Bài giảng đại số tuyến tính của trường đại học công nghệ thông tin, chương 3. Bài giảng là slide powerpoint cung cấp đầy đủ kiến thức, bài tập, kỹ năng cho sinh viên về chương 3 của môn đại số tuyến tính
Trang 1Chương 3: KHÔNG GIAN VECTOR
:
,
Một tập V khác rỗng trên đó có hai phép toán: cộng và nhân
* x
* y
V
x y
x
0V : phần tử trung hòa (duy nhất) -x : phần tử đối (duy nhất) 1: vô hướng đơn vị hoặc phần
tử đơn vị của trường K.
.:
,
1) ,
2)
3) ,
4) , ,
0
V
V V
V
x y V x y V
x V
x V
x y V x y y x
x y z V x y z x y z
V
x V
x V
x x x x
x V
, 7)
8)
, 9)
, 10) 1
x y V
x y x y
x V
x x x
x V
x x
x V x x
Trang 2
, 7)
8) , 9) ,
V
x V
x x x x
x V
x y V
x y x y
x V
x x x
x V
x x
10) x V 1 x x
VD1: V u u R
R
, , ,
x y z V
R
Các phép cộng và nhân
thông thường trên R
VD2 : V u x y x y R V R
R
1 1, 1 , 2 2, 2 , 3 3, 3 ,
R
Các phép cộng và nhân
thông thường vector 2 chiều trên R
là không gian vector.
(3) Thỏa
V là một KGVT có
- phần tử trung hòa là 0V = (0, 0)
- phần tử đối của u (x, y) là –u=(-x, -y)
(1) Với
(2) Kiểm tra
1) ,
2)
3) ,
4) , ,
0
5) V 0 0
V V
x y V x y V
x V
x V
x y V x y y x
x y z V x y z x y z
V
x x x
x V
1),…,10)
(3) Thỏa
V là một KGVT có
n
R
- phần tử trung hòa là 0V= 0
- phần tử đối của u là -u
0 0, , 0
, ,
V
n
1, , n | , ,1 n
V u x x x x R
Trang 32
1),…,10)
n
P x là một không gian vector
0
n
i
i
Các phép cộng và nhân đa thức thông thường trên R
, ,
1, 2,3
i i i
i
(3)
2
V P x là một KGVT
0 , , 0, 0,0 0
, ,
V a b c
1) ,
2)
3) ,
4) , ,
0
5) V 0 0
V V
x y V x y V
x V
x V
x y V x y y x
x y z V x y z x y z
V
x x x
x V
, 7) 8) , 9) ,
V
x V
x x x x
x V
x y V
x y x y
x V
x x x
x V
x x
10) x V 1 x x
2
1 1 1 1
2
2 2 2 2
2
3 3 3 3
,
f x a b x c x V
f x a b x c x V
f x a b x c x V
R
2
1 2 1 2 1 2 1 2
2
2
1 2 1 2 1 2 1 2
2
2 1 2 1 2 1
1 2
1) 2) 3)
2
2
1 1 1 1 1 1 1 1
2
6)
V
V
Trang 4
1) ,
2)
3) ,
4) , ,
0
,
7)
8)
,
9)
,
V
V V
V
x y V x y V
x V
x V
x y V x y y x
x y z V x y z x y z
V
x V
x V
x x x x
x V
x y V
x y x y
x V
x x x
x V
x x
10) x V 1.x x
VD4: V a b a b c d , , , R , V M R
c d
Các phép cộng và nhân ma trận thông thường trên R
là một không gian vector
2
0 0
V
u
c d
m n
M R là một không gian vector
Trang 5K Q
( ) : , , ', ', ' ', ', ' (.) : , , , ,
V x y z x y z R
pc x y z x y z x x y y z z
pn x y z x y z
1) ,
2)
3) ,
4) , ,
0
,
7)
8)
,
9)
,
V
V V
V
x y V x y V
x V
x V
x y V x y y x
x y z V x y z x y z
V
x V
x V
x x x x
x V
x y V
x y x y
x V
x x x
x V
x x
10) x V 1.x x
Kiểm tra các tập sau có là KGVT không
Trang 6
1) ,
2)
3) ,
4) , ,
0
,
7)
8)
,
9)
,
V
V V
V
x y V x y V
x V
x V
x y V x y y x
x y z V x y z x y z
V
x V
x V
x x x x
x V
x y V
x y x y
x V
x x x
x V
x x
10) x V 1.x x
Kiểm tra các tập sau có là KGVT không
1 2 3 1 2 3
2
1 2
pn x x x x
