Chứng minh hai tam giác đồng dạng và tìm tỉ số đồng dạng.. Tính góc, độ dài đoạn thẳng dựa vào hai tam giác đồng dạng.. Vận dụng tam giác đồng dạng để tính góc, độ dài đoạn thẳng.. CÁC T
HAI TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG
Chứng minh hai tam giác đồng dạng và tìm tỉ số đồng dạng
cVí dụ 1 Cho ABC và A ′ B ′ C ′ là hai tam giác đều có AB = 4 cm, A ′ B ′ = 3 cm Chứng minh rằng
△A ′ B ′ C ′ ∽△ABC và tìm tỉ số đồng dạng.
. cVí dụ 2 Trong hình dưới, các đường thẳngAB, CD, EF song song với nhau Hãy liệt kê ba cặp tam giác (phân biệt) đồng dạng.
Quan sát hình vẽ Cho biếtDE ∥BC, EF ∥AB.
Chứng minh rằng △ADE∽△EF C A
Quan sát hình vẽ, cho biết DC ∥M P, EF ∥M Q. a) Chứng minh rằng △EP F ∽△DCQ. b) △ICF có đồng dạng với△M P Q không? Tại sao?
. cVí dụ 5 Hai tam giác sau có đồng dạng hay không? Vì sao?
Quan sát hình bên và sử dụng kí hiệu để viết các cặp tam giác đồng dạng, biết tứ giác BM N P là hình bình hành.
Cho tam giácABC Hai đường trung tuyếnBM vàCN cắt nhau tạiG Chứng minh △GM N ∽△GBC.
. cVí dụ 8 Cho△ABC, lấy điểmM thuộcAB sao cho AM
Trong bài toán này, hai đường thẳng cắt nhau tại điểm M và song song với các cạnh AC và BC, tạo ra các điểm D và F trên các cạnh BC và AC Cần xác định tất cả các cặp tam giác đồng dạng có trong hình Đối với mỗi cặp tam giác đồng dạng, hãy trình bày tỉ số đồng dạng tương ứng giữa các cạnh của chúng.
Trong các tam giác vẽ trên ô lưới vuông, có một cặp tam giác đồng dạng Cặp tam giác này cần được chỉ ra kèm theo kí hiệu đồng dạng chính xác Ngoài ra, việc xác định tỉ số đồng dạng giữa hai tam giác cũng rất quan trọng.
. cVí dụ 10 Cho hình vẽ
△A ′ B ′ C ′ ∽△ABC với tỉ số đồng dạng là bao nhiêu?
Tam giác ADE đồng dạng với tam giác ABC với tỉ số tương ứng là tỉ số giữa các đường trung bình DE và MN Cụ thể, DE là đường trung bình của tam giác AMN, trong khi MN là đường trung bình của tam giác ABC Do đó, tỉ số đồng dạng giữa tam giác ADE và tam giác ABC có thể được xác định dựa trên tỉ lệ chiều dài của các đoạn thẳng này.
Tính góc, độ dài đoạn thẳng dựa vào hai tam giác đồng dạng
Bài tập vận dụng
Bài 1 Cho △ABC ∽△M N P, khẳng định nào sau đây không đúng?
Bài 2 Khẳng định nào sau đây là đúng? a) Hai tam giác bằng nhau thì đồng dạng với nhau. b) Hai tam giác bất kì đồng dạng với nhau. c) Hai tam giác đều bất kì đồng dạng với nhau. d) Hai tam giác vuông bất kì đồng dạng với nhau. e) Hai tam giác đồng dạng thì bằng nhau.
Bài 3 Trong hai khẳng định sau, khẳng định nào đúng? khẳng định nào sai? Tại sao? a) Hai tam giác bằng với nhau thì đồng dạng với nhau. b) Hai tam giác đồng dạng với nhau thì bằng nhau.
Bài 4. a) Trong hình vẽ bên, cho biết△ABC ∽△A ′ B ′ C ′ Viết tỉ số các cạnh tương ứng và chỉ ra các cặp góc tương ứng.
B ′ C ′ b) Trong hình vẽ bên, cho biết △DEF ∽△D ′ E ′ F ′ Tính số đoDc ′ vàFc ′
E ′ F ′ c) Trong hình vẽ bên, cho biết △M N P ∽△M ′ N ′ P ′ Tính độ dài các đoạn thẳngM N và M ′ P ′
Cho các hình sau, hãy chỉ ra các tam giác đồng dạng trong mỗi hình và viết tỉ số đồng dạngHình a, b.
Cho các hình sau, hãy chỉ ra các tam giác đồng dạng trong mỗi hình và viết tỉ số đồng dạng.
Bài 7 Cho ∆ABC Trên cạnh BC lấy điểm M sao choBM = 2
5BC Từ M kẻ đường thẳng song song với AC cắtAB tạiN. a) Chứng minh∆N BM ∽∆ABC. b) Tính M N
ChoABC là tam giác không cân;M, N, P lần lượt là trung điểm của
BC, CA, AB Hãy tìm trong hình năm tam giác khác nhau mà chúng đôi một đồng dạng với nhau Giải thích vì sao chúng đồng dạng.
Cho tam giácABC, các điểmM,N thuộc cạnhABthỏa mãnAM =M N =N B, các điểmP,Q thuộc cạnh AC thỏa mãn AP =P Q=QC Tam giác AM P đồng dạng với những tam giác nào?
