www thuvienhoclieu com SỰ PHONG PHÚ CỦA TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG I/MỞ ĐẦU * Người ta thường nói ’’Bí như hình ‘’thật không sai ;bởi vì phần lớn học sinh đều ngán ngẫm môn học này do sự phong phú và phức tạp[.]
SỰ PHONG PHÚ CỦA TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG I/MỞ ĐẦU: * Người ta thường nói:’’Bí hình ‘’thật khơng sai ;bởi phần lớn học sinh ngán ngẫm mơn học phong phú phức tạp ‘’tam giác đồng dạng’’ Nhưng em nắm lí thuyết vận dụng tốt trí tuệ phát triển nhanh *Trong chương trình hình học phẳng THCS, đặc biệt chương hình học 8, phương pháp“Tam giác đồng dạng” công cụ quan trọng nhằm giải tốn hình học Làm sở để học sinh vận dụng giaỉ tốn hình học phẳng lớp *Phương pháp “ Tam giác đồng dạng” phương pháp ứng dụng tính chất đồng dạng tam giác, tỷ lệ đoạn thẳng, sở tìm hướng giải dạng tốn hình học *Trên thực tế, việc áp dụng phương pháp “Tam giác đồng dạng” giải tốn có thuận lợi khó khăn chứng sau: * Thuận lợi: + Phương pháp “ Tam giác đồng dạng” cơng cụ giúp ta tính tốn nhanh chóng dạng tốn đặc trưng tính tỷ lệ, chứng minh hệ thức, tập ứng dụng định lý sau Thales + Với số dạng toán quen thuộc chứng minh đoạn thẳng nhau, góc nhau, chứng minh song song, chứng minh thẳng hàng, phương pháp “ Tam giác đồng dạng” cho ta cách giải gọn gàng, ngắn phương pháp truyền thống khác sử dụng tính chất tam giác, tính chất tứ giác đặc biệt Học sinh vận dụng linh hoạt, nhuần nhuyễn giải toán + Phương pháp “ Tam giác đồng dạng” giúp rèn luyện tốt khả tư logic học sinh, rèn luyện tính sáng tạo, phát triển trí tuệ cho học sinh cách hiệu Từ học sinh đam mê học tốn * Khó khăn: + Phương pháp “ Tam giác đồng dạng” lạ lẫm với học sinh Các em chưa quen với việc sử dụng phương pháp để giải toán thay cho cách chứng minh truyền thống, đặc biệt với học sinh lớp + Việc sử dụng tỷ số cạnh phức tạp dễ dẫn đến nhầm lẫn tính tốn, biến đổi vịng quanh luẩn quẩn, không rút tỷ số cần thiết, khơng có kỹ chọn cặp tam giác cần thiết phục vụ cho hướng giải toán *Từ nhận định trên, sáng kiến kinh nghiệm giải giúp cho giáo viên dạy lớp em học sinh số vấn đề cụ thể : - Hệ thống lại kiến thức thường áp dụng phương pháp - Hệ thống dạng tốn hình học thường áp dụng phương pháp “ Tam giác đồng dạng” - Định hướng giải dạng toán Phương pháp “ Tam giác đồng dạng” - Hệ thống số tập luyện tập *Trong sáng kiến kinh nghiệm tơi có nhiều cố gắng nhằm làm rõ thêm số phương pháp hình học đặc trưng, nhiên hạn chế kiến thức thực tế giảng dạy chắn sáng kiến kinh nghiệm cịn nhiều thiếu sót Kính mong thầy giáo, giáo có nhiều năm kinh nghiệm giảng dạy, bạn đồng nghiệp tham gia góp