6 Website:tailieumontoan.com CHUYÊN ĐỀ 10 – CÁC BÀI TOÁN VỀ TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG A Kiến thức: * Tam giác đồng dạng: a) trường hợp thứ nhất: (c.c.c) ABC AB AC BC = = A'C' B'C' A’B’C’ A'B' b) trường hợp thứ nhất: (c.g.c) ABC AB AC = = A' A'C' ; A A’B’C’ A'B' c Trường hợp đồng dạng thứ ba (g.g) ABC A’B’C’ A = A' ; B = B' SA'B'C' A'H' AH; A’H’là hai đường cao tương ứng thì: AH = k (Tỉ số đồng dạng); SABC =K B Bài tập áp dụng Bài 1: Cho ABC coù B = C , AB = cm, BC = 10 cm a)Tính AC b)Nếu ba cạnh tam giác ba số tự nhiên liên tiếp cạnh bao nhiêu? A Giải Cách 1: B Trên tia đối tia BA lấy điểm E cho:BD = BC ACD AC AD ABC (g.g) AB AC C AC AB AD =AB.(AB + BD) = AB(AB + BC) D = 8(10 + 8) = 144 AC = 12 cm Cách 2: Vẽ tia phân giác BE ABC ABE ACB AB AE BE AE + BE AC = AC = AB(AB + CB) AC AB CB AB + CB AB + CB = 8(8 + 10) = 144 Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word tốn E zalo: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com AC = 12 cm b) Goïi AC = b, AB = a, BC = c từ câu a ta có b2 = a(a + c) (1) Vì b > anên b = a + b = a + + Neáu b = a + (a + 1)2 = a2 + ac 2a + = ac a(c – 2) = a = 1; b = 2; c = 3(loại) + Nếu b = a + a(c – 4) = - Với a = c = (loại) A - Với a = c = (loại) - với a = c = ; b = Vậy a = 4; b = 5; c = Baøi 2: D Cho ABC cân A, đường phân giác BD; tính BD biết BC = cm; AC = 20 cm B Giaûi CD BC = AC CD = cm vaø BC = cm Ta có AD Bài toán trở Bài 3: Cho ABC cân A O trung điểm BC Một điểm O di động AB, lấy điểm E AC cho CE = a) DBO b) DOE OB2 BD Chứng minh OCE DBO OCE c) DO, EO phân giác góc BDE, CED d) khoảng cách từ O đến đoạn ED không đổi D di động AB Giải OB2 CE OB CE = = =C BD OB BD B a) Từ (gt) DBO OCE b) Từ câu a suy O3 = E (1) Vì B, O ,C thẳng hàng nên O3 + DOE EOC 180 (2) Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word toán zalo: TÀI LIỆU TOÁN HỌC C Website:tailieumontoan.com tam giác EOC E + C EOC 180 (3) Từ (1), (2), (3) suy DOE B C DO OE = OC (Do DBO OCE) DOE vaø DBO coù DB A DO OE = C B OB (Do OC = OB) vaø DOE vaø DB neân DOE E DBO OCE I D c) Từ câu b suy D1 = D DO laø phân giác góc BDE Củng từ câu b suy E1 = E EO phân giác góc CED H B O C c) Gọi OH, OI khoảng cách từ O đến DE, CE OH = OI, mà O cố định nên OH không đổi OI không đổi D di động AB Bài 4: (Đề HSG huyện Lộc hà – năm 2007 – 2008) Cho ABC cân A, có BC = 2a, M trung điểm BC, lấy D, E thuộc AB, AC cho DME = B a) Chứng minh tích BD CE không đổi b)Chứng minh DM tia phân giác BDE c) Tính chu vi AED ABC tam giác Giải A a) Ta coù DMC = DME + CME = B + BDM , maø DME = B (gt) neân CME = BDM , kết hợp với B = C ( ABC cân A) suy BDM CME (g.g) E I BD BM = BD CE = BM CM = a CM CE khoâng ñoåi b) BDM DM BD DM BD = = CM ME BM CME ME (do BM = CM) DME = BMD DBM (c.g.c) MDE hay DM laø tia D H K B M phân giác BDE c) chứng minh tương tự ta có EM tia phân giác DEC kẻ MH CE ,MI DE, MK DB MH = MI = MK DKM = DIM Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word tốn zalo: TÀI LIỆU TỐN HỌC C Website:tailieumontoan.com DK =DI EIM = EHM EI = EH Chu vi AED laø PAED = AD + DE + EA = AK +AH = 2AH (Vì AH = AK) MC a ABC tam giác nên suy CME củng tam giác CH = AH = 1,5a PAED = AH = 1,5 a = 3a Bài 5: F Cho tam giác ABC, trung tuyến AM Qua điểm D thuộc cạnh BC, vẽ đường thẳng song song với AM, cắt AB, AC E F K A a) chứng minh DE + DF không đổi D di động BC b) Qua A vẽ đường thẳng song song với BC, cắt FE K Chứng minh K trung điểm FE E Giaûi DE BD BD = DE = AM BM BM a) DE // AM AM (1) D B M C DF CD CD CD = DF = AM = AM CM CM BM DF // AM AM (2) Từ (1) (2) suy CD BC BD BD CD + AM = 2AM AM + AM AM = BM BM BM DE + DF = BM = BM không đổi b) AK // BC suy FKA FK KA = CM (3) AMC (g.g) AM EK KA EK KA EK KA EK KA EK KA = = = ED BD ED + EK BD + KA KD BD + DM AM BM AM CM (2) (Vì CM = BM) FK EK Từ (1) (2) suy AM AM FK = EK hay K trung điểm FE Bài 6: (Đề HSG huyện Thạch hà năm 2003 – 2004) Cho hình thoi ABCD cạnh a có A = 60 , đường thẳng qua C cắt tia đối tia BA, DA M, N M a) Chứng minh tích BM DN có giá trị không đổi b) Gọi K giao điểm BN DM Tính số đo góc BKD Giải Liên hệ tài 039.373.2038 B liệu word tốn zalo: C K TÀI LIỆU TỐN HỌC A D N Website:tailieumontoan.com MB CM = CN (1) a) BC // AN BA CM AD = DN (2) CD// AM CN MB AD = MB.DN = BA.AD = a.a = a DN Từ (1) vaø (2) suy BA b) MBD BDN có MBD = BDN = 1200 MB MB CM AD BD = = = 600 BD BA CN DN DN (Do ABCD laø hình thoi có A nên AB = BC = CD = DA) BDN MBD Suy M1 = B1 MBD BKD có BDM = BDK M1 = B1 nên BKD = MBD = 120 Bài 7: Cho hình bình hành ABCD có đường chéo lớn AC,tia Dx cắt SC, AB, BC I, M, N Vẽ CE vuông góc với AB, CF vuông góc với AD, BG vuông góc với AC Gọi K điểm đối xứng với D qua I Chứng minh a) IM IN = ID2 F KM DM = DN b) KN D c) AB AE + AD AF = AC C I G M Giaûi K IM CI = AI (1) a) Từ AD // CM ID A B E CI ID Từ CD // AN AI IN (2) IM ID Từ (1) vaø (2) suy ID = IN hay ID2 = IM IN b) Ta coù DM CM DM CM DM CM = = = MN MB MN + DM MB + CM DN CB (3) Từ ID = IK vaø ID2 = IM IN suy IK2 = IM IN IK IN IK - IM IN - IK KM KN KM IM KM IM CM CM = = = = = IM IK IM IK IM IK KN IK KN ID AD CB (4) Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word tốn zalo: TÀI LIỆU TỐN HỌC N Website:tailieumontoan.com KM DM = DN Từ (3) (4) suy KN c) Ta coù AGB AE AC = AB.AE = AC.AG AB AEC AG AB AE = AG(AG + CG) (5) CGB AF CG CG = CB AD (vì CB = AD) AFC AC AF AD = AC CG AF AD = (AG + CG) CG (6) Coäng (5) (6) vế theo vế ta có: AB AE + AF AD = (AG + CG) AG + (AG + CG) CG AB AE + AF AD = AG2 +2.AG.CG + CG2 = (AG + CG)2 = AC2 Vậy: AB AE + AD AF = AC2 Bài tập nhà Bài Cho Hình bình hành ABCD, đường thẳng cắt AB, AD, AC E, F, G AB AD AC + = AF AG Chứng minh: AE HD: Keû DM // FE, BN // FE (M, N thuộc AC) Bài 2: Qua đỉnh C hình bình hành ABCD, kẻ đường thẳng cắt BD, AB, AD E, G, F chứng minh: FE a) DE2 = EG BE2 b) CE2 = FE GE (Gợi ý: Xét tam giác DFE BCE, DEC BEG) Bài Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH, trung tuyến BM, phân giác CD cắt điểm Chứng minh BH CM AD 1 a) HC MA BD b) BH = AC Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word toán zalo: TÀI LIỆU TOÁN HỌC