h i ê n và z G c Ta nói tư là c â n bậc n

của z nếu co" = z

Với z * 0, đ ặ t z = re ] f và co = J ° e, v K h i đó

T ừ đó ta có

p = ì~r

<p + 2kn xịt = - — k = 0, ± Ì ,

^z~ = Ị )Ịr COS- + isin ) : k = 0 , l , , n - l L ip + 2k/T <p + 2kji ,

1.7 Biểu diễn Riemann của sô phức và mặt phang phức m ó rộng

T r o n g R chọn h ệ t ọ a đ ộ v u ô n g góc OỉịrịC

Ì ,

~ (hình 2):

là đồng phôi giữa c và S\{P}, ngoài ra nếu |z| —» oe thi

ĩi(z) -* p trong R3

Điểm 7r(z) được gọi là òỉếu (/ÍÂ2 Riemann của số phức z còn

s được gọi là m ộ i càu Riemann

Nếu bổ sung vào c một điểm mới 00 ta nhận được tập hợp

c Điểm co sẽ gọi là điềm xa vô tận, còn c là mặt phảng phức

mỏ rộng

Dễ thấy rằng 7t(z) —» p (trong R3

) khi và chỉ khi |z| - » 0 0 Trường hợp này ta nói z dấn tói điểm xa vô tận Như vậy tương ứng z -» jr(z) được mở rộng tới đồng phôi giữa c và s bảng cách đặt

7r(oo) = p

Chú ý ràng s là tập con compact của R3

và vậy thì c là compact

§ 2 DÃY VÀ C H U Ỗ I S Ố P H Ứ C 2.1 Dãy s ố p h ú c

Dựa vào hàm giá trị tuyệt đổi ta có th ế nói về sự hội tụ của một dãy số thực, hoàn toàn tương tự ta cũng có t h ể nói về

sự hội tụ của dãy số phức bằng việc áp dụng hàm môđun

Cho dãy số phức {zn} c c, ta nói dãy này hội tụ tới z e c nếu

| zn - z| —» 0 khi n —* 00

Điều này có nghĩa là

V£ > 0 3nE Vĩ! > ny : I zn — z I < £

CÓ m ộ t dãy con hội t ụ

e) Dãy { zn} —» z «=> Rezn —» Rez và l m zn —» Imz

2.2 C h u ỗ i sô phức

a j C ũ n g n h ư d ã y số phức, các v ấ n đ ề liên quan t ớ i chuỗi

số p h ứ c đ ề u có t h ể n h ậ n được trực t i ế p t ừ chuỗi sô thực ú đ â y

Đặt Sị = U j

S2 = U j + u2

sn = Ui + u 2 + + u n

Sn được gọi là tổng riêng thứ n của chuỗi (1) Nếu tổn t ạ i

l i m Sn = s 5 * 0 0 thì chuỗi (1) được gọi là chuỗi hội tụ và s được

Viết q = rịcostp + isiny)

Theo công thức Moivre ta có

Chứng minh

(i) T ừ b ấ t đ ẳ n g thức

của R (đã được học kỹ ở giai đoạn I I v ì vậy ở đ á y ta chỉ

nhắc l ạ i và nói t h ê m m ộ i số điêu cần t h i ế t d ư ớ i n g ô n ngữ số phức

là m ở T ừ t í n h c h ấ t của các t ậ p m ở suy ra ngay hợp của m ộ t

b) z gọi là điềm tụ của X nếu mọi lân cận u của z° chứa

í( nhai mội điểm của X khác z°

Tập t ấ t cả các điểm tụ của X gọi là tập dẫn xuất (thứ L)

của X và ký hiệu là X'

