Chương 3 : Không gian vecto

Bài giảng đại số tuyến tính của trường đại học công nghệ thông tin, chương 3. Bài giảng là slide powerpoint cung cấp đầy đủ kiến thức, bài tập, kỹ năng cho sinh viên về chương 3 của môn đại số tuyến tính

Chương 3: KHÔNG GIAN VECTOR  : V V  V V  xy V  x, y  x  y Một tập V khác rỗng có ** :  V  V hai phép toán: cộng nhân *y * x x , x   x 0V : phần tử trung hòa (duy nhất) -x : phần tử đối (duy nhất) 1) x, y  V  x  y  V 1: vô hướng đơn vị phần tử đơn vị trường K x  V  x, y  V  2)   x  V     7)    x y xy     3) x, y  V  x  y  y  x x  V  4) x, y, z  V   x  y  z  x   y  z 8)       x   x   x  ,     0V  V  5)   x  0V  0V  x  x x  V  x  V  9)     x    x  ,     x  V  6)   x  x  x  x  0V 10) x  V  1.x  x x  V  VD1: V   u u  R (1) Với x, y, zV (2) Kiểm tra 1),…,10) (3) Thỏa V KGVT có   R  - phần tử trung hòa 0V =  ,    R - phần tử đối u -u Các phép cộng nhân thông thường R  VD2 : V   u  x, y x, y  R,V  R2  (1) Với u1  x1, y1  ,u2  x2 , y2  ,u3  x3, y3  V   R  (2) Kiểm tra Các phép cộng nhân ,    R thông thường vector chiều R V KGVT có (3) Thỏa 1),…,10) x  V  6)   x  x  x  x  0V - phần tử trung hòa 0V = (0, 0) 1) x, y  V  x  y  V x  V  - phần tử đối u (x, y) –u=(-x, -y) x  V  x, y  V  Rn không gian vector 2)   x  V 7)    x y xy         V  u  x1, , xn  | x1, , xn  R 0V  0, , 0 3) x, y  V  x  y  y  x x  V  u  x1, , xn        x   x   x 8) 4) x, y, z  V   x  y   z  x   y  z  ,     0V  V  x  V  5)   x  0V  0V  x  x 9)     x    x x  V   ,      10) x  V  1.x  x VD3: V  a  bx  cx2 a,b, c  R, V  P2  x (1)  f1  x  a1  b1x  c1x2 V  f2  x   a2  b2 x  c2 x2 V  , bi ,ci  R  (2) Các phép cộng nhân đa thức  f3  x  a3  b3x  c3x2 V i  1, 2,3  thông thường R   ,   R 0V  a,b, c  0, 0, 0  0 V  P2  x (3)  u  a,  b,  c  KGVT 1),…,10) 1) f1  f2  a1  a2   b1  b2  x  c1  c2  x2 V 5) f1  0V  a1  0  b1  0 x  c1  0 x2  f1 2)  f1   a1   b1  x   c1  x2 V 6) f1   f1   a1  a1   b1  b1  x  c1  c1  x2 3) f1  f2  a1  a2   b1  b2  x  c1  c2  x2   0x  0x2  0V  a2  a1   b2  b1  x  c2  c1  x2  f1  f2 1) x, y  V  x  y  V x  V  Pn  x không gian vector 6)   x  x  x  x  0V x  V  x  V   i n  2)   x  V x, y  V  V   x  R, i  1, n, V  Pn  x     7)    x y xy     3) x, y  V  x  y  y  x x  V   i0  8)       x   x   x 4) x, y, z  V   x  y  z  x   y  z ,     x  V  0V  a0 , , an   0, , 0  0,  u  a0 , 3.,  an  0V  V  9)     x    x 5)   x  0V  0V  x  x  ,    x  V  10) x  V  1.x  x   a b   VD4: V    a,b, c, d  R, V  M  R 1) x, y  V  x  y  V  c d   x  V  Các phép cộng nhân ma trận thông thường R 2)   x  V     3) x, y  V  x  y  y  x 4) x, y, z  V   x  y  z  x   y  z    x1 y1  u1     V ; x1, y1, z1, t1  R 0V  V    z1 5)   x  0V  0V  x  x   x2 t1  x  V  u2   y2    z2 x  