2
1 2
VD13:
Trang 7(NO) (YES)
(YES)
V
V
V
, , 3
V x y z R
, , ', ', ' ', ', ' , , , ,
x y z x y z x x y y z z
k x y z kx y z
, , ', ', ' ', ', ' , , 0, 0, 0
x y z x y z x x y y z z
k x y z
VD18:
(NO)
V x y R
, ', ' ', ' , 2 , 2
x y x y x x y y
k x y kx ky
VD19:
, ', ' ' 1, ' 2 , ,
x y x y x x y y
k x y kx ky
V x y R
VD21:
VD20:
VD22:
Trang 8KHÔNG GIAN VECTOR CON
,
,
W
W là không gian vector con của V
VD1: Chứng minh W là KGVT con của R3
3
3
* 2,1,0
*
1 2
*
1
*
, ,
R
Vậy W là KGVT con của R3
Trang 9Vậy W là KGVT con của R3
3
1 2 3 1 2
3
1 1 2 3 1 2
2 1 2 3 1 2
1 2 1 1 2 2 3 3
1 1 2 2 1 2 1 2
1 2
1 1 2 3 1 2
1 1 2
* 1,1, 0
*
*
0 0 0
*
, ,
u u x y x y x y
R
3
1 2 1 2
1
0 0
x
u W
Vậy W là KGVT con của R3
1 2 1 2
3
1 1 2 1 2
1 2 1 1 2 2
1 1 1 1
2 2 2 2
1 2
1 1 2 1 2
1 1 2
*
*
, ,
*
,
R
1
,
R
2 :
Trang 103
1 2 3 1 2 3
3
1 1 2 3 1 2 3
2 1 2 3 1 2 3
1 2 1 1 2 2 3 3
1 1 2 2 3 3
1 2 3 1 2 3
1 2
1 1
* 0,0, 0
*
*
*
u u x y x y x y
1 1 2 3
1
, ,
R
u W
Vậy W là KGVT con của R3
Vậy W không là KGVT con của R3
4 :
VD
3
1 2 1 1 2 2 1 2 1 2
1 2 1 2 1 2 2 1 1 2 1 2
1 2
*
*
3
1 2 1 2
3
Trang 11VD15: W x x , R x x (Yes)
VD16: W x x , R 3 x x 5 (No)
VD17: W x x x , , R x x x 0 (No)
2 1 2 3
3
3
Không gian vector con của R n ?
Trang 12TỔ HỢP TUYẾN TÍNH - ĐỘC LẬP TUYẾN TÍNH - PHỤ THUỘC TUYẾN TÍNH
1
i
Tổ hợp tuyến tính:
Độc lập tuyến tính
Phụ thuộc tuyến tính 1
0
n
i
c u
Nếu hệ là ĐLTT thì mọi hệ con của nó là cũng ĐLTT
Hệ S có chứa một hệ con PTTT thì S là PTTT
Hệ S là PTTT khi và chỉ khi tồn tại ít nhất một vector là THTT của những vector còn lại
1, , ,2 n
i
u
Trang 13Gauss-Jordan
Cramer
TỔ HỢP TUYẾN TÍNH
1
1 2
4,3
1, 1 2,5
v u u
1 1 2 2
1 2
1 2
1, 1 2,5 4,3
1 2 4
1 5 3
v c u c u
c c
c c
1 2
c c
c u c u c u v U C V
.
.
n n
1 1
2 2
3 3
2,0,6
1 1 2 2
1, 2,3
1, 4, 5
3 5 7 6
2, 3,7
v
c u
u
c u
Trang 14TỔ HỢP TUYẾN TÍNH
Tìm tổ hợp tuyến tính
1 2
3,5
1,3
v
u
1 2
2,9
1,3
v
u
1 2 3
1,1,9 1,1,1
4 :
2,1, 4 3,1,9
v
u
VD
u
u
1 2 3
1,1,1
1, 2,1
5 :
1,1, 3
2, 2, 4
v u VD
u u
Tìm m để x là tổ hợp tuyến tính của các vector còn lại
VD6:
VD7:
VD8:
VD9:
Trang 15ĐỘC LẬP TUYẾN TÍNH &
PHỤ THUỘC TUYẾN TÍNH
1
2
.
n
u
u
A
u
Có n vector
và tìm được ρ(A)
+ ρ(A) = n ĐLTT
+ ρ(A) < n PTTT
1 1 2 1 1 1 2 1
2 2 4 2 0 3 2 0
2 1 2 2 0 0 0 0
1 2 0 1 0 0 0 0 A
4 2
n
A n PTTT
VD10:
HẠNG CỦA
HỆ VECTOR
1
0
n
i i i
c u
2
1
n
u
u
u
0
0
i i
i
B B
c ÐLTT
B B
Vô số nghiệm
0
*
0
i
B
PTTT B
1, ,
i n
1 2 2 1
1 2 1 2
2 4 2 0
1 2 2 1 B
det Bi 0, ( i 1, , ) n vì có một cột
bằng 0 Vậy: hệ có vô số nghiệm PTTT.
*
*
ĐỊNH THỨC
Trang 16ĐLTT hoặc PTTT trong Rn ?
VD11:
VD12:
VD13:
VD14:
VD15:
VD16:
1, 2, 3, 2 , 4,1,3, 2 ,
m = ? ĐLTT hoặc PTTT
VD17:
VD18:
VD19:
4
4, 4, 2,8 ; 3,1,0, 4 ;
2, 4, 4, 6 ;
VD20:
Trang 17VD21:
VD22: