c.Chứng minh rằng ba đường thẳng AC EF; và KI đồng quy tại một điểm Bài tập mẫu 5: Cho tứ giác ABCD.. Chứng minh rằng ba đường thẳng MN AC BD, , gặp nhau tại một điểm.. Bài tập mẫu 9
Trang 1Dạng 3: CHỨNG MINH THẲNG HÀNG HOẶC ĐỒNG QUY
A PHƯƠNG PHÁP
B BÀI TẬP MẪU
Bài tập mẫu 1: Cho hình bình hành ABCD Trên tia DA lấy điểm M sao cho
AM =AD.
a Chứng minh tứ giác AMBC là hình bình hành
b Gọi O là giao điểm của AB và MC Gọi I là trung điểm của AC Chứng minh
rằng OI / /MD Tính MD biết OI =2,5cm
c Hai đường thẳng MB và DC cắt nhau tại N Chứng minh rằng ba đường thẳng
; ;
NA DB MC đồng quy
Bài tập mẫu 2: Cho bình bình hành ABCD Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng
AB, K là trung điểm của đoạn thẳng CD
a Chứng minh rằng: AICK là hình bình hành
b Gọi E và F lần lượt là giao điểm của đường thẳng BD với đường thẳng AK và
2
EK = CF ;
c Các đường thẳng AF và BC cắt nhau tại điểm M , các đường thẳng CE và
AD cắt nhau tại điểm N Gọi O là giao điểm của đường thẳng AC và BD Chứng
minh ba điểm M O N; ; là ba điểm thẳng hàng
Bài tập mẫu 3: Cho hình bình hànhABCD Gọi I K; theo thứ tự là trung điểm của
;
CD AB Đường chéo BD cắt C theo thứ tự tại M và N Chứng minh rằng:
a Tứ giác AKCI là hình bình hành.
b DM =MN =NB.
Trang 2c Các đoạn thẳng AC BD IK, , cùng đi qua một điểm.
Bài tập mẫu 4: Cho hình bình hành ABCD AB( >AD) Qua A kẻ đường thẳng
vuông góc với BD tại E , cắt CD tại I Qua C kẻ đường thẳng vuông góc với
BD tại F , cắt A B tại K .
a.Tứ giác AKCI là hình gì? Vì sao?
b.Chứng minh AF / /CE .
c.Chứng minh rằng ba đường thẳng AC EF; và KI đồng quy tại một điểm
Bài tập mẫu 5: Cho tứ giác ABCD Gọi M N P Q, , , theo thứ tự là trung điểm của các cạnh AB BC CD DA, , , và I, K là trung điểm các đường chéo AC, BD Chứng minh các đường thẳng MP NQ IK, , đồng quy.
Bài tập mẫu 6: Cho hình bình hành ABCD Gọi E là trung điểm của AD, Bài là
trung điểm của BC Chứng minh các đường thẳng EF DB, và AC đồng quy.
Bài tập mẫu 7: Cho hình bình hành ABCD Trên tia đối của tia AD lấy điểm M,
trên tia đối của tia CB lấy điểm N sao cho AM =CN Chứng minh rằng ba đường
thẳng MN AC BD, , gặp nhau tại một điểm.
Bài tập mẫu 8: Cho tứ giác ABCD Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và CD.
Gọi E, F, G, H lần lượt là trung điểm của NA NB MC MD, , , Chứng minh rằng ba đường thẳng MN EF GH, , đồng quy.
Bài tập mẫu 9: Cho đoạn thẳng PQ và một điểm A ở ngoài đường thẳng PQ Vẽ
hình bình hành ABCD có đường chéo BD/ /PQ và BD =PQ Chứng minh rằng
mỗi đường thẳng BC và CD luôn đi qua một điểm cố định
Bài tập mẫu 10: Cho hình bình hành ABCD(AB >CD)có M, N lần lượt là trung
điểm của ABvà CD
Trang 3b Chứng minh: AC BD MN, , đồng quy.
c Gọi E là giao điểm của AD và MC CMR: AM là đường trung bình DECD
Bài tập mẫu 11: Cho DABC vuông cân tại A, đường cao AH Gọi M là trung điểm
của AB, E đối xứng với H qua M.
a Tứ giác AHBElà hình gì? Vì sao?
b Chứng minh AEHC là hình bình hành
c Gọi O là giao điểm của AH và EC, N là trung điểm của AC Chứng minh: M, O,
N thẳng hàng
Bài tập mẫu 12: Cho DABC , trực tâm H Các đường thẳng vuông góc với ABtại B,
vuông góc với AC tại C cắt nhau ở D CMR:
a BDCH là hình bình hành b BAC· +BHC· =1800
c H, M, D thẳng hàng ( M là trung điểm BC )
Bài tập mẫu 13: Cho DABC vuông cân tại A Trên đoạn thẳng AB lấy điểm E, trên
tia đối của tia CA lấy điểm F sao cho BE =CF Vẽ hình bình hành BEFD Gọi I là
giao điểm của EF BC, Qua E kẻ đường thẳng vuông góc với ABcắt BI tại K.
a Chứng minh: Tứ giác EKFC là hình bình hành.
b Qua I kẻ đường thẳng vuông góc với AF cắt BD tại M CMR: AI =BM
c CMR: C đối xứng với D qua MF
d Tìm vị trí của E trên ABđể A, I, D thẳng hàng.
