Bài giảng cơ học lý thuyết gv lê thị hà

Cơ hệ không tự do Cơ hệ không tự do là tập hợp các chất điểm mà trong đó chuyển động của các chất điểm thuộc cơ hệ không những chỉ phụ thuộc vào lực tác dụng mà còn bị ràng buộc bởi một

TRƯỜNG ĐẠI HỌC LÂM NGHIỆP PHÂN HIỆU ĐH LÂM NGHIỆP BÀI GIẢNG CƠ HỌC LÝ THUYẾT GV: Lê Thị Hà CHƯƠNG 1: CƠ HỌC GIẢI TÍCH 1.1 Các khái niệm hệ không tự 1.1.1 Cơ hệ không tự Cơ hệ không tự tập hợp chất điểm mà chuyển động chất điểm thuộc hệ phụ thuộc vào lực tác dụng mà cịn bị ràng buộc số điều kiện hình học động học cho trước 1.1.2 Liên kết a Định nghĩa Liên kết điều kiện ràng buộc chuyển động mặt hình học động học hệ Những điều kiện không phụ thuộc vào lực tác dụng điều kiện ban đầu b Phương trình liên kết Phương trình liên kết phương trình hay bất phương trình biểu thị mặt toán học ràng buộc mặt hình học động học chất điểm thuộc hệ Chúng có dạng sau: fi (t, rk , vk )  đó: k = 1, n ; i  1, s với s số phương trình liên kết Với cấu tay quay, truyền hình vẽ, ta viết phương trình liên kết cấu phẳng tay quay truyền sau: x(0) = y(0) = xA2  yA2  r2 (xA  xB )2  ( yA  yB )2  l2 yB  c Phân loại liên kết Dựa vào dạng phương trình liên kết mà ta phân loại liên kết Liên kết dừng: liên kết mà phương trình khơng chứa yếu tố thời gian fi (rk , vk )  Liên kết không dừng: liên kết mà phương trình có chứa yếu tố thời gian t fi (t, rk , vk )  Liên kết hình học: liên kết mà phương trình liên kết khơng chứa yếu tố vận tốc vk có ta tích phân để đưa dạng không chứa yếu tố vận tốc Liên kết động học: liên kết mà phương trình liên kết chứa yếu tố vận tốc vk Từ phần trở đi, tất liên kết mà xét liên kết dừng hình học, nghĩa fi (rk )   fi (xk , yk , zk )  1.1.3 Di chuyển số bậc tự hệ a Định nghĩa Di chuyển hệ tập hợp di chuyển vô bé mà chất điểm hệ thực để cho phù hợp với liên kết vị trí xét Di chuyển chất điểm ký hiệu  r( x, y, z) với r vectơ định vị chất điểm, di chuyển thực ký hiệu dr(dx, dy, dz) Di chuyển có ý nghĩa mặt hình học, khơng phụ thuộc vào lực tác dụng thời gian t Như vậy, di chuyển hay gọi di chuyển ảo hệ phải thỏa mãn hai điều kiện sau: + Di chuyển vô bé + Các di chuyển thực mà không phá vỡ liên kết b Số bậc tự Định nghĩa: Số bậc tự hệ số di chuyển độc lập hệ Giả sử hệ có n chất điểm có 3n di chuyển độc lập Nhưng hệ lại có m phương trình liên kết, số bậc tự hệ S = 3n – m Ví dụ: Một chất điểm đường thẳng có bậc tự Một chất điểm tự không gian có bậc tự Một vật rắn tự khơng gian có bậc tự 1.1.4 Tọa độ suy rộng lực suy rộng hệ Các tham số độc lập, chúng có số lượng số bậc tự hệ xác định vị trí hệ gọi tọa độ suy rộng hệ Ta ký