I)KIẾN THỨC CẦN NHỚ: 1. Hoán vị: P n = n . ( n − 1 ) . ( n − 2 ) . . .3 .2 .1 2. Chỉnh hợp: A k n = ( n − k ) k = n . ( n − 1 ) . . . ( n − k + 1 ) 3. Tổ hợp: C k n = n k ( n − k ) = n . ( n − 1 ) . . . ( n − k + 1 ) k ) Tính chất: C k n = C n − k n C k n + C k + 1 n = C k + 1 n + 1 4. Công thức Newton: ( a + b ) n = n ∑ k = 0 C k n a n − k b k = C 0 n a n + C 1 n a n − 1 b + C 2 n a n − 2 b 2 + . . . + C n n b n ( a − b ) n = ( − 1 ) n n ∑ k = 0 C k n a n − k b k = C 0 n a n − C 1 n a n − 1 b + C 2 n a n − 2 b 2 − . . . + ( − 1 ) n C n n b n II) CÁC DẠNG BÀI TẬP:
Trang 1THẦY ĐẠT 0968751079
I LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM
Nhắc lại các hằng đẳng thức
0
1
1
2
a b
Định nghĩa
0
n
k
=
Tính chất của Nhị thức Newton
1 Số các số hạng của công thức là n +1
2.Tổng số mũ của a và b trong mỗi số hạng luôn luôn bằng số mũ của nhị thức: (n−k)+ =k n
3 Số hạng tổng quát của nhị thức là: 1 k n k k
T+ =C a − b
(Đó là số hạng thứ k+1 trong khai triển ( )n
a+b )
Tam giác pascal trong khai triển nhị thức
( )0
a+b 1
( )1
( )2
( )3
( )4
( )5
II CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP
DẠNG 1: XÁC ĐỊNH ĐIỀU KIỆN CỦA SỐ HẠNG THỎA MÃN YÊU CẦU CHO TRƯỚC
A Bài tập tự luận
Câu 1 Khai triển nhị thức Newton sau
STT Cho khai triển nhị
ĐA
Số hạng tổng quát Số hạng thứ k
3x +5 Tìm số hạng tổng
quát và số hạng thứ
4
1 7k3 k5 k k
k
quát và số hạng thứ
5
( )
1 9k 1 5 k k k
k
tự
Bài 4 NHỊ THỨC NEWTON - CÂU HỎI
• Chương 2 TỔ HỢP - XÁC SUẤT
Trang 23 ( )18
2 x −1 Tìm số hạng tổng
quát và số hạng thứ
9
( ) 18 182
1 18 1 2
k k
k
−
− + = −
quát và số hạng thứ
3
( ) 6 6
1 6k 1 6k k k k
k
T+ =C − − x − y
1
x x
Tìm số hạng tổng quát và số hạng thứ
7
( ) 2 10
1 10k 1 k k k
T+ =C − x −
quát và số hạng thứ
25
28 28 2
1 28k 2 k k k
k
T+ =C − x − y
2 x−4y Tìm số hạng tổng
quát và số hạng thứ
16
( ) 30 302
1 30 1 2
k k
k
− + + = −
2 3
2 2
x x
−
Tìm số hạng tổng quát và số hạng thứ
8
( ) 9 7 636
1 9 1 2
k k
k
−
− + = −
Câu 2 Tìm hệ số của 8
x trong khai triển
12
1 1
+
x
Câu 3 Tìm hệ số của 21
x trong khai triển ( )25
2−3x
Câu 4 Viết 3 số hạng đầu tiên theo lũy thừa tăng dần của x của các đa thức sau a)
10
1
2
x
−
3 2x−
Câu 5 Tìm số hạng thứ tư trong khai triển ( )20
2
a− x theo lũy thừa tăng dần của x
Câu 6 Viết 4 số hạng đầu tiên theo lũy thừa tăng dần của x của các đa thức sau a) ( )12
1 2x− c)
20
1 3
x
−
Câu 7 Tìm
a) Số hạng thứ 8 trong khai triển ( )12
1 2x−
b) Số hạng thứ 6 trong khai triển
9
2 2
x
c) Số hạng thứ 12 trong khai triển ( )15
2−x
Câu 8 Tìm số hạng đứng giữa trong khai triển ( 3 )15
x −xy
