Tính giải được và tính chất tập hợp nghiệm một số lớp bài toán không cục bộ

i Mục lục Chương TÍNH GIẢI ĐƯỢC VÀ TÍNH CHẤT TẬP HỢP NGHIỆM 1.1 Sự tồn nghiệm 1.2 Cấu trúc tập hợp nghiệm 15 Chương MỘT SỐ LỚP BÀI TỐN KHƠNG CỤC BỘ 19 2.1 Phương trình tiến hóa bậc 19 2.2 Phương trình tiến hóa cấp hai 20 2.3 Phương trình vi phân bậc phân số 22 ii LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan luận văn khơng trùng lặp với khóa luận, luận văn, luận án cơng trình nghiên cứu cơng bố Thanh Hóa, ngày 20 tháng năm 2012 Người cam đoan Nguyễn Văn Thắng iii Lời cảm ơn Luận văn thực trường Đại học Hồng Đức, Thanh Hóa, hướng dẫn TS Trần Đình Kế Nhân dịp tác giả xin trân trọng cảm ơn tới thầy định hướng luận văn, cung cấp hướng dẫn đọc tài liệu, kiểm tra kiến thức, qua tác giả nâng cao kiến thức nhiều mặt hoàn thành kế hoạch luận văn Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến lãnh đạo thầy cô trường Đại học Hồng Đức, khoa Tự nhiên, phòng Đào tạo kiến thức quý em nhận thời gian học tập nghiên cứu trường Cảm ơn gia đình người thân bạn bè khuyến khích, động viên tác giả trình học tập làm luận văn Thanh Hóa, ngày 20 tháng năm 2012 Học viên Nguyễn Văn Thắng MỞ ĐẦU Xét phương trình tích phân ∂f (x) ∂x1 x(t) = g(t, x) + Z t Φ(t, s)f (s, x(s))ds, t ∈ J := [0, T ], (1) x(t) nhận giá trị không gian Banach X, Φ(t, s) họ tốn tử tuyến tính bị chặn X, với (t, s) ∈ J × J Ánh xạ phi tuyến f : J × X → X g : J × C(J; X) → X Hàm x ∈ C(J; X) gọi nghiệm phương trình (1) thỏa mãn (1) với t ∈ J Ở C(J; X) tập hàm liên tục xác định J nhận giá trị X, tích phân phương trình (1) hiểu tích phân theo nghĩa Bochner Dễ nhận thấy rằng, phương trình (1) sinh từ nhiều tốn Cauchy với điều kiện khơng cục Mơ hình giới thiệu [6] cho x0(t) = Ax(t) + f (t, x(t)), t ∈ [0, T ], x(0) = x0 + h(x), (2) (3) A phần tử sinh nửa nhóm liên tục mạnh {S(t)}t≥0 in X Ta biết điều kiện ban đầu không cục cho phép mô tả xác mơ hình thực tế so với điều kiện ban đầu cổ điển, tốn Cauchy với điều kiện khơng cục nhiều nhà tốn học quan tâm Có thể tham khảo khơng trình [5, 9, 17, 18, 23, 21, 22, 25] Nghiệm tích phân (2)- (3)là hàm x ∈ C(J; X) thỏa mãn Z t x(t) = S(t)[x0 − h(x)] + S(t − s)f (s, x(s))ds, t ∈ [0, T ] dẫn đến phương trình (1) Ngồi ý quan trọng phương trình (1) là, Φ(t, s) khơng thiết phải nửa nhóm Điều cho phép ta nghiên cứu nhiều lớp toán khác bên cạnh tốn Cauchy với điều kiện khơng cục xác định hệ vi phân bậc (2)-(3) Một toán tốn Cauchy khơng cục với phương trình cấp hai: x00(t) = Ax(t) + f (t, x(t)), t ∈ [0, T ] x(0) = g(x), x0(0) = h(x), (4) (5) A phần tử sinh họ hàm Cosine {C(t)}t∈R Nghiệm tích phân (4)-(5) xác định Z t x(t) = C(t)g(x) + S(t)h(x) + S(t − s)f (s, x(s))ds, t ∈ [0, T ], S(t) hàm Sine liên kết với C(t) Theo hướng này, chúng tơi trích dẫn cơng trình [3, 15, 16, 29] Một ví dụ quan trọng khác đề cập tốn Cauchy khơng cục với phương trình vi phân bậc phân số: C D0α x(t) = f (t, x(t)), α ∈ (0, 1], t ∈ [0, T ], x(0) = h(x), (6) (7) C D0α đạo hàm Caputo bậc α Nghiệm tích phân (6)-(7) hàm x ∈ C(J; X) thỏa mãn phương trình tích phân: Z t x(t) = h(x) + (t − s)α−1 f (s, x(s))ds, t ∈ [0, T ], Γ(α) Γ hàm Gamma Một số kết liên quan đến tốn (6)-(7) tham khảo cơng trình [1, 4, 24] sách chuyên khảo [20] Mô tả chi tiết toán (2)-(3), (4)-(5) (6)-(7) với mơ hình khác trình bày Chương Chú ý rằng, để giải tốn khơng cục bộ, đa số cơng trình biết giả thiết điều kiện Lipschitz cho hàm phi tuyến, tồn nghiệm tích phân tốn có nhờ sử dụng nguyên lý ánh xạ co (xem [4, 5, 6, 21, 24, 29]) Một vài nghiên cứu khác cho kết tính giải nhờ giả thiết tính compact nửa nhóm sinh phần tuyến tính hệ (xem [9, 23, 25]) Điều kiện compact dùng để giải phóng điều kiện Lipschitz áp đặt lên hàm phi tuyến, nhiên theo kết [22], khó khăn khác nảy sinh ta phải chứng minh tính đồng liên tục toán tử nghiệm Mục tiêu luận văn nghiên cứu tính giải (1) mà khơng giả thiết tính Lipschitz hàm phi tuyến f, g tính compact Φ(t, s) Chúng tơi áp đặt lên f, g số điều kiện biểu diễn qua độ đo không compact (MNC) Sử dụng giả thiết này, chứng minh tập nghiệp phương trình (1) khác rỗng compact nhờ vào lý thuyết điểm bất động cho ánh xạ nén Quay lại trường hợp g Lipschitz Φ(t, s) tốn tử compact t > s (khơng cần giả thiết f ), chứng minh tập nghiệm (1) có cấu trúc Rδ Cuối cùng, áp dụng kết đạt cho phương trình (1) vào số mơ hình khác tốn Cauchy khơng cục Kỹ thuật sử dụng ước lược theo độ đo (MNCestimate) Kỹ thuật sử dụng phổ biến đề nghiên cứu phương trình bao hàm thức vi phân năm gần đây, xem [8, 10, 11, 26] tài liệu trích dẫn liên quan Chương TÍNH GIẢI ĐƯỢC VÀ TÍNH CHẤT TẬP HỢP NGHIỆM 1.1 Sự tồn nghiệm Giả sử E không gian Banach P(E) tập tập khác rỗng E Ta nhắc lại số khái niệm kết sau: Định nghĩa 1.1 Cho (A, ≥) tập thứ tự phân E Một hàm β : P(E) → A gọi độ đo không compact (MNC) E β(co Ω) = β(Ω) với Ω ∈ P(E), co Ω bao lồi đóng Ω Một MNC β gọi i) đơn điệu, Ω0, Ω1 ∈ P(E) cho Ω0 ⊂ Ω1, β(Ω0) ≤ β(Ω1); ii) không kỳ dị, β({a} ∪ Ω) = β(Ω) với a ∈ E, Ω ∈ P(E); iii) bất biến phép hợp với tập compact, β(K ∪ Ω) = β(Ω) với tập compact tương đối K ⊂ E Ω ∈ P(E); Nếu A nón khơng gian định chuẩn, ta nói β iv) nửa cộng tính đại số, β(Ω0 + Ω1) ≤ β(Ω0) + β(Ω1) với Ω0, Ω1 ∈ P(E); v) qui, β(Ω) = tương đương với tính compact tương đối Ω Một ví dụ quan trọng độ đo khơng compact độ đo Hausdorff, thỏa mãn tất tính chất nêu trên: χ(Ω) = inf{ε : Ω có ε-lưới hữu hạn} Các ví dụ khác MNC không gian C(J; X): (i) Mô-đun không compact theo phân thớ γ(Ω) = sup χ(Ω(t)) (1.1) t∈J χ độ đo Hausdorff X Ω(t) = {y(t) : y ∈ Ω}; (ii) Mô-đun liên tục đồng bậc modC (Ω) = lim sup max ky(t1) − y(t2 )k δ→0 y∈Ω |t1 −t2 | cho v(t) < Rp với t ∈ J ||x(t)||X ≤ R với t ∈ J Tiếp theo, ta giả thiết g thỏa mãn: (G2’) g : J × C(J; X) → X liên tục tồn hàm bị chặn h : J → R+ cho ||g(t, x) − g(t, y)||X ≤ h(t)||x − y||C , với t ∈ J; x, y ∈ C(J; X) Rõ ràng, (G2’) suy ||g(t, x)||X ≤ h(t)||x||C + ||g(t, 0)||X (1.20) Bất đẳng thức cuối suy (G1), với Υ(r) = + r, m(t) = max{h(t), ||g(t, 0)||X } Giả sử χC độ đo Hausdorff C(J; X) Khi (xem [19]), điều kiện (G2’) suy χ(g(t, Ω)) ≤ h(t)χC (Ω), (1.21) với tập bị chặn Ω ⊂ C(J; X) Hơn ||g(·, x) − g(·, y)||C ≤ sup h(t)||x − y||C , t∈J bất đẳng thức chứng tỏ χC (g(·, Ω)) ≤ sup h(t)χC (Ω), (1.22) t∈J với tập bị chặn Ω ⊂ C(J; X) Các tính chất χC tìm thấy [19] Ở ta nhắc lại số tính chất cần dùng: với tập bị chặn Ω ⊂ C(J; X), ta có • χ(Ω(t)) ≤ χC (Ω), với t ∈ J; • Ω tập liên tục đồng bậc (modC (Ω) = 0) χC (Ω) = γ(Ω) = sup χ(Ω(t)) t∈J 14 Định lý 1.5 Giả sử f thỏa mãn (F1)-(F3) g thỏa mãn (G2’) Nếu bất đẳng thức Z t ` := sup h(t) + sup ρ(t − s)k(s)ds < 1, (1.23) t∈J t∈J Z t Ψ(r) sup ρ(t − s)µ(s)ds < 1, (1.24) sup h(t) + lim inf r→∞ r t∈J t∈J thỏa mãn, phương trình (1) có nghiệm Chứng minh Sử dụng (1.20) chứng minh Định lý 1.3, ta thấy (1.24) thỏa mãn, tồn R > cho toán tử nghiệm F ánh xạ BR vào Theo Định lý 1.1, ta phải chứng tỏ rằng, F χC -nén Giả sử Ω ⊂ C(J; X) tập bị chặn thỏa mãn χC (F (Ω)) ≥ χC (Ω), (1.25) ta chứng minh Ω compact tương đối Nhờ (F2) ta có f (·, Ω) tập bị chặn Lp (J; X), S ◦ Nf (Ω) xác định Z t S ◦ Nf (Ω)(t) = { Φ(t, s)f (s, y(s))ds : y ∈ Ω}, tập liên tục đồng bậc C(J; X), theo Mệnh đề 1.1 Ở Nf toán tử Nemytskii ứng với f , tức Nf (x)(t) = f (t, x(t)), for t ∈ J, x ∈ C(J; X) Do χC (S ◦ Nf (Ω)) = sup χ(S ◦ Nf (Ω)(t)) t∈J Z t ≤ sup ρ(t − s)k(s)χ(Ω(s))ds t∈J Z t ≤ sup ρ(t − s)k(s)ds χC (Ω) t∈J (1.26) Mặt khác, (1.22) ta có χC (g(·, Ω)) ≤ sup h(t)χC (Ω) t∈J Kết hợp (1.26) (1.27), ta nhận χC (F (Ω)) ≤ χC (g(·, Ω)) + χC (S ◦ Nf (Ω)) Z t   ≤ sup h(t) + sup ρ(t − s)k(s)ds χC (Ω) t∈J t∈J (1.27) 15 Do (1.25), ta có χC (Ω) ≤ χC (F (Ω)) ≤ `χC (Ω), với ` < xác định (1.23) Từ suy χC (Ω) = tính qui χC , Ω tập compact tương đối C(J; X) Nhận xét 1.4 Chú ý rằng, điều kiện Lipschitz (G2’) cho phép gỡ bỏ điều kiện (G1)-(G3) Mặt khác, Φ(t, s) compact với t > s,  Z t  χ(S ◦ Nf (Ω)(t)) = χ { Φ(t, s)f (s, y(s))ds : y ∈ Ω} = 0, với tập bị chặn Ω ⊂ C(J; X), có điều kiện (F1)-(F2) Vậy, khẳng định Định lý 1.5 ta thay (F3) điều kiện Φ(t, s) compact với t > s Trong trường hợp này, điều kiện (1.23) chuyển thành sup h(t) < (1.28) t∈J Nhưng điều kiện cuối lại suy từ (1.24) Trong phần tiếp theo, ta chứng minh rằng, với giả thiết Định lý 1.5, tập nghiệm phương trình (1) có cấu trúc Rδ , Φ(t, s) compact với t > s 1.2 Cấu trúc tập hợp nghiệm Định nghĩa 1.3 Tập B không gian metric Y gọi co rút Y ánh xạ nhúng iB : B → Y đồng luân không, tức là, tồn điểm y0 ∈ Y hàm liên tục h : B × [0, 1] → Y cho h(y, 0) = y h(y, 1) = y0 với y ∈ B Ta sử dụng khái niệm sau Định nghĩa 1.4 Cho Y không gian metric B ⊂ Y B gọi có cấu trúc Rδ B biểu diễn dạng giao họ giảm dần tập compact co rút Bổ đề sau cho ta tiêu chuẩn tập có cấu trúc Rδ Bổ đề 1.2 ([7]) Giả sử X không gian metric, E không gian Banach V : X → E ánh xạ chỉnh, có nghĩa V liên tục V −1(K) compact với tập compact K ⊂ E Nếu tồn dãy {Vn } ánh xạ từ X vào E cho 16 Vn chỉnh {Vn } hội tụ đến V X; với y0 ∈ E với y lân cận N (y0) y0 E, tồn nghiệm xn phương trình Vn (x) = y Khi V −1(y0) có cấu trúc Rδ Để sử dụng bổ đề này, ta cần kết sau, gọi định lý xấp xỉ Lasota-Yorke Bổ đề 1.3 ([14]) Cho X không gian metric, E không gian định chuẩn f : X → E ánh xạ liên tục Khi với  > 0, tồn ánh xạ Lipschitz địa phương f : X → E cho: kf (x) − f (x)kE < , for every x ∈ X Định lý sau kết mục này: Định lý 1.6 Giả sử f thỏa mãn (F1)-(F2) g thỏa mãn (G2’) Nếu Φ(t, s) compact với t > s Z t Ψ(r) < 1, sup h(t) + sup ρ(t − s)µ(s)ds lim inf r→∞ r t∈J t∈J tập nghiệm (1) có cấu trúc Rδ Chứng minh Theo Định lý 1.5 Chú ý 1.4, giả thiết Định lý 1.6 đảm bảo tính giải được, tức Fix(F ) 6= ∅ Ta chứng minh Fix(F ) có cấu trúc Rδ Xét hàm phi tuyến f Theo Bổ đề 1.3, tồn dãy hàm {fn} cho ã fn : J ì X X liờn tục Lipschitz địa phương; • ||fn (t, η) − f (t, η)||X < n với (t, η) ∈ J × X, n → n → ∞ Có thể giả thiết ||fn (t, η)||X ≤ µ(t)Ψ(||η||X ) + với (t, η) ∈ J × X Xét phương trình Z t x(t) = y(t) + g(t, x) + Φ(t, s)fn(s, x(s))ds, t ∈ J, (1.29) (1.30) 17 với y ∈ C(J; X) cho trước Ta định nghĩa Fn : C(J; X) → C(J; X) Fn (x)(t) = y(t) + g(t, x) + Z t Φ(t, s)fn(s, x(s))ds, t ∈ J Sử dụng lý luận chứng minh Định lý 1.5 Chú ý 1.4, ta có Fn χC -nén Hơn nữa, sử dụng ước lượng tương tự chứng minh Định lý 1.3, tìm R > cho Fn (BR ) ⊂ BR , nhờ có điều kiện (1.29) Do đó, Fn có điểm bất động theo Định lý 1.1 phương trình (1.30) có nghiệm Lại g(t, ·) thỏa mãn điều kiện Lipschitz fn (t, ·) Lipschitz địa phương, nghiệm (1.30) Đặt Z t Vn (x)(t) = x(t) − [g(t, x) + Φ(t, s)fn(s, x(s))ds], Z t V (x)(t) = x(t) − [g(t, x) + Φ(t, s)f (s, x(s))ds], t ∈ J, ta thấy {Vn } hội tụ V C(J; X) Ngoài ra, với y ∈ C(J; X) phương trình Vn (x) = y có nghiệm nhất, điểm bất động Fn Ta phải chứng minh V Vn ánh xạ chỉnh Ta chứng minh cho Vn , với V làm tương tự Rõ ràng Vn liên tục Giả sử K ⊂ C(J; X) tập compact Vn (Ω) = K Ta chứng tỏ Ω compact Do Vn liên tục K tập đóng, ta có Ω tập đóng Giả sử {xj } dãy Ω, ta có dãy {yj } ⊂ K cho Vn (xj ) = yj Nghĩa là, xj (t) = yj (t) + g(t, xj ) + Z t Φ(t, s)fn(s, xj (s))ds, t ∈ J (1.31) Trước tiên ta chứng tỏ {xj } bị chặn Ta có ||xj (t)||X ≤ ||yj (t)||X + h(t)||xj ||C + ||g(t, 0)||X Z t   + ρ(t − s) µ(s)Ψ(||xj (s)||X ) + ds, 18 nhờ (G2’) (1.29) Do ||xj ||C ≤ ||yj ||C + sup ||g(t, 0)||X + sup