Tính chất định tính nghiệm của một số lớp phương trình elliptic và parabolic phân thứ .Tính chất định tính nghiệm của một số lớp phương trình elliptic và parabolic phân thứ .Tính chất định tính nghiệm của một số lớp phương trình elliptic và parabolic phân thứ .Tính chất định tính nghiệm của một số lớp phương trình elliptic và parabolic phân thứ .Tính chất định tính nghiệm của một số lớp phương trình elliptic và parabolic phân thứ .Tính chất định tính nghiệm của một số lớp phương trình elliptic và parabolic phân thứ .Tính chất định tính nghiệm của một số lớp phương trình elliptic và parabolic phân thứ .Tính chất định tính nghiệm của một số lớp phương trình elliptic và parabolic phân thứ .Tính chất định tính nghiệm của một số lớp phương trình elliptic và parabolic phân thứ .Tính chất định tính nghiệm của một số lớp phương trình elliptic và parabolic phân thứ .Tính chất định tính nghiệm của một số lớp phương trình elliptic và parabolic phân thứ .Tính chất định tính nghiệm của một số lớp phương trình elliptic và parabolic phân thứ .Tính chất định tính nghiệm của một số lớp phương trình elliptic và parabolic phân thứ .Tính chất định tính nghiệm của một số lớp phương trình elliptic và parabolic phân thứ .Tính chất định tính nghiệm của một số lớp phương trình elliptic và parabolic phân thứ .Tính chất định tính nghiệm của một số lớp phương trình elliptic và parabolic phân thứ .Tính chất định tính nghiệm của một số lớp phương trình elliptic và parabolic phân thứ .
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI NGUYỄN THỊ QUỲNH TÍNH CHẤT ĐỊNH TÍNH NGHIỆM CỦA MỘT SỐ LỚP PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC VÀ PARABOLIC PHÂN THỨ LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Hà Nội, 2024 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI NGUYỄN THỊ QUỲNH TÍNH CHẤT ĐỊNH TÍNH NGHIỆM CỦA MỘT SỐ LỚP PHƯƠNG TRÌNH ELIPTIC VÀ PARABOLIC PHÂN THỨ LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Mã số: Phương trình vi phân tích phân 46 01 03 Người hướng dẫn khoa học PGS TS Nguyễn Như Thắng Hà Nội, 2024 LỜI CAM ĐOAN Luận án cơng trình nghiên cứu tơi hướng dẫn PGS TS Nguyễn Như Thắng Những kết đưa vào luận án đồng tác giả đồng ý Các kết luận án chưa công bố cơng trình khác Tơi xin hồn tồn chịu trách nhiệm có khơng trung thực cơng trình nghiên cứu Nghiên cứu sinh Nguyễn Thị Quỳnh LỜI CẢM ƠN Luận án thực Bộ mơn Giải tích, Khoa Tốn - Tin, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội, hướng dẫn PGS TS Nguyễn Như Thắng Tác giả xin bày tỏ lịng kính trọng biết ơn sâu sắc đến Thầy Tác giả xin trân trọng cảm ơn thầy Ban Giám hiệu, Phòng Sau Đại học Ban Chủ nhiệm Khoa Toán-Tin, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội Tác giả xin cảm ơn thầy cô Bộ mơn Giải tích ln giúp đỡ động viên trong suốt trình học