Bài giảng Cơ học lý thuyết: Chương 9 - Huỳnh Vinh

Bài giảng Cơ học lý thuyết: Chương 9 Các đặc trưng hình học khối lượng của cơ hệ, cung cấp cho người học những kiến thức như: Khối lượng của hệ; Khối tâm của hệ; Mômen quán tính của hệ; Mômen quán tính của vật rắn thường gặp. Mời các bạn cùng tham khảo!

1 Khối lượng hệ Chuyển động hệ ngồi việc phụ thuộc vào lực tác dụng cịn phụ thuộc vào tổng khối lượng phân bố khối lượng hệ Xét hệ gồm n chất điểm có khối lượng tương ứng m1, m2, , mn Khối lượng hệ: tổng khối lượng tất phần tử hợp thành hệ Chương M = ∑ mk ( k = 1, n ) 9.1 m2 m1 m3 m4 m5 GV Huỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bộ Slide 662 GV Huỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng mn Lưu hành nội bộ Slide 663 Khối tâm hệ Ký hiệu khối tâm: C a Đối với hệ chất điểm (vật rắn) z * Dạng véc tơ: m1 n ∑ m r k rC = k k =1 r1 9.2 M rC * Trong hệ trục Descartes Oxyz:   xC = M    yC = M    zC = M  n O ∑ mk xk k =1 C r2 rn m2 mn y x n ∑ m y k k k =1 9.3 n ∑ m z k k k =1 GV Huỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bộ Slide 664 b Đối với hệ vật rắn Xét hệ gồm n vật rắn, vật rắn thứ k có khối lượng mk khối tâm Ck Gọi C M khối tâm tổng khối lượng hệ vật rắn * Dạng véc tơ: z Nói rõ khối tâm n Khổi tâm C hệ chất điểm điểm thỏa mãn: ∑ mk CM k = k =1 mk : khối lượng chất điểm thứ k n Mk : vị trí xác định chất điểm thứ k rC = Xác định vị trí khối tâm C theo điểm quy chiếu O: Với O điểm xác định khơng gian thì: CM k = OM k − OC n Từ ∑ m CM k = ⇒ ∑ mk (OM k − OC ) = k =1 k =1 n n n k =1 k =1 k =1 ⇒ ∑ mk (OM k − OC ) = ⇒ ∑ mk OM k − OC ∑ mk = n Đặt rk = OM k , rC = OC , M = ∑ mk , ta có: k =1 n ∑ mk rk − rC M = ⇒ rC = k =1 GV Huỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng n ∑m r k k k =1 9.2 M Lưu hành nội bộ k =1 k = n ∑m ∑ m r m2 Ck k =1 M Slide 665 C1 zC C2 9.4 k m1 C k =1 n k n ∑ mk rCk mn * Trong hệ trục Descartes Oxyz: rC2 rC n  Cn  xC = M ∑ mk xCk k =1 rCn  n O  xC mk yC k  yC = 9.5 ∑ M k =1   x n mk z Ck  zC = ∑ M k =1  GV Huỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng rC1 Lưu hành nội bộ yC rC3 y C3 m3 Slide 667 Ý nghĩa động học khối tâm C Chỉ tồn khối tâm ứng với trạng thái vị trí hệ chất điểm: Với điểm quy chiếu O: n mk rk ∑ Khối tâm C xác định bởi: OC = rC = k =1 M Khi hệ chất điểm chuyển động (vật rắn, hệ vật rắn) + Quan hệ vận tốc chất điểm: n * Giả sử tồn tâm C* khác tâm C, thì: OC = rC * = ∑m r n k k k =1 M i rɺC = Như rC = rC * , điều chứng tỏ C trùng C* dẫn đến kết luận tồn tâm n ∑ mk rɺk ∑ m v k ⇒ vC = k =1 M rC = i ɺɺ Lưu hành nội bộ Slide 666 M + Quan hệ gia tốc chất điểm: n GV Huỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng k k =1 n ∑ m ɺɺr k k =1 M GV Huỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng ∑ m a k k ⇒ aC = k k =1 M Lưu hành nội bộ Slide 668 Khi vật tổ hợp cộng từ n khối hình mà khối hình thứ i biết khối tâm Ci thể tích Vi thì: x C1V1 + x C V + + x C n V n   xC = V1 + V + + V n   y C1V1 + y C V + + y C n V n  yC = V1 + V + + V n   z C V1 + z C V + + z C n V n  zC = V1 + V + + V n  Lưu ý: Việc tổ hợp cộng hình kết hợp trừ hình Giả sử cộng hình từ đến k, trừ hình từ k+1 đến n, cơng thức là: * Trục trung tâm: trục qua khối tâm C C ( x C1V1 + x C V + + x C k V k ) − ( x C k V k + x C k +1V k +1 + + x C n V n )   xC = (V1 + V + + V k ) − (V k +1 + V k + + + V n )   ( y C1V1 + y C V + + y C k V k ) − ( y C k V k + y C k + 1V k +1 + + y C n V n )  yC = (V1 + V + + V k ) − (V k +1 + V k + + + V n )   ( z C1V1 + z C V + + z C k V k ) − ( z C k V k + z C k + 1V k +1 + + z C n V n )  zC = (V1 + V + + V k ) − (V k +1 + V k + + + V n )  GV Huỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bộ Slide 669 * Khối tâm vật đồng chất: * Tổng quát: Trong hệ trục Oxyz gắng cố định vật, tọa độ khối tâm C:    xC =      yC =      zC =   ∫ ∫ x dV (V ) ∫ dV = ∫∫∫ x dxdydz x dV (V ) V = (V ) ∫ (V ) ∫ dV = ∫∫∫ y dxdydz y dV (V ) V = (V ) ∫ (V ) ∫∫∫ dxdydz Lưu hành nội bộ Slide 671 * Tính chất: - Nếu vật có mặt phẳng đối xứng khối tâm thuộc mặt đối xứng - Nếu vật có mặt phẳng đối xứng khối tâm C giao điểm mặt đối xứng - Nếu vật thẳng mảnh khối tâm C trung điểm trục - Nếu vật dạng phẳng có chiều dày khơng đổi – mặt trung bình mặt đối xứng khối tâm thuộc mặt trung bình (tấm mảnh trường hợp đặt biệt dạng này) Khối tâm cần xác định tâm diện tích hình học phẳng mặt trung bình đối xứng, tọa độ tâm C xác định theo công thức sau: (V ) ∫ z dV (V ) ∫ ∫∫∫ dxdydz (V ) y dV ∫ (V ) GV Huỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng dV (V ) GV Huỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng = ∫∫∫ z dxdydz z dV (V ) V = (V ) ∫∫∫ dxdydz (V ) Lưu hành nội bộ Slide 670 GV Huỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bộ Slide 672 Trong hệ trục phẳng chọn trước chứa mặt phẳng trung bình đối xứng vật, tâm C có tọa độ (xC,yC): ∫ ∫ x dF (F ) ∫ dF = ∫∫ x dxdy x dF (F ) F = (F ) ∫ ∫∫ dxdy ∫ y dF dF = ∫∫ y dxdy y dF (F ) F (F ) = dF C (F ) MC =0 (F ) (F ) ∫ (F) * Thu gọn hệ trọng lượng vật rắn: Khối lượng vật rắn phân bố theo không gian phân bố vật chất Ở đâu có khối lượng có trọng lượng Trọng lượng hệ lực song song hướng tâm trái đất phân bố đơn vị thể tích Khi tính tốn, ta thu gọn tâm khối lượng véc tơ (khác khơng) tổng véc tơ trọng lượng thành phần, cịn mơmen không y    xC =     y =  C   y (F ) x O x ∞ ∫∫ dxdy k =1 pk Lưu ý: Nếu mặt phẳng trung bình đối xứng vật có trục đối xứng tâm C thuộc trục đối xứng Nhờ tính chất ta biết tâm số hình: trịn, vng, elip, đa