HOÄI NGHÒ CHAÁT LÖÔÏNG LAÀN IV “Naêng suaát Chaát löôïng chìa khoaù ñeå caïnh tranh vaø hoäi nhaäp” 21/11/01 Trường Đại học Bách khoa tp Hồ Chí Minh Bộ môn Toán ứng dụng Môn học Phương pháp tính Tuần[.]
Trường Đại học Bách khoa Hồ Chí Minh Bộ mơn Tốn ứng dụng - Môn học Phương pháp tính Tuần 3: Hệ phương trình tuyến tính Giảng viên: TS Đặng Văn Vinh Nội dung chương 1/ Phương pháp LU 2/ Phương pháp Choleski 3/ Chuẩn vécto chuẩn ma trận 4/ Phương pháp lặp Jacobi Gauss - Seidel Cho A ma trận cỡ m n Dùng k phép bđsc hàng để đưa A ma trận phía U bd ,bd ,,bd ,bd k A 1 2 k U 1 Ek Ek E2 E1 U A A LU U Ek Ek E2 E1 A E1 1E2 Ek 11Ek 1U A L E1 1E2 Ek 11Ek 1I Để tìm ma trận L ta dùng phép biến đổi sơ cấp ngược với biến đổi ma trận I bd k 1,bd k ,,bd 1,bd1 I L Phân tích A = LU L ma trận phía U ma trận phía Phương pháp phân tích A=LU với phần tử đường chéo L gọi phương pháp Doolittle Mệnh đề Cho A ma trận vuông cấp n Nếu sử dụng biến đổi sơ cấp hàng hi hi h j để đưa A dạng bậc thang mà phần tử đường chéo bậc thang khơng phần tử 0, A có phân tích A = LU Nếu sử dụng phép biến đổi sơ cấp hàng mà đường chéo xuất phần tử dùng phép biến đổi hi h j để làm cho phần tử đường chéo khác Tương ứng với phép nhân bên trái A cho ma trận khả nghịch P Mệnh đề Với ma trận không suy biến A, tồn ma trận hốn vị P cho PA phân tích thành LU Ví dụ 1 Tìm phân tích LU ma trận A 3 1 h2 h2 h1 , h3 h3 3h1 A 0 1 h3 h3 h2 U 0 0 0 0 h3 h2 h2 2 h1 ,h3 h3 3h1 I h h L 0 1 1 1 Ma trận L có: lij 0 i < j lij 1 i = j lij i > j từ phép biến đổi hi hi h j Ví dụ Tìm phân tích LU ma trận 1 2 A 3 4 5 1 4 6 3 1 0 h2 h2 h1 ,h3 h3 3h1 ,h4 h4 h1 A 0 1 0 1 0 1 h3 h3 h2 ,h4 h4 h2 U 0 0 1 0 Từ hệ số phép 2 biến đổi, ta có ngay: L 3 1 4 1 2 3 1 0 0 0 1 Ví dụ 1 2 Giải hệ pt AX b , với A 3 4 5 1 1 7 4 b 6 5 3 6 AX b LUX b Đặt Y UX LY b Giải từ xuống ta Y [1;5;7; 3]T T Giải hệ UX=Y từ lên X 4;2;1;1 Cho A ma trận vuông không suy biến u11 u12 u 22 A LU L Phân tích LU A u11 u 22 A L u12 / u11 unn 0 u1n u2 n unn u1n / u11 u2 n / u22 LDU Giả sử A ma trận đối xứng xác định dương A L D DLT RT R A RT R gọi phân tích Cholesky ma trận đối xứng, xác định dương A Ví dụ 1 Tìm phân tích Cholesky ma trận A 12 12 27 1 h2 h2 h1 , h3 h3 3h1 A 18 Từ hệ số phép biến đổi, ta có ngay: A RT R h3 h3 h2 3 U 0 9 0 L 3 / 1 0 3 R DLT / 0 0 0 3 Ví dụ 10 12 16 Tìm phân tích Cholesky ma trận A 12 37 43 16 43 98 12 16 12 16 h2 h2 3h1 ,h3 h3 4 h1 0 U h3 h2 A h 34 0 Từ hệ số phép biến đổi, ta có ngay: A RT R 0 L 1 0 4 8 R DLT 0 3 0 0