tập Tác giả xin bày tỏ cảm ơn đến Ban Giám hiệu trường Đại học Công nghiệp Hà Nội, đồng nghiệp công tác Khoa Khoa học ủng hộ, động viên tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả suốt thời gian học tập nghiên cứu Tác giả xin trân trọng cảm ơn Quỹ Đổi sáng tạo Vingroup (VinIF) tài trợ để tác giả tập trung học tập, nghiên cứu hoàn thành luận án cách tốt Tác giả xin trân trọng cảm ơn người bạn nghiên cứu sinh Bộ mơn Giải tích đồng hành, chia sẻ giúp đỡ tác giả, đặc biệt chị Chi, em Hiền Anh, anh Thắng Lời cảm ơn sau cùng, tác giả xin dành cho gia đình, người ln u thương, chia sẻ, động viên tác giả vượt qua khó khăn để hồn thành luận án Mục lục LỜI CAM ĐOAN LỜI CẢM ƠN MỤC LỤC MỘT SỐ KÍ HIỆU THƯỜNG DÙNG TRONG LUẬN ÁN MỞ ĐẦU Tổng quan vấn đề nghiên cứu Mục đích nghiên cứu 14 Đối tượng phạm vi nghiên cứu 14 Phương pháp nghiên cứu 15 Cấu trúc kết luận án 15 Kiến thức chuẩn bị 17 1.1 Một số bất đẳng thức 17 1.2 Toán tử Laplace phân thứ 18 1.3 Một số tính chất 19 1.4 Nghiệm hệ Lane-Emden phân thứ 22 Chương Chương Tính chất nghiệm phương trình Lichnerowicz phân thứ 25 Phát biểu toán kết 25 2.1.1 Phát biểu toán 25 2.1 2.1.2 Kết cận không tồn nghiệm dương không tầm thường 26 2.2 Chứng minh cận không tồn nghiệm dương không tầm thường 28 2.2.1 Cận nghiệm 28 2.2.2 Sự không tồn nghiệm dương không tầm thường 30 Chương Sự không tồn nghiệm dương phương trình hệ phương trình Lane-Emden phân thứ 3.1 37 Phát biểu tốn kết 37 3.1.1 Phát biểu toán 37 3.1.2 Kết không tồn nghiệm dương phương trình hệ phương trình 3.2 38 Chứng minh không tồn nghiệm dương phương trình hệ phương trình 41 3.2.1 Sự không tồn nghiệm dương phương trình với số mũ p ≤ 41 3.2.2 Sự không tồn nghiệm dương hệ phương trình 45 Chương Sự khơng tồn nghiệm dương phương trình hệ phương trình chứa tốn tử Laplace phân thứ số hạng gradient 4.1 50 Phát biểu tốn kết 50 4.1.1 Phát biểu toán 50 4.1.2 Kết khơng tồn nghiệm dương phương trình 51 4.1.3 Kết không tồn nghiệm dương hệ phương trình 53 4.2 Chứng minh không tồn nghiệm dương phương trình hệ phương trình 56 4.2.1 Sự không tồn nghiệm dương phương trình trường hợp tuyến tính 56 4.2.2 Sự không tồn nghiệm dương phương trình trường hợp tới hạn tới hạn 57 4.2.3 Sự không tồn nghiệm dương hệ phương trình trường hợp tới hạn 61 4.2.4 Sự không tồn nghiệm dương hệ phương trình trường hợp tới hạn 64 KẾT LUẬN CỦA LUẬN ÁN 67 NGHIÊN CỨU TIẾP THEO 68 DANH MỤC CÁC CƠNG TRÌNH ĐÃ CÔNG BỐ CỦA LUẬN ÁN 69 MỘT SỐ KÍ HIỆU THƯỜNG DÙNG TRONG LUẬN ÁN RN Không gian vectơ thực N chiều với chuẩn Euclid; |x| Chuẩn Euclide x không gian RN ; BR Hình cầu tâm gốc tọa độ bán kính R RN ; BR (x) Hình cầu tâm x bán kính R RN ; C k (Ω) Không gian hàm khả vi liên tục đến cấp k Ω; Cck (Ω) Không gian hàm khả vi liên tục đến cấp k có giá compact Ω; ∇ Toán tử gradient; ∆ Toán tử