Về một bài toán trên tam giác vuông

Trần Quang Hùng - THPT chuyên KHTN Về tốn tam giác vng Trần Quang Hùng - THPT chuyên KHTN Tóm tắt nội dung Bài viết xoay quanh tốn thú vị tam giác vng xuất kỳ thi chọn đội tuyển Romani thi olympic Balkan năm 2007 với mở rộng khai thác cho tốn với cơng cụ tỷ số kép Trong [1] có tốn thú vị sau cho tam giác vng Bài tốn Cho tam giác ABC vuông A D điểm cạnh AC E đối xứng A qua BD F giao điểm CE đường thẳng qua D vuông góc BC Chứng minh AF, DE, BC đồng quy Trong [1] xuất nhiều lời giải nhiên lời giải sau theo thú vị nhất, không dùng khái niệm cao, lời giải đề nghị Petrisor Neagoe [1] tác giả làm gọn A D L B H N C F E K Hình Lời giải Gọi BE giao DF K, DF giao BC N, DE giao BN H, KH giao BD L Ta dễ thấy H trực tâm tam giác KBD Theo tính chất trực tâm LB phân giác ngồi ∠ELN hay đường thẳng LE, LN đối xứng qua BD Mặt khác theo giả thiết A, E đối xứng qua BD nên LE, LA đối xứng qua BD suy LA, LN trùng Đến áp dụng định lý Desargue cho tam giác F EK ADL ý giao điểm cặp đường thẳng F E giao AD, EK giao DL, KF giao LA theo thứ tự C, B, N thẳng hàng Vậy AF, DE, LK đồng quy Ta có điều phải chứng minh Nhận xét Bài tốn có nhiều cách giải hàng điều hòa cách giải định lý Desargue xem đẹp nhẹ nhàng mang nhiều tính hình học Trần Quang Hùng - THPT chuyên KHTN Ta hình dung tam giác vng đường cao đương đối trung, mặt khác đối xứng đỉnh góc vng qua cạnh huyền thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác vng góc coi giao đường đối trung đường tròn ngoại tiếp Ý tưởng giúp ta mở rộng toán thành toán cho tam giác sau Bài toán Cho tam giác ABC với D điểm AC Đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD cắt BC N khác B Đường đối trung qua A tam giác ABD cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD E khác A BE cắt DN F Chứng minh AF, DE, BC đồng quy Bài tốn có lời giải đơn giản hàng điểm điều hòa tứ giác điều hòa Lời giải sau tác giả đề xuất A D B M N C F E K Hình Lời giải Gọi DF giao AE K AE giao BC M Do đường đối trung qua A tam giác ABD cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD E khác A nên tứ giác ADEB điều hòa có hàng (AE, BD) điều hòa đường tròn Chiếu tâm N lên đường AE ta (AE, MK) = N(AE, BD) = (AE, BD) = −1 Chiếu hàng điều hòa (AE, MK) tâm C lên đường thẳng DF ta (DF, NK) = C(AE, MK) = −1 Từ ta có hai hàng điều hòa (KN, F D) = (KM, AE) suy MN, AF, DE đồng quy Ta có điều phải chứng minh Nhận xét Khi tam giác ABC vng A E đối xứng A qua BD Ta thu lại toán ban đầu Bài tốn có số khai thác đẹp, tiêu biểu chọn đội tuyển KHTN năm 2012-2013 [2] sau Trần Quang Hùng - THPT chuyên KHTN Bài toán Cho tam giác nhọn ABC D điểm thuộc đoạn AC Giả sử đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD cắt đoạn thẳng BC E khác B Tiếp tuyến B, D đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD cắt T AT cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD F khác A CF giao DE G AG giao BC H M trung điểm AF AE giao MD N Chứng minh HN AT A N M D H B C E L G F K T Hình Lời giải Gọi DE giao AT K Ta dễ thấy tứ giác ABF D điều hòa nên (AF, LK) = E(AF, BD) = −1 Từ (DG, EK) = C(DG, EK) = (AF, LK) = −1 hay (GD, EK) = −1 = (AF, LK) suy AG, DF, EL đồng quy H Từ (AF, LK) = −1, theo hệ thức Maclaurin, ý tứ giác ABED nội tiếp ta suy KM KL = KF KA = KE.KD Do tứ giác MDEL nội tiếp Từ ta có ∠NDH = ∠MDH = ∠MDE − ∠HDE = ∠MLB − ∠F DE = ∠MLB − ∠F BE = ∠LF B = ∠AEB = ∠NEH Suy tứ giác NDEH nội tiếp suy ∠DNH = ∠DEC = ∠DML HN ML ≡ AT Ta có điều phải chứng minh Nếu áp dụng mơ hình cách giải tốn ta đề xuất tốn thú vị sau Trần Quang Hùng - THPT chuyên KHTN Bài toán Cho tam giác ABC đường cao AD, BE, CF đồng quy H G đối xứng F qua BC CG cắt BE L LF cắt AC K Chứng minh KG qua trực tâm H A K E F H C D B G L Hình Nếu để ý kỹ bạn thấy thực toán toán "xoay ngược" áp dụng vào tam giác KBD trực tâm H Tuy dựa vào toán ta dễ dàng đề xuất toán tổng quát sau Bài toán Cho tam giác ABC P P A, P B, P C cắt BC, CA, AB D, E, F Đường thẳng qua F song song AD cắt BC M G đối xứng F qua M CG cắt BE L LF cắt AC K Chứng minh KG qua P Các bạn làm toán đơn giản luyện tập ý đơn giản có khai thác ứng dụng bất ngờ Các bạn khám phá Tài liệu [1] http://www.artofproblemsolving.com/Forum/viewtopic.php?p=860114 [2] Trần Quang Hùng, Tuyển tập tốn hình học chọn đội tuyển KHTN, năm 2013 Trần Quang Hùng, trường THPT chuyên KHTN, ĐHKHTN, ĐHQGHN E-mail: analgeomatica@gmail.com ... rộng toán thành toán cho tam giác sau Bài toán Cho tam giác ABC với D điểm AC Đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD cắt BC N khác B Đường đối trung qua A tam giác ABD cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác. .. bạn thấy thực toán toán "xoay ngược" áp dụng vào tam giác KBD trực tâm H Tuy dựa vào toán ta dễ dàng đề xuất toán tổng quát sau Bài toán Cho tam giác ABC P P A, P B, P C cắt BC, CA, AB D, E, F... Khi tam giác ABC vuông A E đối xứng A qua BD Ta thu lại toán ban đầu Bài tốn có số khai thác đẹp, tiêu biểu chọn đội tuyển KHTN năm 2012-2013 [2] sau Trần Quang Hùng - THPT chuyên KHTN Bài toán