Bài 10 Cho hình bình hànhABCD Một đường thẳng đi qua Dlần lượt cắt đoạn thẳng BC và tiaAB tại M vàN sao cho điểm M nằm giữa hai điểmB vàC Chứng minh:
△N BM ∽△N AD; a) b) △N BM ∽△DCM; c) △N AD∽△DCM.
Bài 11 Cho tam giácABC cân tại đỉnh A và tam giácM N P cân tại đỉnh M Biết rằng BAC’ =P M N , AB÷ 2M N Chứng minh △M N P ∽△ABC và tìm tỉ số đồng dạng.
Bài 12 Cho tam giác ABC, hãy vẽ một tam giác đồng dạng với tam giácABC theo tỉ số đồng dạngk= 1
Trong hình vẽ bên, cho biếtAB∥CD. a) Chứng minh rằng△AEB∽△DEC. b) Tìmx.
Bài 14 Cho∆ABC ∽∆DEF theo tỉ số đồng dạng k= 3
5 a) ∆DEF ∽∆ABC theo tỉ số động dạng bao nhiêu? b) Giả sửDE = 10cm Tính AB.
Bài 15 Cho△ABC ∽△DEF theo tỉ số đồng dạng k= 2
5. a) Tính tỉ số chu vi của hai tam giác đã cho. b) Cho biết hiệu chu vi của hai tam giác trên là36 cm, tính chu vi mỗi tam giác.
Để đo khoảng cách BC giữa hai địa điểm không thể tiếp cận, người ta ứng dụng hai tam giác đồng dạng với DE song song với BC Cần chứng minh rằng tam giác ADE đồng dạng với tam giác ABC và từ đó tính được khoảng cách BC là 22m.
Bài 17 Ba vị tríA, B, C trong thực tiễn lần lượt được mô tả bởi ba đỉnh của tam giác A ′ B ′ C ′ trên bản vẽ Biết tam giác A ′ B ′ C ′ đồng dạng với tam giác ABC theo tỉ số 1
1000000 vàA ′ B ′ = 4 cm, B ′ C ′ = 5 cm, C ′ A ′ = 6 cm. Tính khoảng cách giữa hai vị tríA vàB,B và C,C vàA trong thực tiễn (theo đơn vị kilômét).
Để tính độ rộng của khúc sông, ta sử dụng tỷ lệ giữa hai tam giác tương ứng △ABE và △ACD, với AB = 20m, AC = 50m, và BE = 8m Vì hai tam giác này đồng dạng, ta có thể thiết lập tỉ lệ giữa các cạnh tương ứng để tìm độ rộng của khúc sông, được xác định bằng khoảng cách giữa hai vị trí C và D.
BA TRƯỜNG HỢP ĐỒNG DẠNG CỦA HAI TAM GIÁC
Dạng 1 Chứng minh hai tam giác đồng dạng (cạnh - cạnh - cạnh) cVí dụ 1 Tìm trong hình dưới các cặp tam giác đồng dạng.
. cVí dụ 2 Tìm trong hình dưới các cặp tam giác đồng dạng.
. . . . . . . . . cVí dụ 3 Cho tam giác ABC và tam giác DEF có kích thước các cạnh như hình dưới Chứng minh rằng
. cVí dụ 4 Cho các tam giác ABC vàM N P có 3AB = 4BC = 8CA,M N = 8 cm, N P = 6 cm, P M = 3 cm Chứng minh rằng △ABC ∽△M N P.
. cVí dụ 5 Cho tam giác ABC có chu vi bằng 18 cm và tam giác DEF có chu vi bằng 27 cm Biết rằng
AB= 4 cm, BC = 6 cm,DE = 6 cm, F D= 12cm Chứng minh △ABC ∽△DEF.
. cVí dụ 6 Cho tam giác ABC có M, N, P lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng BC, CA, AB và
I, H, K lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳngN P,P M,M N Chứng minh△IHK ∽△ABC.
Dạng 2 Chứng minh hai tam giác đồng dạng (c.g.c) cVí dụ 7 Cho hai tam giác DEF và ABC có DE = 3 cm, DF = 5 cm, AB = 9 cm, AC = 15 cm,D“ (Hình dưới) Chứng minh rằng △DEF ∽△ABC.
. cVí dụ 8 Cho tam giác ADE và tam giác ACF có các kích thước như hình dưới Chứng minh rằng
. cVí dụ 9 Quan sát hình vẽ và chỉ ra hai cặp tam giác đồng dạng:
. cVí dụ 10 Cho hai tam giác ABC và A ′ B ′ C ′ thỏa mãn AB= 2, AC = 3, A ′ B ′ = 6, A ′ C ′ = 9 và Absmall> ′ Chứng minh B“small> ′ ,C“small> ′
Quan sát hình vẽ, chứng minh Ab=D,“ C“=B.“
. cVí dụ 12 Cho △A ′ B ′ C ′ ∽△ABC và M, M ′ lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, B ′ C ′ Chứng minh rằng△A ′ B ′ M ′ ∽△ABM.
. cVí dụ 13 Cho△A ′ B ′ C ′ ∽△ABC Trên tia đối của các tiaCB, C ′ B ′ lẩn lượt lấy các điểmM, M ′ sao cho
Trong góc xOy, trên tia Ox, ta có các điểm A và B với OA = 2cm và OB = 9cm Trên tia Oy, ta có các điểm M và N với OM = 3cm và ON = 6cm Cần chứng minh
. cVí dụ 15 Cho △ABC có AB= 15cm, AC = 20cm Trên hai cạnhAB và AC lần lượt lấy điểmDvà E sao cho AD= 8 cm, AE= 6 cm Chứng minh rằng △ABC ∽△A ′ B ′ C ′
Dạng 3 Chứng minh hai tam giác đồng dạng (g.g) cVí dụ 16 Cho △A ′ B ′ C ′ ∽△ABC và AM, A ′ M ′ lẩn lượt là các đường phân giác của tam giác ABC và tam giácA ′ B ′ C ′ Chứng minh rằng △A ′ B ′ M ′ ∽△ABM.