ý bổ sung làm cho sáng kiến kinh nghiệm trở nên hồn chỉnh Tơi xin chân thành cảm ơn tất quý vị II/ KẾT QUẢ : Để có kết tốt học tam giác đồng dạng em cần nắm vững khái niệm tam giác đồng dạng Từ phân tích, biến đổi thành thạo trường hợp * LÝ THUYẾT : Học sinh cần nắm hiểu kỹ kiến thức tam giác đồng dạng sau để vận dụng cho tốt trường hợp cụ thể Đinh lý Talet tam giác Nếu đường thẳng song song với cạnh tam giác cắt hai cạnh cịn lại định A cạnh đoạn thẳng tương ứng tỷ lệ MN // BC M B N C Khái niệm tam giác đồng dạng Tam giác A’B’C’ gọi đồng dạng với tam giác ABC nếu: + ; Các trường hợp đồng dạng tam giác: a) Trường hợp thứ (ccc): Nếu cạnh tam giác tỷ lệ với cạnh tam giác tam giác đồng dạng b) Trường hợp thứ 2(cgc): Nếu cạnh tam giác tỷ lệ với cạnh tam giác góc tạo tạo cặp cạnh hai tam giác đồng dạng c) Trường hợp thứ 3(gg): Nếu góc tam giác góc tam giác hai tam giác đồng dạng d) Các trường hợp đồng dạng tam giác vng + Tam giác vng có góc nhọn góc nhọn tam giác vng hai tam giác đồng dạng + Tam giác vng có hai cạnh góc vng tỷ lệ với hai cạnh góc vng tam giác vng hai tam giác đồng dạng + Nếu cạnh huyền cạnh góc vng tam giác vng tỷ lệ với cạnh huyền cạnh góc vng tam giác vng hai tam giác đồng dạng * ÁP DỤNG:Để dễ sử dụng kiến thức tính tốn, so sánh, chứng minh Tơi tạm chia thành dạng tốn sau: &.DẠNG1:Tính độ dài đoạn thẳng, góc, tỷ số, diện tích, chu vi: _ Loại1: Tính độ dài đoạn thẳng: _Ví dụ:1) Cho ABC vng A, có AB = 24cm; AC = 18cm; đường trung trực BC cắt BC , BA, CA M, E, D Tính độ dài đoạn BC, BE, CD 2) Hình thoi BEDF nội tiếp ABC (E AB; D AC; F AC) a) Tính cạnh hình thoi biết AB = 4cm; BC = 6cm Tổng quát với AB = a, BC = c ac b) Chứng minh BD < a+c với AB = c; BC = a c) Tính độ dài AB, BC biết AD = m; DC = n Cạnh hình thoi d 3)a) Tam giác ABC có = ; AB = 4cm; BC = 5cm Tính độ dài AC? b) Tính độ dài cạnh ABC có liên tiếp GiảI :3) A 4cm B D 5cm C =2 biết số đo cạnh số tự nhiên a) Trên tia đối tia BA lấy BD = BC ACD ABC có chung; = = ACD P ABC (g.g) AC AB = AD AC AC2 = AB AD = = 36 AC = 6(cm) b) Gọi số đo cạnh BC, AC, AB a, b, c Theo câu (a) ta có AC2 = AB AD = AB(AB+BC) b2 = c(c+a) = c2 + ac (1) Ta có b > c (đối diện với góc lớn hơn) nên có khả là: b = c + b= c + * Nếu b = c + từ (1) (c + 1)2 = c2 + ac 2c + = ac c(a-2) = (loại) c= ; a = 3; b = không cạnh tam giác * Nếu b = c + từ (1) (c + 2)2 = c2 + ac 4c + = ac c(a – 4) = Xét c = 1, 2, có c = 4; a = 5; = thỏa mãn toán Vậy AB = 4cm; BC = 5cm; AC = 6cm _Loại2:Tính góc: _Ví dụ:1) Cho ABH vng H có AB = 20cm; BH = 12cm Trên tia đối HB lấy điểm C cho AC = AH Tính 2) Cho hình thoi ABCD cạnh a, có A = 60 Một đường