Z t ρ(t − s)ds Z t + sup h(t)||xj ||C + Ψ(||xj ||C ) sup ρ(t − s)µ(s)ds t∈J t∈J t∈J t∈J Nếu {xj } không bị chặn tồn dãy (vẫn ký hiệu {xj }) cho ||xj ||C → +∞ j → +∞ Từ Z t   ||yj ||C + sup ||g(t, 0)||X + sup ρ(t − s)ds 1≤ ||xj ||C t∈J t∈J Z t Ψ(||xj ||C ) ρ(t − s)µ(s)ds + sup h(t) + sup ||xj ||C t∈J t∈J Qua giới hạn j → +∞, ta nhận mâu thuẫn giả thiết định lý Từ (1.31), ta có χC ({xj }) ≤ χC ({yj }) + χC (g(·, {xj })) + χC (S ◦ Nfn ({xj })) (1.32) Sử dụng lý luận chứng minh Định lý 1.5 Chú ý 1.4, ta có     χC S ◦ Nfn ({xj }) = sup χ S ◦ Nfn ({xj })(t) = 0, t∈J χC (g(·, {xj })) ≤ sup h(t)χC ({xj }) t∈J Chuyển bất đẳng thức cuối vào (1.32), ta χC ({xj }) ≤ sup h(t)χC ({xj }), t∈J {yj } dãy hội tụ Chú ý supt∈J h(t) < 1, ta có χC ({xj }) = Do đó, {xj } có dãy hội tụ C(J; X) Vậy Ω tập compact Cuối cụng, Fix(F ) = V −1(0), nhờ Bổ đề 1.2, ta có Fix(F ) tập Rδ Định lý chứng minh 19 Chương MỘT SỐ LỚP BÀI TỐN KHƠNG CỤC BỘ Trong chương này, ta áp dụng kết đạt chương trước vào số tốn Cauchy với điều kiện khơng cục 2.1 Phương trình tiến hóa bậc Xét tốn sau x0(t) = Ax(t) + f (t, x(t)), t ∈ J := [0, T ], x(0) = x0 + h(x), (2.1) (2.2) A phần tử sinh nửa nhóm liên tục mạnh {S(t)}t≥0 X, f : J × X → X, h : C(J; X) → X x0 ∈ X cho trước Bài toán nghiên cứu trước tiên Byszewski Lakshmikantham [6], tồn nghiệm chứng minh dựa giả thiết tính Lipschitz h f Giả sử C0 số dương cho supt∈J ||S(t)|| ≤ C0 Ta đưa điều kiện sau: (P1) Nửa nhóm {S(t)}t≥0 liên tục với t > 0; (P2) hàm f thỏa mãn (F1)-(F3) với p = 1; (P3) hàm h : C(J; X) → X liên tục tồn hàm liên tục không giảm Υ : R+ → R+ cho ||h(x)||X ≤ Υ(||x||C ) for all x ∈ C(J; X); (P4) χ(h(Ω)) ≤ Ch γ(Ω) với tập bị chặn Ω ⊂ C(J; X); 20 (P5) với tập bị chặn Ω ⊂ C(J; X), ta có modC (S(·)h(Ω)) = Chú ý (P5) thỏa mãn h liên tục tuyệt đối t 7→ S(t) liên tục J Do (P1), Φ(t, s) := S(t − s) với t ≥ s thỏa mãn (Φ1)-(Φ2) với q = +∞, ρ(t) = C0 với t ∈ J Kết sau hệ Định lý 1.3 Định lý 2.1 Với giả thiết (P1)-(P5), tập nghiệm toán (2.1)(2.2) khác rỗng compact, Z T C0Ch + 2C0 k(s)ds < 1, Z T  C0  Υ(r) + Ψ(r) µ(s)ds < 1, lim inf r→∞ r µ k tương ứng xác định (F2) (F3) Định lý 2.2 Giả sử rằng, f thỏa mãn (F1)-(F2) với p = 1, h liên tục Lipschitz: ||h(x) − h(y)||X ≤ Ch||x − y||C , với x, y ∈ C(J; X) Nếu S(t) compact với t > bất đẳng thức sau Z T Ψ(r) < 1, C0 Ch + C0 µ(s)ds lim inf r→∞ r đúng, tập nghiệm tốn (2.1)-(2.2) có cấu trúc Rδ Chứng minh Vì S(t) compact với t > nên liên tục với t > (xem [12]) Do Φ(t, s) := S(t − s), t ≥ s, thỏa mãn (Φ1)-(Φ2) Kết luận suy từ Định lý 1.6 2.2 Phương trình tiến hóa cấp hai Xét tốn x00(t) = Ax(t) + f (t, x(t)) t ∈ J := [0, T ] x(0) = g1 (x), x0(0) = g2(x), (2.3) (2.4) 21 f : J × X → X, g1, g2 : C(J; X) → X Giả sử rằng, A phần tử sinh họ hàm Cosine liên tục mạnh {C(t)}t∈R Ký hiệu {S(t)}t∈R họ hàm Sine liên