hiệu tọa độ suy rộng bằng: qi  q1, q2, , qs Tọa độ suy rộng đoạn thẳng, cung, góc, diện tích… Việc chọn tọa độ suy rộng gắn liền với việc xác định số bậc tự số di chuyển hệ Vị trí hệ xác định nhờ tọa độ suy rộng, nên tọa độ Đề-các chất điểm thuộc hệ biểu diễn qua tọa độ suy rộng: xk  xk (q1, q2, , qn ) yk  yk (q1, q2, , qn ) zk  zk (q1, q2, , qn ) Hay rk  rk (q1, q2, , qn )  xk i  yk j  zk k Khi hệ chuyển động tọa độ suy rộng biến đổi liên tục theo thời gian t, nghĩa là: q1  q1(t) ; q2  q2 (t) ; … qs  qs (t) rộng Các biểu thức gọi phương trình chuyển động hệ tọa độ suy Đạo hàm bậc theo thời gian tọa độ suy rộng ta thu vận tốc suy rộng tương ứng hệ  dq1  dq2  dqs q1  ; q2  ; …; qs  dt dt dt b Lực suy rộng Xét hệ có n chất điểm chịu tác dụng lực F1; F2; ; Fn Vì hệ có liên kết hình học nên số tọa độ suy rộng đủ để xác định vị trí hệ số bậc tự hệ q1, q2, , qs Nếu cho hệ di chuyển khả dĩ, có tọa độ suy rộng q1 biến đổi với số gia  q1 , tọa độ suy rộng khác khơng đổi vectơ rk (q1, q2, , qs ) chất điểm nhận di chuyển nguyên tố  (rk )1  rk  q1  q1 Tổng công nguyên tố lực tác dụng lên hệ di chuyển  (rk )1 là:  A1  F1 (r1)1  F2 (r2 )1   Fn (rn )1  A1  F1 r1  q1  F2 r2  q1   Fn rn  q1 q1 q1  q1  n rk  n rk  A1    Fk  q1  Q1 q1 với Q1   Fk  k1 q1  k 1 q1 Q1 gọi lực suy rộng ứng với tọa độ suy rộng q1 Tương tự ta có lực suy rộng Q2, Q3, …, Qn Nếu cho hệ di chuyển mà tất tọa độ suy rộng đồng thời biến đổi, tổng cơng lực tác dụng lên hệ di chuyển là: s  Ak  Q1 q1  Q2 q2   Qs qs  Qj q j j 1 Nếu lực tác dụng lên hệ lực Khi đó:  Ak       q1    q2     qs   q1 q2 qs  Vậy: Q1    ; Q2    ; …; Qs     q1 q2 qs Vậy lực tác dụng lên hệ lực lực suy rộng đạo hàm riêng (với dấu “-“ ) theo tọa độ suy rộng tương ứng 1.2 Nguyên lý di chuyển 1.2.1 Công Công công sinh lực tác dụng lên chất điểm di chuyển trùng với di chuyển chất điểm Cơng lực hoạt động F di chuyển ký hiệu là:  AF Công phản lực liên kết N di chuyển  AN 1.2.2 Liên kết lý tưởng Liên kết hệ gọi liên kết lý tưởng tổng công nguyên tố phản lực liên kết tác dụng lên hệ di chuyển hệ không  AkN   Nk  rk  1.2.3 Nguyên lý di chuyển Nội dung: Điều kiện cần đủ để hệ có liên kết lý tưởng cân tổng công nguyên tố tất lực hoạt động tác dụng lên hệ di chuyển hệ không  AkF   Fk  rk  Chứng minh nguyên lý: * Điều kiện cần - Hệ có liên kết lý tưởng GT - Hệ cân KL  AkF   Fk  rk  Xét chất điểm thứ k thuộc hệ, chịu tác dụng Fk Nk Theo giả thiết: Fk  Nk  Cho hệ di chuyển chất điểm thứ k có di chuyển  rk Ta có:  Ak  (Fk  Nk ). rk  Đối với toàn hệ ta có:  Ak  (Fk  Nk ). rk    Fk  rk   Nk  rk    Fk  rk  (Vì hệ có liên kết lý