thẳng qua C cắt tia đối tia BA, DA tương ứng M, N Gọi K giao điểm BN DM Tính BKD? 3) ABC có AB: AC : CB = 2: 3: chu vi 54cm; DEF có DE = 3cm; DF = 4,5cm; EF = 6cm a) Chứng minh AEF P ABC b) Biết A = 1050; D = 450 Tính góc cịn lại Giải:1) AB 20 AC = = = BH 12 AH Ta có A 20cm AB BH = AC AH C B 12cm H Xét ABH CAH có : = 900 = AB BH = AC AH (chứng minh trên) ABH P CAH (CH cạnh gv) Lại có + = 900 nên = = 900 + = 900 Do : Giải:2) Do BC // AN (vì N AD) nên ta có : MB MC = AB NC (1) M Do CD // AM (vì M AB) nên ta có : MC AD = NC DN B (2) K A Từ (1) (2) MB AD = AB DN = 600 nên AB = BD = DA Từ Mặt khác : (cm trên) = C D ABD có AB = AD (đ/n hình thoi) MB AD = AB DN 60 MB BD = BD DN = 1200 N Xét 2MBD BDN có : MB BD = BD DN ; = MBD P BDN (c.g.c) = MBD KBD có Vậy = ; chung = = 1200 = 1200 _ Loại3 :Tính tỉ số đoạn thẳng, tỉ số chu vi, tỉ số diện tích: _Ví dụ: 1) Cho ABC, D điểm cạnh AC cho Biết AD = 7cm; BD DC = 9cm Tính tỷ số BA 2) Cho hình vng ABCD, gọi E F theo thứ tự trung điểm AB, BC, CE cắt DF S CMB M Tính tỷ số S ABCD ? 3) Cho ABC, D trung điểm BC, M trung điểm AD a) BM cắt AC P, P’ điểm đối xứng P qua M Chứng minh PA = P’D Tính tỷ số PA AP PC AC PQ PM b) Chứng minh AB cắt Q, chứng minh PQ // BC Tính tỷ số BC MB c) Chứng minh diện tích tam giác BAM, BMD, CAM, CMD Tính tỷ số diện tích MAP ABC Giải:1) CAB CDB có C chung ; CB CA = CAB P CDB (g.g) CD CB = (gt) ta có : CB2 = CA.CD 7cm D 9cm Theo gt CD = 9cm; DA = 7cm nên CA = CD + DA = + = 16 (cm)B Do CB2 = 9.16 = 144 CB = 12(cm) Mặt khác lại có : A DB = BA C Giải:2) Xét DCF CBE có DC = BC (gt); DCF = CBE (c.g.c) Mà + = 1v CMD P FCD (vì S CMD S FCD 1 + = 1 = 900; BE = CF = 1v CMD vuông M ; CD = FD = = ) = DC CM = FD FC B SCMD = CD FD SFCD CD CD 1 2 = FD CD2 = FD F M C D 1 1 Mà SFCD = CF.CD = BC.CD = CD2 Vậy SCMD E A (*) Áp dụng định lý pitago vào tam giác vng DFC, ta có: 1 DF2 = CD2 + CF2 = CD2 + ( BC)2 = CD2 + CD2 = CD2 1 2 Thay DF = CD ta có : SCMD = CD = SABCD S CMB S ABCD = _Loại 4: Tính chu vi hình: _Ví dụ:1) Cho ABC, D điểm cạnh AB, E điểm cạnh AC cho DE // BC Xác định vị trí điểm D cho chu vi ADE = chu vi ABC Tính chu vi tam giác đó, biết tổng chu vi = 63cm 2) A’B’C’ P ABC theo tỷ số đồng dạng K = Tính chu vi tam giác, biết hiệu chu vi tam giác 51dm 3) Tính chu vi ABC vng A biết đường cao ứng với cạnh huyền chia tam giác thành tam giác có chu vi 18cm 24cm Giải:1) Do DE // BC nên ADE PABC theo tỷ số đồng dạng K = AD AB = Ta có A Chuvi Δ ABC Chuvi Δ ADE = D = E =9 B C Do đó: Chu vi ABC = 5.9 = 45 (cm) Chu vi ADE = 2.9 = 18 (cm) _Loại 5:Tính diện tích hình: _Ví dụ :1)Cho hình vng ABCD có độ dài = 2cm Gọi E, F theo thứ tự trung điểm AD, DC Gọi I, H theo thứ tự giao điểm AF với BE, BD Tính diện tích tứ giác EIHD 2) Cho tứ giác ABCD có diện tích 36cm2, diện tích ABC 11cm2 Qua B kẻ đường thẳng // với AC cắt AD M, cắt CD N Tính diện tích MND 3) Cho ABC có B C nhọn, BC = a, đường cao AH = h Xét hình chữ nhật MNPQ nội tiếp tam giác có M AB; N AC; PQ BC a) Tính diện tích hình chữ nhật hình vng b) Tính chu vi hình chữ nhật a = h c) Hình chữ nhật MNPQ có vị trí diện tích có giá trị lớn 4) Cho ABC hình bình hành AEDF có E AB; D BC, F AC Tính diện tích hình bình hành biết : SEBD = 3cm2; SFDC = 12cm2; Giải:4) Xét EBD FDC có = (đồng vị DF // AB) (1) E1 = D2 ( so le AB // DF) = (2) D2 = E1 ( so le DE // AC) Từ (1) (2) EBD P FDC (g.g) Mà SEBD : SFDC = : 12 = : = ( )2 Do : EB ED = = FD FC FD = 2EB ED = FC AE = DF = 2BE ( AE = DF) AF = ED = EC ( AF = ED) Vậy SADE = 2SBED = 2.3 = 6(cm2) A E F B D C 1 SADF = SFDC = 12 = 6(cm2) SAEDF = SADE + SADF = + = 12(cm2) &.DẠNG 2: Chứng minh hệ thức, đẳng thức nhờ tam giác đồng dạng: A Các ví dụ định hướng giải: Ví dụ 1: Cho hình thang ABCD(AB // CD) Gọi O giao điểm 2đường chéo AC BD a) Chứng minh rằng: OA OD = OB OC b) Đường thẳng qua O vng góc với AB CD theo thứ tự H K AB CMR: = CD A * Tìm hiểu tốn : Cho gì? H B O Chứng minh gì? D * Xác định dạng tốn: ? Để chứng minh hệ thức ta cần chứng minh điều gì? OA OC TL: OB = OD ? Để có đoạn thẳng ta vận dụng kiến thức TL: Chứng minh tam giác đồng dạng a) OA OD = OB.OC Sơ đồ : + + = (SLT l AB // CD) = ( Đối đỉnh) OAB P OCD (g.g) OA OC OB = OD K C OA.OD = OB.OC OH b) OK AB = CD OH Tỷ số OK TL : OH OK tỷ số nào? OA = OC OH ? Vậy để chứng minh OK AB TL: CD AB = CD ta cần chứng minh điều OA = OC Sơ đồ : + + = 900 = = (SLT; AB // CD) Câu a OAH P OCK(gg) OAB P OCD OH OK OA = OC AB CD OH OK = = OA OC AB CD Ví dụ 2: Cho hai tam gíac vng ABC ABD có đỉnh góc vng C D nằm nửa mặt phẳng bờ AB Gọi P giao điểm cạnh AC BD Đường thẳng qua P vng góc C với AB I.CMR : AB2 = AC AP + BP.PD D P Định hướng: - Cho HS nhận xét đoạn thẳng AB (AB = AI + IB) A I B AB2 = ? (AB.(AI + IB) = AB AI + AB IB) - Việc chứng minh toán đưa việc chứng minh hệ thức AB.AI = AC.AP AB.IB = BP PD - HS xác định kiến thức vận dụng để chứng minh hệ thức ( P) Sơ đồ : + + = 900 = + chung = 900 = + chung ADB P PIB ACB P AIP (gg) = = AB.AI = PB.DB AB IB + AB AI AB AI = AC AP = BP PD + AC AP AB (IB + IA) = BP PD + AC AP AB2 = BP PD + AC AP Ví dụ 3: Trên sở ví dụ đưa toán sau: A Cho nhọn ABC, đường cao BD CE cắt H D E H CMR: BC2 = BH BD + CH.CE Định hướng: Trên sở tập Học sinh đưa hướng giải tập B C Vẽ hình phụ (kẻ KH BC; K BC) Sử dụng P chứng minh tương tự ví dụ Ví