Cho các điểmA, B, C, Dnhư hình bên Biết rằngABC’ B Hãy chứng’ minh △ABC∽△ADB và AB 2 ãAC.
. cVí dụ 18 Trong hình dưới, cho biết AD∥BC, BE ∥DC Chứng minh rằng△ADC ∽△CBE.
. cVí dụ 19 Cho hình thang ABCD(AB∥CD)có AB= 6 m, CD= 15 m, OD= 8 m(hình bên) Tính độ dài đoạn thẳng OB.
Hai tam giác DEGvà ABC bên có đồng dạng hay không?
. cVí dụ 21 Cho hai tam giác ABC vàM N P thoả mãn Ab= 50 ◦ ,B“= 60 ◦ ,N“= 60 ◦ ,P“= 70 ◦ Chứng minh
Cho hình vẽ Chứng minh:
. cVí dụ 23 Cho tam giác ABC có gócA lớn hơn gócC Điểm Dthuộc cạnhBC thoả mãnBAD’ A.’ Chứng minh BA 2 ãBD.
. cVí dụ 24 Cho △ABC có B >“ C Trên“ AC lấy điểm D sao choABD’ =C Chứng minh rằng“ △ABC ∽
Dạng 4 Vận dụng tam giác đồng dạng để tính góc, độ dài đoạn thẳng cVí dụ 25 Quan sát hình dưới.
B ′ C ′ a) Chứng minh rằng △ABC ∽△A ′ B ′ C ′ b) Tính độ dài cạnh B ′ C ′
. cVí dụ 26 Cho△ABC cóAB= 4cm,AC= 6cm,BC = 9cm Trên cạnhBC lấy điểmDsao choCD= 4 cm Tính độ dài cạnhAD.
. cVí dụ 27 Cho hình thang ABCD có Ab=D“= 90 ◦ ,AB = 10 cm, CD= 30 cm, AD= 35 cm Trên cạnh
AD lấy điểmM sao cho AM = 15cm Tính số đo gócBM C.÷
. cVí dụ 28 Cho hình thangABCDcóAB∥CD,AB= 4cm,BD= 6cm,CD = 9cm và gócADB’ = 35 ◦ Tính góc BCD.’
. cVí dụ 29 Cho △ABC và△M N P có Ab=Mc,B“=N,“ AB= 5 cm, BC = 7cm, M N = 10cm, M P = 8 cm Tính độ dài các cạnh còn lại của hai tam giác.
. cVí dụ 30 Cho △ABC có A >b C Trên“ BC lấy điểm D sao cho BAD’ = C Biết“ AB = 5 cm, BC = 10 cm Tính độ dài các cạnhBD,CD.
Trong bóng đá, mức độ khó khăn của mỗi cú ghi bàn được xác định bởi góc sút vào khung thành, có thể là rộng hoặc hẹp Việc hiểu rõ độ rộng của khung thành là yếu tố quan trọng trong việc đánh giá khả năng ghi bàn.
Để đo được góc sút tại vị trí bóng cách hai cột gôn lần lượt là 10,98 m và 14,64 m, bạn có thể sử dụng một số phương pháp đơn giản mà không cần dụng cụ học tập chuyên dụng Một cách là vẽ một tam giác với các cạnh tương ứng với khoảng cách đến hai cột gôn và sử dụng công thức lượng giác để tính toán góc Ngoài ra, bạn cũng có thể sử dụng phương pháp hình học để xác định góc bằng cách tạo một đường thẳng từ vị trí bóng đến mỗi cột gôn và đo góc tạo thành.
Dạng 5 Chứng minh đẳng thức hình học cVí dụ 32 Cho △ABC Lấy D thuộc AB, E thuộc AC sao cho ACD’ E Chứng minh rằng’ AB
. cVớ dụ 33 Cho hỡnh thang ABCD(AB∥CD) cúAb Chứng minh rằng’ BD 2 ãCD.
. cVí dụ 34 Cho tam giácABC vuông tạiB vớiAB= 2BC Lấy điểmDthuộc cạnhAC sao choBC điểmE thuộc cạnhAB sao cho AD Chứng minh rằng AD 2 ãAE.
. cVớ dụ 35 Cho tam giỏcM N P thỏa món3Mc+2N“= 180 ◦ Chứng minh rằngP N 2 +M PãM N−M N 2 = 0.
Bài 1 Khẳng định nào sau đây chứng tỏ rằng hai tam giác đồng dạng? a) Ba cạnh của tam giác này tỉ lệ với ba cạnh tam giác kia. b) Hai cạnh của tam giác này tỉ lệ với hai cạnh tam giác kia và có một cặp góc bằng nhau. c) Hai góc của tam giác này bằng hai góc của tam giác kia. d) Hai cạnh của tam giác này bằng hai cạnh của tam giác kia.
Bài 2 Cho hai tam giác đổng dạng Tam giác thứ nhất có độ dài ba cạnh là4 cm,8 cm và10cm Tam giác thứ hai có chu vi là33 cm Độ dài ba cạnh của tam giác thứ hai là bộ ba nào sau đây?