giác đều… Lưu hành nội bộ C Tương đương P = ∑ pk (F ) GV Huỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng C Tương đương C P CM: Khi thu gọn hệ trọng lượng khối tâm C, ta được: + Véc tơ lực chính: ∞ ∞ ∞ k =1 k =1 k =1 R C = ∑ p k = ∑ mk g = g ∑ mk = M g = P ≠ Slide 673 GV Huỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Khi mặt phẳng đối xứng tổ hợp cộng từ n hình mà hình thứ i biết tâm Ci diện tích Fi thì: + Véc tơ mơmen chính: x C1 F1 + x C F2 + + x C n Fn   xC = F1 + F2 + + Fn    y = y C1 F1 + y C F2 + + y C n Fn  C F1 + F2 + + Fn RC = P Lưu hành nội bộ ∞ ∞ k =1 k =1 Slide 675 M C = ∑ mC ( mk g ) = ∑ ( rk ∧ mk g ) ∞ ∞ k =1 k =1 = ∑ ( mk rk ∧ g ) = ( ∑ mk rk ) ∧ g = MrC ∧ g = ∧ g = Lưu ý: Việc tổ hợp cộng hình kết hợp trừ hình Giả sử cộng hình từ đến k, trừ hình từ k+1 đến n, cơng thức là: ( x C1 F1 + x C F2 + + x C k Fk ) − ( x C k Fk + x C k +1 Fk +1 + + x C n Fn )   xC = ( F1 + F2 + + Fk ) − ( Fk +1 + Fk + + + Fn )   + ( y F y C F2 + + y C k Fk ) − ( y C k Fk + y C k + Fk +1 + + y C n Fn ) C1 y =  C ( F1 + F2 + + Fk ) − ( Fk +1 + Fk + + + Fn )  MC =0 C C rk mk k ∞ mk g R C = ∑ pk = P k =1 GV Huỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bộ Slide 674 GV Huỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bộ Slide 676 Trong trường trọng lực, khối tâm C trùng với trọng tâm G b Mơmen qn tính trục ∆: * Trọng tâm G vật điểm đặt hợp trọng lực P vật * Đối với chất điểm J ∆ = m.d ∆ 9.8 d m C ≡G Tương đương * Đối với hệ chất điểm P n J ∆ = ∑ mk d pk ∆ m1 d1 k d2 9.9 k =1 m2 mn dn Bán kính quán tính ρ∆ trục ∆: J ∆ = M ρ ∆2 Dấu mơmen qn tính trục: luôn dương GV Huỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bộ Slide 677 Mơmen qn tính hệ * Đối với chất điểm 9.6 J O = ∑ mk rk2 9.7 k =1 r O * Đối với hệ chất điểm n Lưu hành nội bộ Slide 679 c Mômen quán tính hệ trục tọa độ Descartes a Mơmen qn tính điểm (mơmen qn tính độc cực): J O = m.r GV Huỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng r1 O rn m m1 r2 mn m2 n n  2 J = m d =  x ∑ k x ∑ mk ( y k + z k ) k =1 k =1  n n  2  J y = ∑ mk d y = ∑ m k ( x k + z k ) k =1 k =1  n n  2  J z = ∑ m k d z = ∑ mk ( x k + y k ) k =1 k =1  n n k =1 k =1 J O = ∑ mk rk2 = ∑ mk ( yk2 + xk2 + z k2 ) z 9.10 dz mk ( xk , y k , z k ) dx rk zk O JO = Bán kính quán tính ρΟ điểm Ο: J O = M ρ O2 Jx + Jy + Jz 9.11 x yk dy y xk Dấu mơmen qn tính điểm: ln ln dương GV Huỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bộ Slide 678 GV Huỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bộ Slide 680 * Trường hợp đặc biệt * Các bán kính quán tính khối lượng gốc tọa độ trục tọa độ z + Tấm phẳng mảnh: Có thể viết lại Trong hệ trục Oxyz, giả sử mặt phẳng vật nằm mặt phẳng tọa độ Oxy, ta có: J z = JO = J