kết với {C(t)}t∈R: Z t S(t)x = C(s)xds, x ∈ X, t ∈ R (2.5) Lý thuyết họ hàm Cosine xem [13, 30] Định nghĩa 2.1 Hàm x ∈ C(J; X) gọi nghiệm tích phân tốn (2.3)-(2.4) Z t x(t) = C(t)g1(x) + S(t)g2(x) + S(t − s)f (s, x(s))ds, t ∈ J Chú ý họ hàm Sine {S(t)}t∈R xác định (2.5) liên tục J, nghĩa ||S(t) − S(s)|| → as |t − s| → 0, for all t, s ∈ [0, T ] Từ modC (S(·)D) = 0, for all bounded set D ⊂ X (2.6) Giả sử M1 , M2 > cho ||C(t)|| ≤ M1 ||S(t)|| ≤ M2 với t ∈ J Rõ ràng, Φ(t, s) := S(t − s), t ≥ s, thỏa mãn (Φ1)-(Φ2) với q = +∞ Với toán (2.3)-(2.4) ta giả thiết: (Q1) Hàm f thỏa mãn (F1)-(F3) với p = 1; (Q2) g1, g2 : C(J; X) → X hàm liên tục Hơn nữa, tồn hàm liên tục không giảm Υ1 , Υ2 : R+ → R+ cho ||g1 (x)||X ≤ Υ1 (||x||C ), ||g2 (x)||X ≤ Υ2 (||x||C ), với x ∈ C(J; X); (Q3) tồn số không âm `, κ cho χ(g1 (Ω)) ≤ `γ(Ω), χ(g2(Ω)) ≤ κγ(Ω), với tập bị chặn Ω ⊂ C(J; X); (Q4) với tập bị chặn Ω ⊂ C(J; X), ta có: modC (C(·)g1(Ω)) = 22 Chú ý điều kiện modC (S(·)g2(Ω)) = thỏa mãn (2.6) (Q2) Do (Q2)-(Q4), hàm g(t, x) := C(t)g1(x) + S(t)g2(x) thỏa mãn (G1)-(G3) Từ Định lý 1.3, ta có kết sau Định lý 2.3 Giả sử (Q1)-(Q4) thỏa mãn Nếu bất đẳng thức Z T M1 ` + M2 κ + 2M2 k(s)ds < 1, Z T  1 µ(s)ds < 1, lim inf M1 Υ1 (r) + M2 Υ2(r) + M2 Ψ(r) r→∞ r thực hiện, tập nghiệm toán (2.3)-(2.4) khác rỗng compact Định lý 2.4 Giả sử f thỏa mãn (F1)-(F2), g1 g2 liên tục Lipschitz: ||g1 (x) − g1 (y)||X ≤ `||x − y||C , ||g2 (x) − g2 (y)||X ≤ κ||x − y||C , (2.7) với x, y ∈ C(J; X) Nếu S(t) compact với t ∈ J, tập nghiệm tốn (2.3)-(2.4) có cấu trúc Rδ Z T Ψ(r) < 1, M1 ` + M2κ + M2 µ(s)ds lim inf r→∞ r µ cho (F2) Chứng minh Đặt g(t, x) = C(t)g1(x) + S(t)g2(x) Dễ dàng kiểm tra g(t, ·) : C(J; X) → X thỏa mãn điều kiện Lipschitz: ||g(t, x) − g(t, y)||X ≤ M1 ||g1 (x) − g1 (y)||X + M2||g2 (x) − g2 (y)||X ≤ (M1` + M2 κ)||x − y||C , có (2.7) Ta có kết luận theo kết Định lý 1.6 2.3 Phương trình vi phân bậc phân số Trước tiên ta nhắc lại khái niệm giải tích bậc phân số Định nghĩa 2.2 Tích phân bậc α > hàm số f ∈ L1(J; X) xác định Z t (t − s)α−1f (s)ds, I0α f (t) = Γ(α) Γ hàm Gamma 23 Định nghĩa 2.3 Với f ∈ C N (J; X), đạo hàm Caputo bậc α ∈ (N − 1, N ] xác định Z t C α (t − s)N −α−1f (N ) (s)ds D0 f (t) = Γ(N − α) Chú ý có số khái niệm khác đạo hàm bậc phân số, khái niệm đạo hàm Riemann-Liouville Caputo sử dụng rộng rãi Nhiều toán ứng dụng yêu cầu điều kiện ban đầu liên quan đến x(0), x0(0), , nên đạo hàm Caputo khái niệm thích hợp để mơ tả tốn Cauchy Có thể tham khảo vấn đề giải tích bậc phân số sách chuyên khảo [20] Với x ∈ C N (J; X), ta có cơng thức sau C (2.8) D0α I0α x(t) = x(t), I0α C D0α x(t) = x(t) − N −1 X k=0 x(k) (0) k t k! (2.9) Xét toán C Dα x(t) = f (t, x(t)), < α ≤ 1, x(0) = h(x), (2.10) (2.11) f : J × X → X, h : C(J; X) → X Định nghĩa 2.4 Hàm x ∈ C(J; X) gọi nghiệm tích