6 cm, 12 cm, 15cm. a) b) 8 cm, 16cm, 20 cm.
6 cm, 9 cm,18 cm. c) d) 8 cm, 10cm, 15 cm.
Bài 3 Quan sát hình bên dưới và chỉ ra những cặp tam giác đồng dạng.
Bài 4. a) Tam giácAF E và M GN ở hình bên có đồng dạng với nhau hay không? Vì sao? b) Biết tam giácAF E có chu vi bằng 15 cm Tính chu vi tam giác M N G. b c a
Bài 5 Xét xem cặp tam giác nào trong hình dưới đồng dạng.
Bài 6 Trong hình bên, cho biết DE= 6 cm, EF = 7,8 cm, N P = 13 cm, M N = 10 cm,E“=N“vàP“= 42 ◦ Tính
Cho Hình vẽ bên. a) Chứng minh△M N P ∽△ABC. b) Tìmx.
Bài 8 ChoAM, BN, CP là các đường trung tuyến của tam giácABC ChoA ′ M ′ , B ′ N ′ , C ′ P ′ là các đường trung tuyến của tam giácA ′ B ′ C ′ Biết rằng △A ′ B ′ C ′ ∽△ABC Chứng minh rằng A ′ M ′
Bài 9 Cho tam giác ABC có AB= 12 cm, AC = 15cm Trên các tia AB, AC lần lượt lấy các điểm M, N sao choAM = 10cm, AN = 8 cm Chứng minh rằng △ABC ∽△AN M.
Bài 10 Cho gócBAC và các điểmM, N lẩn lượt trên các đoạn thẳngAB, AC sao cho ABN’ M÷. a) Chứng minh rằng△ABN ∽△ACM. b) GọiI là giao điểm của BN vàCM Chứng minh rằngIBãIN =ICãIM.
Chứng minh hai tam giác đồng dạng (cạnh - cạnh - cạnh)
cVí dụ 1 Tìm trong hình dưới các cặp tam giác đồng dạng.
. cVí dụ 2 Tìm trong hình dưới các cặp tam giác đồng dạng.
. . . . . . . . . cVí dụ 3 Cho tam giác ABC và tam giác DEF có kích thước các cạnh như hình dưới Chứng minh rằng
. cVí dụ 4 Cho các tam giác ABC vàM N P có 3AB = 4BC = 8CA,M N = 8 cm, N P = 6 cm, P M = 3 cm Chứng minh rằng △ABC ∽△M N P.
. cVí dụ 5 Cho tam giác ABC có chu vi bằng 18 cm và tam giác DEF có chu vi bằng 27 cm Biết rằng
AB= 4 cm, BC = 6 cm,DE = 6 cm, F D= 12cm Chứng minh △ABC ∽△DEF.
. cVí dụ 6 Cho tam giác ABC có M, N, P lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng BC, CA, AB và
I, H, K lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳngN P,P M,M N Chứng minh△IHK ∽△ABC.
Chứng minh hai tam giác đồng dạng (c.g.c)
cVí dụ 7 Cho hai tam giác DEF và ABC có DE = 3 cm, DF = 5 cm, AB = 9 cm, AC = 15 cm,D“ (Hình dưới) Chứng minh rằng △DEF ∽△ABC.
. cVí dụ 8 Cho tam giác ADE và tam giác ACF có các kích thước như hình dưới Chứng minh rằng
. cVí dụ 9 Quan sát hình vẽ và chỉ ra hai cặp tam giác đồng dạng:
. cVí dụ 10 Cho hai tam giác ABC và A ′ B ′ C ′ thỏa mãn AB= 2, AC = 3, A ′ B ′ = 6, A ′ C ′ = 9 và Absmall> ′ Chứng minh B“small> ′ ,C“small> ′
Quan sát hình vẽ, chứng minh Ab=D,“ C“=B.“
. cVí dụ 12 Cho △A ′ B ′ C ′ ∽△ABC và M, M ′ lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, B ′ C ′ Chứng minh rằng△A ′ B ′ M ′ ∽△ABM.
. cVí dụ 13 Cho△A ′ B ′ C ′ ∽△ABC Trên tia đối của các tiaCB, C ′ B ′ lẩn lượt lấy các điểmM, M ′ sao cho
Cho góc xOy, trên tia Ox, chọn các điểm A và B với OA = 2cm và OB = 9cm Trên tia Oy, chọn các điểm M và N với OM = 3cm và ON = 6cm Cần chứng minh rằng tỉ số OBM bằng tỉ số ON A.
. cVí dụ 15 Cho △ABC có AB= 15cm, AC = 20cm Trên hai cạnhAB và AC lần lượt lấy điểmDvà E sao cho AD= 8 cm, AE= 6 cm Chứng minh rằng △ABC ∽△A ′ B ′ C ′
Chứng minh hai tam giác đồng dạng (g.g)
cVí dụ 16 Cho △A ′ B ′ C ′ ∽△ABC và AM, A ′ M ′ lẩn lượt là các đường phân giác của tam giác ABC và tam giácA ′ B ′ C ′ Chứng minh rằng △A ′ B ′ M ′ ∽△ABM.
Cho các điểmA, B, C, Dnhư hình bên Biết rằngABC’ B Hãy chứng’ minh △ABC∽△ADB và AB 2 ãAC.
. cVí dụ 18 Trong hình dưới, cho biết AD∥BC, BE ∥DC Chứng minh rằng△ADC ∽△CBE.