c) z gọi là điểm cô lập của X nếu tổn t ạ i một lân cận u

của z° chứa duy nhất điểm z° thuộc X

d) z hoặc là điểm tụ hoặc là điểm cô lập của X được gọi

chung là điểm dính của X

Đặt X = {tập các điểm dính của X }

Rõ ràng X là tập đóng khi và chi khi X = X và X là tập

đóng nhỏ nhất chứa X Vì vậy X được gọi là bao dóng của X

e) X là tập đóng nếu mọi dãy trong X hội tụ thì giới hạn

của nó thuộc X

0 z° gọi là điểm biên của X nếu

u n X * (p và u n cx * ộ

với mọi lân cận u của z

Tập tất cả các điểm biên của X ky hiệu là 9X Hiển nhiên

a) Giao của mội họ bất kỳ và hợp của một họ hữu h ạ n các

t ậ p compact là compact

b) T ậ p compacl l à t ậ p đ ó n g và bị chặn

c) M ọ i t ậ p con đ ó n g của m ộ t t ậ p compact l à compact

Định ly sau là h ệ q u ả trực t i ế p của việc đ ổ n g n h á t c vửi

k & Ì, z là đ i ể m t u của d ã y j znỊ c X, Vây z e n X,

í)ị///í (v 2. G i ả sử X là tập compact t r o n g c. K h i đ ó đôi vửi

có z - a| < r, do đó Dn c I) c Gj Điều này mâu thuẫn với

giả thiết Dn không bị phủ bởi G

(ii) => (iu): Lấy tùy ý z E c X Đặt Gk = C\D ( z , —\ Khi

(ni) => ( i ) : Lấy tùy ý { zn} c X và viết zn = xn + i yn v ì

X bị chận nên các dãy số thực { xn} và { vn} cũng bị chặn Theo

bổ đề Bolzano - Weierstrass dãy { xn} và { yn} có điểm tụ l ầ n

lượt là X và y H i ể n nhiên z = X + iy là điểm t ụ của d ã y { zn}

Do X , đóng nên z = X + iy G X

3.3 G i ả khoảng c á c h giữa hai tập họp

Giả sử A và B là các tập con cùa c Ta gọi số

v i Is — t ị Í ; , n ê n t a c ó

D ( z j , r ) v ớ i J = 0, n - 1

Lấy tùy ý z G L, khi đó tổn tại s E [a, b] sao cho z = z(s)

b - a Gói t: e [a, b] là điểm để Is - t: I í - — — Ta có J

Một đường cong L có điểm đầu và cuối t r ù n g nhau được

gọi là đường cong kín Đường cong không có điểm tự cát, tức

là không tổn t ạ i tị, ụ G (a, b) để ipitị) + iự'(tj) = <p(t2) + iự'(t->)

và <p(tị) + i(/'(t]) tp(a) + iự'{a) được gọi là dường cong Jordan

Đường cong Jordan kín còn được gọi là chu tuyến

Tập D c c được gọi là một mien nếu nó thỏa mãn hai điểu kiện:

(i) D là tập mở;

(ii) D là liên thông, tức là với hai điểm tùy ý a, b G D

tồn tại đường cong L c D có điếm đáu là a và điểm cuối là b

Giả sử y là một chu tuyến trong c Định lý Jordan nói rằng

y chia mặt phang c thành hai miền Một trong hai miền đó là

bị chặn (không chứa điểm oo) ký hiệu là D hay D.T và gọi là

miên trong giới hạn bởi y Miền còn l ạ i viết là D,7 và gọi là

miền ngoài giới hạn bởi y

H i ể n nhiên 3Dy = y Ta quy ước chiều dương của 3D là

chiểu mà đi dọc theo i)D miền D.T luôn nằm vé bên trái Mũi tên trong hình 3 chi chiêu dương của ỠD Khi có phân biệt đến chiều, ta viết 9D' là biên của D với chiều dương còn <>'ù là

biên của D lấy theo chiểu ngược lại (chiểu âm)

Miến D được gọi là dơn liên nếu mọi chu tuyến 7 c D đêu

có D c D Nếu tổn tại các chu tuyến V Ị , ;'), sao cho các

miên D„ , D„ , không bao hàm trong D ta nói D là miền đa liên Ta nhận thấy rằng nếu bổ sung vào 9D các đoạn thẳng l ị ,