V    x3   V ; x2 , y2 , z2 , t2  R 6) u3   t2    x  x  x  x  0V   z3  y3   V ; x3, y3, z3,t3  R x  V  t3  x, y  V  7)    x y x y     x  V  8)       x   x   x  ,     x  V  9)     x    x 0 0  a b   ,     0V    M  R không gian vector u    10) x  V  1.x  x 0 0  c d  M mn  R không gian vector Kiểm tra tập sau có KGVT không 1) x, y  V  x  y  V VD5: V   x x  R (Yes) VD6: V   x x Q (No) x  V  K  Q K  R 2)   x  V     3) x, y  V  x  y  y  x VD7: V   x1, x2, x3  xi  R,i  1,3  x1  x2  x3  0 (Yes) 4) x, y, z  V   x  y  z  x   y  z  0V  V  VD8: V   x, y, z x, y, z  R (No) 5)   x  0V  0V  x  x x  V  pc () :  x, y, z   x ', y ', z '   x  x ', y  y ', z  z ' x  V  pn (.) :   x, y, z    x,  y,  z 6)   x  x  x  x  0V x  V  x, y  V  7)    x y x y     x  V  VD9: V   x1, x2  x1, x2  R  x1  0, x2  0 (Yes) 8)       x   x   x  ,     pc () :  x, y   x ', y '   xy, x ' y ' x  V  9)     x    x  ,     pn (.) :   x, y   x , y  10) x  V  1.x  x Kiểm tra tập sau có KGVT không 1) x, y  V  x  y  V VD10 : V  u  x1, x2, x3   R3 | x1, 2x2  x3  0 x  V  VD11: V  u  x1, x2   R2 2)   x  V     pc() :  x1, x2    y1, y2    x1  y1, x2  y2  pn(.) :   x1, x2    x1, x2  3) x, y  V  x  y  y  x VD12 : V  u  x1, x2   R2 4) x, y, z  V   x  y  z  x   y  z  pc() :  x1, x2    y1, y2    x1  y1, x2  y2  0V  V  pn(.) :   x1, x2    x1, 0 5)   x  0V  0V  x  x x  V  VD13: x  V  6)   x  x  x  x  0V x  V  x, y  V  7)    x y x y     x  V  8)       x   x   x  ,     x  V  9)     x    x  ,     10) x  V  1.x  x VD14: V (NO) VD15: V VD16: V (NO) (YES) VD17: V   x, y, z  R3 (NO) VD18: V   x, y, z  R3 (NO)  x, y, z   x ', y ', z '   x  x ', y  y ', z  z '  x, y, z   x ', y ', z '   x  x ', y  y ', z  z ' k  x, y, z  kx, y, z k  x, y, z  0, 0, 0 VD19: V   x, y  R2 VD20: V   x, y  R2  x, y   x ', y '   x  x ', y  y '  x, y   x ', y '   x  x '1, y  y ' 2 k  x, y  2kx, 2ky k  x, y  kx, ky VD21: (NO) VD22: (YES) KHÔNG GIAN VECTOR CON W không gian vector V W   W  V VD1: Chứng minh W KGVT R3 x, y W  x  y W W   x1, x2 , x3   R3 x1  x2 x W ,  R   x W * u  2,1, 0 W  W   u1   x1, x2 , x3  W  x1  x2 * W  R3 * u1   x1, x2 , x3  W  x1  x2   R * u1   x1, x2, x3   x1   x2  22 x2  u2   y1, y2, y3  W  y1  y2 u1  u2   x1  y1, x2  y2 , x3  y3   u1 W x1  y1  x2  y2   x2  y2  Vậy W KGVT R3  u1  u2 W VD121: W   x1, x2, x3   R3 x1  x2  0 VD132:: W   x1, x2, 0 x1, x2  R * u  1,1, 0 W  W   * u  0, 0, 0 W  W   * W  R3 * W  R3 u1   x1, x2, x3  W  x1  x2  u1   x1, x2 , 0 W  x1, x2  R * * u2   y1, y2 , y3  W  y1  y2  u2   y1, y2, 0 W  y1, y2  R u1  u2   x1  y1, x2  y2 , x3  y3  u1  u2   x1  y1, x2  y2 , 0  x1  y1    x2  y2    x1  x2    y1  y2     x1, y1  R  x1  y1  R  u1  u2 W x2 , y2  R  x2  y2  R  u1  u2 W u1   x1, x2, x3  