. cVí dụ 19 Cho hình thang ABCD(AB∥CD)có AB= 6 m, CD= 15 m, OD= 8 m(hình bên) Tính độ dài đoạn thẳng OB.
Hai tam giác DEGvà ABC bên có đồng dạng hay không?
. cVí dụ 21 Cho hai tam giác ABC vàM N P thoả mãn Ab= 50 ◦ ,B“= 60 ◦ ,N“= 60 ◦ ,P“= 70 ◦ Chứng minh
Cho hình vẽ Chứng minh:
. cVí dụ 23 Cho tam giác ABC có gócA lớn hơn gócC Điểm Dthuộc cạnhBC thoả mãnBAD’ A.’ Chứng minh BA 2 ãBD.
. cVí dụ 24 Cho △ABC có B >“ C Trên“ AC lấy điểm D sao choABD’ =C Chứng minh rằng“ △ABC ∽
Vận dụng tam giác đồng dạng để tính góc, độ dài đoạn thẳng
cVí dụ 25 Quan sát hình dưới.
B ′ C ′ a) Chứng minh rằng △ABC ∽△A ′ B ′ C ′ b) Tính độ dài cạnh B ′ C ′
. cVí dụ 26 Cho△ABC cóAB= 4cm,AC= 6cm,BC = 9cm Trên cạnhBC lấy điểmDsao choCD= 4 cm Tính độ dài cạnhAD.
. cVí dụ 27 Cho hình thang ABCD có Ab=D“= 90 ◦ ,AB = 10 cm, CD= 30 cm, AD= 35 cm Trên cạnh
AD lấy điểmM sao cho AM = 15cm Tính số đo gócBM C.÷
. cVí dụ 28 Cho hình thangABCDcóAB∥CD,AB= 4cm,BD= 6cm,CD = 9cm và gócADB’ = 35 ◦ Tính góc BCD.’
. cVí dụ 29 Cho △ABC và△M N P có Ab=Mc,B“=N,“ AB= 5 cm, BC = 7cm, M N = 10cm, M P = 8 cm Tính độ dài các cạnh còn lại của hai tam giác.
. cVí dụ 30 Cho △ABC có A >b C Trên“ BC lấy điểm D sao cho BAD’ = C Biết“ AB = 5 cm, BC = 10 cm Tính độ dài các cạnhBD,CD.
Trong bóng đá, độ khó của mỗi pha ghi bàn phụ thuộc vào góc sút vào khung thành, có thể là rộng hoặc hẹp Việc nắm rõ kích thước khung thành sẽ giúp cầu thủ đánh giá chính xác hơn về khả năng ghi bàn trong từng tình huống.
Để đo được góc sút khi trái bóng cách hai cột gôn lần lượt là 10,98 m và 14,64 m, bạn có thể sử dụng phương pháp hình học đơn giản Bằng cách xác định các điểm và tạo thành tam giác với các cột gôn và vị trí bóng, bạn có thể áp dụng định lý lượng giác để tính toán góc sút Sử dụng thước dây để đo khoảng cách và một số dụng cụ học tập cơ bản như thước góc hoặc compa sẽ giúp bạn thực hiện phép đo một cách chính xác.
Chứng minh đẳng thức hình học
cVí dụ 32 Cho △ABC Lấy D thuộc AB, E thuộc AC sao cho ACD’ E Chứng minh rằng’ AB
. cVớ dụ 33 Cho hỡnh thang ABCD(AB∥CD) cúAb Chứng minh rằng’ BD 2 ãCD.
. cVí dụ 34 Cho tam giácABC vuông tạiB vớiAB= 2BC Lấy điểmDthuộc cạnhAC sao choBC điểmE thuộc cạnhAB sao cho AD Chứng minh rằng AD 2 ãAE.
. cVớ dụ 35 Cho tam giỏcM N P thỏa món3Mc+2N“= 180 ◦ Chứng minh rằngP N 2 +M PãM N−M N 2 = 0.
Để khẳng định hai tam giác đồng dạng, có một số tiêu chí quan trọng Đầu tiên, nếu ba cạnh của tam giác này tỉ lệ với ba cạnh của tam giác kia, điều này chứng tỏ chúng đồng dạng Thứ hai, nếu hai cạnh của tam giác này tỉ lệ với hai cạnh của tam giác kia và có một cặp góc bằng nhau, thì cũng có thể xác định sự đồng dạng Thứ ba, nếu hai góc của tam giác này bằng hai góc của tam giác kia, điều này cũng khẳng định sự đồng dạng Cuối cùng, nếu hai cạnh của tam giác này bằng hai cạnh của tam giác kia, điều này cũng là một dấu hiệu của sự đồng dạng.
Cho hai tam giác đồng dạng, tam giác thứ nhất có ba cạnh dài 4 cm, 8 cm và 10 cm Tam giác thứ hai có chu vi 33 cm Cần xác định độ dài ba cạnh của tam giác thứ hai tương ứng với tam giác thứ nhất.
6 cm, 12 cm, 15cm. a) b) 8 cm, 16cm, 20 cm.
6 cm, 9 cm,18 cm. c) d) 8 cm, 10cm, 15 cm.
Bài 3 Quan sát hình bên dưới và chỉ ra những cặp tam giác đồng dạng.
Bài 4. a) Tam giácAF E và M GN ở hình bên có đồng dạng với nhau hay không? Vì sao? b) Biết tam giácAF E có chu vi bằng 15 cm Tính chu vi tam giác M N G. b c a
Bài 5 Xét xem cặp tam giác nào trong hình dưới đồng dạng.