C BÀI TẬP LUYỆN TẬP
Bài tập 1: Cho DABC , có D là trung điểm đoạn thẳng BC , E là trung điểm của
A B Lấy điểm F đối xứng với điểm D qua E .
1 Chứng minh tứ giác F A D B là hình bình hành
2 Kẻ FG ^AB DH; ^AB G H( ; Î AB) Chứng minh FD=AC BFH;· =ADG· .
Trang 43 Vẽ điểm Q đối xứng với điểm C qua A,DQ cắt đoạn AB tại điểm I, M là trung
điểm AD Chứng minh: F, M, I thẳng hàng
Bài tập 2: Cho hình bình hành ABCD , gọi O là giao điểm của hai đường chéo Gọi
P và Q lần lượt là trung điểm của O B, O D Kẻ P M vuông góc với A B tại M,
Q N vuông góc với C D tại N Chứng minh ba điểm M O N, , thẳng hàng và các đường thẳng AC MN PQ, , dồng quy.
Bài tập 3: Cho hình hình hành ABCD , gọi O là giao điểm của hai đường chéo Trên
tia AB lấy điểm K, trên CD lấy điểm I sao cho AK =CI Chứng minh rằng K, O, I
thẳng hàng và các đường thẳng AC BD KI; ; đồng quy
Bài tập 4 Cho hình bình hành ABCD Gọi O là giao điểm hai đường thẳng A C
và B D Qua điểm O vẽ đường thẳng song song với A B cắt hai cạnh A D, B C lần lượt tại M, N Trên A B, C D lần lượt lấy các điểm P, Q sao cho AP CQ Gọi
I là giao điểm của A C và P Q Chứng minh:
a Các tứ giác AMNB APCQ; là hình bình hành;
b Ba điểm M N I, , thẳng hàng;
c Ba đường thẳng AC MN PQ, , đồng quy.
Bài tập 5: Cho hình bình hành ABCD Đường phân giác của góc A cắt cạnh CD tại
M, đường phân giác của góc C cắt cạph AB tại N Chưng minh rằng:
a BN = DM
b Gọi O là trung điểm của DB Chứng minh rằng: N,O,M thẳng hàng.
Bài tập 6: Cho hình bình hành ABCD Lấy M,N,P,Q thứ tự trên các cạnh
AB,BC,CD và DA sao cho AM=BN =CP =DQ Chứng minh rằng:
BNDQ,MNPQ
Trang 5b Bốn đường thẳng AC,BD,MP,NQ đồng quy tại một điểm.
Bài tập 7: Cho hình bình hảnh ABCD Dựng AH^BD;CK ^BD (HÎ BD;K Î BD)
Gọi E là giao điểm của AK và BC Chúng minh:
a Chứng minh rằng AHCK là hình bình hành.
b Trong trường hợp DH = HK = BK Chứng minh A,K,E thẳng hàng.
Bài tập 8: Cho tam giác ABC, các điểm M,N,P lần lượt là trung điểm của các cạnh AB,AC,BC Trên tia đối của tia NP lấy điểm D sao cho ND=NP .
a Chứng minh: Tứ giác ADCP là hình bình hành.
b Gọi F là giao điểm của MN và DC Giả sử MN = 3 cm Tính BC và chứng minh
FD =FC .
c Gọi H là giao điểm của AP và MN; I là giao điểm của NP và HC Chứng minh: B,I,F thẳng hàng.
Bài tập 9: Cho DABC vuông tại A Đường trung tuyến AN Điểm M là hình chiếu
vuông góc của N trên AB Vẽ điểm Q đối xứng với điểm N qua AC Gọi giao điểm của NQ và AC là P
a Các tứ giác AMNP ANCQ, là hình gì? Vì sao
b AN cắt MP tại E Chứng minh rằng: B;E;Q thẳng hàng
c DABC có thêm điều kiện gì để tứ giác ABCQ là hình thang cân
Bài tập 10: Cho tam giác ABC nhọn, có M là trung điểm của BC Trên tia đối của tia MA, lấy điểm D sao cho MD = MA.
a Chứng minh rằng: ABDC là hình bình hành
Trang 6b Lấy điểm E đối xứng với A qua đường thẳng BC;AE cắt BC tại H Chứng
minh rằng: HM 1ED
2
c Chứng minh rằng: BCDE là hình thang cân.
d Kẻ BD cắt CE,AE lần lượt tại G và F Chứng minh rằng: G là trung điểm của
FD.
Bài tập 11: Cho DABC , gọi D, E lần lượt là trung điểm của AB, BC
a Tính độ dài DE biết AC = 8cm
b Trên tia đối của tia DE lấy điểm F sao cho DF =DE Chứng minh rằng: AEBF là
hình bình hành
c Trên tia đối của tia AC lấy M sao cho A là trung điểm của MC Chứng minh rằng: F là trung điểm của MB
d Gọi N là giao điểm của AE và CF, I là giao điểm của AD và FN Chứng minh rằng: M;I;E thẳng hàng
D HƯỚNG DẪN GIẢI HOẶC ĐÁP ÁN