Câu 9 Tìm hệ số của:
1 Số hạng chứa 5
x trong khai triển: ( )12
2x −1
2 Số hạng chứa 11
x trong khai triển:
10
x x
3 Số hạng chứa 7
x trong khai triển: ( )14
2
4 Số hạng chứa 25 10
x y trong khai triển: ( )15
3
Câu 10 Tìm hệ số của số hạng không chứa x trong khai triển sau:
1
12 2
4
1
x x
Trang 32
6
x x
3
7 3
4
1
x x
Câu 11 Trong khai triển
10 3
2
1
2x
x
hãy tìm số hạng không phụ thuộc vào x
Câu 12 Tìm số hạng hữu tỷ của khai triển ( )6
Câu 13 Tìm hệ số của số hạng trong khai triển sau:
1 Tìm hệ số của 6
2
2 Tìm hệ số của 3
A= x+ + x−
3 Khai triển P x( )
P x =a +a x+a x + +a x
a) Tìm hệ số a : 9 ( ) ( ) (9 )10 ( )11 ( )14
Câu 14 Cho khai triển:
10
10
Câu 15 Tìm hệ số của x trong khai triển đa thức của: 8 2( )8
Câu 16 Khai triển đa thức ( ) ( )12 2 12
P x = + x =a +a x+a x + +a x Tìm max(a a a0, 1, 2, ,a12)
Câu 17 Tìm số hạng đứng giữa trong các khai triển sau:
a) ( )21
3
x +xy
b)
( )
20 4
2 3
1
x x
xy
Câu 18 Tìm hệ số của số hạng không chứa x trong khai triển ( ) 3 7
4
1
x
với x 0
Câu 19 Cho khai triển đa thức
10
Câu 20 Cho n số nguyên dương thỏa mãn 5C n n−1=C n3 Tìm số hạng chứa x trong khai triển nhị thức 5
niu tơn
14 2
1
14
nx
x x
B Bài tập trắc nghiệm
Câu 1 Số số hạng trong khai triển ( )50
2
Câu 2 Có bao nhiêu số hạng trong khai triển nhị thức ( )2018
2x −3
A 2019 B 2017 C 2018 D 2020
Câu 3 Viết khai triển theo công thức nhị thức Niu-tơn ( )5
x−y
A x5−5x y4 +10x y3 2−10x y2 3+5xy4−y5 B x5−5x y4 −10x y3 2−10x y2 3−5xy4+ y5
C x5+5x y4 +10x y3 2+10x y2 3+5xy4+ y5 D x5+5x y4 −10x y3 2+10x y2 3−5xy4+y5
Trang 4Câu 4 Trong khai triển nhị thức Niu-tơn của (3 2 )− x 2019 có bao nhiêu số hạng?
A 2019 B 2018 C 2020 D 2021
Câu 5 Từ khai triển biểu thức ( )10
1
x + thành đa thức Tổng các hệ số của đa
thức là
A 1023 B 512 C 1024 D 2048
Gọi S là tổng các hệ số trong khai triển thì ta có ( )10 10
Câu 6 Từ khai triển biểu thức ( )10
1
x + thành đa thức Tổng các hệ số của đa thức là
A 1023 B 512 C 1024 D 2048
Câu 7 Tính tổng các hệ số trong khai triển ( )2018
1 2x−
A − 1 B 1 C −2018 D 2018
Câu 8 Khai triển 4 124
( 5− 7 ) Có bao nhiêu số hạng hữu tỉ trong khai triển trên?
Câu 9 Trong khai triển nhị thức newton của 3 2018
P x = x+ thành đa thức,có tất cả có bao nhiêu số hạng có hệ số nguyên dương?
Câu 10 Trong khai triển ( )20 2 20
1 2− x =a +a x+a x + + a x Giá trị của a0 − + bằng a1 a2
Câu 11 Có bao nhiêu số hạng là số nguyên trong khai triển của biểu thức ( )2019
33+55 ?
Câu 12 Trong khai triển của
2019
1 1 1 1
15 3 3 5
+
, số hạng mà lũy thừa của x và y bằng nhau là số hạng thứ bao nhiêu của khai triển?