Bài 6 Trong hình bên, cho biết DE= 6 cm, EF = 7,8 cm, N P = 13 cm, M N = 10 cm,E“=N“vàP“= 42 ◦ Tính
Cho Hình vẽ bên. a) Chứng minh△M N P ∽△ABC. b) Tìmx.
Bài 8 ChoAM, BN, CP là các đường trung tuyến của tam giácABC ChoA ′ M ′ , B ′ N ′ , C ′ P ′ là các đường trung tuyến của tam giácA ′ B ′ C ′ Biết rằng △A ′ B ′ C ′ ∽△ABC Chứng minh rằng A ′ M ′
Tam giác ABC có độ dài các cạnh AB = 12 cm và AC = 15 cm Trên các tia AB và AC, ta lấy các điểm M và N sao cho AM = 10 cm và AN = 8 cm Cần chứng minh rằng tam giác ABC tỉ lệ với tam giác ANM, tức là △ABC ∽ △ANM.
Bài 10 yêu cầu cho góc BAC và các điểm M, N trên các đoạn thẳng AB, AC sao cho ABN’ M÷ Đầu tiên, cần chứng minh rằng tam giác ABN tỉ lệ với tam giác ACM (△ABN ∽ △ACM) Tiếp theo, gọi I là giao điểm của BN và CM, và cần chứng minh rằng tỉ lệ giữa các đoạn thẳng IB và IN bằng tỉ lệ giữa IC và IM (IBãIN = ICãIM).
Hai cột cao 3 m và 2 m được dựng thẳng đứng trên mặt đất Hai sợi dây được nối từ đỉnh cột này đến chân cột kia và cắt nhau tại một điểm Cần tính độ cao của điểm cắt này so với mặt đất.
Tam giác ABC có các cạnh AB = 4 cm, AC = 6 cm và BC = 9 cm Tam giác A'B'C' đồng dạng với tam giác ABC và có chu vi là 66,5 cm Để tính độ dài các cạnh của tam giác A'B'C', ta cần xác định tỷ lệ tương ứng giữa chu vi của hai tam giác Tỷ lệ này là 66,5 cm chia cho chu vi của tam giác ABC, tức là 19 cm Do đó, độ dài các cạnh của tam giác A'B'C' lần lượt là AB' = 4 cm x (66,5/19), AC' = 6 cm x (66,5/19) và BC' = 9 cm x (66,5/19).
Bài 13. a) Cho tam giác ABC có AB = 12 cm, AC = 15 cm, BC = 18 cm Trên cạnh AB, lấy điểm E sao cho
Trong bài toán, cho hình chữ nhật AE có chiều dài AE = 10 cm Trên cạnh AC, chọn điểm F sao cho AF = 8 cm, từ đó cần tính độ dài đoạn EF Trong hình b, có các điều kiện F D = F C, BC = 9 dm, DE = 12 dm, AC = 15 dm và M D = 20 dm Cần chứng minh các mối quan hệ giữa các đoạn thẳng này.
Trong hình bên, cho biếtM N ∥BC, M B∥AC. a) Chứng minh rằng△BN M ∽△ABC. b) TínhC.“ 48 ◦
Bài 15. a) Trong hình 8a, cho biếtN“=E,“ Mc=DM P“ = 18 m, DF = 24 m, EF = 32 m, N P =a+ 3 (m) Tìm a. b) ChoABCD là hình thang (AB ∥CD) (hình 8b) Chứng minh rằng △AM B đồng dạng với △CM D Tìm x, y. a + 3 18 M
Bài 16. a) Trong hình 9a, cho biếtHOP’ =HP E,’ HP O’ =HEP , OH’ = 6 cmvàHE= 4 cm Tính độ dài đoạn thẳng
HP.b) Trong hỡnh 9b, cho biếtAM Eữ=ữAF M Chứng minh rằng AM 2 ãAF.
Trong bài 17, chúng ta có hai tam giác ABC và MNP với các cạnh AB = 2, BC = 5, CA = 6 và MN = 4, NP = 10, PM = 12 Các cặp góc tương ứng bằng nhau của hai tam giác này được xác định như sau: góc A tương ứng với góc M, góc B tương ứng với góc N và góc C tương ứng với góc P Kết quả cho thấy rằng hai tam giác không đồng dạng do tỷ lệ các cạnh không bằng nhau.
Bài 18 Cho tam giácABC và điểmO nằm trong tam giác Các điểmM,N,P lần lượt thuộc các tiaOA,OB,
Cho hình vẽ, biếtAB = 4, BC = 3, BE= 2, BD= 6 Chứng minh: a) △ABD∽△EBC. b) DAB’ ’ c) Tam giácDGE vuông.
Cho các hình bình hànhABCDvà BM N P như ở hình bên Chứng minh: a) BM
Cho hình vẽ. a) Chứng minh△ABC ∽△M N P. b) Góc nào của tam giácM N P bằng gócB. c) Góc nào của tam giácABC bằng gócP.
Cho hình vẽ, chứng minh: a) △IAB ∽△IDC. b) △IAD∽△IBC 2
Cho hình vẽ, chứng minh: a) ABC’ D.’ b) BC ⊥BE.
Bài 24 Cho hai tam giác đồng dạng △ABC và △MNP a) Gọi D và Q lần lượt là trung điểm của BC và NP, cần chứng minh rằng △ABD đồng dạng với △MNQ b) Gọi G và K là trọng tâm của tam giác ABC và tam giác MNP, chứng minh rằng △ABG đồng dạng với △MNK.