ÍT, thi miền thu đươc sẽ là miền đơn liên

Hình 4

Chương ỉ ỉ

HÀM S Ố BIẾN S Ố PHỨC

§1 HÀM BIỂN PHÚC

C h ư ơ n g n à y t r i n h bày về giới h ạ n của h à m cũng n h ư của

chuỗi h à m biên số phức, sau đó á p d ụ n g vào việc x â y d ự n g m ộ t

số h à m số sơ cấp t h ư ờ n g gặp Đ i ề u n à y ta đ ã được biết t r o n g

giểi tích thực giểi t í c h của c á c h à m n h i ề u biến thực. vỉ vậy,

v ề cơ b ể n k h ô n g có gi h o à n t o à n m ớ i T u y n h i ê n đ ể t h u ậ n lợi cho n g ư ờ i học, c h ú n g t ỏ i v ẫ n đ ư a ra m ộ t số k h á i n i ệ m v à k ế t

cz + d

là hàm phản tuyến tinh) t r ê n t ậ p D = c \ ị — Ị (sau n à y

t h ư ờ n g g i ể t h i ế t be - ad 0)

c) Ánh xạ : z —* f(z) - 2 ( z + ) xác định một hàm (hàm Jukovski) trên D = c \ {0}

K h i f: D — > c là đơn ánh, hàm f được gọi là dơn diệp Có

t h ể xảy ra trường hợp f không đơn diệp trên Đ nhưng có t h ế chia D thành các tập con Dị lớn nhất trên đó f là đơn diệp Khi

đó mỗi Dj được gọi là miền dơn diệp của f

Bằng cách viết

0) = u + iv, u = Reo), V = Ima>

hàm f có t h ể viết dưới dạng

f(z) = u(z) + iv(z)

Hai hàm u và V được gọi là phần thửc và phẩn ảo của f

u(z) = Ref(z) = (Ref)(z) v(z) = Imf(z) = (Imf)(z)

Bằng cách đổng nhất z với (x, y), X = Rez, y = Imz, hàm

f có t h ể coi như hàm của hai biến thửc X , y và vậy thì hai hàm

u và V cũng được coi như thế

Vậy u(x, y) = rncosnp và v(x, y) = rnsinn^>

Chú ý: Ta cũng có t h ể xét hàm f trên D c c, với giá trị

trong c

1.2 Tính liên t ụ c v à liên t ụ c đ ê u

Cho h à m f x á c định t r ê n t ậ p tùy ý D c c với giá t r ị t r o n g

c và zQ là đ i ể m tụ của D hữu hạn hay là đ i ể m xa vô t ậ n

Số phức a E c gọi là giới hạn của h à m f(z) k h i z d ầ n đ ế n

Cị) z0 l à đ i ể m cô l ậ p của D Nói c á c h k h á c t ổ n t ạ i l â n c ậ n

u của zQ ( t r o n g D) sao cho

u n D = { z0}

C2) N ế u zQ k h ô n g là đ i ể m cô l ậ p của D t h ì

l i m f ( z ) = f ( z )

D ễ t h ấ y c >) t ư ơ n g đ ư ơ n g v ớ i m ộ t t r o n g hai điều k i ệ n sau:

C '2) VÍT > 0, 3 m ộ t l â n c ậ n Ư của z , sao cho

D ã y h à m (1) được gọi là hội tụ t ạ i z e D n ế u d ã y số

fn( z ) }a h ộ i t ụ N ế u d ã y (1) hội tụ t ạ i mọi z G D ta nói nó hôi

w > 0, Vz e D, 3N(£, z), Vn > N(e, z):

| fn( z ) - f ( z ) | < £ Nếu VE > 0, 3 N ( £ ) sao cho

ị fn( z ) - f ( z ) | < £ Vn > N(£) và Vz e D

ta nói dãy hàm { fn} hội tụ đều tới f t r ê n D Rõ ràng mọi dãy

hội tụ đều là dãy hội tụ

Giả sử { fn} là một dãy hàm trên D c c Khi đó "biểu thức"

hình thức

oe

f, + f2 + + fn + = 2 fn (2)

n=l

được gọi là chuỗi hàm trên D

Nếu đặt đối với mỗi n 3s Ì

Chuỗi hàm (2) gọi là hội tụ hay k h ả tổng nếu dãy { Sn} hội

tụ Nếu dãy { Sn} hội tụ đều thì chuỗi (2) gọi là hội tụ đều