W  x1  x2  u1   x1, x2 , 0 W  x1, x2  R *   R *   R u1   x1, x2, x3   x1   x2    x1  x2     u1   x1, x2 , 0  u1 W x1,  R   x1 R x2 ,  R   x2  R Vậy W KGVT R3  u1 W Vậy W KGVT c9ủa R3 VDD143: W   x1, x2, x3   R3 2x1  x2  x3  0 VD5 : W   x1, x2, x1x2   R3   x1, x2 , x3   R3 | x3  x1x2 * u  0, 0, 0 W  W   * u  0, 0, 0 W  W   * W  R3 * W  R3 u1   x1, x2 , x3  W  2x1  x2  x3  u1   x1, x2 , x1 x2  W  x1, x2  R * * u2   y1, y2 , y3  W  y1  y2  y3  u1  u2   x1  y1, x2  y2 , x3  y3  u2   y1, y2 , y1 y2  W  y1, y2  R 2 x1  y1   5 x2  y2   3 x3  y3   u1  u2   x1  y1, x2  y2 , x1 x2  y1 y2  2x1  x2  x3   2 y1  y2  y3      x1  y1  x2  y2    u1  u2 W  x1 x2  y1 y2  x1 y2  x2 y1  x1 x2  y1 y2  u1  u2 W u1   x1, x2, x3  W  2x1  x2  x3  Vậy W không KGVT R3 *   R 10 u1   x1, x2 , x3  2 x1  5 x2  3 x3   2x1  x2  x3      u1 W Vậy W KGVT R3 Không gian vector Rn ? VD15: W   x1, x2   R2 x1  x2  (Yes) VD16: W   x1, x2   R2 3x1  x2  5 (No) VD17: W   x1, x2, x3   R32 x1 x2x3  0 (No)  32 x1  3x2  x3  0 VD18: W   x1, x2 , x3   R   (Yes)  2x2  x3   11 TỔ HỢP TUYẾN TÍNH - ĐỘC LẬP TUYẾN TÍNH - PHỤ THUỘC TUYẾN TÍNH n ci  R, i  1, n Tổ hợp tuyến tính: v  c1u1  c2u2   cnun   ciui ; i 1 n Độc lập tuyến tính Phụ thuộc tuyến tính  ciui  0V i 1  Nếu hệ S  u1,u2 , ,un ĐLTT hệ ĐLTT  Hệ S có chứa hệ PTTT S PTTT  Hệ S PTTT tồn vector ui THTT vector lại 12 v  4,3   v  c1u1  c2u2 u  1, 1  c1 1, 1  c2 2,5  4,3 TỔ HỢP TUYẾN TÍNH  u  2,5  1.c1  2.c2  1   c1           1.c1  5.c2   1   c2    Gauss-Jordan c1u1  c2u2  cnun  v  U.C  V X  A1B  u1,1 u2,1 un,1   c1   v1  U   u1,2 u2,2 un,2  , C     c2  , V     v2  Cramer  . . .  u1,n u2,n un,n      cn    v  2, 0, 6 u1  1, 2,3  1   c1         VD1:    2 3  c2     u2  1, 4, 5       5   c3    u3  2, 3, 7 13 TỔ HỢP TUYẾN TÍNH Tìm tổ hợp tuyến tính Tìm m để x tổ hợp tuyến tính vector lại v  3,5 v  2,9 VD6:   VD7: VD2 : u1  2,1 VD3 : u1  3, 2   u2  1,3 u2  1,3 VD4 : v  1,1,9 VD5 : v  1,1,1 VD8: u1  1,1,1 u1  1, 2,1 VD9: u2  2,1, 4 u2  1,1,  3 u   3,1,  u   2, 2, 4 3 3 14 ĐỘC LẬP TUYẾN TÍNH & n VD10: PHỤ THUỘC TUYẾN TÍNH  ciui  i 1 HẠNG CỦA ĐỊNH THỨC * 1 1   1  HỆ VECTOR A   2 4 2      2  2 u1 u2 un  2  0 0 0 1    0 0 0  u1  n      A  n  PTTT     A  2 A   u2       un  *  2 1 2  B   Bi  det  B  det  1 0 *   ci   ÐLTT Có n vector Bi  0 B  4  tìm ρ(A)  1 + ρ(A) = n  ĐLTT B   Vô số  PTTT  2 + ρ(A) < n  PTTT *  có cột Bi  0 nghiệm det  Bi   0, (i  1, , n) i  1, , n Vậy: hệ có vơ số nghiệm PTTT 15 ĐLTT PTTT Rn ? m = ?  ĐLTT PTTT VD11: VD17: 1, 4,3,3, 2,5,2, 3, m VD12: VD18: 1,3, m,1, 2,1,0,1,1 VD13: VD14: VD19: 1, 2, 3, 2,4,1,3, 2,  16,9,1, 3,m, 4, 7, 7 VD15: VD16: VD20: 4, 4, 2,8; 3,1, 0, 4; 2, 4, 4, 6; u4  (4, 9, 2, m 1) 16 VD21: VD22: 17