x + J y y  J O = M ρ O2   J x = M ρ x   J y = M ρ y  J = M ρ z  z O x Lấy chất điểm thuộc tấm, thì: zk = Nên từ 9.10 9.11 : Trong đó:  2  J x = ∑ m k y k , J y = ∑ mk x k k =1 k =1  Jz = Jx + J y n   2 ⇒  J z = ∑ mk ( xk + y k ) J x + J y + J z ⇒ J z = JO = J x + J y k =1  JO =   Jx + Jy + Jz JO =  n n GV Huỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bộ + Thanh thẳng mảnh: O ρ = Slide 681 y O t x 9.10 9.11 : n  J J mk z k2 = = ∑ x y  k =1  Jz = ⇒ Jz = JO = J x = J y  J + Jy + Jz JO = x  Jz = Vai trò trục t trục x y nên:  JO = J x = J y = Jt GV Huỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Jx M Jy 9.12 M Jz M ρ x2 + ρ y2 + ρ z2 9.13 GV Huỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bợ Slide 683 * Mơmen qn tính hệ trục phẳng hệ trục Descartes (mơmen qn tính ly tâm) Trong hệ trục Oxyz, giả sử trục trùng với trục Oz, với t trục nằm mặt Oxy qua O, ta có kết sau: Lấy chất điểm thuộc tấm, thì: xk = 0, yk= Nên từ JO M - Bán kính quán tính khối lượng tâm O: ρ O - Các bán kính quán tính khối lượng trục: ρ x , ρ y , ρ z z Jz =  JO = J x = J y = Jt   ρO =   ρx =  ⇒  ρ y =    ρ z = Lưu hành nội bộ n   J xy = J yx = ∑ mk xk yk k =1  n   J xz = J zx = ∑ mk xk z k k =1  n  J = J = mk y k z k  yz ∑ zy k =1  9.14 Dấu: dương âm + Trục quán tính Trục x trục quán tính J xy = J xz = 9.15 Trục y trục quán tính J yx = J yz = 9.16 9.17 Trục z trục quán tính J zx = J zy = + Trục quán tính trung tâm: trục vừa trục trung tâm vừa trục quán tính Slide 682 GV Huỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bộ Slide 684 * Cơng thức chuyển trục song song mơmen qn tính Z z Zk d Zz - Mơmen qn tính trục Y: zk k =1 k =1 xk = ( a + c ) M + a.MxC + 2c.MzC + J y = d Yy2 M + a.MxC + 2c.MzC + J y yk O a k =1 n c x n = ∑ mk  ( a + axk + xk2 ) + (c + 2cz k + z k2 )  mk I n J Y = ∑ mk ( X k2 + Z k2 ) = ∑ mk  ( a + xk ) + (c + z k )  d Yy y Yk b d Xx Y Nếu trục y trục trung tâm (trục qua khối tâm C) thì: xC = 0, zC = Xk Khi đó: J Y = J y + d Yy2 M X GV Huỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bộ Slide 685 + Tịnh tiến hệ trục IXYZ theo véc tơ OI hệ trục Oxyz Trong hệ trục IXYZ, tọa độ O (a,b,c) - Mơmen qn tính trục X: n n k =1 k =1 GV Huỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bộ Slide 687 - Mơmen qn tính trục Z: n n J Z = ∑ mk ( X + Y ) = ∑ mk  ( a + xk ) + (b + yk )  k k k =1 k =1 n J X = ∑ mk (Yk2 + Z k2 ) = ∑ mk  (b + y k ) + (c + z k )  = ∑ mk  ( a + axk + xk2 ) + (b + 2byk + y k2 )  k =1 n = ∑ mk  (b + 2byk + yk2 ) + (c + 2cz k + z k2 )  = ( a + b ) M + a.MxC + 2b.MyC + J z k =1 = d Zz2 M + a.MxC + 2b.MyC + J z = (b + c ) M + 2b.MyC + 2c.MzC + J x = d Xx M + 2b.MyC + 2c.MzC + J x Nếu trục x trục trung tâm (trục qua khối tâm C) thì: yC = 0, zC = Nếu