phân (2.10)-(2.11) Z t (t − s)α−1 f (s, x(s))ds, t ∈ J x(t) = h(x) + Γ(α) Đối với toán (2.10)-(2.11), ta giả thiết (R1) Hàm f thỏa mãn (F1)-(F3) với p > α1 ; (R2) h : C(J; X) → X liên tục tồn hàm không giảm Υ cho ||h(x)||X ≤ Υ(||x||C ), for all x ∈ C(J; X); (R3) tồn Ch ≥ cho χ(h(Ω)) ≤ Ch γ(Ω), với tập bị chặn Ω ⊂ C(J; X) 24 Rõ ràng Φ(t, s) := (t − s)α−1I, I toán tử đơn vị X, thỏa mãn (Φ1)-(Φ2) với ≤ q < 1−α Hơn nữa, hàm g(t, x) = h(x) không phụ thuộc t nên thỏa mãn (G3) Theo Định lý 1.3, ta có: Định lý 2.5 Giả sử (R1)-(R3) thỏa mãn Khi tập nghiệm tốn (2.10)-(2.11) khác rỗng compact, Z t sup (t − s)α−1 k(s)ds < 1, Ch + Γ(α) t∈J Z t  1 Ψ(r) α−1 sup (t − s) µ(s)ds < 1, lim inf Υ(r) + r→∞ r Γ(α) t∈J µ k cho (F2) (F3) 25 Tài liệu tham khảo [1] Agarwal R.P., Benchohra M., Hamani S., A Survey on Existence Results for Boundary Value Problems of Nonlinear Fractional Differential Equations and Inclusions, Acta Appl Math 109:3 (2010) pp 973-1033 [2] Akhmerov R R., Kamenskii M I., Potapov A S., Rodkina A E., Sadovskii B N., Measures of Noncompactness and Condensing Operators, Birkhăauser, Boston-Basel-Berlin, 1992 [3] Balachandran K., Park J Y., Existence of solutions of second order nonlinear differential equations with nonlocal conditions in Banach spaces, Indian J Pure Appl Math 32:12 (2001), pp 1883-1891 [4] Benchohra M., Hamani S., Ntouyas S.K., Boundary value problems for differential equations with fractional order and nonlocal conditions, Nonlinear Anal 71 (2009) pp 2391-2396 [5] Byszewski L., Theorems about the existence and uniqueness of solutions of a semilinear evolution nonlocal Cauchy problem, J Math Anal Appl 162 (1991), pp 494-505 [6] Byszewski L., Lakshmikantham V., Theorem about the existence and uniqueness of a solution of a nonlocal abstract Cauchy problem in a Banach space, Appl Anal 40 (1990), pp 11-19 [7] Browder F E., Gupta C P., Topological Degree and Nonlinear Mappings of Analytic Type in Banach Spaces, J Math Anal Appl 26 (1969) pp 390-402 [8] Cardinali T., Rubbioni P., Mild solutions for impulsive semilinear evolution differential inclusions, J Applied Funct Anal., 1:3 (2006), pp 303-325 [9] Chang J.-C., Liu H., Existence of solutions for a class of neutral partial differential equations with nonlocal conditions in the α-norm, Nonlinear Anal 71 (2009) pp 3759-3768 26 [10] Djebali S., Górniewicz L., Ouahab A., First-order periodic impulsive semilinear differential inclusions: Existence and structure of solution sets, Math Comp Model 52:5-6 (2010), pp 683-714 [11] Dong Q., Fan Z., Li G., Existence of Solutions to Nonlocal Neutral Functional Differential and Integrodifferential Equations, Int J Nonlinear Science 5:2 (2008), pp.140-151 [12] Engel K.