tưởng) * Điều kiện đủ: GT - Hệ có liên kết lý tưởng KL -  AkF   Fk  rk  - Hệ cân Giả sử hệ cân bằng, hệ có lực hoạt động thỏa mãn điều kiện  Fk  rk  Nếu thời điểm hệ bắt đầu chuyển động ta có: T  Theo định lý động năng: T   Fk rk   Nk rk    Fk rk  (Vì hệ có liên kết lý tưởng) Điều trái với giả thiết nên hệ cân mãi Ý nghĩa: Nguyên lý di chuyển thiết lập điều kiện cân dạng tổng quát hệ Nó cho phép ta sử dụng phương pháp tĩnh học để giải toán động lực cách tổng quát 1.2.3 Vận dụng nguyên lý di chuyển a Ví dụ Tìm hệ thức liên hệ mômen M ngẫu lực tác dụng lên tay quay cấu truyền áp lực P lên pittông cân Cho biết OA = r AB = l Giải Cơ cấu có bậc tự Lực P ngẫu lực M sinh công Cho tay quay di chuyển  , trượt B di chuyển  x Áp dụng nguyên lý di chuyển khả dĩ: M  P x  Ta có: r sin  l sin  r cos  l cos    r cos   r cos  l cos l2  r2 sin2  x  r cos  l cos   x  r sin  l sin Mà:   x  (r sin  r sin r cos ) l2  r2 sin2    x  (r sin  r2 sin cos ) l2  r2 sin2  Thế vào pt trên, ta được: M  P x   M  P(r sin  r2 sin cos )  l2  r2 sin2   M  Pr sin(1 r cos ) l2  r2 sin2  b Ví dụ Người ta buộc hai vật nặng A B có trọng lượng vào hai đầu sợi dây không giãn, không trọng lượng Dây từ vật A song song với mặt phẳng ngang không nhẵn, vắt qua ròng rọc cố định C lồng vào rịng rọc động D, sau lại vắt qua ròng rọc cố định E buộc vào vật nặng B Vật nặng K có trọng lượng Q treo vào trục ròng rọc động D Xác định trọng lượng P vật A B hệ số ma sát trượt vật A mặt phẳng ngang, biết hệ trạng thái cân Bỏ qua trọng lượng ròng rọc Giải Hệ khảo sát gồm vật A, B, ròng rọc D vật K Hệ có hai bậc tự nên có hai điều kiện cân Ta cố định vật A, cho vật B rơi xuống đoạn  sB Khi vật K lên đoạn  sK Theo nguyên lý di chuyển khả dĩ: Q sK  P sB   Q. sK  P.2 sK   P  Q Ta cố định vật B, cho vật K rơi xuống đoạn  sK vật A di chuyển đoạn  sA Theo nguyên lý di chuyển khả dĩ: Q sK  Fms sA   Q sK  f P.2 sK   f  Q 1 2P 1.2.2 Điều kiện cân tọa độ suy rộng độc lập đủ a Trường hợp chung Theo nguyên lý di chuyển khả dĩ, điều kiện cần đủ để hệ có liên kết lý tưởng cân tổng công nguyên tố tất lực hoạt động tác dụng lên hệ di chuyển hệ không Trong tọa độ suy rộng, điều kiện là:  Ak  Q1 q1  Q2 q2   Qs qs  Vì  q1; q2; ; qs độc lập nên đẳng thức thỏa mãn khi: Q1  Q2   Qs  Định lý: Điều kiện cần đủ để hệ có liên kết lý tưởng, hình học, giữ dừng cân tọa độ suy rộng tất lực suy rộng tương ứng với tọa độ suy rộng hệ khơng b Trường hợp lực Trường hợp lực hoạt động tác dụng lên hệ lực hàm có dạng   (q1;q2; ;qs ) điều kiện cần đủ để hệ có liên kết lý tưởng, hình học, giữ dừng cân vị trí hàm đạt cực trị vị trí