Chương 3_Hệ Phương Trình Tuyến Tính (1).Pptx

HOÄI NGHÒ CHAÁT LÖÔÏNG LAÀN IV “Naêng suaát Chaát löôïng chìa khoaù ñeå caïnh tranh vaø hoäi nhaäp” 21/11/01 Trường Đại học Bách khoa tp Hồ Chí Minh Bộ môn Toán ứng dụng Môn học Phương pháp tính Tuần[.]

Trường Đại học Bách khoa tp Hồ Chí Minh

Bộ môn Toán ứng dụng

-Môn học Phương pháp tính Tuần 3: Hệ phương trình tuyến tính

Giảng viên: TS Đặng Văn Vinh

Nội dung chương 3

1/ Phương pháp LU

2/ Phương pháp Choleski

3/ Chuẩn vécto và chuẩn ma trận

4/ Phương pháp lặp Jacobi và Gauss - Seidel

Phân tích A = LU

L là ma trận phía dưới và U là ma trận phía trên

Mệnh đề Cho A là ma trận vuông cấp n Nếu khi sử dụng các biến đổi sơ cấp đối với hàng để đưa A về dạng bậc thang mà các phần tử trên đường chéo của bậc thang không là phần tử 0, thì A

có phân tích A = LU.

h  h h

Nếu sử dụng các phép biến đổi sơ cấp đối với hàng mà trên đường

chéo xuất hiện phần tử 0 thì dùng phép biến đổi để làm cho

phần tử trên đường chéo khác 0 Tương ứng với phép nhân bên trái A cho ma trận khả nghịch P

h  h

Mệnh đề Với mọi ma trận không suy biến A, tồn tại ma trận hoán vị

P sao cho phân tích được thành LU.PA

Phương pháp phân tích A=LU với các phần tử trên đường chéo của

L đều bằng 1 được gọi là phương pháp Doolittle

Giải hệ UX=Y từ dưới lên

Cho A là ma trận vuông không suy biến

Tìm phân tích Cholesky của ma trận

Tìm phân tích Cholesky của ma trận

Chuẩn trong là một hàm thực thỏa mãnR n f R: n  R

Ví dụ 11.

CMR là một chuẩn trong  x x x1 2; T , x  x1 x2 R2

Ba chuẩn thông dụng trên

n n

Cho sao cho n p N,  *

Trong không gian các số thực , hàm thực R

Ví dụ 16.

Cho không gian các số thực liên tục trên [0;1] với phép C 0;1

a/ Chứng tỏ là không gian vô hạn chiều

cộng hai vécto là phép cộng hai hàm thông thường và phép nhânvéctơ với một số thực là nhân hàm với số thực thông thường

với n là số tự nhiên cho trước, là những số thực a a b0, ,k k

Chứng tỏ E là kg con của Tìm cơ sở, số chiều của E C 0;1

Cho không gian các số thực liên tục trên [0;1] với phép C 0;1

Cho Chuẩn của A là một số thực ký hiệu và thỏa mãn A M m n  R

Ba chuẩn thông dụng của ma trận

giá trị lớn nhất của tổng các trị tuyệt đối các phần tử trên một cột 2/  ij , 1,2, ,max  n1 ij

Ví dụ 19

Dãy các vécto hội tụ đến vécto , ký hiệu , nếu X n n1 lim n 0

Hệ phương trình được gọi là hệ không ổn định nếu những thay đổi

nhỏ trên các phần tử của A hoặc trên các phần tử của b sẽ gây ra những

thay đổi rất lớn về nghiệm

Đại lượng đo mức độ nhạy cảm của nghiệm X của hệ phương trình AX=b đối với những thay đổi trên các phần tử của ma trận hệ

số và của vế phải b (đo mức độ ổn định của hệ phương trình AX=b).

1

( )A  A A Cond

Cond (A) càng lớn thì hệ phương trình càng mất ổn định

Ví dụ 20.

Điều kiện hội tụ: T p  q 1

Công thức tiên nghiệm đánh giá sai số: 1 1 0

Để tìm ma trận T: bỏ đường chéo của A

các phần tử nằm ngoài đường chéo đổi dấu và chia cho phần tử trên đường chéo

Trường hợp A là ma trận vuông cấp 3 hoặc cao hơn cũng làm tương tự

Để tìm ma trận T: bỏ đường chéo của A

các phần tử nằm ngoài đường chéo đổi dấu và chia cho phần tử trên đường chéo

Ví dụ 21.

Bấm máy:

2 1

1 2

3 511

4 213

x x

x x

1 2

3 77

3 712

x x

x x

1 2

6 213

6 615

x x

x x

Ví dụ 24 Dùng phương pháp lặp Jacobi, tìm nghiệm gần đúng của phương

trình AX=b, với sai số theo công thức hậu nghiệm không quá , chuẩn

Phương pháp lặp Gauss - Seidel AX b  1

Điều kiện: Nếu A là ma trận đường chéo trội thì phương pháp lặp Gauss

- Seidel hội tụ với mọi giá trị (tương tự phương pháp Jacobi)X0

Ví dụ 25 Dùng phương pháp lặp Gauss - Seidel, tìm nghiệm gần đúng của

phương trình AX=b, với sai số theo công thức tiên nghiệm không quá

1 2

7 710

6 515

x x

x x

Ví dụ 27.