-J., Nagel R., One-Parameter Semigroups for Linear Evolution Equations Springer, 2000 [13] Fattorini H.O., Second order linear differential equations in Banach spaces, in: North Holland Mathematics Studies, vol 108, Elsevier Science, North Holland, 1985 [14] Górniewicz L., Topological Fixed Point Theory of Multivalued Mappings, second edition, Springer 2006 [15] Hernández E.M., Existence of solutions to a second order partial differential equation with nonlocal conditions, J Differential Equations, 51 (2003) pp 1-10 [16] Hernández E.M., Henríquez H.R., Existence Results for Second Order Differential Equations with Nonlocal conditions in Banach spaces, Funkcialaj Ekvaccioj 52 (2009) pp 113-137 [17] Jackson D., Existence and uniqueness of solutions to semilinear nonlocal parabolic equations, J Math Anal Appl 172 (1993), pp 256265 [18] Jesús G.-F., Existence results and asymptotic behavior for nonlocal abstract Cauchy problems, J Math Anal Appl 338 (2008) pp 639-652 [19] Kamenskii M., Obukhovskii V., Zecca P., Condensing Multivalued Maps and Semilinear Differential Inclusions in Banach Spaces, in: de Gruyter Series in Nonlinear Analysis and Applications, vol 7, Walter de Gruyter, Berlin, New York, 2001 [20] Kilbas A.A., Srivastava H.M., Trujillo J.J., Theory and Applications of Fractional Differential Equations North-Holland Mathematics Studies, 204, Elsevier Science B.V., Amsterdam, 2006 27 [21] Lin Y., Liu J.H., Semilinear Integrodifferential Equations with Nonlocal Cauchy Problem, Nonlinear Anal TMA, 26:5 (1996), pp 10231033 [22] Liu J H., A Remark on the Mild Solutions of Non-local Evolution Equations, Semigroup Forum 66 (2003), pp 63-67 [23] Liu H., Chang J.-C., Existence for a class of partial differential equations with nonlocal conditions, Nonlinear Anal 70 (2009) pp 30763083 [24] N’Guérékata G M., A Cauchy problem for some fractional abstract differential equation with non local conditions, Nonlinear Anal 70 (2009) pp 1873-1876 [25] Ntouyas S K., Tsamatos P Ch., Global Existence for Semilinear Evolution Equations with Nonlocal Conditions, J Math Anal Appl 210 (1997), pp 679-687 [26] Obukhovskii V., Yao J.-C., On impulsive functional differential inclusions with Hille-Yosida operators in Banach spaces, Nonlinear Anal 73 (2010) pp 1715-1728 [27] Pazy A., Semigroups of linear operators and applications to partial differential equations Springer- Verlag, New York (1983) [28] Seidman T.I., Invariance of the reachable set under nonlinear perturbations, SIAM J Control Optim 25 (5) (1987), pp 1173-1191 [29] Tidke H.L., Dhakne M.B., On Global Existence of Mild Solutions of Second Order Volterra Integrodifferential Equations, Applied Mathematical Sciences, (2009) pp 2099-2106 [30] Xiao T.J., Liang J., The Cauchy problem for high order abstract differential equations, Lecture Notes in Mathematics 1701 Springer 1998