trục z trục trung tâm (trục qua khối tâm C) thì: xC = 0, yC = Khi đó:J X = J x + d Xx M Khi đó: J Z = J z + d Zz2 M GV Huỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bộ Slide 686 GV Huỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bộ Slide 688 * Định lý Steiner-Huygens: Mơmen qn tính vật trục Z mơmen qn tính trục z qua khối tâm song song với Z cộng với tích khối lượng vật với bình phương khoảng cách hai trục z 9.18 Z J Z = J z + d M + Mômen quán tính trục L: J L = ∑ mk ( I k H k ) = ∑ mk ( I k H k ) = ∑ mk  rk2 − (OH k )  = ∑ mk  xk2 + yk2 + z k2 − ( xk c osα + yk c osβ + z k c osγ )  = ∑ mk  xk2 (1 − cos α ) + y k2 (1 − cos β ) + z k2 (1 − cos γ )  −2 ∑ mk ( xk yk c osα c osβ + xk z k c osα c osγ + y k z k c osβ c osγ ) Trong trục song song nhau, trục qua khối tâm có mơmen qn tính bé C Do cos α + cos β + cos γ = 1, nên: J L = ∑ mk  xk2 (cos β + cos γ ) + y k2 (cos α + cos γ ) + z k2 (cos α + cos β )  −2 J xy c osα c osβ − J yz c osβ c osγ − J zx c osγ c osα d Do xk2 + yk2 = d z2 , xk2 + z k2 = d y2 , yk2 + z k2 = d x2 , nên: J L = ∑ mk  d x2 cos α + d y2 cos β + d z2 cos γ  −2 J xy c osα c osβ − J yz c osβ c osγ − J zx c osγ c osα GV Huỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bợ Slide 689 * Cơng thức mơmen qn tính trục qua gốc tọa độ rk = xk i + y k j + z k k dz rk = OH k + H k I k xk c osα + y k c osβ + z k c osγ = OH k γ mk Ik rk dx β α j O xk + Mômen qn tính trục L có cơng thức sau: Có thể viết dạng sau: Hk k Slide 691 −2 J xy c osα c osβ − J yz c osβ c osγ − J zx c osγ c osα zk + Chiếu (*) lên trục L: Lưu hành nội bộ J L = J x cos α + J y cos β + J z cos γ L z + Ta có: GV Huỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng [ J L ] =  J x Jy dy yk  cos α    J z   cos β  −  J xy  cos γ    J yz  cos α cos β  J zx   cos β cos γ     cos γ cos α  J L = Det [ J L ] y i x GV Huỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bộ Slide 690 GV Huỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bộ Slide 692 Mômen quán tính vật rắn thường gặp 4.2 Vành mảnh tròn đồng chất : (M,R) Vành mảnh nằm mặt phẳng Cxy, khối tâm C; trục k thuộc mặt phẳng Cxy, qua khối tâm 4.1 Thanh mảnh thẳng đồng chất: (M,l) z z'   J z ' = J A = M l   J = J = M l C  z 12 9.19 C A  J C = J z = M R    J x = J y = M R = J k  B l/2 l/2 z 9.20 (Xem phần chứng minh cuối ) (Xem phần chứng minh cuối ) C y R x k GV Huỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bộ Slide 693 Thanh mảnh thẳng đồng chất AB có khối lượng M, chiều dài l B k1 z B k2 C A d1 z' A d2 AB ⊥ mp (α ) C : Khối tâm (trung điểm AB) (Cz , Ck1 , Ck ) ⊂ mp (α ) GV Huỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng 9.21 z (Xem phần chứng minh cuối ) C ( Az ', Ad1 , Ad ) ⊂ mp ( β ) Ml 12 