Cho hỡnh vẽ, biếtAH 2 =BHãCH Chứng minh: a) △HAB∽△HCA. b) Tam giácABC vuông tạiA.
Bài 26 Cho hai tam giác ABC và P M N thoả mãn Ab = 70 ◦ ,B“ = 80 ◦ ,Mc = 80 ◦ ,N“ = 30 ◦ Chứng minh AB
Bài 27 Cho tam giác nhọnABC, hai đường caoAD vàBE cắt nhau tại H Chứng minh: a) △ACD∽△BCE vàCAãCE CD; b) △ACD∽△AHE và ACãAE ãAH.
Cho hình vẽ vớiOAD’ =OCB Chứng minh:’ a) △OAD∽△OCB; b) OA
Cho tam giácABC vuông tạiA, đường caoAH Chứng minh: a) △ABC ∽△HBA vàAB 2 ãBH; b) △ABC ∽△HAC và AC 2 ãCH; c) △ABH ∽△CAH và AH 2 =BHãCH; d) 1
Hình thang ABCD có các cạnh AB và CD song song, với AB vuông góc với đường chéo BD Tại điểm G, hai đường chéo AC và BD cắt nhau Điểm E được đặt trên đường thẳng vuông góc với AC tại C, sao cho CE bằng AG và đoạn GE không cắt đường thẳng CD Điểm F được chọn trên đoạn CD sao cho DF bằng GB Cần chứng minh mối quan hệ giữa các điểm và đoạn thẳng trong hình thang này.
Bài 31 Cho△ABC cóAB= BC
2 Gọi M là trung điểm của BC,Dlà trung điểm củaBM Chứng minh rằng
Bài 32 Giả sửDlà một điểm nằm trong tam giỏc nhọnABC sao choADB’ B+90’ ◦ vàACãBCãBC.
Bài 33 Cho hình thang ABCD (AB ∥ CD) có AB = 4 cm, BD = 8 cm, CD = 16 cm Chứng minh rằng
Bài 34 Cho △ABC đều có O là trung điểm cạnh BC Vẽ góc xOy‘ = 60 ◦ sao cho các tia Ox,Oy cắt các cạnh
AB,AC lần lượt tạiE,F Chứng minh rằng
BC 2 = 4BEãF C. a) b) EO là phân giácBEF’.
Bài 35 Cho △ABC vuông tại A, đường cao AH Gọi M, N lần lượt là trung điểm các đoạn thẳng BH, AH. Chứng minh rằng
Bài 36 Cho△ABC có C“= 2Abvà AC= 2BC Chứng minh rằng △ABC vuông.
Bài 37 Cho△ABC có B“= 2C“và AB= 8cm, AC = 12cm Tính độ dài cạnhBC.
Bài 38 Cho hình bình hànhABCD GọiM là điểm trong hình bình hành sao choM AB÷=M CB Chứng minh÷ rằngM BC÷=M DC÷.
Trong hình, bạn Minh đang sử dụng một dụng cụ để đo chiều cao của cây Khoảng cách từ mắt bạn Minh đến cây là 2,8 m, trong khi khoảng cách từ mắt bạn Minh đến mặt đất là 1,6 m.
Em hãy tính chiều cao của cây.
Trong một công viên, có hai đường chạy bộ hình tam giác đồng dạng với kích thước đường bên trong là 300 m, 350 m và 550 m Cạnh ngắn nhất của đường bên ngoài là 600 m Nam chạy bốn vòng trên đường bên trong, trong khi Hùng chạy hai vòng trên đường bên ngoài So sánh quãng đường mà hai bạn đã chạy để biết ai chạy xa hơn.
Để tìm con đường ngắn nhất từ nhà anh Thanh (điểm M) đến công ty (điểm N), bạn cần xem xét các tuyến đường được thể hiện trong hình Việc xác định khoảng cách và lựa chọn lộ trình hợp lý sẽ giúp tiết kiệm thời gian di chuyển Hãy phân tích các lựa chọn và tìm ra con đường tối ưu nhất để đến công ty nhanh chóng.
Bác Hùng và bác Duy đã vẽ hai bản đồ sử dụng các tam giác tương ứng để mô tả ba vị trí thực tế M, N, P Tỉ lệ bản đồ của bác Hùng là 1:1.000.000, trong khi tỉ lệ của bác Duy là 1:1.500.000 Để chứng minh rằng tam giác A′B′C′ tương đương với tam giác ABC, ta cần so sánh các tỉ lệ và tính tỉ số đồng dạng giữa hai tam giác này.
Bạn Hoa vẽ trên giấy một tam giácABC và đoạn thẳng M N với các kích thước như hình bên Bạn Hoa đố bạn Thanh vẽ điểm
Để thỏa mãn điều kiện P M N÷ = ACB và P N M÷ = BAC mà không sử dụng thước đo góc, bạn Thanh cần sử dụng thước thẳng và compa để vẽ điểm P Việc này sẽ giúp xác định vị trí của điểm P một cách chính xác, đồng thời giải thích các kết quả tìm được từ quá trình vẽ.
Cho các điểm A, B, C, D, E như hình bên, biết rằng AB = 6 cm,
AC= 9 cm, AD= 8 cm, BC = 12cm, BD= 4cm Chứng minh rằng
Tính toán về độ dài và diện tích
cVí dụ 1 Tìm độ dài củax và y trong hình vẽ
Tam giác ABC có các cạnh AB = 3 cm, AC = 4 cm và cạnh BC = x cm Để tính giá trị x khi tam giác ABC vuông tại B, ta áp dụng định lý Pythagore, từ đó tìm được x và làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ nhất Ngoài ra, để xác định x trong trường hợp tam giác ABC vuông tại A, ta cũng sử dụng định lý Pythagore để tính toán.