Laplace; (−∆)s Toán tử Laplace phân thứ; L p (RN ) Khơng gian hàm khả tích bậc p RN ; p L l oc (RN ) Ls (RN ) Khơng gian hàm khả tích địa phương bậc p trờn RN ; â Ư R |u(x)| = u ∈ Lloc (RN ); RN (1+|x|)N +2s d x < ∞ ; S (RN ) Không gian Schwartz hàm giảm nhanh RN ; C α (RN ) Khụng gian cỏc hm liờn tc Hă older cp , < α < 1, RN ; MỞ ĐẦU Tổng quan vấn đề nghiên cứu Trong năm gần đây, nhà toán học giới dành quan tâm đến phương trình đạo hàm riêng loại elliptic parabolic không địa phương, mà số phương trình tiêu biểu chứa tốn tử Laplace phân thứ, hay p-Laplace phân thứ, nhờ ứng dụng vật lí, sinh học, tài Tính khơng địa phương phương trình tới từ số hạng khơng gian tốn tử Laplace phân thứ, đạo hàm không địa phương theo biến thời gian (đạo hàm phân thứ, đạo hàm không địa phương, phương trình kiểu parabolic) Hơn nữa, tốn tử Laplace phân thứ cịn xem tốn tử sinh q trình khuếch tán Lévy [4] Ta biết tốn tử Laplace phân thứ (−∆)s , < s < 1, định nghĩa tốn tử khơng địa phương không gian hàm giảm nhanh Z u(x) − u(ξ) s dξ (−∆) u(x) = cN ,s P.V |x − ξ|N +2s RN Z u(x) − u(ξ) dξ, = cN ,s lim ϵ→0 |x − ξ|N +2s RN \B (x) ϵ cN ,s số chuẩn hố P.V giá trị Cauchy Mặt khác, tốn tử Laplace phân thứ cịn định nghĩa thông qua biến đổi Fourier F ((−∆)s u) (ξ) = |ξ|s F u(ξ), với F u biến đổi Fourier hàm u, xem [55] Hơn nữa, ta mở rộng định nghĩa toán tử Laplace phân thứ theo nghĩa phân phối không gian Z |u(x)| N N Ls (R ) = u ∈ Lloc (R ); dx < ∞ N +2s (|x| + 1) N R Ngoài ra, u ∈ C 2σ (RN ) ∩ Ls (RN ) với σ > s, (−∆)s u(x) xác định x ∈ RN , xem [55] Cho đến nay, có nhiều kết tính chất định tính cho nghiệm phương trình đạo hàm riêng chứa tốn tử Laplace tồn nghiệm, tính qui, tính ổn định Tuy nhiên, kết tương tự cho phương trình khơng địa phương chứa tốn tử Laplace phân thứ, p-Laplace phân thứ hạn chế khó khăn phải làm việc với tốn tử khơng địa phương Khó khăn địi hỏi cách tiếp cận cho tốn khơng địa phương phương trình chứa tốn tử Laplace phân thứ trở thành chủ đề quan trọng chuyên ngành Chủ đề thứ nghiên cứu luận án phương trình Lichnerowicz phân thứ vt + (−∆)s v = v −p−2 − v p RN × R (0.1) phương trình elliptic tương ứng (−∆)s u = u−p−2 − u p RN , (0.2) p > < s < Nhắc lại rằng, trường hợp s = 1, (0.1) (0.2) trở thành vt − ∆v = v −p−2 − v p RN × R (0.3) phương trình elliptic tương ứng −∆u = u−p−2 − u p RN (0.4) Các phương trình biết đến với tên gọi phương trình Lichnerowicz, xem [20, 21, 47] tài liệu tham khảo Gần đây, phương trình kiểu Lichnerowicz nhận nhiều quan tâm nhà khoa học ngồi nước, xem [12, 52, 53] cho phương trình elliptic [29, 70, 71] cho phương trình parabolic Trong [52, 53], người ta chứng minh p > phương trình (0.4) có nghiệm dương tầm thường u = Kết sau chứng minh lại [12] cách sử dụng kiểu nguyên lí cực trị lí thuyết KellerOsserman Hơn nữa, [12] người ta < p ≤