dụ 4: Cho ABC, I giao điểm đường phân giác, đường thẳng vng góc với CI I cắt AC BC M N Chứng minh A a) AM BI = AI IM b) BN IA M = BI NI I 1 c) B = C N * Định hướng: a) ? Để chứng minh hệ thức AM BI = AI.IM ta cần chứng minh điều ? b) Để chứng minh đẳng thức ta cần chứng minh điều ? ( AMI P AIB) Sơ đồ: = (gt) = * CM: = v MIC: AMI P AIB (gg) = AM BI = AI IM ABC: + = 900 = 1800(t/c tổng ) + + = 900 + Do đó: = Mặt khác: hay + = = Từ (1) (2) (1) (t/c góc ngồi ) + + (2) = hay = AMI P AIB ( = = ; = ) AM BI = AI IM b) Tương tự ý a Chứng minh BNI P BIA (gg) = BN IA = BI IN c) (Câu a) (Câu b) - HS nhận xét = AMI P AIB BNI P BIA Tính AI2 ; BI2 = = (Tính AI2 ; BI2 nhờ P) AI2 BI2 = BN AB = AM AB = = B.Bài tập đề nghị: 1) Cho hình ABCD (AB // CD), gọi O giao điểm đường chéo Qua O kẻ đường thẳng song song với đáy cắt BC I cắt AD J.CMR : a) b) = = + + 2) Cho ABC, phân giác AD (AB < AC) tia đối tia DA lấy điểm I cho = CMR: a) AD DI = BD DC b) AD2 = AB AC - BD DC &.DẠNG3: Chứng minh quan hệ song song: + Ví dụ 1: Cho hình thang ABCD (AB // CD) Gọi M trung điểm CD, E giao điểm A B MA BD; F giao điểm MB AC Chứng minh EF / / AB Định hướng giải: - Sử dụng trường hợp đồng dạng tam giác D - Định nghĩa hai tam giác đồng dạng - Dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song (định lý Ta lét đảo) Sơ đồ phân tích: AB // CD (gt) AB // CD (gt) AB // DM AB // MC MED P AEB GT MFC P BFA = F E ; MD = MC = = M C EF // AB (Định lý Ta lét đảo) + Ví dụ 2: Cho ABC có góc nhọn, kẻ BE, CF hai đường cao Kẻ EM, FN hai đường cao AEF Chứng minh MN // BC A Sơ đồ phân tích M E AMF P AFC (g.g);AFN P ABE N F C B = = = = MN // BC (định lý Ta – lét đảo) + Ví dụ 3: Cho ABC, điểm D, E, F theo thứ tự chia cạnh AB, BC, CA theo tỷ số : 3, điểm I, K theo thứ tự chia đoạn thẳng ED, FE theo tỉ số : Chứng minh IK // BC Gọi M trung điểm AF A Giải: Gọi N giao điểm DM EF M D N Xét ADM ABC có : F I = = Góc A chung B ADM P ABC (c.gc) = mà góc vị trí đồng vị nên DM // BC MN // EC mà MF = FC nên EF = FN K E C Ta có : mà = = = = (1) (gt) (2) Từ (1) (2) = Suy IK // DN (định lý Ta – lét đảo) Vậy IK // BC *Bài tập đề nghị: Cho tứ giác ABCD, đường thẳng qua A song song với BC cắt BD Đường thẳng qua B song song với AD cắt AC G Chứng minh EG // DC &.DẠNG4: Chứng minh tam giác đồng dạng: + Ví dụ 1: Cho ABC; AB = 4,8cn; AC = 6,4cm; BC = 3,6cm Trên AB lấy điểm D cho AD = 3,2cm, AC ,lấy điểm E cho AE = 2,4cm, kéo dài ED cắt CB F a) CMR : ABC P AED b) FBD P FEC c) Tính ED ; FB? Bài tốn cho gì? A E Dạng tốn gì? 4,8cm 6,4cm D Để chứng minh đồng dạng có phương pháp nào? Bài sử dụng trường hợp đồng dạng thứ mấy? Sơ đồ chứng minh: a) GT chung = =2 ABC P AED (c.g.c) ABC P AED (câu a) b) F 3,6cm B C = ; = = chung FBD P FEC (g.g) c) Từ câu a, b hướng dẫn học sinh thay vào tỷ số đồng dạng để tính ED FB + Ví dụ 2: Cho ABC cân A; BC = 2a; M trung điểm BC Lấy điểm D E AB; AC cho a) CMR : BDM P CME = A MDE P DBM b) D c) BD CE không đổi ? Để chứng minh BDM P CME ta cần chứng minh điều E ? Từ gt nghĩ đến 2 P theo trường hợp (g.g) ? Gt cho yếu tố góc ( ? Cần chứng minh thêm yếu tố ( = = ) ; = ABC cân ; = BDM P CME (gg) Câu a gt + ; = M góc ngồi DBM gt = ) a) Hướng dẫn sơ đồ = B + C b) = ; CM = BM = = (gt) ; A DME P DBM (c.g.c) c) Từ câu a : BDM P CME (gg) B BD CE = Lưu ý: =a (khơng đổi) Gắn tích BD CB độ dài không đổi Bài cho BC = 2a không đổi Nên phải hướng cho học sinh tính tích BD CE theo a + Ví dụ 3: Cho ABC có trung điểm BC, CA, AB theo thứ tự D, E, F Trên cạnh BC lấy điểm M N cho BM = MN = NC Gọi P giao điểm AM BE; Q giao điểm CF AN CMR: a) F, P, D thẳng hàng; D, Q, E thẳng hàng b) ABC P DQP * Hướng dẫn Q P BD CE = Cm BM Mà CM = BM = E F M D N C a) Giáo viên hướng dẫn học sinh chứng minh điểm thẳng hàng có nhiều phương pháp Bài chọn phương pháp nào? - Lưu ý cho học sinh cho trung điểm nghĩ tới đường trung bình Từ nghĩ đến chọn phương pháp: CM cho đường thẳng PD FP // AC PD đường trung bình BEC PD // AC F, P, D thẳng hàng FP đường trng bình ABE FP // AC Tương tự cho điểm D, Q, E b) PD = EC = = =4 (Đơn vị EF // AB) (so le PD // AC) =4 ; ABC P DQP (c.g.c) * Bài tập đề nghị: 1) Cho ABC, AD phân giác điểm I cho ; AB < AC Trên tia đối DA lấy Chứng minh a) ADB P ACI; ADB P CDI b) AD2 = AB AC - BD DC 2) Cho ABC; H, G, O trực tâm, trọng tâm, giao điểm đường trung trực Gọi E, D theo thứ tự trung điểm AB AC Chứng minh : a) OED P HCB b) GOD P GBH c) Ba điểm O, G, H thẳng hàng GH = 2OG 3) Cho ABC có Ab = 18cm, AC = 24cm, BC = 30cm Gọi M trung điểm BC Qua M kẻ đường vng góc với BC cắt AC, AB D, E a) CMR : ABC P MDC b) Tính cạnh MDC c) Tính độ dài BE, EC 4) Cho ABC; O trung điểm cạnh BC Góc = 600; cạnh ox cắt AB M; oy cắt AC N a) Chứng minh: OBM P NCO b) Chứng minh : OBM P NOM c) Chứng minh : MO NO phân giác d) Chứng minh : BM CN = OB &.DẠNG5:Chứng minh đoạn thẳng nhau, góc nhau: _Ví dụ 1: Cho hình thang ABCD (AB// CD) Hai đường chéo AC BD cắt O Đường thẳng a qua O song song với đáy hình thang cắt cạnh bên AD, BC theo thứ tự E F Chứng minh : OE = OF A B F E O C D Định hướng Sơ đồ giải H:Bài cho đường thẳng EF // AB (và CD) OE = OF TL: Các tam giác đồng dạng đoạn thẳng tỷ lệ H: EO đoạn hình vẽ thường lập tỷ số? = TL: H: Vậy OF đoạn nào? (gợi ý) = ; TL: = = AEC BOF P ADC P BDC EF ; // DC AOB P COD AB // CD