Câu 13 Trong khai triển
9 2
8
x x
, số hạng không chứa x là
Câu 14 Số hạng độc lập với x trong khai triển
8
3 2
x x
Câu 15 Tìm số hạng không chứa x trong khai triển
12
3 1
x x
Câu 16 Cho x là số thực dương, số hạng không chứa x trong khai triển nhị thức
30
2
x x
A 2 20 B 2 C20 1030 C 2 C10 3020 D C3020
Câu 17 Số hạng không chứa x trong khai triển
45 2
1
x x
Trang 5A C455 B −C455 C C1545 D −C4515
Câu 18 Số hạng không chứa x trong khai triển
10
2
x x
A 5
10
10.2
C
10
C
10.2
Câu 19 Số hạng không chứa x trong khai triển
7 3
4
1
x x là:
Câu 20 Tìm số hạng không chứa x trong khai triển
6 2
1
2x
x
Câu 21 Số hạng không chứa x trong khai triển biểu thức
12 2
1
x
= −
Câu 22 Số hạng không chứa x trong khai triển
45 2
1
x x
A C1545 B C4530 C −C455 D −C1545
Câu 23 Tìm số hạng không chứa x trong khai triển
5 2
3
1
x x
Câu 24 Số hạng không chứa x trong khai triển
7 3
4
1
Câu 25 Cho x là số thực dương, số hạng không chứa x trong khai triển nhị thức
30
2
x
A 2 20 B 2 C20 3010 C 2 C10 3020 D C3020
Câu 26 Cho khai triển ( )20 2
1 2x− =a +a x a x+ + +a x Giá trị của a0+ +a1 a2+ +a20 bằng:
Câu 27 Hệ số của số hạng chứa 7
x trong khai triển nhị thức
12
2
x
x x
Câu 28 Tìm hệ số của số hạng chứa 7
x trong khai triển nhị thức
13
1
x x
Câu 29 Hệ số của x31 trong khai triển
40 2
1
x
A 4
40
40
40
40
C
Câu 30 Hệ số lớn nhất trong khai triển
4
Trang 6A 27
9
27
27
64
Câu 31 Cho biết hệ số của x2 trong khai triển (1 2+ x)n
bằng 180.Tìm n
Câu 32 Tìm hệ số h của số hạng chứa 5
x trong khai triển
7
2 2
x x
A h =84 B h =672 C h =560 D h =280
Câu 33 Hệ số của số hạng chứa x trong khai triển Newton 6
15 2
2
x x
A −3640 B 3640 C 455 D −1863680
Câu 34 Tìm hệ số của x y trong khai triển 25 10 ( 3 )15
x +xy
Câu 35 Cho khai triển
6
2
x x
với x 0 Tìm hệ số của số hạng chứa
3
x trong khai triển trên
Câu 36 Cho khai triển
6
2
x x
với x 0 Tìm hệ số của số hạng chứa
3
x trong khai triển trên
Câu 37 Biết hệ số của x trong khai triển của 2 (1 3− x)n là 90 Tìm n
A n =7 B n =6 C n =8 D n =5
Câu 38 Số hạng thứ 13 trong khai triển ( )15
2−x bằng?
A 13
420x
Câu 39 Tìm số hạng chứa trong khai triển
9
1 2
x x
A 3 3
9
1
9
1
9
9
C x
Câu 40 Tìm số hạng chứa x trong khai triển 7
13
1
x x
−
A −C133 B −C x133 7 C −C x134 7 D −C134
Câu 41 Tìm số hạng chứa x31 trong khai triển
40 2
1
x x
Câu 42 Số hạng chứa x trong khai triển 34
40
1
x x
A −C x4037 34 B C x403 34 C C x402 34 D C x404 34
Câu 43 Biết hệ số của số hạng chứa 2
x trong khai triển (1 4+ x)n là 3040 Số tự nhiên n bằng bao nhiêu?