Trên giấy kẻ ô vuông (cạnh ô vuông bằng 1 cm), cho các điểm A, B, C như hình vẽ bên Tính độ dài các cạnh của tam giác ABC.
Tam giác vuông ABC có cạnh góc vuông a = 4 cm và b = 3 cm, cần tính độ dài cạnh huyền Đối với tam giác vuông MNP, với cạnh huyền NP = 10 dm và cạnh MN = 6 dm, ta cũng tính độ dài cạnh MP.
. cVí dụ 5 Tính độ dài cạnhEF,M N của các tam giác vuông trong hình sau.
. cVí dụ 6 Cho △ABC có các góc B, C nhọn KẻAH vuông góc với BC Biết AB= 20 cm, BH = 16cm,
HC = 5cm Tính AH,AC.
Trong bài toán này, từ điểm A, người ta không thể di chuyển thẳng đến điểm C mà phải đi qua các điểm trung gian Có hai lựa chọn: đi từ A đến B rồi đến C, hoặc đi từ A đến D rồi từ D đến C Trong đó, tam giác ABC vuông tại B và tam giác ACD vuông tại C Để xác định đường đi nào ngắn hơn giữa A→B→C và A→D→C, cần xem xét chiều dài của các đoạn đường trong từng trường hợp.
. . . . . . . . . . cVí dụ 8 Độ dài các cạnh góc vuông của một tam giác vuông tỉ lệ với8 và15, cạnh huyền dài51 cm Tính độ dài hai cạnh góc vuông.
. cVí dụ 9 Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = 12,BC = 13 Tính độ dài cạnh AC và tính diện tích tam giácABC.
. cVí dụ 10 Cho tam giác ABC có các góc B, C nhọn Kẻ AH vuông góc với BC Biết AB = 20 cm,
BH = 16cm, HC= 5 cm Tính AH;AC.
. cVí dụ 11 Cho tam giác ABC cân tạiA có các đường caoAH vàBK Tính diện tích tam giác ABC biết
. cVí dụ 12 Cho tam giác ABC vuông tạiA có AB= 6cm, AC = 8 cm Hãy tính độ dài cạnhBC, đường caoAH và các đoạn thẳng BH ,CH.
Để đón khách, xe taxi khởi hành từ điểm A, di chuyển dọc theo con phố dài 3 km đến điểm B, sau đó rẽ vuông góc sang trái và tiếp tục chạy 3 km đến điểm C, nơi tài xế lại rẽ vuông góc sang phải.
1 km nữa thì gặp người khách tại điểmD (H.9.40) Hỏi lúc đầu, khoảng cách từ chỗ người lái xe đến người khách là bao nhiêu kilômét?
Hãy tính chiều cao theo đơn vị centimet của một tam giác đều cạnh 2 cm (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ hai).
Sử dụng định lí Py-ta-go đảo để nhận biết tam giác
○ Tính bình phương các độ dài ba cạnh của tam giác.
○ So sánh bình phương của cạnh lớn nhất với tổng các bình phương của hai cạnh kia.
Nếu hai kết quả bằng nhau, thì tam giác đó là tam giác vuông, với cạnh lớn nhất là cạnh huyền Ví dụ 16: Hãy xác định ba độ dài nào trong số các độ dài sau đây có thể là ba cạnh của một tam giác vuông.
6 cm, 10cm, 8 cm; a) b) 6 cm, 9cm, 11 cm.
Để xác định tam giác vuông trong các tam giác sau, chúng ta có thể áp dụng định lý Pythagore Đầu tiên, trong tam giác ABC, với các cạnh AB = 3 cm, BC = 5 cm và AC = 4 cm, ta thấy 3^2 + 4^2 = 5^2, chứng tỏ ABC là tam giác vuông Tiếp theo, tam giác MNP với MN = 20m, NP = 12m và PM = 16m, cũng thoả mãn 12^2 + 16^2 = 20^2, nên MNP là tam giác vuông Cuối cùng, tam giác OHK có OH = 6 dm, OK = 8 dm và KH = 12 dm, với 6^2 + 8^2 = 12^2, xác nhận OHK cũng là tam giác vuông.
Chứng minh các tính chất hình học
○ Tính từng vế của đẳng thức theo định lí Py-ta-go.
Để chứng minh tam giác ABC vuông, ta có thể sử dụng định lý Pythagore Với độ dài các đường cao của tam giác lần lượt là 60, 65 và 156, ta thực hiện biến đổi một vế theo định lý này để suy ra vế còn lại của đẳng thức.
. . . . . . cVí dụ 19 Cho hai đoạn thẳng AC và BDvuông góc với nhau và cắt nhau tại O Chứng minh rằng
. cVí dụ 20 Cho tam giác ABC có Ab= 90 ◦ GọiM là trung điểmAC Chứng minh rằng
. cVí dụ 21 Chứng minh rằng trong một tam giác vuông, tổng các bình phương của các đường trung tuyến bằng 3
2 bình phương của cạnh huyền.
. cVí dụ 22 Cho hai đoạnAC vàBDvuông góc với nhau và cắt nhau tạiO Chứng minh rằngAB 2 +CD 2 AD 2 +BC 2
. cVí dụ 23 Cho △ABC(AB),A