Slide 695 AB ⊥ mp ( β ) J C = J Cz = J Ck1 = J Ck2 = Lưu hành nội bộ 4.3 Đĩa mảnh tròn đồng chất : (M,R) Đĩa mảnh nằm mặt phẳng Cxy, khối tâm C; trục k thuộc mặt phẳng Cxy, qua tâm  J = J = M R C z    J = J = M R = J y k  x mp ( β ) mp (α ) GV Huỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng J A = J Az ' = J Ad1 = J Ad = Lưu hành nội bộ Ml y R x Slide 694 k GV Huỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bộ Slide 696 y 4.4 Khối cầu đặc đồng chất: (M, R) – gốc tọa độ hệ trục Cxyz khối tâm C z Jx = Jy = Jz = 4.6 Trụ rỗng mỏng đồng chất: (M, R) y MR 9.22 C J C = MR x z h GV Huỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng x  h2 J = J = M ( R + ) y  x   J = MR  z 4.5 Tấm phẳng mảnh chữ nhật đồng chất: (M,a,b) a O   J x = M a C  b  9.23  J y = M b  x  2 x J J M ( a b ) = = + O z  y y z' l/2 A x - dx Cứ chiều dài l có khối lượng M Vậy đoạn dài dx có khối lượng dM = Mdx/l * Xét đoạn dài dx cách A đoạn x có khối lượng dM * Mơmen qn tính trục z’ xác định bởi: y y 0 Lưu hành nội bộ B J A = J z'   JC = J z x Slide 699 dM C l/2 x (Xem phần chứng minh cuối ) h Lưu hành nội bộ Thanh mảnh thẳng đồng chất (M, l) z z' A C z h/2 Sinh viên chứng minh kết cách đơn giản sau a b z 9.26 GV Huỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Slide 697 O 9.24 C (Xem phần chứng minh cuối ) Lưu hành nội bộ z y 4.7 Trụ đặc đồng chất: (M, R) (Xem phần chứng minh cuối ) GV Huỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng C 9.25 h/2 Với trục k qua khối tâm C J k = J x = J y = J z = MR  = J x  12 M a   M b  J y0 = 12   = = J J M ( a + b ) C z  12 x  h2 J x = J y = M (R + )    J z = MR Slide 698 J z ' = ∑ x dM = ∑ l Mx dx M 2 l2 = = ⇒ = + x dx Ml J J M ⇒ J z = Ml z' z ∫ l l 12   J A = J z ' = Ml * Kết quả:   J = J = Ml z  C 12 GV Huỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bợ Slide 700 Vành mảnh trịn đồng chất (M, R): Khối cầu đặc đồng chất: y z C R y R y * Vai trò trục x, y z nên J x = J y = J z dM C z JC = Jx + Jy + Jz C x x * Xét vỏ cầu có bán kính x, dày dx, khối lượng dM x - k * Vai trò trục x y nên J x = J y, nên J C = J z = J x + J y = J x = J y * Xét đoạn vành dài dS, bán kính R, khối lượng dM Cứ thể tích V =4πR3/3 có khối lượng M Vậy thể tích vỏ cầu dV = 4πx2dx có khối lượng dM = 3Mx2dx/R3 * Mơmen qn tính tâm C khối cầu xác định bởi: J C = ∑ x dM = ∑ * Mơmen qn tính tâm C vành tròn xác định bởi: Jx = Jy = Jz = J C = ∑ R dM = MR R 3M 3M x dx = ∫ x dx = MR R R MR * Kết quả: J C = J z = MR , J x = J y = MR = J k GV Huỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bợ Đĩa mảnh trịn đồng chất z Slide 701 y dM C y R x dx k - Cứ diện tích - C x x πR2 có khối lượng M Vậy diện tích 2πxdx có khối lượng dM = 2Mxdx/R2 R Mx dx M = ∫ x dx = MR 2 R R * Kết quả: J C = J z = MR , J x = J y = MR = J k GV Huỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bộ Slide 703 Tấm phẳng mảnh chữ nhật đồng chất O * Xét vi phân chữ nhật tọa độ a (x,y) có cạnh dx dy: z b + Diện tích dS = dx.dy C y + Khối lượng dM = Mdx.dy/(a.b) z x * Xét vành trịn bán kính x, dày dx, khối lượng dM * Mơmen qn tính tâm C đĩa xác định bởi: Lưu hành nội bợ * Vai trị trục x y nên J x = J y, nên J C = J z = J x + J y = J x = J y J C = ∑ x dM = ∑ GV Huỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Slide 702 y x O x dM y dx  J C = J z0 = J x0 + J y0  JO = J z = J x + J y   J x = J x + ( a )2 M   b  J y = J y0 + ( ) M  GV Huỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng y dy x Lưu hành nội bộ Slide 704 Trụ đặc đồng chất (M, R) + Mơmen qn tính trục Ox xác định bởi: b a M M J x = ∑ y dM = y dxdy = dx ∫ y dy = Ma ∫∫ ∫ ab ( S ) ab 0 y + Mơmen qn tính trục Oy xác định bởi: J y = ∑ x dM = b M M x dxdy = x dx ∫ dy = Mb ∫∫ ∫ ab ( S ) ab 0 C + Mơmen qn tính trục Cx0 xác định bởi: z h/2 a 1 1 J x = J x0 + ( ) M ⇒ J x0 = J x − Ma = Ma − Ma = Ma 2 4 12 dM C z z h + Mơmen qn tính trục Cy0 xác định bởi: M  dz  dM = dz  h   Xét đoạn trụ rỗng cao độ z có chiều dài dz, khối lượng dM b 1 1 J y = J y0 + ( ) M ⇒ J y0 = J y − Mb = Mb − Mb = Mb 2 4 12 Lưu hành nội bộ Y x a GV Huỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng y R dM = MR 2 J x = J y = ∑ ( dJ Y + z dM ) = ∑ ( R dM + z dM ) h /2 M M M h2 2 = ∑ ( R dz + z + = + dz ) = ( R z ) dz M ( R ) 4h h ∫0 h Jz = ∑ Slide 705 GV Huỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bộ Slide 707 Lưu hành nội bộ Slide 708 Trụ rỗng mỏng đồng chất (M, R) y y Y dM x C z h/2 C z z h Chương 10 M  dz  dM = dz  h   Xét đoạn trụ rỗng cao độ z có chiều dài dz, khối lượng dM J z = ∑ R dM = MR J x = J y = ∑ ( dJ Y + z dM ) = ∑ ( R dM + z dM ) h /2 M M h2 M 2 dz ) = ( R + z ) dz = M ( R + ) = ∑ ( R dz + z h h ∫0 2h GV Huỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bộ Slide 706 GV Huỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng ... = Vai trò trục t trục x y nên:  JO = J x = J y = Jt GV Huỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Jx M Jy 9. 12 M Jz M ρ x2 + ρ y2 + ρ z2 9. 13 GV Huỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bộ Slide 683 * Mơmen qn... M Khi đó: J Z = J z + d Zz2 M GV Huỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bộ Slide 686 GV Huỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bộ Slide 688 * Định lý Steiner-Huygens: Mơmen qn tính vật trục... cos γ cos α  J L = Det [ J L ] y i x GV Huỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bộ Slide 690 GV Huỳnh Vinh – ĐHBK Đà Nẵng Lưu hành nội bợ Slide 692 Mơmen qn tính vật rắn thường gặp 4.2 Vành