3
x
Trang 7Câu 44 Biết hệ số của 2
x trong khai triển của (1 3− x)n là 90 Tìm n
A n =5 B n =8 C n =6 D n =7
Câu 45 Cho biết hệ số của 2
x trong khai triển (1 2+ x)n bằng 180 Tìm n
A n =12 B n =14 C n =8 D n =10
Câu 46 Tìm hệ số của số hạng chứa 10
x trong khai triển của biểu thức
5 3
2
2
3x
x
Câu 47 Tìm hệ số của số hạng chứa 31
x trong khai triển
40 2
1
x x
A C4037 B C4031 C C 404 D C402
Câu 48 Trong khai triển
6
2
x x
, hệ số của 3( )
0
x x là:
Câu 49 Cho n là số tự nhiên thỏa mãn 0 1 2 2
C + C + C + + C = Biết số hạng thứ 3 trong khai triển Newton của 2 3 n
x x
có giá trị bằng
81
2 n Khi đó giá trị của x bằng
Câu 50 Cho nhị thức 2
3
1 2
n
x x
, trong đó số nguyên dương n thỏa mãn
3
72
n
A = n Tìm số hạng chứa
5
x trong khai triển
A 2 C x 6 104 5 B 2 C x 5 105 5 C 2 C x 7 103 5 D 2 C x 6 107 5
Câu 51 Tìm số hạng không chứa x trong khai triển nhị thức Newton của 2 3
2
n
x x
(x 0), biết rằng
1.C n +2.C n +3.C n + + n C n n =256n (C n k là số tổ hợp chập k của n phần tử)
Câu 52 Cho khai triển ( ) 1
0 1
n
+ = + + + trong đó n * và các hệ số thỏa mãn hệ thức
1
0 4096
n n
a a
a + + + = Tìm hệ số a lớn nhất i
A 1732104 B 3897234 C 4330260 D 3247695
Câu 53 Tìm hệ số của x trong khai triển 6
3 1 3
x x
+
với x 0, biết n là số nguyên dương thỏa mãn
1 2
3C n+ +nP =4A n
Câu 54 Tìm hệ số của số hạng chứa x6 trong khai triển 2 2 3
n x
x
(x 0), biết rằng 22 143 1
3
C + C = n ( k
n
C
là số tổ hợp chập k của n phần tử)
A 326592 B 3265922 C 3265592 D 32692
Câu 55 Tìm số hạng chứa 26
x trong khai triển 7
4
1
n
x
x biết n là số nguyên dương thỏa mãn hệ thức
2 +1+ 2 +1+ + 2n+1=2 −1
Trang 8A 325 B 210 C 200 D 152
Câu 56 Với n là số tự nhiên thỏa mãn 6 2
n
C −− +nA = , hệ số của số hạng chứa 4
x trong khai triển nhị
thức Niu-tơn của 2 3 n
x x
bằng
A 1972 B 786 C 1692 D −1792
Câu 57 Với n là số nguyên dương thỏa mãn 1 3
13
C +C = n, hệ số của số hạng chứa x5 trong khai triển của biểu thức 2 13
n
x x
Câu 58 Cho n là số nguyên dương thỏa mãn 2 2 1
A =C +C + n+ Hệ số của số hạng chứa 9
x của khai
triển biểu thức ( ) 2 3 n
x
Câu 59 Biết n là số nguyên dương thỏa mãn C n n−1+C n n−2 =78, số hạng chứa x8 trong khai triển
3 2 n
x
x
101376x
Câu 60 Với n là số nguyên dương thỏa mãn 3 2 ( )
1
3C n+ −3A n =52 n− Trong khai triển biểu thức 1
x + y , gọi T là số hạng mà tổng số mũ của x và y của số hạng đó bằng k 34 Hệ số của T k
là
Câu 61 Cho n là số nguyên dương thỏa mãn 1 2
5C n−C n =5 Tìm hệ số a của 4
x trong khai triển của biểu
thức 2 12
n
x x
Câu 62 Với n là số nguyên dương thỏa mãn 2 3
3A n n− +C n =40 Hệ số của x6 trong khai triển
2
1 2
n
x x
A 1024 B −1024 C −1042 D 1042
Câu 63 Với n là số nguyên dương thoả mãn A n2+3C1n =120, số hạng không chứa x trong khai triển của
biểu thức 4 3
n x x
Câu 64 Tìm hệ số của số hạng chứa x8 trong khai triển nhị thức Niutơn của 2 ,( 0 ,)
n
x x
nguyên dương n thỏa mãn 3 2
50
C +A =
A 97
29
297
279
215